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2.4.2等比数列性质


2.4.2等比数列性质

温故知新: 一般地,如果一个数列从第2项起, 每一项与前一项的比等于同一个常数,那 么这个数列就叫做等比数列.
注意:
1. ?an ? 是等比数列

?

an ?1 ? q (n ? N * ) (q为非零常数) an

2. 隐含:任一项 an ? 0且q ? 0 3. q= 1时, ?a ? 为常数列。
n

等比数列性质 若数列{an}是公比为q的等比数列,则:
(1)an=amqn-m(n,m∈N*).

(2)当n+m=p+q(n,m,p,q∈N*)时,有anam=apaq (3)数列{λ an}(λ 为不等于零的常数)仍是 公比为q的等比数列. (4)若{bn}是公比为q′的等比数列,则数 列{an? bn } 是公比为qq′的等比数列.

(5)在{an}中,每隔k(k∈N*)项取出一项, 按原来顺序排列,所得的新数列仍为等比 数列,且公比为qk+1. (6)等比数列的增减性:
1. 当q>1, a1>0或0<q<1, a1<0时, {an}是递增数列; 2. 当q>1, a1<0,或0<q<1, a1>0时, {an}是递减数列; 3. 当q=1时, {an}是常数列; 4. 当q<0时, {an}是摆动数列.

1、已知{an}是等比数列,an>0且 a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值 等于( ) A.5 B.10 C.15 D.20

2.某商品价格前两年平均每年递增20%, 后两年平均每年递减20%,则四年后的价

格与原价格相比变化情况是( D )
(A)增加7.84% (C)减少9.5% (B)不变 (D)减少7.84%

3.设Sn是数列{an}的前n项和,且
log3Sn=n (n=1,2,3,……),那么数列 {an}是( D )

(A)公比为3的等比数列
(B)公差为3的等差数列

1 (C)公比为 的等比数列 3

(D)既不是等差数列,也不是等比数列

4.已知三角形的三边成等比数列,则公 比q的取值范围是( C )
5 ?1 (A) ? q ≤1 2 5 ?1 (B)1 ≤ q ? 2

( C)

5 ?1 5 ?1 ?q? 2 2

5 ? 1 5 ? 1 ( D) 0?q? 或1 ≤ q ? 2 2

5、数列{an}的前n项和为Sn

已知a1 ? 1, a n ?1

n?2 * ? ? Sn (n ? N ). n

Sn (1)证明数列 { } 是等比数列; n
(2)求数列{an}的通项公式。

6.已知 a,b,c,x,y,z 都是不等于 1 的正数, 1 1 1 x y z 且 a =b =c ,如果 , , 成等差数列,求 x y z 证:a,b,c 成等比数列.
?b?x x-y 证明:证法一:∵a =b ,∴?a? =b . ? ?
x y

b x-y y y 1 1 ∴a=b x =b1-x=(b )y -x. c y z y 1 1 同理∵b =c ,∴b=(b ) z -y .


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