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数学(理)卷·2015届广东省广州市海珠区高三摸底考试(2014.08)


海珠区 2014 学年高三综合测试(一)试题

数 学(理科)
【试卷综评】本次试卷从题型设置、考察知识的范围等方面保持稳定,试题难度适中,试题 在考查高中数学基本概念、基本技能和基本方法等数学基础知识,突出三基,强化三基的同 时,突出了对学生能力的考查,注重了对学科的内在联系和知识的综合、重点知识的考查, 以它的知识性、思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法,考潜能的检 测功能。试题中无偏题,怪题,起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的 作用。 突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查; 侧重于 知识交汇点的考查。全面考查了考试说明中要求的内容。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
2 2 【题文】1.已知集合 M ? x x ? 1 , N ? x x ? 3 x ? 2 ? 0 ,则 M ? N ?

?

?

?

?

A. {1, 2} B. {?1,1, 2} 【知识点】集合的并集的求法.A1 【答案解析】B

C. {?1, 2}

D. {1}

2 解 析 : 因 为 集 合 M ? x x ? 1 , 即 M ? x x ? ?1或1 , 又 因 为

?

?

?

?

N ? ?1,2? ,所以 M ? N ? {?1,1, 2} ,故选 B.
【思路点拨】先化简集合 M ,再求结果即可. 【题文】2.设复数 z1 , z2 在复平面内的对应点关于实轴对称, z1 ? 1 ? i ,则 z1 z2 ? A. 2 B. ?2 【知识点】复数的运算.L4 C. 1 ? i D. 1 ? i

【答案解析】A 解析:因为复数 z1 , z2 在复平面内的对应点关于实轴对称, z1 ? 1 ? i ,则

z2 ? 1 ? i ,所以 z1 z2 ? ?1+i ??1 ? i ? =2 ,故选 A.
【思路点拨】先利用已知条件求出 z2 再计算结果即可. 【题文】3.已知 m,n 表示两条不同直线, ? 表示平面,下列说法正确的是 A.若 m / /? , n / /?, 则 m / / n B.若 m ? ? , n ? ? ,则 m ? n C.若 m ? ? , m ? n ,则 n / /? D.若 m / /? , m ? n ,则 n ? ? 【知识点】空间中的平行关系、垂直关系.G4、G5 【答案解析】B 解析:对于选项 A:m、n 平行、相交、异面都有可能;选项 B 显然成立

【思路点拨】利用空间中线面平行、垂直的判定与性质确定结论。 【题文】4.设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S2 ? 3, S4 ? 15, 则 S6 ? A.31 B.32 C.63 【知识点】等 比 数 列 的 性 质 ; 等 比 数 列 的 前 n 项 和 . D3 D.64

【答案解析】C

解析:由 等 比 数 列 的 性 质 可 得 S2,S 4-S , -S 成 2 S 6 4 等比数列,
2

5 即 3, , 解 得 S6 ? 63 , 故 选 A. 15 ? 3,S6 ?15 成 等 比 数 列 , ∴ ?1 5? 3 ? ?3 ? S 6 ? 1?
【思路点拨】由 等 比 数 列 的 性 质 可 得 S2,S4 -S2,S6 -S4 成 等 比 数 列 , 代 入 数 据 计 算 可得. 【题文】5. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是 A. f ( x) ? x3 B. f ( x) ? sin x C. f ? x ? ?

1 x

D. f ( x ) ? ? x | x |

【知识点】函数的奇偶性与单调性.B3、B4 【答案解析】D 解析:根据四个函数的图像获得正确选项。

【思路点拨】通过函数图像分析结论。

?x ? 0 ?x ? y ? 1 ? 【题文】6.由不等式 ? y ? 0 确定的平面区域记为 ?1 ,不等式 ? 确定的平 ? x ? y ? ?2 ?y ? x ? 2 ? 0 ?
面区域记为 ? 2 ,在 ?1 中随机取一点,则该点恰好在 ? 2 内的概率为 A.

1 8

B.

1 4

C.

3 4

D.

7 8

【知识点】几 何 概 型 ; 简 单 线 性 规 划 . E5 K3 【答案解析】D 解析:平 面 区 域 ?1 , 为 三 角 形 AOB , 面 积 为 平 面 区 域 ? 2 , 为 四 边 形 BDCO ,

1 ×2×2 = 2 , 2

1 ? x?? ? ?y ? x ? 2=0 ? ? 1 3? 2 其 中 C( 0, 1) , 由 ? ,解得 ? , 即 D ? ? , ?, 则 三 角 形 ACD 的 3 2 2 ? ? ? x ? y ?1 ? y? ? ? 2

1 1 1 1 7 ×1× = , 则 四 边 形 BDCO 的 面 积 S= S △ O A B ? S △ AC D = 2? = , 2 2 4 4 4 7 7 则 在 ?1 中 随 机 取 一 点 , 则 该 点 恰 好 在 ? 2 内 的 概 率 为 4 ? , 故 选 : D . 2 8
面 积 S= 【思路点拨】作 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 , 求 出 对 应 的 面 积 , 利 用 几 何 槪 型 的 概率公式即可得到结论. 【题文】7.已知抛物线 y 2 ? 4 x 与双曲线

是两曲线的一个交点,且 AF ? x 轴,则双曲线的离心率为

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 有相同的焦点 F ,点 A a 2 b2
D. 2+1

A. 2 ? 2 B. 5 ? 1 C. 3 ? 1 【知识点】抛物线及其几何性质、双曲线及其几何性质.H6、H7

【答案解析】D

?a 2 ? b 2 ? 1 ? 解析:根据题意得: F ?1,0? , 从而 A ?1, ?2? 所以 ? 1 解得 4 ? ? 1 ? 2 ? a b2

a2 ? 3 ? 2 2 ,因为需使 a 2 ? c 2 ,所以 a2 ? 3 ? 2 2 ,从而 a ? 2 ? 1,所以
e? c 1 ? ? 2 ? 1 .故 选 : D . a 2 ?1

【思路点拨】先求出点 F、A 的坐标,从而求出 a、b、c 的值,进而求得离心率。 【题文】8.已知菱形 ABCD 的边长为 2 , ?BAD ? 120 ,点 E , F 分别在边 BC , DC 上,
0

2 BE ? ? BC, DF ? ? DC .若 AE ? AF ? 1 , CE ? CF ? ? ,则 ? ? ? ? 3 1 2 5 7 A. B. C. D. 2 3 6 12
【知识点】平 面 向 量 数 量 积 的 运 算 . F3 【答案解析】C 解析:由 题 意 可 得 :

( ? AD DF) = AB? AD AB?DF 若 AE ? AF (AB + BE)
= 2创 2 cos120? AB?mAB l 鬃 AD AD + l AD mAB
= - 2 + 4m+ 4l + l m创 2 2窗 cos120 = 4l + 4m- 2l m- 2 = 1 ,
∴ 4l + 4m- 2l m = 3 ① .

BE ? AD BE DF

CE ?CF

- EC ?

(

FC = EC ? FC

)

(1 - l ) BC ?(1 m) DC = (1 - l ) AD ?(1

m) AB

2 = ( 1 - l ) ( 1 - m) 创 2 2窗 cos120 = ( 1 - l - m + l m) ( -2) = - , 3 2 即 - l - m+ l m = ②. 3 5 由①②求得 l +m= , 6
故 选 C. 【思路点拨】利 用 两 个 向 量 的 加 减 法 的 法 则 , 以 及 其 几 何 意 义 , 两 个 向 量 的 数 量 积 的 定 义 由 A E? A F ? 1 , 求 得 4l + 4m- 2l m= 3 ① ; 再 由 C E? C F? ? , 求 得

2 3

2 - l - m + l m = - ② . 结 合 ① ② 求 得 l + m的 值 . 3
二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 【题文】9. ? x ? a ? 的展开式中, x 的系数为 7 ,则 a ?
8

5

.(用数字填写答案)

【知识点】二项式定理.J3 【答案解析】

1 2

r 8?r r 3 3 解析:由通项 Tr ?1 ? C8 x a , x 的系数 C8 a ? 7 ,解得 a ?
5

1 2

【思路点拨】利用二项展开式的通项公式求解。 【题文】10.已知某程序框图如图,若分别输入的

x 的值为 0,1, 2 ,执行该程序后,输
出的 y 的值分别为 a, b, c ,则

a?b?c ?



【知识点】程序框图 L1 【答案解析】6 第 10 题图 解析:: 分 析 程 序 中 各 变 量 、 各 语 句 的 作 用 , 再 根 据 流 程 图 所 示

ì 4 x,x<1 ? ? 1 的函数值. 的 顺 序 , 可 知 : 该 程 序 的 作 用 是 计 算 分 段 函 数 y = í 1,x= ? 2 ? ? x ,x>1
当 x=0 时 , 则 y=4 ° =1 ; 当 x=1 时 , 则 y=1 ; 当 x=2 时 , 则 y=2 2 =4 ; 则 a+b+c=1+1+4=6,故 答 案 为 : 6 . 【思路点拨】分 析 程 序 中 各 变 量 、 各 语 句 的 作 用 , 再 根 据 流 程 图 所 示 的 顺 序 , 可

ì 4 x,x<1 ? ? 1 的 函 数 值 ,将 x 的 值 分 别 代 入 即 知 :该 程 序 的 作 用 是 计 算 分 段 函 数 y = í 1,x= ? 2 ? ? x ,x>1
得. 【题文】11.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c ,且 c ? 4 2,B ? 45 ,面
?

积 S ? 2 ,则 b =



【知识点】三角形的面积公式;余弦定理. C8
? 【答案解析】5 解析::∵ c ? 4 2,B ? 45 ,面积 S ? 2 ,

∴S =

1 1 2 ac sin B = 创 a 4 2? 2 2 2

2a = 2. \ a = 1,

由余弦定理得 b2 = a 2 + c 2 - 2accosB = 12 + 4 2 故答案为:5.

( )

2

- 2创 1 4 2?

2 2

25 ,∴ b = 5 .

【思路点拨】先利用三角形的面积公式求出边 a ;利用三角形的余弦定理求出边 b . 【题文】12.图中阴影部分的面积等于 【知识点】定积分.B13 【答案解析】1 解析:面积 S ? .

?? ?3x
0

1

2

3 1 ? ?dx ? x |0 ? 1

【思路点拨】利用定积分的几何意义求解。 第 12 题图

【题文】 13 .如图 , 对大于或等于 2 的正整数 m 的 n 次

幂进行如下方式的 “ 分裂 ” ( 其中

m, n ? N? )例如 72 的“分裂”中最小的数是 1 ,最大的数是13 ;若 m3 的“分裂”中最小的数是
241 ,则最大的数是


1 1

3

7

2

2

3

23
5
7 3

2

4

3
5 7 9
11

9

7
25

2

3

2

1

3

3

5

9 11

3

4

27 29

第 13 题图

13

【知识点】合情推理;数列.M1、D2 【答案解析】271 解析: 2 ? 3 ? 5 :分裂中的第一个数 3 ? 2 ?1 ? 1 ,最后一个数
3

5 ? 3 ? 2 ?1 ; 33 ? 7 ? 9 ? 11:分裂中的第一个数 7 ? 3 ? 2 ? 1 ,最后一个数11 ? 7 ? 2 ? 2 ;

43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19 :分裂中的第一个数 13 ? 4 ? 3 ? 1 ,最后一个数 19 ? 13 ? 2 ? 3 ;
发现分裂数的个数与前面的底数相同,每一组分裂中的第一个数是:底数 ? (底数 ? 1)+1. 又 m 分裂中的第一个数是 241,则 m ? m ?1? ? 241 ?1 ? 240 ,解得 m ? 16 ? m ? 2?
3

所以 16 的分裂中最大数是: 241 ? 2 ?16 ?1? ? 271.
3

【思路点拨】根据 2 ,3 ,4 分裂的结果,归纳总结 m 分裂的特点:分裂数的个数与前面的 底数相同,每一组分裂中的第一个数是:底数 ? (底数 ? 1)+1.从而求得分裂中的第一个数 是 241 的底数 m 的值. (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 【题文】14. (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点, x 轴 的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知点 M 的极坐标为 ? 4 2, 程为 ?

3

3

3

3

? ?

??

? ,曲线 C 的参数方 4?

? ? , ? x ? 1 ? 2 cos

? ? ? y ? 2 sin

( ? 为参数) .则点 M 到曲线 C 上的点的距离的最小值

为 . 【知识点】圆的参数方程;点的极坐标和直角坐标的互化.N3 【 答 案 解 析 】 4 解 析 : 由 点 M 的 极 坐 标 为 ? 4 2,

? ?

??

? ,得点 M 的直角坐标 4?

x = 4 2cos

? x ? 1 ? cos ? , p p =4,y = 4 2sin =4, 即 M(4,4),由曲线 C 的参数方程 ? 4 4 ? y ? sin ?

( ? 为参数),消去参数 ? 得普通方程为: x - 1

(

)

2

+ y 2 = 1 ,∴圆心为 A(1,0),半径

r =1 , 由 于 点 M 在 曲 线 C 外 , 故 点 M 到 曲 线 C 上 的 点 的 距 离 的 最 小 值 为

MA - r = 32 + 42 - 1 = 5 - 1=4 .
【思路点拨】利用公式即可把点 M 的坐标化为直角坐标;把曲线 C 的参数方程化为化为普 通方程,再利用|MA|-r 即可求出最小值.

O 外一点 P 分别作圆的切线和割线交圆于 【题文】15. (几何证明选讲选做题)如图,过⊙

A, B ,且 PB ? 9 , C 是圆上一点使得 BC ? 4,?BAC ? ?APB ,则 AB ? .
【知识点】几何证明选讲.N1 【答案解析】6 解析:因为 ?PAB ? ?CAB (弦切角等于它所

夹弧所对圆周角) , ?BPA ? ?BAC ,所以 APB 与 CAB 相似, 所以

PB AB ? , 即 AB2 ? PB ? BC ? 9 ? 4 ? 36 ,所以 AB ? 6 . AB BC

【思路点拨】利用三角形相似求线段 AB 的长即可. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 【题文】16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2cos ?

(1)求 f ? x ? 的单调递减区间; (2)若 sin ? ?

?x ?? ? ? , x? R. ?2 4?

3 ?? ? , ? ? ? , ? ? ,求 f ? 4? ? ? ? . 5 ?2 ?
C3 C5

【知识点】三角函数的单调区间;同角三角函数的基本关系式;三角恒等变换. C2 【答案解析】 (1) 犏 4kp + 解析: (1)由 2kp ? 解得: 4kp +

轾 犏 臌

p 5p , 4kp + ,( k 2 2

(2) Z) ;

31 2 25

p #x 2

x p ? 2kp p ( k ? Z ) ……………2 分 2 4 5p 4kp + , ( k ? Z ) ……………3 分 2

\ f ( x) 的单调递减区间为 犏 4kp + , 4kp +
(2)

轾 犏 臌

p 2

5p ,( k 2

Z ) ……………4 分

3 sin q = ,q 5
2

骣 p 琪 , p ,\ cosq = - 1 - sin 2 q ,……………5 分 琪 2 桫

骣 3 = - 1- 琪 琪 5 桫

=-

4 ……………6 分 5

轾 骣 p 1 1 f ( 4q +p ) = 2cos 犏 ( 4q +p ) - p = 2cos 琪 2q + ……………7 分 琪 犏 2 4 4 臌 桫 骣 p p ……………8 分 = 2琪 cos 2q cos - sin 2q sin 琪 4 4 桫

= 2 ( cos2q - sin 2q ) ……………9 分
= 2 cos 2 q - sin 2 q - 2sin q cos q ……………10 分

(

)

轾 骣4 琪 = 2犏 琪 犏 桫 臌 5

2

骣 3 -琪 琪 5 桫

2

3 - 2创 5

骣4 琪 琪 桫5

……………11 分

=

31 2 ……………12 分 25

【思路点拨】 (1)直接利用余弦函数的单调区间即可; (2)先利用同角三角函数的基本关系 式求出余弦值,再利用公式把 f 4q +p 化简代入数值即可. 【题文】17.( 本小题满分 12 分)为增强市民的环保意思,某市面向全市增招环保知识义务 宣传志愿者.从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者,其年龄频率分布直方图如 图所示 ,其中年龄(岁)分成五组 :第 1 组 ? 20, 25? , 第 2 组 ? 25,30? , 第 3 组 ?30,35? ,第 4 组

(

)

?35, 40? ,第 5 组 ?40, 45? .得到的频率分布直方图(局部)如图所示.
(1)求第 4 组的频率,并在图中补画直方图; ( 2 )在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 20 名参加中心广场的宣 传活动,再从这 20 名志愿者中采用简单随机抽样方法选取 3 名志愿者担任主要负责人 .记这

3 名志愿者中“年龄低于 35 岁”的人数为 X ,求 X 的分布列和数学期望. 频率 组距 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 【知识点】抽样方法;频率分布;超几何分布;组合运算;数学期望 .I1、J2、K6、K8 0.01 171 【答案解析】(1)0.3 , 图见解析; (2) O 20 95 25 30 35 40 45 年龄∕岁
解析: (1)第 4 组的频率为

1? ? 0.01? 0.04 ? 0.07 ? 0.02? ? 5 ? 0.3 .....1 分

第 17 题图

0.3 ? 0.06 , ............................2 分, 5
则补画第 4 组的直方图如图所示:

.............................................4 分 (2)用分层抽样的方法,从中选取 20 名志愿者,则其中年龄“低于 35 岁”的人有 12 人, “年龄不低于 35 岁”的人有 8 人,故 X 的可能取值为 0,1,2,3。 -------7 分

3 1 2 1 C8 C12 C82 28 C12 C 14 44 因为 P ? x ? 0 ? ? 3 ? , P ? x ? 1? ? ? , P ? x ? 2? ? 3 8 ? , 3 C20 285 C20 95 C20 95 3 C12 11 ? 3 C20 57

P ? x ? 3? ?

--------9 分

所以 x 的分布列为: x p 0 1 2 3

14 285

28 95

44 95

11 57
--------12 分

所以 Ex ? 0 ?

14 28 44 11 171 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 285 95 95 57 95

【思路点拨】 (1)根 据 小 矩 形 的 面 积 等 于 频 率 , 而 频 率 之 和 等 于 1 . 即 可 得 出 . (2)
分 层 抽 样 的 方 法 , 从 100 名 志 愿 者 中 选 取 20 名 ; 则 其 中 年 龄 “ 低 于 35 岁 ” 的 人 有 20 ×( 0.01+0.04+0.07 ) × 5=12 名 , “ 年 龄 不 低 于 35 岁 ” 的 人 有 8 名 . X 的 可 能 取 值 为 0 ,1 ,2 ,3 ,再 利 用 超 几 何 分 布 即 可 得 出 ,再 利 用 数 学 期 望 的 计 算 公 式 即 可 得 出 .

【题文】18. (本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, PA ? PD , PA ? 平面 PDC ,

E 为棱 PD 的中点.
(1)求证: PB // 平面 EAC ; (2)求证:平面 PAD ? 平面 ABCD ; (3)求二面角 E ? AC ? B 的余弦值. 【知识点】空间线面关系;空间向量知识;数形结合;化归与转化空间想象;推理论证. G4、G5、G10 第 18 题图

【答案解析】 (1)见解析(2)见解析(3) ?

3 11 11

解析: (1)证明:连接 BD 与 AC 相交于 O,连接 EO.

四边形 ABCD 为正方形,? O 为 BD 中点, E 为棱 PD 中点,? PB EO --------3 分

PB ? 平面 EAC

EO ? 平面 EAC

? 直线 PB 平面 EAC -------4 分
(2)证明:

PA ? 平面PDC

? P A? C D -----5 分
------6 分

四边形 ABCD 为正方形, ? AD ? CD, 又PD ? AD ? D

?CD ? 平面PAD.又CD ? 平面ABCD ?平面PAD ? 平面ABCD
--------8 分

------7 分

(3) 在平面PAD内过D作直线Dz ? AD .

平面PAD ? 平面ABCD.? Dz ? 平面ABCD 。

由Dz, DA, DC两两垂直 ,
建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz ----9 分

设 AB=4, 则D(0, 0, 0), A(4, 0, 0), B(4, 4, 0), C(0, 4, 0) P(2, 0, 2), E(1, 0,1)

? EA ? (3,0, ?1), AC ? (?4, 4,0)

设平面 EAC 的法向量 n ? ( x, y, z )则有 ?

?n ? EA ? 0 ? ? ?n ? AC ? 0
--------11 分

?3x ? z ? 0 ?? 取x ? 1有n ? (1,1,3) ??4 x ? 4 y ? 0
易知平面 ABCD 的法向量为: m ? (0,0,1)

-------12 分

? cos n ? m ?

n?m n?m

?

3 11 11

-----13 分

由图可知二面角 E ? AC ? B 的平面角为钝角,

? 二面角 E ? AC ? B 的余弦值为: ?

3 11 ----14 分 11

【思路点拨】 (1)连 接 BD 与 AC 相 交 于 点 O ,连 接 EO .可 得 EO 是 △ PBD 的 中 位 线 , 所 以 PB ∥ EO , 结 合 线 面 平 行 的 判 定 定 理 , 即 可 证 出 PB ∥ 平 面 EAC ; (2) 由 PA ⊥ 平 面 PDC , 得 到 PA ⊥ CD , 结 合 正 方 形 中 AD ⊥ CD , 证 出 CD ⊥ 平 面 PAD . 根 据 平 面 ABCD 经 过 平 面 PAD 的 垂 线 , 即 可 得 到 平 面 PAD ⊥ 平 面 ABCD ; (3)取 AD 中 点 M , BC 中 点 N , 连 接 PM , MN . 根 据 ( II ) 证 出 的 位 置 关 系 , 可 得 MP 、 MA 、 MN 两 两 垂 直 , 因 此 分 别 以 MA 、 MN 、 MP 为 x 轴 、 y 轴 和 z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 . 设 AB=4 , 可 得 A 、 B 、 C 、 D 、 P 、 E 各 点 的 坐 标 , 利 用 垂 直 向 量 数 量 积 为 0 的 方 法 ,列 方 程 组 解 出 平 面 EAC 的 法 向 量 为 n ? (1, 1, 3) .再 根 据 平 面 ABCD 的 法 向 量 为 m ? ( 0, 0, 1) 利用向量的夹角公式算出夹角余弦之值,即可得到二面角 E-AC-B 的 余 弦 值 . 【题文】19. (本小题满分 14 分)已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若

S5 ? 25 ,且 S1 , S2 , S4 成等比数列.
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2) bn ?

1 n ? N ? ? ,证明:对一切正整数 n ,有 b1 ? b2 ? ? Sn

? bn ?

7 . 4

【知识点】数列的通项、求和,不等式知识,化归与转化思想方法.D2、D3、D4 【答案解析】 (1) an ? 2n ? 1; (2)见解析. 解析: (1)由S5 ? 25得a1 ? 2d ? 5 ⑴ ------1 分 -----2 分

又S1 ? a1 , S2 ? 2a1 ?

4?3 2 ?1 ? d ? 4a1 ? 6d ? d ? 2a1 ? d , S4 ? 4a1 ? 2 2
2

由题意得: (2a1 ? d ) ? a1 (4a1 ? 6d )

---------3 分

即 d (d ? 2a1 ) ? 0, 又d ? 0,? d ? 2a1 联立⑴、⑵解得 a1 ? 1, d ? 2 4分



? an ? a1 ? (n ?1)d ? 2n ?1 -------5 分
(2)证明:由(1)得 Sn ? ①当 n=1 时, b1 ? 1 ?

n ?1 ? 2n ?1? ? n2 2

? bn ?

1 1 ? 2 ------6 分 Sn n

7 ,? 原不等式成立。 4 1 5 7 ②当 n=2 时, b1 ? b2 ? 1 ? ? ? ,? 原不等式成立。 4 4 4
③当 n ? 3 时,

n2 ? ? n ?1?? n ?1? ?
1 1 ? ? 12 22 ? 1 n2

1 1 1? 1 1 ? ---------9 分 ? ? ? ? 2 n ? n ? 1?? n ? 1? 2 ? n ? 1 n ? 1 ? ?

? b1 ? b2 ?
<1+

? bn ?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ?? 3 ? ? 2 4 ? ? 3 5 ? ? 4 6 ?

1 ?? ? 1 ? ? ?? ? n ?1 n ? 1 ??
--------13 分

-----11 分

= 1?

7 1? 1 1 1 ? 7 1? 1 1 ? ?1 ? ? ? ?= ? ?? ? ? ?4 2 ? 2 n n ?1 ? 4 2 ? n n ?1 ?

?当n ? 3 时原不等式成立。
综上,对一切正整数 n 有 b1 ? b2 ?

bn ?

7 4

-------14 分

【思路点拨】 ( 1 ) 设 等 差 数 列 {a n } 的 首 项 为 a 1 , 公 差 为 d , 由 题 意 列 方 程 组 求 得 首 项 和 公 差 , 则 数 列 {a n } 的 通 项 公 式 可 求 ; ( 2) 由 ( 1) 中 求 得 的 通 项 公 式 得 到 即可得 答 案 . 【题文】20. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,动点 P 到两点 (? 3 , 0) , ( 3 , 0) 的距离之和等于 4 ,设 点 P 的轨迹为曲线 C ,直线 l 过点 E (?1, 0 ) 且与曲线 C 交于 A , B 两点. (1)求曲线 C 的轨迹方程; (2)是否存在△ AOB 面积的最大值,若存在,求出△ AOB 的面积;若不存在,说明理由. 【知识点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.H5 H8

1 1? 1 1 ? ? ? ? ? , 利 用 裂项相消法再证明 2 n 2 ? n ?1 n ?1 ?

x2 3 + y 2 = 1; 【答案解析】 (1) (2)存在△ AOB 面积的最大值; (2) 4 2
解析: (1)由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (? 3 , 0) ( 3 , 0) ,为焦点,长半轴长为 2 的椭圆.…(3 分) 故曲线 C 的方程为 . …(5 分)

(2)存在△AOB 面积的最大值.…(6 分) 因为直线 l 过点 E (?1, 0 ) ,设直线 l 的方程为 x = my . ﹣ 1 或 y=0(舍)

ì x2 ? + y2 =1 2 2 2my ﹣ 3 = 0 .…(7 分) 则í 4 整理得 m + 4 y ﹣ ? ﹣ 1 ? ? x = my

(

)

由 = 2m

( )

2

+12 m 2 + 4 >0 .设 A( x1,y1) ,B ( x2,y2 ) .

(

)

解得 y1 =

m + 2 m2 + 3 m - 2 m2 + 3 , . y = 2 m2 + 4 m2 + 4 4 m2 + 3 . m2 + 4
1 OE ? y2 2
2

则 y2 - y1 =

因为 SDAOB =

y1 =

2 m2 + 3 1 = 2 m +4 m2 + 3 +

1 m2 + 3

. …(10 分)

设 g (t ) = t + , t = m + 3 , t ?

1 t

3 .则 g(t)在区间 ( 3 , 0) 上为增函数.

所以 g (t ) ?

4 3 3 .所以 SDAOB ? , 3 2

当且仅当 m=0 时取等号,即 SDAOB

(

)

max

=

3 . 2

所以 SDAOB 的最大值为

3 .…(14 分) 2

【思路点拨】 (1)由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (? 3 , 0) ( 3 , 0) 为焦点,长半轴 长为 2 的椭圆,由此能求出曲线 C 的方程. (2)存在△AOB 面积的最大值.因为直线 l 过点

﹣ 2my ﹣ 3 = 0 .由 E (?1, 0 ) ,设直线 l 的方程为 x = my ﹣ 1 ,与椭圆方程联立得 m 2 + 4 y 2

(

)

= ( 2m) +12 m 2 + 4 >0 .设 A( x1,y1) ,B ( x2,y2 ) .由此能求出 SDAOB 的最大值.
【题文】21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? ax ? x ln x 的图象在点 x ? e ( e 为自 然对数的底数)处的切线斜率为 3 . (1)求实数 a 的值; (2)若 k ? Z , 不等式 k ? x ?1? ? f ? x ? 在 x ? ?1 , +?? 上恒成立,求 k 的最大值; (3)当 n ? m ? 4 时,证明: mn

2

(

)

?

n m

? ? ? nm ? .
m n

【知识点】导数、不等式恒成立、函数的单调性、最值、分类与讨论。B12、E8、B3 【答案解析】 (1) a ? 1 (2)3 (3)见解析 ----1 分

解析: (1)因为 f ? x ? ? ax ? x ln x, 所以f ? ? x ? ? a ? ln x ? 1

函数f ? x ? ax ? x ln x的图像在x ? e处切线斜率为3 ? f ? ? e? ? 3,即a+lne+1=3 ,? a ? 1 ----3 分
(2)即 k ? 所以 k ?

f ? x? 对任意x ? 1恒成立 ,由(1)知 f ? x ? ? x ? x ln x x ?1
--------4 分 ------5 分

x ? x ln x 对任意 x>1 恒成立 x ?1

令 g ? x? ?

x ? x ln x x ? ln x ? 2 , 则g ? ? x ? ? 2 x ?1 ? x ?1?

令 h ? x ? ? x ? ln x ? 2, ? x ? 1? 则h? ? x ? ? 1 ?

1 x ?1 ? ?0 x x
-------6 分

? 函数 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增 。
h ?3? ? 1 ? ln3 ? 0, h ? 4? ? 2 ? 2ln 2 ? 0

? 方程 h ? x ? ? 0 在 ?1, ?? ? 上存在唯一实根 x0 且满足 x0 ? ?3, 4?
当 1 ? x ? x0 时

h ? x? ? 0

即 g? ? x ? ? 0

当 x ? x0时h ? x ? ? 0

即 g? ? x ? ? 0 ------7 分

? 函数 g ? x ? ?

x ? x ln x 在 ?1, x0 ? 上单调递减,在 ? x0 , ??? 上单调递增 x ?1

h ? x0 ? ? 0,?ln x0 ? x0 ? 2

?? ? g ? x ?? ? min ? g ? x0 ? ?

x0 ?1 ? ln x0 ? x0 ?1 ? x0 ? 2 ? ? ? x0 ? ? 3, 4 ? x0 ? 1 x0 ? 1

-----8 分

?k ? ? ? g ? x ?? ? min ? x0 ? ? 3, 4 ?
故整数 k 的最大值为 3 (3)证明:要证 mn -----9 分

?

n m

? ? ? nm ? ,
m n

m mn ? ln mmn nn 即证 ln m n

?

?

?

?

即证 m ln m ? mn ln n ? mn ln m ? n ln n ,即证 构造函数 f ? x ? ? 则 f ?? x? ?

n ln n m ln m ? n ?1 m ?1

------10 分

x ln x x ?1

-----11 分 ---12 分

? ln x ? 1?? x ? 1? ? x ln x ? x ? ln x ? 1 ? 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立 2 ? x ? 1? 2 ? x ? 1?
x ln x 在 ?1, ?? ? 上递增 x ?1
-----13 分
m n

? f ? x? ?

?n ? m ? 4时f ? n? ? f ? m? 即 ? mn n ? ? ? nmm ?

-----14 分

【思路点拨】( 1 )求 出 f( x )的 导 函 数 ,把 x=e 代 入 导 函 数 中 求 出 的 导 函 数 值 即 为 切 线 方 程 的 斜 率 ,根 据 切 线 斜 率 为 3 列 出 关 于 a 的 方 程 ,求 出 方 程 的 解 即 可 得 到 a 的 值 ; ( 2) 将 原 来 的 恒 成 立 问 题 转 化 为 研 究 函 数 的 最 值 问 题 , 研 究

g ? x? ? g ? x? ?

x ? x ln x 区 间 ?1, x0 ? 上 的 最 值 问 题 , 先 求 出 函 数 的 极 值 , 研 究 极 值 点 左 右 x ?1 x ? x ln x n l n n m l nm ? 是 [4 ,+ ∞ )上 的 增 函 数 ,从 而 有 当 n > m ≥ 4 时 , , x ?1 n ?1 m ?1

的 单 调 性 , 最 后 确 定 出 最 小 值 , 从 而 得 出 k 的 最 大 值 . ( 3) 由 ( 2) 知 ,

由此式即可化简得到结果.


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