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用折纸探索正多边形组拼柏拉图多面体的方法


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数 学教学通讯 ( 中等教育 )  

试 题研究 > 试 题探究  

拼柏拉图多面体的方法 
刘 奕 签 

西 南 大学数 学与 统计 学 院
要  

4 0 0 7 1

5  
赚   正 

豳关 键 词: 折 纸: 正多 边 彤; 正多 面 体  

柏 拉 图 多 面 体 也 称 正 多 面体 , 每 个 
正 多 面 体 是 由 相 同 的 正 多 边 形 围 成 的 

3 .每 个 顶 点 连 接 五 个 正 三 角 形 的 
组 拼 方 式 

立 体 图形 .古 希 腊 哲 学 家 柏 拉 图发 现 ,   正 多面体只存 在五种 ,即正 四面体 、 正  六 面体 、 正八面体 、 正十 二面体 、 正 二 十 
面体 .   是 否仅 有 五 种 正 多 面 体 ? 如何 在 中  学 生 的理 解 范 围 内进 行 证 明? 翻 阅 文献 
发 现 . 对 于 这 个 问 题 的 证 明 方 法 主 要 
图1  

正 多面体 的每个顶点 连接5 个 正 三  角形 ( 如 图6 ) . 每个 顶 点 引出5 条棱 , 即 
m= 5 . 5 o t = 3 O 0 。 < 3 6 0 。 时. 可用 2 0 个 正  角  

形 组 拼 m 正 二十 面体 ( 如 图7 ) ;  

1 .每 个 顶 点 连 接 三 个 正 三 角 形 的 
组 拼 方式 

正 多面体 的每个顶点 连接3 个 正 三  角形( 如图2 ) , 正 三角 彤 内角 6 0 。 , 每 个 顶 
点 引 出3 条棱 ,  ̄ P m= 3 , 3 o l = 1 8 O 。 < 3 6 0 。 时,  

有: 欧拉 公式法 、 三 角 函数 法 、 代 数 法 等 

等 .本 文 通 过 折 叠 正 多 边 形 探 索 组 拼 正  多 面体 的 方 式 , 进 而说 明 存 在 且 仅 存 在 
五 种 正 多 面 体.为 了便 于 说 明 ,正 多边  形 的一 个 内 角记 为 a.正 多 面 体 的 一 个  顶 点 出发 引 出的 棱 数 记 为 

可 用4 个正_ 二角 形 组 拼 } H正 四 面 体 ( 如 
图3) :  

图6  

图7  

4.每 个 顶 点 连 接 六 个 正 三 角 形 的  组 拼方 式 

正多面体 的每个顶点 连接6 个 正 三 

角形 ( 如 图8 ) , 每个 顶点 引 出6 条棱 , 即  

,   折正 三 角形 组拼正 多面体 
通过 折叠 , 折 出 三 边 都 有 口袋 的 正  三角形作 为基本材 料 . 将 正 三 角形 相 互 
图2   圈3  

m= 6 . 6  ̄ = 3 6 0 。 .此 时 正 三角 形 完 成 连 接  成 一个 平 面 , 不能组拼} t i 正 多面 体 .  

2 .每 个 顶 点 连 接 四 个 正 三 角 形 的 
组 拼 方 式 

连 接 ,组 拼 成 正 多 面 体.为 了 连 接 正 三  角形 , 需 要 折 叠 出 相 应 的 连 接 材 料 并 使 

正 多面体 的每个顶点连 接4 个 正 三 

其边 长与 正 三角 形边 长相 等 ( 例 如 菱 
形 ) .组 拼 过 程 中将 菱 形 的 一 边 插 入 一 
个 正 三 角 形 的 口袋 内 . 另 一 边 插 人 第 二 

角 形( 如 图4) , 每个 顶 点引 出4 条棱 , 即 
m = 4 .   = 2 4 0 。 < 3 6 0 。 时 ,可 用 8 个正 l _ 二角  
图8  

彤 组 拼 出正 八 面 体 ( 如 图5) :  

个 正 三 角 形 的 口袋 内 . 正 三 角 形 的 其 他 
边 也通过连接材 料用相 同方法连 接 , 直 

同 理 当用7 个、 8 个、 9 个、 l O 个 … … 
正三角形进 行组拼 . 每 个 顶 点 连 接 的 正 

到 组 拼 出 正 多 面体 . 如图1 .  
事 实上 . 两 个 面 或 者 是 三 个 面 无 论 

多边 形 数 大 于 等 于 6 个 。 即m≥6 , r r t  ̄ t ≥  
3 6 0 o .均 不 能 组 拼 出正 多 面体 .综 上 所 

如何 都不能构成 立体 图形 , 构 成 立 体 图 
形 至少 需 要 4 个 面.  
图4   图5  

述, 用 正 三角形组 拼 正多 面体 , 必 须 满 
足 从 每 个 顶 点 出 发 的 棱 数3 ≤m≤6 .  

57  

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因此 . 正 三 角 形 能 组 拼 的 正 多 面 体  只有 : 正 四 面体 、 正八面体 、 正 二 十 面 体.   当 正 多 面 体 的 每 个 顶 点 连 接4 个 正  十 二 面 体一 种 几 何 体 :   当正多边形 边数增 大时 , 例 如 正 六 
边形 、 正 七 边形 、 正八 边 形 、 正 九 边 形 
… …

五边形 , 从 每 个 顶 点 出发 引 出4 条棱 , 当  
m= 4 . 4 o  ̄ = 4 3 2 o >3 I 6 0 o 时 ,不 能 构 成 正 多 

折 正方 形组拼 正 多面体 
正 方 形 的 内角0  ̄ = 9 0 . o , 正 多面 体 的每  个顶点连接3 个 正 方 形 ,每 个 顶 点 引 出3   条棱 , 即 m= 3 , 3 0 t = 2 7 0 。 < 3 6 0 。 时, 可 以 组 

面 体 .同 理 , 当m> 4 时, 正 五 边 形 不 能 构 
成 正 多 面 体.所 以 用 正 五 边 形 组 拼 正 多 

任 意方 式 均 不 能 构 成 正 多 面 体.   综上所述 . 柏 拉 图 多 面 体 有 且 只有 

面 体 只有 一 个 顶 点 连 接 3 个 正 五 边 形 的 
情况 . 即 用 正 五 边 形 有 且 只 能 构 造 出正 
十 二 面 体.  

5 种。 分 别 为 正 四 面体 、 正六 面体 、 正 八 
面体 、 正 十二 面 体 、 正 二 十 面体 .   本 文 用 折 纸 探 索 了 正 多 边 形 组 拼 

拼 出正六 面 体 ( 如图9 ) , 共 需 正方 形 6 个;  

柏 拉 图 多 面 体 的方 法 , 同 时 说 明 了 只 存 

小结 
由正 多边 形 的 内角 公式  兰 
n 

在正四面体 、 正六面体 、 正八 面体 、 正 十  二面体 、正二 十面体这 五种正 多面体.  

这 类 探 索 实 验 可 以作 为 数 学 探 究 性 学 
习 的素材 , 学 生在 组拼 过程 中 , 通 过 折  纸操 作 。 感受 、 体 验 和 理 解 数 学 概 念 和  定 理 的形 成 过 程 . 培 养 和 提 高 学 生 的数  学思维能力 、 空 间认 知 能 力 和 折 叠 操 作 
能 力.  

可知 , 当边 数 / 7 , 不 断增大时 , 内角 也 随 之 
圈9  

增 大 .构 成 正 多 面 体 的一 个 条 件 是 , 正  多面体的每个顶 点至少连接3 个 正 多 边 

当正多面体 的每个顶点连接4 个 正  方形 , 从 每 个 顶 点 出发 引 出4 条棱 , l  ̄ P m=   4 , 4 ( x = 3 6 0 。 时, 四个 面 完 全 连 接 成 平 面 ;   同理 , 当m> 4 时, 正 方 形 不 能 组 拼 出 正 多  面 体.所 以 用 正 方 形 组 拼 正 多 面 体 只 有 


形.而 由 实验 发 现 。当 正 多 边 形 的 边 数 
为6 时.  = l 2 0 o 。 3 o t = 3 6 0 。 将不 能 构造 出   正 多 面 体 .同 理 ,当 正 多 边 形 的 边 数 大  于6 时. 也 不 能 构造 出正 多 面 体 .  

本 文 仅 探 索 了 用 正 多 边 形 组 拼 柏  拉 图 多 面 体 的方 法 。 事 实上 , 利 用 折 纸 

个 顶 点 连 接3 个 正 方 形 的情 况 。 即用 
正 多 边 形 

表1   正 多边 形 与 正 多 面 体 边 数 、 棱数、 点数 的关 系 

正 方 形 只 能 组拼 出正 六 面 体.  

从 每个 顶 点 

每个 顶 点连 接  

正 多 面体 的  正 多 面 体 

正 多 面 体 

( 边数 )  

出发的棱数 y n ,   的正多边形数 
3   3   3   4   5   3   3   3   4   5  

总顶点数 
4   8   2 0   6   1 2  

的总棱数 
6   1 2   3 0   1 2   3 0   正 四 面体  正 六 面体   正 十二 面体  正 八 面 体  正二十面体 

⑧ 折正五边形组拼正多面体 
正 五 边形 的 内角 为 o t = 1 0 8 。 .正 多 面 

正三角形 ( 3 )   正方 形 ( 4 )   正五角形 ( 5 )   正三角形 ( 3 )   正三 角 形 ( 3 )  

体 的 每 个顶 点 连 接 3 个正 五 边 形 , 每个 顶  点 出发 引 出3 条 棱 . 即 m= 3 , 3 o r = 3 2 4 。 <   3 6 0 。 时 .可 用 1 2 个 正 五 边 形 组 拼 出正 十  二面体 :  

利用 正三角形 组拼 . 只 能 构 造 出 正  四面体 、 正八 面体 、 正 二 十 面 体 三 种 几 

还 可 以探 索 多 边 形 面 积 , 理 解 分 数 的 意 

义. 构 造几何 模型 等 , 全 国 各 地 的 高 考 
数 学 试 题 中也 常 有 折 纸 问题 出现 .在 数  学 课 堂 教 学 中 。如 果 结 合 折 纸 模 型 , 能  够 增 强 学 生 的 兴 趣 。提 高 课 堂 效 率 , 达  到 寓 教 于 乐 的 效果 .  

何体 :  
利 用正方形 组拼 , 只 能 构 造 出 正 六 

面 体一 种 几 何 体 ;  
图1 0  

利 用正五边 形组拼 . 只 能 构 造 出正 

( 上接第 3 8页 )   计 的 问题 应 当 是 封 闭性 的 。倘 若 所 讲 授  的 内容 属 于 抽 象 理念 、概 念 或 者 是 模 式  等, 那 么 所 设 计 的 问题 应 当 是 开 放性 的.   其次 , 层 次分 明.不 论 是 串联 结 构 , 或 者  是 并联 结 构 , 运用 “ 问题串” 展开教学 。 从  本 质 上 而言 就 是 指 导 学 生 带着 问题 去 学  习, 且 实 现 由 浅人 深 、 由表 及 里 的知 识 体  系 的 构 建 .因 此 , 设计 “ 问 题 串” 时, 应 该 

是上一个问题的补充 、 完 善.如 此 这 般 .   方 能 使 各 个 问题 作 为 学 生 思 维 的 阶梯 ,   让 学生 在 确 切 的 知 识 体 系 内 ,在 相 互 关  联 的前 提之 下 , 掌握 数学 知识 , 提 升 思 维 

设 计 出来 的 “ 问题 串” 。 方 能 帮 助 学 生 更 

好 地 掌 握 教材 中 的 内容 ,方 能 促 使 学 生 
的综 合 学 习 能力 得 到 提 升.  

水 平.最 后 , “ 问题 串 ” 的设计 , 必 须 与 学  生 的实 际 水 平 相 符 , 尤其是难易程度上.  
倘 若 问题 设 计 得 太 难 。那 么 学 生 往 往 会  觉 得 无从 人 手 , 进 而 有 一 种挫 败 感 ; 而 太 

结 束语 
总而 言之 . 不论 是 在高 中数学 课 堂教 
学 中 的哪 一 个 方 面 、 哪 些 内容 , 都 可 以运 

过简单的问题 .无法调动学生学习的热 
情 与 欲 望 .因 此 ,这 就 要 求 教 师 在设 计  “ 问题 串” 时, 应 当 依 据 实 际 的教 学 内容 .   且 结 合 学 生 的实 际 学 习水 平 .只 有 这 样 

用到 “ 问题 串 ” 教学 , 通过 “ 问题 串” 教学, 能  够有 效 激发 学 生学 习 的积 极性 与 主动 性 ,   能够 对 学生 的综 合 思 维能 力进 行 培 养 。 能  够在一 定程 度上 提高 教学 的有效 性.  

依 据 教 学 目标 ,将 数 学 教 学 内 容设 计 为 


个个 相互 联 系 的问 题 ,且保 证上 一 个 

问 题是 后 一 个 问 题 的 前 提 .下一 个 问题 


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