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【优化方案】(山东专用)2016年高考数学二轮复习 第一部分专题五 解析几何 第1讲 直线与圆课件 理


专题五

解析几何

第1讲 直线与圆

专题五

解析几何

2016考向导航 本讲对直线的考查,主要是求直线的方程;两条直线平行与 垂直的判定;两条直线的交点和距离等问题,一般以选择

题、填空题的形式考查.对于圆的考查,主要是结合直线的
方程

用几何法或待定系数法确定圆的标准方程;直线与圆、 圆与圆的位置关系等问题,其中含参数问题为命题热点,一 般以选择题、填空题的形式考查,难度不大.有关涉及圆的 解答题有逐渐强化的趋势.

1.活用公式与结论 (1)两种常用距离公式 |Ax0 + By0+ C| ①点到直线的距离: d= (其中点 P(x0, y0),直 2 2 A +B 线方程为: Ax+ By+ C= 0); ②两平行线间的距离: d= |C2 - C1 | A +B
2 2

(其中两平行线方程分别为

l1 : Ax+ By+ C1= 0, l2: Ax+ By+ C2 = 0).

(2)直线 l1: A1 x+ B1 y+ C1= 0 与直线 l2: A2 x+ B2 y+ C2= 0 的 位置关系 ①平行? A1 B2- A2 B1= 0 且 B1 C2- B2 C1≠ 0; ②相交? A1 B2- A2 B1≠ 0; ③重合? A1 B2- A2 B1= 0 且 B1 C2- B2 C1= 0; ④垂直? A1 A2+ B1 B2= 0.

(3)判定直线与圆位置关系的两种方法 ①代数方法 (判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况 ): Δ>0?相交,Δ <0?相离,Δ = 0? 相切; ②几何方法 (比较圆心到直线的距离与半径的大小 ): 设圆心到 直线的距离为 d, 则 d<r?相交,d>r?相离,d= r?相切. (主 要掌握几何方法 )

2.辨明易错易混点 (1)应用两平行线间距离公式时,两平行线方程中 x,y 的系数应 对应相等. (2)应用点斜式、斜截式方程时,注意它们不包含垂直于 x 轴的 直线;应用两点式方程时,注意它不包含与坐标轴垂直的直线; 应用截距式方程时,注意它不包括与坐标轴垂直的直线以及过 原点的直线. (3)讨论两条直线的位置关系时,易忽视系数等于零时的讨论导 致漏解,如两条直线垂直时,一条直线的斜率不存在,另一条 直线斜率为 0. (4)易误认两圆相切为两圆外切, 忽视两圆内切的情况导致漏解.

考点一

直线的方程

[命题角度] 1.求直线的方程. 2.判断两条直线的位置关系. 3.以直线为载体考查与相关知识的交汇问题.

(1)(2015· 潍坊市摸底考试 )“ a=- 1”是“直线 ax+ 3y + 3= 0 和直线 x+ (a-2)y+ 1= 0 平行”的 ( C ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

(2)在△ ABC 中, A(1, 1), B(m, m)(1<m <4), C(4, 2),则 当△ ABC 的面积最大时,m= ( B ) 3 A. 2 1 C. 2 9 B. 4 1 D. 4

[思路点拨]

(1)利用直线平行的判断方法.

(2)先求AC的值,再利用点到直线的距离公式求出点B到AC

的距离,最后表示出面积.

[解析]

(1)依题意,注意到直线 ax+ 3y+ 3= 0 和直线 x+(a a 1 - =- , 3 a- 2

? - 2)y+ 1= 0 平行的充要条件是? 1 ?a- 2≠ 1,
解得 a=- 1.

(2)由两点间距离公式可得 |AC|= 10,直线 AC 的方程为 x- 3y+ 2= 0, |m- 3 m+ 2| 所以点 B 到直线 AC 的距离 d= , 10 1 1 所以△ ABC 的面积 S= |AC|d= |m- 3 m+ 2| 2 2 3 ?2 1 ? 1?? = ?? m- ? - ?. 2 2 4

又 1<m<4, 所以 1< m<2, 3 所以当 m= , 2 9 即 m= 时,S 取得最大值. 4

方法归纳 (1)求解两条直线平行的问题时,在利用A1B2-A2B1=0建立 方程求出参数的值后,要注意代入检验,排除两条直线重 合的可能性.

(2)要注意几种直线方程的局限性.点斜式、两点式、斜截
式要求直线不能与x轴垂直.而截距式方程不能表示过原点 的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线. [注] 求直线方程要考虑直线斜率是否存在.

1.(2014· 高考福建卷 )已知直线 l 过圆 x + (y- 3) =4 的圆心, 且与直线 x+ y+ 1= 0 垂直,则 l 的方程是 ( D ) A. x+ y- 2= 0 C. x+ y- 3= 0 B. x- y+ 2= 0 D. x- y+ 3= 0

2

2

解析:圆 x2+ (y- 3)2=4 的圆心为点(0, 3),又因为直线 l 与 直线 x+ y+ 1= 0 垂直,所以直线 l 的斜率 k= 1.由点斜式得 直线 l: y- 3= x- 0,化简得 x- y+ 3= 0.

2.若动点 A, B 分别在直线 l1: x+ y- 7=0 和 l2: x+ y- 5 = 0 上运动, 则 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为 ( C ) A. 2 C. 3 2 B. 2 2 D. 4 2

解析:由题意知 AB 的中点 M 的集合为到直线 l1:x+ y- 7= 0 和 l2: x+ y- 5=0 的距离相等的直线,则点 M 到原点的距 离的最小值为原点到该直线的距离.设点 M 所在直线的方程 |m+ 7| 为 l: x+ y+m= 0,根据平行线间的距离公式得, = 2 |m+ 5| ,即 |m+ 7|= |m+ 5|,所以 m=- 6,即 l:x+ y- 6= 0, 2 根据点到直线的距离公式,得点 M 到原点的距离的最小值为 |- 6| = 3 2. 2

3. (2015· 太原模拟 )已知 {(x, y)|(m+ 3)x+ y= 3m- 4}∩{(x, y)|7x+ (5-m)y- 8= 0}=?, 则直线 (m+ 3)x+ y= 3m+4 与坐 标轴围成的三角形面积是( B ) A. 1 C. 3 B. 2 D. 4

解析:由于{(x,y)|(m+ 3)x+ y= 3m- 4}∩ {(x,y)|7x+(5-m)y - 8= 0}=?,故直线 (m+ 3)x+ y= 3m-4 与直线 7x+(5-m)y - 8= 0 平行,则有 7× 1=(5-m )· (m+ 3)且 7× (3m- 4)≠ 8×(m+ 3).由 7× 1= (5-m)· (m+ 3)整理得 m - 2m- 8 = 0,解得 m=-2 或 m= 4.由 7× (3m- 4)≠ 8× (m+ 3),得 m≠ 4,所以 m=-2,故直线 (m+ 3)x+ y= 3m+ 4 的方程为 x + y=- 2,交 x 轴于点(- 2, 0),交 y 轴于点(0,- 2),故直 1 线 (m+ 3)x+ y= 3m+4 与坐标轴围成的三角形面积是 × 2× 2 2= 2,故选 B.
2

考点二

圆的方程

[命题角度] 1.利用几何性质求圆的方程. 2.利用待定系数法求圆的方程. 3.借助圆的方程研究圆的简单性质.

(1)过三点 A(1, 3), B(4, 2), C(1,- 7)的圆交 y 轴于 M, N 两点,则 |MN|= ( C ) A. 2 6 C. 4 6 B. 8 D. 10

(2)(2015· 高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,以点(1, 0) 为圆心且与直线 mx- y- 2m- 1= 0(m∈ R)相切的所有圆中,
2 + y2 = 2 ( x - 1) 半径最大的圆的标准方程为 ____________________. [思路点拨] (1)由已知三点,求出圆的方程,然后求出M,

N的坐标,进而求出|MN|. (2)先确定直线过的定点,再求圆的标准方程.

[解析]

(1)设圆的方程为 x2+ y2+ Dx+ Ey+ F= 0,

D+ 3E+ F+ 10= 0, D=- 2, ? ? ? ? 则?4D+ 2E+ F+ 20= 0,解得?E= 4, ? ? ?D- 7E+ F+ 50= 0. ?F=- 20. 所以圆的方程为 x + y - 2x+ 4y- 20= 0. 令 x= 0,得 y=- 2+ 2 6或 y=- 2- 2 6, 所以 M(0,- 2+ 2 6),N(0,- 2- 2 6)或 M(0,- 2- 2 6), N(0,- 2+ 2 6),所以 |MN|= 4 6. (2)直线 mx- y- 2m- 1= 0 经过定点 (2,- 1). 当圆与直线相切于点(2,- 1)时,圆的半径最大,此时半径 r 满足 r =(1- 2) + (0+ 1) = 2.
2 2 2 2 2

方法归纳 求圆的方程的两种方法 (1)直接法:利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系, 数形结合直接求出圆心坐标、半径,进而求出圆的方程. (2)待定系数法:先设出圆的方程,再由条件构建系数满足的 方程 (组 )求得各系数,进而求出圆的方程.

1. (2015· 烟台模拟)已知圆 C: (x- a)2+(y-b)2= r2 的圆心为 抛物线 y2=4x 的焦点,直线 3x+ 4y+2= 0 与圆 C 相切,则 该圆的方程为( C ) 64 A. (x-1) + y = 25
2 2

64 B.x + (y- 1) = 25
2 2

C. (x-1)2+ y2= 1

D. x2+ (y-1)2= 1

解析:因为抛物线 y2 = 4x 的焦点为 (1,0),所以 a= 1,b= 0, 3+ 2 又直线 3x+ 4y+ 2= 0 与圆 C 相切, 得 r= = 1, 所以该圆 5 的方程为 (x- 1)2+ y2= 1.故选 C.

2.已知圆C关于y轴对称,经过点A(1,0),且被x轴分成的
2 4 3 ? ? x2 +?y± ? = 3 3 两段弧长比为1∶2,则圆C的方程为_________________ .
解析:因为圆 C 关于 y 轴对称, 所以圆 C 的圆心 C 在 y 轴上,可设 C(0, b). 设圆 C 的半径为 r. 则圆 C 的方程为 x2+ (y- b)2= r2 .

? 依题意,得? 1 | b | = r, ? ? 2

2 2 2 1 +(- b ) = r , ?

? 解之得? 3 ?b= ± 3 .
2

4 r= , 3

3? 4 2 ? 所以圆 C 的方程为 x +?y± ? = . 3 3
2

3.若圆心在 x 轴上方的圆 M 经过直线 l: 2x+ y+ 4= 0 与圆 C: x2+ y2+ 2x- 4y= 0 的交点,且圆心 M 到直线 2x+ 6y- 5 = 0 的距离为 3 10,则圆 M 的方程为

x2+y2-20x-15y-44=0 ________________________________________ .

解析:由题意可知,圆心在过点 C(- 1,2)且垂直于直线 l 的 直线 x- 2y+ 5= 0 上,设圆心 M(2y0- 5, y0 )(y0 >0),由点 M |4y0 - 10+ 6y0- 5| 到直线 2x+ 6y- 5= 0 的距离为 3 10得, = 2 10 9? 15 ? 15? ? 3 10,所以 y0= ?舍去- ?,即圆心 M 的坐标为?10, ?, 2 2 2 625 ? 2 2 ? 则可设圆 M 的方程为 x + y - 20x- 15y+ D= 0?D< . 联立 ? 4 直线 l 与圆 C 的方程可得直线 l 与圆 C 的一个交点为 (- 2, 0), 且此点在圆 M 上,代入圆 M 的方程得 D=- 44,故圆 M 的 方程为 x2+ y2- 20x- 15y- 44= 0.

考点三

直线与圆的位置关系

[命题角度] 1.考查直线与圆位置关系的判断. 2.考查直线与圆相交的弦长计算和相切时的切线方程. 3.考查根据直线与圆的位置关系求参数问题.

(1)(2015· 高考安徽卷)直线 3x+ 4y= b 与圆 x + y - 2x - 2y+ 1= 0 相切,则 b 的值是 ( D ) A.- 2 或 12 B. 2 或- 12 C.- 2 或- 12 D. 2 或 12 (2)已知过点 A(0, 1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C: (x- 2) + (y - 3)2= 1 交于 M, N 两点,则 k 的取值范围为
2

2

2

?4- 7 4+ 7 ? , ? 3 3 ? ____________________ .

[思路点拨 ] (1)此题可由直线方程与圆的方程联立得到方程 组,消去 y 得到关于 x 的一元二次方程,再用根的判别式求 解;也可根据圆心到直线的距离等于圆的半径求解. (2)设出直线方程,根据圆心到直线的距离小于半径建立关于 k 的不等式求解. b 3 [解析] (1)法一:由 3x+ 4y= b,得 y=- x+ ,代入 x2+ y2 4 4
- 2x- 2y+ 1= 0, 并化简得 25x2- 2(4+ 3b)x+ b2- 8b+ 16= 0, Δ = 4(4+ 3b)2- 4× 25(b2- 8b+ 16)= 0,解得 b= 2 或 12.

法二:由圆 x2 + y2- 2x- 2y+ 1=0 可知圆心坐标为 (1,1),半 |3× 1+ 4× 1- b| 径为 1,所以 = 1,解得 b=2 或 12. 2 2 3 +4 (2)由题设可知直线 l 的方程为 y= kx+ 1. |2k- 3+ 1| 因为直线 l 与圆 C 交于两点,所以 < 1, 2 1+ k 4- 7 4+ 7 解得 < k< . 3 3 4- 7 4+ 7 ? ? 所以 k 的取值范围为 ? 3 , 3 ?.

2 5 1 .在本例 (2)条件下,若 |MN| = ,则直线 l 的方程为 5 1 y= 2x+ 1 或 y= x+ 1 2 ____________________ .
解析:由题意设直线方程为 y= kx+ 1,圆心(2, 3),半径 R = 1, |2k- 3+ 1| 则 d= , 2 k +1

2 1 |MN| ? , 因 R = d +? ?2 ? 2 2

( 2k- 2) 2 1 所以 1= + , 2 k +1 5 1 解得 k=2 或 , 2 1 直线 l 的方程为 y= 2x+ 1 或 y= x+ 1. 2

→ → 2.在本例(2)条件下,若OM·ON= 12,其中 O 为坐标原点,

2 则 |MN|= __________ . 解析:设 M(x1, y1), N(x2, y2).
由题意设直线方程为 y= kx+ 1,并代入方程(x- 2)2+ (y- 3)2 = 1, 整理得 (1+ k )x - 4(1+ k)x+ 7= 0. 4( 1+ k) 7 所以 x1+ x2= , x1 x2= 2 2. 1+ k 1+ k → → OM ·ON= x1 x2 + y1 y2= (1+ k2)x1 x2+ k(x1+ x2 )+ 1 4k( 1+ k) = + 8. 2 1+ k
2 2

4k( 1+ k) 由题设可得 + 8= 12,解得 k= 1, 2 1+ k 所以直线 l 的方程为 y= x+ 1. 故圆心 C 在直线 l 上,所以 |MN|= 2.

3.(2015· 合肥统考)已知圆O:x2+y2=1,直线x-2y+5=0 上动点P,过点P作圆O的一条切线,切点为A,则|PA|的最 2. 小值为________
解析:过 O 作 OP 垂直于直线 x- 2y+ 5= 0,过 P 作圆 O 的 切线 PA,连接 OA,易知此时 |PA|的值最小.由点到直线的距 |1× 0- 2× 0+ 5| 离公式,得 |OP |= = 5. 又 |OA|= 1,所以 |PA| 2 1+ 2 = |OP|2 - |OA|2= 2.

4. (2015· 兖州模拟)命题 p:4<r<7,命题 q:圆(x- 3)2+(y+ 5)2=r2(r>0)上恰好有 2 个点到直线 4x-3y=2 的距离等于 1, 则 p 是 q 的( B ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:因为圆心(3,- 5)到直线 4x- 3y= 2 的距离等于 5,所 以圆 (x- 3)2+ (y+ 5)2= r2 上恰好有 2 个点到直线 4x- 3y= 2 的距离等于 1 时, 4<r<6.所以 p 是 q 的必要不充分条件.

方法归纳 (1)在解决直线与圆的位置关系问题时,一定要联系圆的几何 性质,利用有关图形的几何特征,尽可能地简化运算,讨论 直线与圆的位置关系时,一般不用 Δ>0,Δ = 0,Δ <0,而用 圆心到直线的距离 d<r、 d= r、 d>r,分别确定相交、相切、 相离的位置关系. (2)弦长 L= 2 R - d ,其中 R 为圆的半径,d 为圆心到弦所 在直线的距离.
2 2


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