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高二数学选修2-3模块期末试卷与答案


高二数学选修 2-3 模块综合(4)
1.满足 a, b ? ??1, 0,1, 2? ,且关于 x 的方程 ax 2 ? 2 x ? b ? 0 有实数解的有序数对 (a, b) 的 个数为( B A.14 ) B.13 C.12 D.10 )

2.某公共汽车上有 10 名乘客,沿途有 5 个车站,乘客下车的可能方式(

A. 5 种

10

B. 10 种

5

C.50 种

D.10 种

3.在 100 件产品中有 6 件次品,现从中任取 3 件产品,至少有 1 件次品的不同取法 的种数是 ( ) (A) C6C94
1 2
2 (B)C 6 C 99

1

3 (C)C 100 -C 3 94

3 (D)A 100 -A 3 94

4. 用五种不同的颜色,给图 2 中的(1) (3) (2) (4)的各部分涂色,每部分涂 一种颜色,相邻部分涂不同颜色,则涂色的方法共有 种。240

5.从 6 名志愿者中选出 4 人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作, 若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作,则选派方案共有( )
A.96 种 B.180 种 C.240 种 D.280 种

6.如图,某城市中,M、N 两地有整齐的道路网,若规定只能向东或向北两个方向沿途中 路线前进,则从 M 到 N 不同的走 法共有( B ) A.25 B.15 C.13 D.10[来源:学

7.要在如图所示的花圃中的 5 个区域中种入 4 种颜色不同的花,要求相邻区域不同色,有 ________种不同的种法(用数字作答). [解析] 5 有 4 种种法,1 有 3 种种法,4 有 2 种种法.若 1、3 同色,2 有 2 种种法,若 1、 3 不同色,2 有 1 种种法,∴有 4×3×2×(1×2+1×1)=72 种.

x 3x 8.已知 C10 = C10 -2 ,则 x ? __________.13、1 或 3

9. 80 100 除以 9 所得余数是:A A. 0 B.8 C.-1 D.1

1? ? 3 10.设 ? 3 x ? ? 的展开式的各项系数的和为 P,所有二项式系数的和为 S,若 P+S=272, x? ?

n

则 n 为( A ) A.4 B.5
3 4

C.6
50

D.8
3

11. (1 ? x) ? (1 ? x) ? ??? ? (1 ? x) 展开式中, x 的系数是( C A. C51
3

) .

B. C50

4

C. C51

4

D. C47 .

4

12(x2+1) (x-2)7 的展开式中 x3 项的系数是

1 n 3 13、已知(x + 2 ) 展开式中有第六项的二项式系数最大,求:(1)展开式中不含 x 项; x 1 1 1 2 1 3 1 n 0 n (2)C n- C n+ C n- C n+?+(-1) · n C n 的值. 8 2 4 2 1 答案.(1)210,(2) 1024 1 14(2013 福建) .当 x ? R, x ? 1 时,有如下表达式: 1 ? x ? x 2 ? ... ? x n ? ... ? . 1? x
两边同时积分得:

?

1 2 0

1dx ? ? xdx ? ? x dx ? ... ? ? x dx ? ... ? ?
2 n

1 2 0

1 2 0

1 2 0

1 2 0

1 dx. 1? x

从而得到如下等式: 1?

1 1 1 2 1 1 3 1 1 ? ? ( ) ? ? ( ) ? ... ? ? ( ) n?1 ? ... ? ln 2. 2 2 2 3 2 n ?1 2

请根据以下材料所蕴含的数学思想方法,计算:

1 1 1 1 1 2 1 1 1 n?1 n ? ? C n ? ( )2 ? C n ? ( )3 ? ... ? C n ? ( 2 ) ? _____ 2 2 2 3 2 n ?1 1 3 【答案】 [( )n ?1 ? 1] n ?1 2

C

0

n

0 1 2 n 【解析】由 Cn 1 ? Cn x ? Cn x 2 ? ... ? Cn x n ? ... ? (1 ? x ) n

两边同时积分得:

? C 1dx ? ? C xdx ? ? C x dx ? ... ? ? C x dx ? ... ? ? (1 ? x) dx.
2 n n n n n n

1 2 0

1 2 0

1 2 0

1 2 0

1 2 0

从而得到如下等式:

1 1 1 1 1 2 1 1 1 n?1 1 3 n?1 n ? ? C n ? ( )2 ? C n ? ( )3 ? ... ? C n ? ( 2 ) ? n ?1[( 2 ) ?1] 2 2 2 3 2 n ?1 15:设某种动物由出生算起活到 10 岁的概率为 0.9,活到 15 岁的概率为 0.6。现

C

0

n

有一个 10 岁的这种动物,它能活到 15 岁的概率是

2 。13. 3

16. 随机变量 ? 服从二项分布 ? ~ B ?n, p ? , E? ? 300, D? ? 200, 则 p 等于 B 且 ( A.
2 3



B.

1 3

C. 1

D. 0

17.有 4 台设备,每台正常工作的概率均为 0.9,则 4 台中有 2 台能正常工作的 概率为 . (用小数作答)

18.有三种产品,合格率分别为 1/2,2/3,3/4,各抽取一件进行检验。求: (1)恰有一件不合格的概率; (2)至少有一件不合格的概率。

19.设随机变量 X ~N(2,4) ,则 D( X)的值等于 ( A.1 B.2 C. 1
2

1 2

A

)

D.4

20 . 已 知 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 N (0,? 2 ) 且 P(?2 ≤ X ≤ 0) ? 0.4 则
P( X ? 2) ?

.0.1

21. (本题 12 分) 灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为 X,已知 X~N(1000,302) 。 要使灯泡的平均寿命为 1000 小时的概率为 99.7%,问灯泡的最低寿命应控制在 多少小时以上?新课标第一网 21. 解: 因为灯泡的使用寿命 X~N (1000, 2) 故 X 在 30 , (1000-3×30, 1000+3 ×30)的概率为 99.7%,即 X 在(910,1090)内取值的概率为 99.7%,所以灯 泡的最低使用寿命应控制在 910 小时以上。 22.若 p 为非负实数,随机变量ξ 的分布为 ξ 0
1 - 2

1 p

2
1 2
3 .22、 ;1 2

P 则 Eξ 的最大值为 23.(本小题满分 16 分)

p ,Dξ 的最大值为

已知某类型的高射炮在它们控制的区域内击中具有某种速度敌机的概率为
1 . 5

(Ⅰ) 假定有 5 门这种高射炮控制某个区域,求敌机进入这个区域后被击中 的概率; (Ⅱ)要使敌机一旦进入这个区域内有 90%以上的概率被击中,至少需要布 置几门这类高射炮?(参考数据 lg 2 ? 0.301, lg3 ? 0.4771 ) 23.解(Ⅰ)设敌机被各炮击中的事件分别记为 A1、A2、A3、A4、A5,那么 5 门

炮都未击中敌机的事件为 C ? A1 ? A2 ? A3 ? A4 ? A5 , 因各炮射击的结果是相互独 立的,所以
P(C ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? P( A4 ) ? P( A5 ) ? [ P( A)]5

? 1? ?4? ? [1 ? P( A)] ? ?1 ? ? ? ? ? ? 5? ? 5?
5

5

5

2101 ?4? 因此敌机被击中的概率为 P(C ) ? 1 ? P(C ) ? 1 ? ? ? ? . ? 5 ? 3125

5

(Ⅱ)设至少需要置 n 门高射炮才能有 90%以上的概率击中敌机,由①可知
9 1 ?4? ?4? 1? ? ? ? ,即 ? ? ? , ? 5 ? 10 ? 5 ? 10
n n

两边取常用对数,得 n ? ∴n≥11.

1 1 ? ? 10.3 , 1 ? 3 lg 2 1 ? 3 ? 0.3010

即至少需要布置 11 门高射炮才能有 90%以上的概率击中敌机. 24.(本小题满分 16 分) 某射击运动员射击一次所得环数 X 的分布列如下: X P 0~6 0 7 0.2 8 0.3 9 0.3 10 0.2

现进行两次射击,以该运动员两次射击所得的最高环数作为他的成绩,记为 ? . (1)求该运动员两次都命中 7 环的概率. (2)求 ? 的分布列及数学期望 E ? .

24.解: (1) 设“该运动员两次都命中 7 环”为事件 A,因为该运 动员在两次射击中,第一次射中 7 环,第二次也射中 7 环,故所 求的概率 P(A)=0.2×0.2=0.04 (2) ? 可取 7、8、9、10
P(? ? 7) ? 0.04

P(? ? 8) ? 2 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.32 ? 0.21 P(? ? 9) ? 2 ? 0.2 ? 0.3 ? 2 ? 0.3 ? 0.3 ? 0.32 ? 0.39

P(? ? 10) ? 1 ? P(? ? 7) ? P(? ? 8) ? P(? ? 9) ? 0.36
故 ? 的分布列为 12999.com

?

7
0.04

8
0.21

9
0.39

10
0.36

P

E ? ? 9.07

高二数学选修 2-3 模块综合(5)
以下公式或数据供参考:①独立性检验临界值表
概率 K0 ②K ?
2

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

; ③若 X~N ? , ?

?

2

? ,则 P(? ? ? ? X ? u ? ? ) ? 0.6826 ,


? ? P(? ? 2? ? X ? u ? 2? ) ? 0.9544 , P(? ? 3? ? X ? u ? 3? ) ? 0.9974 ; ④ a ? y ? bx

? b?

? x y ? nxy
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2 i

? nx 2

1.在下边的列联表中,类Ⅰ中类 B 所占的比例为 ( A ) Ⅱ Ⅰ 类A 类B 类1 a c 类2 b d

c c b b B. C. D. a?c c?d a?b b?c 2.对于线性相关系数 r,下列说法正确的是( C A.



A.|r| ? (0,??) ,|r|越大,相关程度越大;反之相关程度越小 B.|r| ? (??,??) ,|r|越大,相关程度越大;反之相关程度越小 C.|r| ? 1 ,且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越接近于 0,相关程度越小 D.以上说法都不正确 3.分类变量 X 和 Y 的列联表如下,则( C ) A. ad ? bc 越小,说明 X 与 Y 的关系越弱 B. ad ? bc 越大,说明 X 与 Y 的关系越强
2 C. (ad ? bc) 越大,说明 X 与 Y 的关系越强 2 D. (ad ? bc) 越接近于 0 ,说明 X 与 Y 关系越强

Y1 X1 a X2 c 合计 a+c

Y2 b d b+d

合计 a+b c+d a+b+c+d

4.在两个变量 y 与 x 的回归模型中,分别选择了 4 个不同模型,它们的相关指 数 R2 如下,其中拟合效果最好的是( B ) A.模型 1 的相关指数 R2 为 0.78 B. 模型 2 的相关指数 R2 为 0.85

C.模型 3 的相关指数 R2 为 0.61

D. 模型 4 的相关指数 R2 为 0.31
5 5

5. 在求两个变量 x 和 y 的线性回归方程过程中, 计算得 ? xi ? 25 ,? y i ? 250 ,
i ?1 i ?1

?x
i ?1

5

2 i

? 145 , ? xi y i ? 1380 ,则该回归方程是__
i ?1

5

? ___. y = 6.5x + 17.5

6.为考察某种药物预防疾病的效果,进行动物试验,调查了 105 个样本,统计 结果为:服药的共有 55 个样本,服药但患病的仍有 10 个样本,没有服药且未患 病的有 30 个样本. (1)根据所给样本数据画出 2×2 列联表; ( 2 ) 请 问 能 有 多 大 把 握 认 为 药 物 有 效 ? ( 参 考 数 据
(105 ? 36) ? (55 ? 15 ? 75) ? 0.0 6 1 ) 9 0
解: (1)依题得服药但没患病的共有 45 个样本,没有服药且患病的有 20 个样本,故可以得 到以下 2×2 列联表: 患病 服药 没服药 合计 10 20 30 不患病 45 30 75 合计 55 50 105

???????????????????6 分 (2)假设服药与患病没有关系,则 K 的观测值k应该很小,
2

而k ?

n(ad ? bc) 2 105 ? (10 ? 30 ? 45 ? 20) 2 105 ? 360000 = ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 55 ? 50 ? 30 ? 75 55 ? 50 ? 30 ? 75
???????????????????9 分 ??????12 分

? 6.109

∵6.109>5.024, 由独立性检验临界值表可以得出能有 97.5%把握认为药物有效。

7.假设关于某设备使用年限 x(年)和所支出的维修费用 y(万元)有如下统计资料: x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料知,y 对 x 呈线性相关关系,试求: (1)回归直线方程; (2)估计使用年限为 10 年时,维修费用约是多少? 7 解: (1)依题列表如下: i 1 2 3 4 xi 2 3 4 5 yi 2.2 3.8 5.5 6.5
xi yi

5 6 7.0 42.0

4.4

11.4

22.0

32.5

x ? 4, ? 5 y

? xi2 ? 90, xi yi ? 112.3 ?
i ?1 i ?1

5

5

b?

?x
i ?1 5 i ?1

5

2 i

? 5x y ? ? 5x
2

?x

2 i

112.3 ? 5 ? 4 ? 5 12.3 ? ? 1.23 . 90 ? 5 ? 42 10

a ? y ? bx ? 5 ? 1.23 ? 4 ? 0.08 . y ∴ 回归直线方程为 ? ? 1.23x ? 0.08 . y (2)当 x ? 10 时, ? ? 1.23 ? 10 ? 0.08 ? 12.38 万元.

即估计用 10 年时,维修费约为 12.38 万元 8.已知 x 与 y 之间的几组数据如下表:
x y

1 0

2 2

3 1

4 3

5 3

6 4

? ? ? 若某同学根据上表中前两组数据 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 y ? bx ? a .

(1,0) 和 (2,2) 求得的直线方程为 y ? b?x ? a? ,则以下结论正确的是( C



? ? A. b ? b?, a ? a?

? ? B. b ? b?, a ? a?

? ? C. b ? b?, a ? a?

? ? D. b ? b?, a ? a?

9. (本小题满分 13 分)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲.乙两种抽奖方案,方 案甲的中奖率为

2 2 ,中将可以获得 2 分;方案乙的中奖率为 ,中将可以得 3 分;未中奖 3 5

则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中将与否互不影响,晚会结束后凭分数兑 换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为 X , Y ,求 X ? 3 的概率; (2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累 计的得分的数学期望较大? 本小题主要考查古典概型.离散型随机变量的分布列.数学期望等基础知识,考查数 据处理能力.运算求解能 力.应用意识,考查必然和或然思想,满分 13 分. 解: (Ⅰ)由已知得:小明中奖的概率为

2 2 ,小红中奖的概率为 ,两人中奖与否互不影响, 3 5

记“这 2 人的累计得分 X ? 3 ”的事件为 A,则 A 事件的对立事件为“ X ? 5 ”,

? P( X ? 5) ?

2 2 4 11 ? ? ,? P( A) ? 1 ? P( X ? 5) ? 15 3 5 15
11 . 15

?这两人的累计得分 X ? 3 的概率为

(Ⅱ)设小明.小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为 X 1 ,都选择方案乙抽奖中奖的次数为

X 2 ,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 E (2 X 1 ) ,选择方案乙抽奖累计得分
的数学期望为 E (3 X 2 ) 由已知: X 1 ~ B (2, ) , X 2 ~ B (2, ) ? E ( X 1 ) ? 2 ?

2 3

2 5

2 4 2 4 ? , E( X 2 ) ? 2 ? ? 3 3 5 5

8 12 ? E (2 X 1 ) ? 2 E ( X 1 ) ? , E (3 X 2 ) ? 3E ( X 2 ) ? ? E (2 X 1 ) ? E (3 X 2 ) 3 5

?他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大.
10. (本小题满分 12 分)某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名,25 周岁以下工 人 200 名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法,从中抽取 了 100 名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁)”和“25 周岁以下”分为两组,在将两组工人的日平均生产件数分成 5 组:[50, 60) ,

[60, 70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100) 分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人,求至少抽到一名“25 周岁 以下组”工人的频率. (2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成 2 ? 2 的列 联表,并判断是否有 90% 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?

解: (Ⅰ)由已知得,样本中有 25 周岁以上组工人 60 名, 25 周岁以下组工人 40 名 所以, 样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中,25 周岁以上组工人有 60 ? 0.05 ? 3(人) , 记为 A1 , A2 , A3 ; 25 周岁以下组工人有 40 ? 0.05 ? 2 (人) ,记为 B1 , B2 从中随机抽取 2 名工人,所有可能的结果共有 10 种,他们是: ( A1 , A2 ) ,( A1 , A3 ) , ( A2 , A3 ) ,

( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( B1 , B2 )
其中,至少有名“ 25 周岁以下组”工人的可能结果共有 7 种,它们是: ( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) ,

7 10 (Ⅱ)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 名工人中,“ 25 周岁以上组”中的生产能手 (人) 25 周岁以下组”中的生产能手 40 ? 0.375 ? 15(人) ,“ ,据此可得 2 ? 2 列 60 ? 0.25? 15 联表如下: 生产能手 非生产能手 合计 45 60 15 25 周岁以上组 25 40 15 25 周岁以下组 70 30 100 合计
( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( B1 , B2 ) .故所求的概率: P ?
所以得: K 2 ?

n(ad ? bc)2 100 ? (15 ? 25 ? 15 ? 45) 2 25 ? ? ? 1.79 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 60 ? 40 ? 30 ? 70 14

因为 1.79 ? 2.706 ,所以没有 90% 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”


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