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指导文本二


(2010.12.01)应用概率统计课程辅导(统计部分) (文本)
本学期第二次辅导开始了!今天辅导统计部分。内容包括书中的最后 5 章。 辅导 1 数理统计基本概念 基本概念包括:总体、个体、样本、统计量;基本计算:样本均值、样本方差、样本矩; 基本分布:3 个,详见教材;熟练掌握正态总体的样本均值和样本方差的分布。 辅导 2 参数估计 基本概念:矩估计、最大似然估计

、估计量好坏标准、区间估计。 辅导 3 假设检验 基本概念:基本思想、正态总体参数的显著性检验方法、2 个正态总体参数的显著性检 验方法。 辅导 4 回归分析与方差分析 基本内容:回归分析、方差分析。 辅导 5 正交试验设计 这部分内容只需要了解即可。 辅导 6 基本解题思路 1.学习概率论的基本概念时,首先要注意这些概念的统计背景。 概率论部分的基本概念比较多,特别从第二章“随机变量及其分布”开始,似乎“高 难动作”一个接着一个来。如果对基本概念不能很好理解,势必影响自学的信心。实际上, 概率论的许多基本概念来源于统计实践,因此弄清其统计背景乃是入门的向导。例如,概率 来源于频率,它是大量独立重复试验时频率的稳定值。因此,频率是概率的先导。而概率又 是频率的抽象和发展。 进而可理解概率的某些基本特性也是相应的频率特性的高度概括和抽 象。又如,离散随机变量的期望恰恰是加权平均值概念的提升和推广等等。 2.重视概念的甄别,即弄清某些容易混淆的概念之间的区别。 在概率论中存在许多容易混淆的概念,如果不能认真区分,仔细加以甄别,就不能正确 理解这些重要概念,在应用时就会产生各种各样的错误。 ? 互不相容事件与相互独立事件是最容易混淆的一对概念 “互不相容”是指两个事件不能同时发生。而“相互独立”则是指一个事件发生与否 对另一事件发生的概率没有影响。 ? 随机变量的独立性与不相关性是两个既有区别又有联系的概念 对两个随机变量而言,相互独立 ? 不相关。 3.善于识别一些重要的概率模型并能正确进行计算是提高分析和解决概率实际问题能 力的关键。 在概率论中有许多经长期实践概括出的重要概率模型(简称“概型” ) ,学生必须了解其 背景、特点和适用范围,要熟记计算公式,以便能正确应用。例如: (1)古典概型:一类具有有限个“等可能”发生的基本事件的概率模型。 (2)完备事件组模型:若干个两两互不相容的事件在一次试验中有且仅有一个发生的 一类概率模型。 它主要用于某些复杂事件的计算——全概率公式, 以及某些条件概率的计算
1

——贝叶斯公式。 (3)伯努利概型与二项分布模型:伯努利概型是关于独立重复试验序列的一类重要的 概率模型,其特点是各个重复试验是独立进行的,且每次试验中仅有两个对立的结果:事件

A 发生或不发生,则在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 v 次的概率为
v v Pn (v) ? Cn p (1 ? p) n?v ,其中 p ? P( A) 。

(4)普阿松分布:例如,电话交换台在单位时间内所接到的呼唤次数;到某商店去购 物的顾客人数;放射性物质不断放出的质点数。 (5)正态分布——最重要的概率模型:人体的身高、体重,测量的误差等都服从正态 分布。 (6)均匀分布——“等可能”取值的连续化模型:如果连续随机变量 X 仅在某有限区 间 [ a, b] 内取值,且具有概率密度

? 1 , ? f ( x) ? ? b ? a ? ?0,
则称 X 服从区间 [ a, b] 上的均匀分布。

a? x?b 其它

除以上 6 种常见的概率模型外,还有指数分布,随机变量的函数等模型,不再一一列 举,可参看教材、录像等有关内容。 4.对于某些难度较大的特殊算法要在理解的基础上进行“典例复算” 学生普遍反映本课程自学较难,除概念抽象外,恐怕一些特殊的计算方法也会带来不 少学习上的困难。要突破这一点,最好的方法是将有关的典型例题读完后,合上书,认真复 算一遍,边算边加深理解。 例如,关于已知随机变量的分布列或概率密度,求分布函数的方法。从分布函数的定 义

F ( x) ? P{X ? x}
出发,可得出关于离散随机变量和连续随机变量分布函数的计算公式,分别为

F ( x) ? ? P{X ? xi } ? ? pi ,
xi ? x xi ? x



F ( x) ? ? f (t )dt ,
??

x

困难在于这两个公式的具体应用。 5.学习数理统计部分,最重要的是要领会各种统计方法内在的统计思想,其次是要 熟练掌握操作步骤。 例如, 最大似然估计法的主要统计思想是: 如果在一次试验中, 某个样本 x1 , x2 , ?, xn 一旦出现, 就有理由认为该样本出现的概率最大。 具体操作时, 只要利用总体的已知分布 (其 中包含待估的未知参数)构造样本的联合分布,即似然函数,再应用微积分的极值原理找出

2

最大值点,即得最大似然估计量。 数理统计既然是用部分去推断总体,特别是区间估计和假设检验都只是根据一次抽样 所得的样本值去下结论,这就不可能不犯错误,于是就产生了区间估计的可靠性(置信度) 和假设检验的两类错误问题。 这就是说, 数理统计工作者对实际问题下结论时往往不是简单 地回答“是”或“非” ,而是带有一定的犯错误的概率。这样做,既体现了实事求是的科学 精神,又鼓励人们通过不断实践,经过多次试验逐步获得较为准确和可靠的结论。学生在学 习数理统计这部分内容时应充分领会和把握统计方法的这一重要特色。 6.在重视基本概念、基本理论和基本方法学习的前提下,也要注意概率统计中专用语 言和符号的规范使用。 根据本课程的以往教学经验,学生的学习效果不容乐观。许多学生对基本知识和基本 技能不能正确理解和掌握。例如,求得的概率是负值或大于 1,方差小于 0,相关系数大于 1 等错误大有人在;对于“至少发生 1 个” 、 “至多发生 2 个”等概率论专用语言不理解,从 而不能正确表达事件;计算概率时,对有关事件“ A , B , C ”等或有关随机变量 X , Y 等的含义不事先设定;正态分布计算中对一般的正态变量不作“标准化变换” ;关于事件或 随机变量独立性的判定或证明更是错误百出,答非所问。特别是数理统计部分,极易在不理 解统计思想的前提下,生搬硬套现成的步骤,乱答一通。这些现象充分说明,学生一定要重 视基本概念、基本原理和基本方法的真正理解和掌握。 7.必须做相当多的习题。 凡数学课程,只是看书而不做习题是很难真正掌握好的。通常是,看书时明白了,当要 做习题时又无从下手。 做习题能帮助我们复习提高, 加深对概念的理解, 对方法本质的掌握。 辅导 7 基本题型 一、填空题(每空格 3 分) 1. 设 A, B 为 随 机 事 件 , P( A) ? 0.4 , P( A ? B) ? 0.7 , 则 当 A, B 互 不 相 容 时 ,

P( B) ?

0.3

;当 A, B 相互独立时, P( B) ?
2

0.5

; (容易题)

2 2. 设总体 X 服从正态分布 N (?,? ) ,已知方差 ? 2 ? ? 0 ,要使总体均值 ? 对应于置

信度为 1 ? ? 的置信区间的长度不大于 l ,则应抽取容量为 (中等题) 二、判断题(每题 2 分)

n?

4 2 2 u? ? 0 l2 2

的样本。

1. 设随机变量 ( X , Y ) 服从二维正态分布,则 X 与 Y 相互独立的充要条件是它们不相 关。 (是) (容易题) 2. 中心极限定理说明,不论随机变量 X 1 , X 2 ,?, X n 服从何种分布,在一定条件下它们
3

的总和一定近似服从正态分布。 (是) (容易题) . 三、计算题(每题 7 分) 1. 设球队 A 与 B 进行比赛,若有一队胜 4 场,则比赛结束。已知 A、B 两队在每场比

赛中获胜的概率均为

1 ,试求需要比赛场数的数学期望。 (中等题) 2 解:设需要比赛的场数为 X ,则 X 的可能取值为 4,5,6,7,且相应的概率

?1? 1 P( X ? 4) ? C ? ? ? ? 2? 8
1 2

4

?1? ?1? 1 1 P( X ? 5) ? C ? C ? ? ? ? ? ? ?2? ? 2? 2 4
1 2 3 4 1 3? 1 ? P( X ? 6) ? C2 ? C5 ? ? ? 2? 3

3

?1? 1 5 ? ? ? ? ? 2 ? 2 16 ?1? 1 5 ? ? ? ? ? 2 ? 2 16
3

2

?1? P( X ? 7) ? C ? C ? ? ? 2?
1 2 3 6

3



1 1 5 5 93 E( X ) ? 4 ? ? 5 ? ? 6 ? ? 7 ? ? ?6 8 4 16 16 16
2. 设公共汽车站每隔 10 分钟有一辆汽车通过,乘客在 10 分钟内任一时刻到达汽车站 是可能的,求乘客候车时间不超过 7 分钟的概率。 (容易题) 解:设乘客到达汽车站后等车的时间为 X ,在 X 在(0,10)内服从均匀分布,其概 率密度函数

?0.1,0 ? x ? 10, f ( x) ? ? ?0, 其他
故所求概率
7

P(0 ? X ? 7) ? ? 0.1dx ? 0.7
0

三、证明题(15 分) 1.在 n 次试验中,事件 A 在第 i 次试验中发生的概率为 pi (i ? 1,2, ?, n) ,试证明事件

A 发生的频率稳定于概率的平均值。 (较难题) 证明:设 X 表示在 n 次试验中事件 A 发生的次数,若引入随机变量

?1, 第i次试验中A发生, i ? 1,2,?, n. Xi ? ? ?0,第i次试验中A不发生,

4

则 Xi ?

?X ,X
i ?1 i

n

i

服从二点分布,即分布律为

Xi
P

0

1

1 ? pi

pi

且 E( X i ) ? pi , D( X i ) ? pi (1 ? pi ) ? pi qi 。由于

( pi ? qi ) 2 ? ( pi ? qi ) 2 ? 4 pi qi ? 1 ? 4 pi qi ? 0,


1 D( X i ) ? pi qi ? , i ? 1,2,?, n. 4 因此由契比雪夫大数定律可知,对任意的 ? ? 0 有

?1 n ? 1 n lim P? X ? E( X i ) ? ? ? ? ? i ? ? 1, n?? ? n n i ?1 ? i ?1 ?


?X 1 n ? ? lim P? ? p ? ? ? i ? ? 1, n?? ? n n i ?1 ? ?
可见,当 n 充分大时,事件 A 发生的频率

X 1 n 稳定于概率的平均值 ? pi 。 n n i ?1

辅导 8 具体题解 1.设 k 服从(0,5)上均匀分布,求方程
4 x 2 ? 4kx ? k ? 2 ? 0

有实根的概率。 略解:由 ? ? (4k )2 ? 16(k ? 2) ? 16(k ? 1)(k ? 2) ? 0, 得 k ? ?1 或 k ? 2, 因而

P?k ? 2? ? ?

51

2

5

dx ? 0.6 。

2.6.设二维连续型随机向量 ( X , Y ) 的联合密度函数具有如下形式

?C, 8 ? x ? 10, 7 ? y ? 9; f ( x, y) ? ? ? 0, 其它。 试求常数 C ,并判断 X 与 Y 是否相互独立?
解:利用

? ?

?? ??

?? ??

f ( x, y)dxdy ? 1 ,可得 C ? 1 / 4 。

X 与 Y 的分布密度分别为

5

?1 / 2, 8 ? x ? 10; f X ( x) ? ? 其它。 ? 0,
因为

?1 / 2, 7 ? y ? 9; f Y ( y) ? ? ? 0, 其它。

f ( x, y) ? f X ( x) ? f Y ( y)
所以 X 与 Y 相互独立。 3.设在相同条件下,独立地对某物体的长度 a 进行 n 次测量,各次测量的结果 X i 均服从正 态分布 N (a, ? 2 ) ,记 X ? 的概率。 解:因为诸 X i 相互独立且 E? X i ? ? a, D? X i ? ? ? 2 。所以

1 n ? X i ,试用契比雪夫不等式估计 X 落在 ?a ? 3? , a ? 3? ?内 n i ?1

E X ? E(

? ?

1 n 1 n X ) ? E ? X i ? ? a, ? i n? n i ?1 i ?1
1 n 1 Xi ) ? 2 ? n i ?1 n 1 ? D? X ? ? n ?
i ?1 i n 2

D X ? D(

? ?

,

根据契比雪夫不等式,有

P a ? 3? ? X ? a ? 3? ? P ? 3? ? X ? a ? 3?
? P X ? a ? 3? ? 1 ?

?

? ?

?

?

?

?3? ?2

DX

? ? ? 1? 1 。
9n

注:第五章(大数定律与中心极限定理)这部分内容理论性很强,难度较大,大家只需 会利用契比雪夫不等式和中心极限定理估计和近似计算一些简单事件的概率就行了。 4.设总体 X 的概率密度为

?(? ? 1) x? , 0 ? x ? 1 f ( x;? ) ? ? 其它 ? 0,
式中 ? >-1 是未知参数, X 1 , X 2 ,?, X n 是来自总体 X 的一个容量为 n 的简单随机样本, 分别用矩估计法和最大似然估计法求 ? 的估计量。 解:因为总体 X 的分布只含有一个未知参数,所以用矩估计法首先求出 E ( X )

E( X ) ? ?

?? ??

xf ( x;? )dx ? ? (? ? 1) x? ?1dx ?
0

1

? ?1 ? ?2

由矩估计法知,令

?+1 =X ?+2
得参数 ? 的矩估计量 ?= 似然函数为
6

2 X-1 ? ? ??。 1-X

? ? n ? n ? ?? (? ? 1) xi? ? (? ? 1) n ?? xi ? L(? )=? i ?1 ? i ?1 ? ? 0, ?

0 ? x1 , ?, x n ? 1, 其它

对 0 ? xi ? 1, i =1,2,?n,对 L(? ) 取自然对数,则有

log L(? ) ? n log(? ? 1) ? ? ? log xi
i ?1 n d log L(? ) n ? ? ? log xi ? 0 d? ? ? 1 i ?1

n



1- 得 ?=-

n

? log x
i ?1

n

?, ? ??
i

所以参数 ? 的最大似然估计量为

? =-1-

?

n

? log X
i ?1

n


i

5.利用“拆分法”技巧,证明:若 A ? B ,则 P( A) ? P( B) 。

(2)设 X 服从区间 [0, 1] 上的均匀分布,试证明 Y ? 2 X ? 1 也服从均匀分布。 证明:由题设可知 X 服从区间 [0, 1] 上的均匀分布,所以 X 的密度函数为

?1, 0 ? x ? 1, f X ( x) ? ? 其他。 ?0,
先求 Y ? 2 X ? 1 的分布函数:

7

P (Y ? y ) ? P (2 X ? 1 ? y ) ? P ( X ?

y ?1 )?? 2 ?? 2

y ?1

y ?1 ? ? 0, ? 0, 2 ? y ?1 ? y ?1 f X ( x)dx ? ? , 0? ? 1, 2 ? 2 y ?1 ? 1, ? 1。 ? 2 ?

再对 y 求导数可得 Y 的密度函数为

?1 ? , 1 ? y ? 3, fY ( y) ? ? 2 ? 其他。 ? 0,
故 Y 服从 [1, 3] 上的均匀分布。

12 月底考试辅导 本学期考试辅导将对考试做一些解析,包括题型、分值的变化 同学们请见课程端本次辅导内容,今天的辅导到此结束,下次考试辅导见!

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