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三角函数的图像和变换以及经典习题和答案


3.4 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与变换
【知识网络】1.函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的实际意义; 2.函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图象的变换(平移平换与伸缩变换) 【典型例题】 [例 1](1)函数 y ? 位是 (1)

3 x ? sin( ? ) 的振幅是 2 2 6

初相是

;周期是 .

;频率是

;相

3 ; 2

1 x ? ? ; ? ; 4? 2 6 6

(2)函数 y ? 2sin(2 x ?

?

3

) 的对称中心是


;对称轴方程是

;单调增区间是 (2)(

k? ? k? 5? ? , 0), k ? Z ; x ? ? ,k ?Z ; 2 6 2 12

5? ? ? ? ? ? 12 ? k? , 12 ? k? ? ? k ? z ? ? ?

(3) 将函数 y ? sin ? x(? ? 0) 的图象按向量

? ? ? ? a ? ? ? , 0 ? 平移,平移后的图象如图所示,则平移后的图 ? 6 ?
象所对应函数的解析式是( A. y ? sin( x ? C. y ? sin(2 x ? )

?

) 3 (3)C 提示:将函数 y ? sin ? x(? ? 0) 的图象按向量 3

?

6

)

B. y ? sin( x ?

?
6

)

)

D. y ? sin(2 x ?

?

? ? ? ? ? a ? ? ? , 0 ? 平移,平移后的图象所对应的解析式为 y ? sin ? ( x ? ) ,由图象知, 6 ? 6 ? 7? ? 3? ?( ? ) ? ,所以 ? ? 2 . 12 6 2
x ? (4) 为了得到函数 y ? 2 sin( ? ), x ? R 的图像,只需把函数 y ? 2 sin x, x ? R 的图像 3 6

上所有的点 (A)向左平移 (B)向右平移 (C)向左平移





?

1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3

?

1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3 6

?

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)

1

(D)向右平移 (4)C

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)

先 将 y ? 2 sin x, x ? R 的 图 象 向 左 平 移

y ? 2sin( x ? ), x ? R 的图象,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标 6 x ? 不变)得到函数 y ? 2 sin( ? ), x ? R 的图像 3 6
(5)将函数
y ? f ( x ) sin x

?

? 个单位长度,得到函数 6

的图象向右平移

? 个单位后再作关于 x 轴对称的曲线,得到函数 4

y ? 1? 2 sin 2 x 的图象,则 f (x) 的表达式是



) (D) 2sin x

(A) cosx

(B) 2cos x

(C) sin x

(5) 提示: y ? 1 ? 2sin 2 x ? cos 2 x 的图象关于 x 轴对称的曲线是 y ? ? cos 2 x ,向左平 B 移
? 得 4

y ? ? cos 2( x ? ) ? sin 2 x ? 2sin x cos x 4

?

[例 2] 已知函数 f ( x) ? 2cos2 ? x ? 3sin 2? x,(其中0 ? ? ? 1) , 若直线 x ?

?
3

为其一条

对称轴。 (1)试求 ? 的值 (2)作出函数 f ( x ) 在区间 [ ?? , ? ] 上的图象. 解: (1) f ( x) ? 2cos2 ? x ? 3sin 2? x ? 1 ? cos 2? x ? 3sin 2? x

? 2 s i n ?2 ? (x
?x ?

?
6

?)

1
1

2?? ? ? ?? ) 3 3 6 2? ? ? ? 1 3 ? ? ? ? ? , k ? ?? ? ? k (k ? Z ) k Z 3 6 2 2 2 1 ? 0 ? ? ? 1? ? ? 2

?

是 y ? f ( x) 的一条对称轴? s i n (

(2)用五点作图 [例 3] 已知函数 f ( x) ? A sin (? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ?
2

?
2

) ,且 y ? f ( x) 的最大值

为 2,其图象相邻两对称轴间的距离为 2,并过点(1,2) . (I)求 ? ; (II)计算 f (1) ? f (2) ? ? ? f (2008) .

A A ? cos(2? x ? 2? ). ? y ? f ( x) 的最大值为 2, A ? 0 . 2 2 A A 1 2? ? ? ? ? ? 2, A ? 2. 又? 其图象相邻两对称轴间的距离为 2, ? 0 , ( ) ? 2, ? ? . ? 2 2 2 2? 4 2 2 ? ? ? f ( x) ? ? cos( x ? 2? ) ? 1 ? cos( x ? 2? ) .? y ? f ( x) 过 (1, 2) 点, 2 2 2 2
解: (I) y ? A sin (? x ? ? ) ?
2

2

? cos( ? 2? ) ? ?1. ? ? 2? ? 2k? ? ? , k ? Z , ? 2? ? 2k? ? , k ? Z , 2 2 2 ?? ? k? ?

?

?

?

?

4

, k ? Z , 又? 0 ? ? ?
,? y ? 1 ? cos(

?

(II)? ? ?

?
4

?

2

, ?? ?

?

x ? ) ? 1 ? sin x. 2 2 2

?

4

.

?

? f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? 2 ? 1 ? 0 ? 1 ? 4 .
又? y ? f ( x) 的周期为 4, 2008 ? 4 ? 502 ,

? f (1) ? f (2) ? ??? ? f (2008) ? 4 ? 502 ? 2008.

[例 4]设函数 f ( x) ? 3 cos2 ? x ? sin ? x cos ? x ? a (其中 ? ? 0, a ? R ) 。且 f ( x ) 的图像在 y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是 (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)如果 f ( x ) 在区间 [? 解: (I) f ( x) ?

? . 6

? 5?

, ] 上的最小值为 3 ,求 a 的值. 3 6

3 1 3 ? 3 cos 2? x ? sin 2? x ? ? ? ? sin(2? x ? ) ? ?a 2 2 2 3 2

依题意得 2? ?

?
6

?

?
3

?

?
2

?? ?

1 . 2

(II)由(I)知, f ( x) ? sin( x ?

?
3

)?

? 5? 3 ? ? .又当 x ? [? , ] 时, 3 6 2

x?

?
3

? [0,

7? 1 ? ? π 5π ? ] ,故 ? ? sin( x ? ) ? 1 ,从而 f ( x) 在区间 ? ? , ? 6 2 3 ? 3 6?

上的最小值为 3 ? ?

1 3 3 ?1 ? ? a ,故 a ? . 2 2 2

【课内练习】 1.若把一个函数的图象按 a ? ( ? 象的函数解析式是
?
3

?

? ,-2)平移后得到函数 y ? cos x 的图象,则原图 3


?
3


?
?
3 3

(A)y ? cos(x ? ) ? 2 (B)y ? cos(x ? ) ? 2 (C)y ? cos(x ? ) ? 2 (D)y ? cos(x ? ) ? 2 1.D 提示:将函数 y ? cos x 的图象按 ? a 平移可得原图象的函数解析式

?

3

π )的图象,可以将函数 y=cos2x 的图象 ( ) 6 π π A.向右平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 6 3 π π C.向左平移 个单位长度 D.向左平移 个单位长度 6 3 π π π 2π 2.B 提示:∵y=sin(2x- )=cos[ -(2x- ) ]=cos( -2x)=cos(2x 6 2 6 3 2π π π - )=cos[2(x- ),∴将函数 y=cos2x 的图象向右平移 个单位长度 ] 3 3 3

2.为了得到函数 y=sin(2x-

3.若函数 f(x)=sin(ω x+ ? )的图象(部分)如下图所示,则 ω 和 ? 的取值是 (



y

1 ? -? O2 3 3
A.ω =1, ? =
π 3

x

π 1 π 1 π C.ω = , ? = D.ω = , ? =- 2 2 3 6 6 2π π 2π 1 3.C 提示:由图象知,T=4( + )=4π = ,∴ω = . 2 3 3 ? 2π 1 2π 又当 x= 时,y=1,∴sin( × + ? )=1, 2 3 3 π π π + ? =2kπ+ ,k∈Z,当 k=0 时, ? = . 3 2 6

B.ω =1, ? =-

4.函数 y ? sin 2 x 的图象向右平移 ? ( ? ? 0 )个单位,得到的图象关于直线 x ? 则 ? 的最小值为 ( )

?
6

对称,

( A)

5? 12

(B)

11? 6

(C )

11? 12

( D) 以上都不对

4.A ∴ 2?

提示:平移后解析式为 y ? sin(2 x ? 2? ) ,图象关于 x ?

?
6

对称,

?
6

? 2? ? k? ?

?
2

(k ?Z ) ,∴ ? ? ?

∴当 k ? ?1 时, ? 的最小值为

5? . 12

k ? ? ? (k ?Z ) , 2 12

5.若函数 f ( x ) 图象上每一个点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的两倍,然后再将 整个图象沿 x 轴向右平移 则 f ( x) ? 5. f ( x) ?

? 1 个单位,向下平移 3 个单位,恰好得到 y ? sin x 的图象, 2 2


1 ? 1 sin(2 x ? ) ? 3 ? cos 2 x ? 3 . 2 2 2 6.函数 y ? A sin(? x ? ? ),( A ? 0, ? ? 0) 为奇函数的充要条件是
为偶函数的充要条件是 6. ? ? k? (k ? Z ) ; ? ? k? ? .



?
2

(k ? Z )

4

7.一正弦曲线的一个最高点为 ( ,3) ,从相邻的最低点到这最高点的图象交 x 轴于

1 4

1 (? , 0) ,最低点的纵坐标为-3,则这一正弦曲线的解析式为 4
7. y ? 3sin(? x ?

.

?

4

)

8.已知方程 sinx+cosx=k 在 0≤x≤π 上有两解,求 k 的取值范围 π π 解:原方程 sinx+cosx=k ? 2 sin(x+ )=k,在同一坐标系内作函数 y1= 2 sin(x+ ) 4 4 π 与 y2=k 的图象.对于 y= 2 sin(x+ ) ,令 x=0,得 y=1. 4
y 2 1 -? 4 O y k = ? 3 4 ? x

∴当 k∈[1, 2 ]时,观察知两曲线 在[0,π ]上有两交点,方程有两解

? 9.数 y ? A sin( ?x ? ?), ( A ? 0, ? ? 0, | ? |? ) 的最小值是?2,其图象相邻最 2 高点与最低点横坐标差是 3?,又:图象过点(0,1),求函数解析式。 T 1 2? ? 6? 从而: ? ? 解:易知:A = 2 半周期 ? 3? ∴T = 6? 即 2 3 ? 1 设: y ? 2 s i n ( x ? ?) 令 x = 0 有 2 sin ? ? 1 3 ? ? 1 ? 又: | ? |? ∴? ? ∴所求函数解析式为 y ? 2 s i n ( x ? ) 2 3 6 6
10.已知函数 f(x)=Asinω x+Bcosω x(A、B、ω 是实常数,ω >0)的最小正周期为 2, 1 并当 x= 时, f ( x) max ? 2 . 3 (1)求 f(x). 21 23 (2)在闭区间[ , ]上是否存在 f(x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程; 4 4 如果不存在,请说明理由. 解: (1)由 T ?

2?

?

? 2, 得? ? ? ? f ( x) ? A sin ? x ? B cos ? x

? ? ? ?A ? 3 ? A sin 3 ? B cos 3 ? 2 ? 由题意可得 ? 解得 ? ?B ? 1 ? ? A2 ? B 2 ? 2 ?
? f ( x) ? 3 sin ? x ? cos ? x ? 2sin(? x ? ) 6 ? ? 1 (2)令 ? x ? ? ? k? , k ? Z 所以 x ? ? k , k ? Z 6 2 3

?

5



21 1 23 59 65 ?k ? 5 ? ?k ? ?k? 得 4 3 4 12 12
21 23 16 , ]上只有 f(x)的一条对称轴 x= 3 4 4

所以在[

作业本
A组 1.将函数 y ? 5sin(?3x) 的周期扩大到原来的 2 倍,再将函数图象左移 解析式是 ( )

? ,得到图象对应 3

3? 3x ? ) 2 2 ? 3x (C) y ? 5sin( ? ) 2 2
( A) y ? 5sin(
1.A

( B ) y ? 5sin(

7? 3x ? ) 10 2

(D) y ? 5sin(?2? ? 6 x)

2. 已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) 在同一周期内, x ? 当

?

9 1 取得最小值 ? ,则该函数的解析式是 ( ) 2 1 ? 1 ? ( A) y ? 2sin( x ? ) ( B ) y ? sin(3 x ? ) 3 6 2 6 1 ? 1 ? (C ) y ? sin(3 x ? ) ( D) y ? sin(?3 x ? ) 2 6 2 6
2.B 提示:代入验证 3.要得到函数 y ? 图象上所有的点的(

时, 取得最大值

1 4? , x? 当 时, 2 9

2 cos x 的图象,只需将函数 y ? 2 sin( 2 x ?
)

?
4

)的

? 个单位长度 4 ? B.横坐标伸长到原来的 2 倍,再向右平行移动 个单位长度 8 1 ? C.横坐标缩短到原来的 倍,再向右平行移动 个单位长度 2 4 1 ? D.横坐标缩短到原来的 倍, 再向左平行移动 个单位长度 2 8
A.横坐标伸长到原来的 2 倍,再向左平行移动 3.A

6

4.函数 y=

1 π 2x sin( - )的单调减区间是 2 4 3 3π 9π 4. kπ - ,3kπ + [3 ] (k ? Z ) , 8 8



5.已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0,| ? |? ? )的一段图象如 下图所示,则函数的解析式为 5. y ? 2sin(2 x ? .

2

? 3? ? 0 ) 8 4 T 3? ? ? ? (? ) ? ,∴ T ? ? ,∴ ? ? 2 , ?2 提示:由图得 A ? 2, ? 2 8 8 2 ? ∴ y ? 2sin(2 x ? ? ) ,又∵图象经过点 ( ? , 2) , 8 ? ? ? ∴ 2 ? 2sin( ? ? ? ) ,∴ ? ? ? 2k? ? ( k ? Z ) , 4 4 2 3? 3? ∴ ? ? 2 k? ? ,∴ ? ? 4 4
6、已知函数 f ( x) ? 2 cos x sin( x ?

3? 8

?

象可由 y ? sin x ( x ? R )的图象经过怎样的变换得到? 解: f ( x) ? 2cos x( sin x ?

3

) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x ? 2 ( x ? R ) ,该函数的图

? ? 2sin x cos x ? 3(cos2 x ? sin2 x) ? 2 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2 ? 2sin(2 x ? ) ? 2 3 ? ? ①由 y ? sin x 的图象向左平移 个单位得 y ? sin( x ? ) 图象, 3 3 1 ? ②再保持图象上各点纵坐标不变,横坐标变为原来的 得 y ? sin(2 x ? ) 图象, 2 3 ? ③再保持图象上各点横坐标不变,纵坐标变为原来的 2 倍得 y ? 2sin(2 x ? ) 图象, 3 ? ④最后将所得图象向上平移 2 个单位得 y ? 2sin(2 x ? ) ? 2 的图象. 3 ? 说明: (1)本题的关键在于化简得到 y ? 2sin(2 x ? ) ? 2 的形式; (2)若在水平方向先伸 3 ? 缩再平移,则要向左平移 个单位了. 6 ? 7? 2 2 ) 的最小值,求其 7.求函数 f ( x) ? 5 3 cos x ? 3 sin x ? 4sin x cos x( ? x ? 4 24
单调区间. 解: f ( x) ? 5 3 cos2 x ? 3sin 2 x ? 4sin x cos x ? 2 3 cos 2 x ? 2sin 2 x ? 3 3

1 2

3 cos x) ? 3 cos 2 x ? sin x cos x ? 2 2

? 4 cos(2 x ? ) ? 3 3 6 ? 7? 2? ? 3? ? 2x ? ? 因 ?x? ,故 ,所以 f ( x ) 的最小值为 3 3 ? 2 2 4 24 3 6 4
7

?

单调递减区间为 ?

? ? 7? ? , ? 4 24 ? ?

8.若函数 f ( x) ? 2a sin x cos x ? 2a(sin x ? cos x) ? a ? b 的定义域为 [0, 为 [?5,1] ,求 a , b 的值. 解:令 sin x ? cos x ? t ,则 sin x cos x ?

?
2

] ,值域

? t 2 ?1 ,又 x ? [0, ] ,故 t ?[1, 2] 2 2

所以 y ? at ? 2at ? b ? a(t ?
2

2 2 1 ) ? b ? a ,由题意知: a ? 0 2 2

1.

当 a ? 0, t ?[1, 2] 得: ?

?(1 ? 2a) ? b ? ?5 ? 解之得 a ? 6( 2 ? 1), b ? 1 ?b ? 1 ?

2.

当 a ? 0, t ?[1, 2] 得: ?

?(1 ? 2a) ? b ? 1 ? 解之得 a ? ?6( 2 ? 1), b ? ?5 (舍 ?b ? ?5 ?

去) 综上知: a ? 6( 2 ? 1), b ? 1

B组 1.下列函数中,图像的一部分如右图所示的是( ? (A) y ? sin( x ? ) (B) y ? sin(2 x ? ? ) 6 6 ? (C) y ? cos(4 x ? ) (D) y ? cos(2 x ? ? ) 3 6 1.D 2.已知函数 y ? sin(? x ? ? ) ,(? ? 0) 与直线 y ? 离为

)

? ,那么此函数的周期是 ( ) 3 ? 2? 4? A B C D ? 3 ? 5? ? 2 k? ( k ? Z ) , 2.B 提示: ? x ? ? ? ? 2k? (k ? Z ) 或 ? x ? ? ? 6 6 2? 2? 2? ? (? x2 ? ? ) ? (? x1 ? ? ) ? ? 得? ? 2 , x2 ? x1 ? ,令 3 3? 3? 3
8

1 的交点中,距离最近的两点间距 2

3.若 0 ? ? ? ? ?

?
4

, sin ? ? cos ? ? a , sin ? ? cos ? ? b ,则





( A) a ? b

(B) a ? b

(C ) ab ? 1

( D) ab ? 2

3.A 提示: a ? sin ? ? cos ? ?

?

?
4

?? ?

?
4

???

?
4

?

?

2 sin(? ? ) , b ? sin ? ? cos ? ? 2 sin( ? ? ) 4 4

?

?

? 2 sin(? ? ) ? 2 sin( ? ? ) 2 4 4

?

?

4.把 y=cos(x+ 是 4.

4π )图象向左平移 ? (? ? 0) 个单位,所得函数为偶函数,则 ? 的最小值 3 .

2π 3 5.①函数 y ? tan x 在它的定义域内是增函数;②若 ? 、 ? 是第一象限角,且 ? ? ? ,则

tan ? ? tan ? ;③函数 y ? A sin(? x ? ? ) 一定是奇函数;④函数 y ?| cos(2 x ?
小正周期为

?
3

) | 的最

? .上列四个命题中,正确的命题是 2



5.④ 6.如图为某三角函数图象的一段 (1)用正弦函数写出其中一个解析式; (2)求与这个函数关于直线 x ? 2? 对称的函数解析 式,并作出它在[0, 4? ]内的简图。 解: (1) T ?

? 13? 1 令y ? 3 sin( x ? ? ) 由 图 它 过 3 2 3 -3 ? 1 ? ? ( ,0),? 0 ? 3 sin( ? ? ? ) ? ? ? (为其中一个值) 3 2 3 6 1 ? 所以 y ? 3sin( x ? ) 2 6 (2) 令(x,y)是所求函数图象上任意一点,该点关于直线 x ? 2? 对称点为 (4? ? x, y) 1 ? 1 ? 该点在函数 y ? 3sin( x ? ) 的图象上,所以 y ? 3sin[ (4? ? x) ? ] 2 6 2 6 1 ? 即所求函数解析式为 y ? ?3 sin( x ? ) 2 6
7.如图,函数 y ? 2sin(? x ? ? ) ,x∈R,(其中 0 ? ? ?

13? ? 2? 1 ? ? 4? ,?? ? ? , 又A ? 3, 3 3 T 2

?
2

)的图象与 y 轴交于点(0,1).

9

(Ⅰ)求 ? 的值;

(Ⅱ)设 P 是图象上的最高点, N 是图象与 x 轴的交点, PM与PN的夹角 余弦。 M、 求 . 值 解: (I)因为函数图像过点 (0,1) ,所以 2sin ? ? 1, 即 sin ? ? 因为 0 ? ? ?

?
2

,所以 ? ?

?
6

1 . 2

.

1 1 5 ) 及其图像,得 M (? , 0), P( , 2), N ( , 0), 6 6 3 6 ???? ??? ? ? ???? ? ???? 1 ???? ??? ? ? 1 15 PM ? PN ? ??? ? ? 所以 PM ? (? , ?2), PN ? ( , ?2), 从而 cos ? PM , PN ?? ???? 2 2 | PM | ? | PN | 17
(II)由函数 y ? 2sin(? x ?

?

8.已知函数 y ? a sin x ? b cos x ? c 的图象上有一个最低点

? ?1 1 ? ,1? ,将图象上每个点的 ? ? 6 ?

纵坐标不变,横坐标缩小到原来的

3

?

,然后将所得图象向左平移一个单位得到 y ? f ( x) 的

图象,若方程 f ( x )? 3 的所有正根依次成为一个公差为 3 的等差数列,求 y ? f ( x) 的解 析式。 解:原函数可化为 y ?

a 2 ? b2 sin( x ? ? ) ? c (其中 ? 为辅助角,满足 cos ? ?

a a 2 ? b2



且 sin ? ?

b a 2 ? b2

) ,因为 ?

? ?1 1 ? ,1? 是它的最低点,所以 ? 6 ?

? ?11? 7? ? 6 ? ? ? 2k? ? 2 (k ? Z )且 a 2 ? b 2 ? c ? 1 解得 ? ? 2k? ? ? 3 ? ? a 2 ? b 2 ? c ? ?1 ?
所以 y ? (c ? 1) sin( x ?

?
3

) ? c 按题给变换后得 f ( x) ? (c ? 1) sin

?
3

x?c

方程 f ( x) ? 3 的的正根就是直线 y ? 3 与 y ? f ( x) 的图象交点的横坐标, 它们成等差数列, 即 y ? 3 与 y ? f ( x) 相邻交点间的距离都相等。 直线 y ? 3 满足以上要求只能有三个位置:一是过图象最高点且和 x 轴平行的直线 l1 ,二是
10

过图象最低点且和 x 轴平行的直线 l2 ,三是和 l1 、 l2 平行且等距的直线 l3 ,而图象最低点为

? 11? ? ,1? ,故不可能是 l2 .假若直线 y ? 3 在 l1 ,交点间隔为一个周期6,即正根的公 ? ? 6 ?
差为6,不合题意,所以 y ? 3 只能在 l3 位置,所以 c ? 3 , f ( x) ? 2sin

?
3

x ? 3 ,此时由

sin

?
3

x ? 0 得 x ? 3k ,正根可组成一个公差为 3 的等差数列,符合题意。

11


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