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2013届高考数学二轮复习讲案:参数方程和极坐标方程


2013 届高考数学二轮复习讲案:参数方程和极坐标方程 【三年真题重温】
1.【2011 新课标全国理,23】选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos ? ( ? 为参数) , ? y ? 2 ? 2sin ?

??? ? ???? ? M 是 C1 上的动点, P 点满足 OP ? 2OM , P 点的轨迹为曲线 C2 .
(Ⅰ)当求 C2 的方程; (Ⅱ)在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 的交点为 A ,与 C2 的异于极点的交点为 B ,求 AB .

?
3

与 C1 的异于极点

2.【2010 新课标全国理,23】选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 C1 ? (Ⅰ)当 ? =

? x ? 1 ? t cos ? ? x ? cos ? (t 为参数) 2 ? ,C ( ? 为参数) , ? y ? t sin ? ? y ? sin ?

?
3

时,求 C1 与 C2 的交点坐标;

(Ⅱ)过坐标原点 O 做 C1 的垂线,垂足为,P 为 OA 中点,当 ? 变化时,求 P 点的轨迹的参 数方程,并指出它是什么曲线。

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【2012 新课标全国理,23】坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程是 ?

?x ? 2cos? (?为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴 ? y ? 3sin?

为极轴建立坐标系,曲线 C 2 的坐标系方程是 ? ? 2 ,正方形 ABCD 的顶点都在 C 2 上, 且 A, B, C , D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 (2, (1)求点 A, B, C , D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求 PA ? PB ? PC ? PD 的取值范围。
2 2 2 2

?
3

)

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【命题意图猜想】
2011 年高考考查了参数方程和极坐标的题目,可化为普通方程求解,涉及到直线和圆的参 数方程;2010 年高考主要考查直线与圆的参数方程,参数方程与普通方程的互化,利用参 数方程研究轨迹问题的能力.2012 年高考主要考查直角坐标系与极坐标系之间的互化,以椭 圆的参数方程为背景,意在考查考生利用坐标之间的转化求解。预测 2013 年高考对直线与 圆的参数方程的考查还会继续加强.

【最新考纲解读】
1.坐标系 (1)回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法,体会坐标系的作用. (2)通过具体例子,了解在平面直角坐标系中伸缩变换作用下平面图形的变化情况. (3)能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的 位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化. (4)能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通 过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程, 体会在用方程刻画平面图形时选择 适当坐标系的意义. (5)借助具体实例(如圆形体育场看台的座位、地球的经纬度等)了解在柱坐标系、球坐标系 中刻画空间中点的位置的方法, 并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较, 体会它 们的区别. 2.参数方程 (1)通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系,写出抛物线运动轨迹的参数方程,体 会参数的意义. (2)分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质,选择恰当的参数写出它们的参数方程. (3)举例说明某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便,感受参数方程的优越性.

【回归课本整合】
1.极坐标和直角坐标的互化公式
?x=ρcosθ ? 若点 M 的极坐标为(ρ,θ),直角坐标为(x,y),则? ? ?y=ρsinθ

?ρ =x +y ? ? .求曲线的极坐 y ?tanθ=x,x≠0 ?

2

2

2

标方程 f(ρ,θ)=0 的步骤与求曲线的直角坐标方程步骤完全相同.特别注意的是求极坐标方 程时,常常要解一个三角形. (4)极坐标方程 ρ=ρ(θ)表示的平面图形的对称性: 若 ρ(-θ)=ρ(θ),则图形关于极轴对称;
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π 若 ρ(π-θ)=ρ(θ),则图形关于射线 θ= 对称; 2 若 ρ(π+θ)=ρ(θ),则图形关于极点对称. 2.特殊的常见曲线(包括直线)的极坐标方程 ①圆心在极轴上点 C(a,0),过极点的圆方程 ρ=2acosθ. ②圆心在极点、半径为 r 的圆的极坐标方程 ρ=r. π ③圆心在?a,2?处且过极点的圆方程为 ρ=2asinθ(0≤θ≤π). ? ? ④过极点倾角为 α 的直线的极坐标方程为: θ=α 或 θ=π+α. ⑤过 A(a,0)(a>0)与极轴垂直的直线 ρcosθ=a. π ⑥过 A?a,2?(a>0)与极轴平行的直线 ρsinθ=a. ? ? 3.参数方程的概念
?x=f(t) ? 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x、y 都是某个变数 t 的函数? (*), ? ?y=g(t)

并且对于 t 的每一个允许值,由方程组(*)所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,而这条曲线 上任一点 M(x,y)都可以通过(*)式得到,则方程组(*)就叫做这条曲线的参数方程,变数 t 叫 做参数这时,参数 t 的几何意义是:以直线 l 上点 M(x0,y0)为起点,任意一点 N(x,y)为终 点的有向线段的数量为 MN 且|t|=|MN|. 4.圆的参数方程
?x=rcosθ ? (1)圆心在原点、半径为 r 的圆的参数方程为? (θ 为参数); ?y=rsinθ ? ?x=a+rcosθ ? (2)圆心为 C(a,b),半径为 r 的圆的参数方程为? (θ 为参数). ? ?y=b+rsinθ

5.参数方程和普通方程的互化 (1)化参数方程为普通方程:消去参数.常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等 式(三角的或代数的)消去法. (2)化普通方程为参数方程:引入参数,即选定合适的参数 t,先确定一个关系 x=f(t)〔或 y =φ(t)〕 ,再代入普通方程 F(x,y)=0,求得另一关系 y=φ(t)〔或 x=f(t)〕 .

【方法技巧提炼】
1.极坐标与直角坐标的互化
(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件:①极点与原点重合;②极轴与 x 轴正向重合;③取 相同的单位长度. (2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易,只要运用公式 x=ρcosθ 及 y=ρsinθ 直接代入并 化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解此类问题常通过变形,构造 形如 ρcosθ,ρsinθ,ρ2 的形式,进行整体代换.

2.求曲线的极坐标方程
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求曲线的极坐标方程的步骤:(1)建立适当的极坐标系,设 P(ρ,θ)是曲线上任意一点;(2) 由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径 ρ 和极角 θ 之间的关系式;(3)将 列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程.

3.参数方程与普通方程的互化
在求出曲线的参数方程后,通常利用消参法得出普通方程.一般地,消参数经常采用的是代 入法和三角公式法,但将曲线的参数方程化为普通方程,不只是把其中的参数消去,还要注 意 x,y 的取值范围在消参前后应该是一致的,也就是说,要使得参数方程与普通方程等价, 即它们二者要表示同一曲线.

4.直线的参数方程及应用
根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义,有如下常用结论: (1)直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为 t1,t2,则弦长 l=|t1-t2|; (2)定点 M0 是弦 M1M2 的中点?t1+t2=0; (3)设弦 M1M2 中点为 M,则点 M 对应的 t1+t2 参数值 tM= 2 (由此可求|M1M2|及中点坐标).

5.圆与圆锥曲线的参数方程及应用
解决与圆、 圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时, 要注意普通方程与参数方程的互化公式, 主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题,如最值、范围等.

【考场经验分享】
1.在极坐标系中,如无特别说明时,ρ≥0,θ∈R;点的极坐标不惟一,若规定 ρ≥0,0≤θ<2π, 则极坐标系中的点与点的极坐标形成一一对应关系(极点除外); 曲线上的点的极坐标不一定满足曲线的极坐标方程,但曲线上一点 P 的无数个极坐标中必 有一个适合曲线的极坐标方程. 2.极坐标方程 θ=θ1 表示一条射线并非直线,只有当允许 ρ<0 时,θ=θ1 才表示一条直线. ?x=x0+at ? 3.只有在 a2+b2=1 时,直线? (t 为参数)中的参数 t 才表示由 M(x0,y0)指向 N(x, ? ?y=y0+bt y)的有向线段的数量,而在 a2+b2≠1 时,|MN|= a2+b2· t. 4.消参后应将原参数的取值范围相应地转化为变量 x(或 y)的取值范围.

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