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对2013年福建省高考数学20题的综合论述


对 2013 年福建省高考数学 20 题的综合论述
王欣

2013 年福建高考数学试题第 20 题,继承了以往福建试卷的特点。该试题不 仅考查了高中数学的基础知识:同角三角函数的基本关系,三角恒等变换,三角 函数的图像与性质;不等式;函数,函数的导数,函数的零点.而且考查了的数 学思想与能力:函数与方程思想;数形结合思想;分类与整合思想;化归与转化

思想;运算求解能力,抽象概括能力。 这种“知识的交叉处命题”有新的突破,且没有片面追求知识及基本思想、 方法的覆盖面,反映了新课程的理念,试卷注重对常规数学思想方法以及通性、通 法的考查,注重认识能力的考查,注重创新意识,稳中求新,新中求活,活中凸显 能力。

一、 注重基础知识的考查 考查了最核心、最基础的知识,基本围绕,基础知识、基本能力、基本数学思想 方法进行考查。例如:由函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 的周期为 ? , ? ? 0 ,得 ? ? 2 。

? 又曲线 y ? f ( x) 的一个对称中心为 ( , 0) , ? ? (0, ? ) 4 ? ? ? 故 f ( ) ? sin(2 ? ? ? ) ? 0 ,得 ? ? ,从而求得 f ( x) ? cos 2 x 。以及三角函数的 2 4 4
经过平移变换后的函数。对函数 G( x) ? sin x ? sin x cos 2 x ? 2cos 2 x 求导数得
G?( x) ? cos x ? cos x cos 2 x ? 2sin 2 x(2 ? sin x) 。还有对函数 G ( x) 零点个数的讨论。

二、注重思维,深化能力

? ? 例如:将题中第二个问题是否存在 x0 ? ( , ) ,使得 f ( x0 ), g ( x0 ), f ( x0 ) g ( x0 ) 按照 6 4 ? ? x 某种顺序成等差数列转化为方程 2 cos 2x ? sinx ? sinx cos 2在 ( , ) 内是否有 6 4 解。再将方程 2 cos 2 x ? sin x ? sin x cos 2 x 转化为 ? ? 函数 G( x) ? sin x ? sin x cos 2 x ? 2cos 2 x , x ? ( , ) 问题:求实数 a 与正整数 n , 6 4
使得 F ( x) ? f ( x) ? ag ( x) 在 (0, n? ) 内恰有 2013 个零点转化为研究直线 y ? a 与曲 线 y ? h( x) 在 x ? (0, ? ) U (? , 2? ) 的交点情况 三、稳中求变,变中求新

对于 20 题每年考查的知识点大致相同,但是也在发生一定的变化。 下面是 10,11,12,13 这四年的第 20 题 (2013 年)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的周期为 ? ,图像的一个

? 对称中心为 ( , 0) ,将函数 f ( x) 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的 2 4 ? 倍(纵坐标不变) ,在将所得图像向右平移 个单位长度后得到函数 g ( x) 的 2 图像.
(1)求函数 f ( x) 与 g ( x) 的解析式;

? ? (2)是否存在 x0 ? ( , ) ,使得 f ( x0 ), g ( x0 ), f ( x0 ) g ( x0 ) 按照某种顺序成等差数 6 4
列?若存在,请确定 x0 的个数;若不存在,说明理由. (3) 求实数 a 与正整数 n , 使得 F ( x) ? f ( x) ? ag ( x) 在 (0, n? ) 内恰有 2013 个零点. (2012)已知函数 f ( x) ? e x ? ax2 ? ex, a ? R (Ⅰ)若曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x 轴,求函数 f (x ) 的单 调区间; (Ⅱ)试确定 a 的取值范围,使得曲线 y ? f (x) 上存在唯一的点 P ,曲线在 该点处的切线与曲线只有一个公共点 P 。 (2010) (Ⅰ)已知函数 f (x)=x 3 -x , 其图象记为曲线C 。 (i)求函数 f (x) 的单调区间; (ii)证明:若对于任意非零实数 x1 ,曲线 C 与其在点 P1 (x1,f(x1 )) 处的切线交于 另一点

P2 (x 2 ,f(x 2 )) ,曲线 C 与其在点 P2 (x 2 ,f(x 2 )) 处的切线交于另一点 P3 (x3 ,f(x3 )) ,线段
P1P2 ,P2 P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1 ,S2 ,则 S1 为定值; S2

(Ⅱ)对于一般的三次函数 g(x)=ax3 +bx 2 +cx+d(a ? 0),请给出类似于 (Ⅰ) (ii) 的正确命题,并予以证明。 经过归纳总结可以得到下面是近四年福建高考试题 20 题考点分析表格 基础知识 2010 年 2011 年 2012 年 2013 年 函数 √ √

函数的导数 导数的应用 函数的零点 一元二次函数 定积分 不等式 同角三角函数的基本关系 三角恒等变换 三角函数的图像与性质



√ √ √ √





√ √ √ √ √

直线与直线, 直线与平面, 平 √ 面与平面位置关系 下面是近四年福建高考试题 20 题考查能力分析表格 数 学 能 力 与 2010 年 2011 年 2012 年 思想 运 算 求 解 能√ √ √ 力 推 理 论 证 能√ √ √ 力 空间想象能 √ 力 抽 象 概 括 能√ √ √ 力 化 归 与 转 化√ √ √ 思想 函 数 与 方 程√ √ 思想 数 形 结 合 思√ √ √ 想 分类与整合 √ 思想 特殊与一般 √ 有限与无限 思想 √

2013 年 √

√ √ √ √ √

总之, 研读高考试题, 分析命题规律不仅仅是为了在来年的高考中取得优秀成绩, 更重要的是了解命题人员如何用试题来诠释新课程标准, 充分发挥高考的导向作 用,更好地进行新课改试验。


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