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2015-2016学年人教版必修4第二章《平面向量》单元测试5


第二章《平面向量》单元测试
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.下列命题正确的是( A.单位向量都相等 B.若 a≠b,则|a|≠|b| C.若|a|≠|b|,则 a≠b D.若|a|=|b|,则 a∥b 解析:a=b 同时满足 a∥b,且|a|=|b|. 答案:C 2.已知向量 i=(1,0),j=(0,1),则与向量 2i+j 垂直

的一个向量为( A.2i-j C.i-2j B.i+j D.i-j ) )

解析:∵i?j=0,把各项中的向量代入验证,其数量积为 0 即可. 答案:C 3.若向量 a=(x-2,3)与向量 b=(1,y+2)相等,则( A.x=1,y=3 C.x=1,y=-5 解析:由向量相等的定义,得 ?x-2=1, ? ?3=y+2, 答案:B 4.已知向量 a=(1,2),b=(-2,m),若 a∥b,则|2a+3b|=( A. 70 C.3 5 B.4 5 D.2 5 ) ?x=3, ∴? ?y=1, 故选 B. B.x=3,y=1 D.x=5,y=-1 )

m -2 解析:依题意,得 = ,故 m=-4,2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8), 2 1
故|2a+3b|= ?-4?2+?-8?2=4 5,选 B. 答案:B 5. 已知向量 a=(3,4), b=(2, -1), 若向量 a+xb 与-b 垂直, 则 x 的值为( )

A.- 3 C. 23

2 5

B.

23 5

D.2

2 解析:由(a+xb)?(-b)=0,得-2(3+2x)+(4-x)=0,∴x=- . 5 答案:A 6.已知 i 与 j 为互相垂直的单位向量,a=i-2j,b=i+λ j 且 a 与 b 的夹角为 锐角,则实数 λ 的取值范围是( 1 A.(-∞,-2)∪(-2, ) 2 1 B.( ,+∞) 2 2 2 C.(-2, )∪( ,+∞) 3 3 1 D.(-∞, ) 2 解析:本题是向量的数量积问题,解决的关键是变形运用数量积公式,设两向量的 夹角为 θ ,则 cosθ = ∵0< = |a|?|b| )

a?b

?1,-2???1,λ ? 1-2λ = . 2 5? 1+λ 5? 1+λ 2

1-2λ <1, 5? 1+λ 2

?1-2λ >0, ∴? 2 ?1-2λ < 5? 1+λ ,

?λ 即? ?λ

1 < , 2
2

+4λ +4>0.

1 ∴λ < 且 λ ≠-2. 2 答案:A 7.已知点 A(1,-2),若向量→ AB与 a=(2,3)同向,|→ AB|=2 13,则点 B 的坐标为 ( )

A.(5,4) C.(-5,-4)

B.(4,5) D.(5,-4)

解析:由→ AB=λ a(λ >0),知→ AB=(2λ ,3λ ). 又由|→ AB|=2 13,得 λ =2. → AB=(4,6),A(1,-2),∴B(5,4). 答案:A → 8. 已知 O, N, P 在△ABC 所在平面内, 且|→ OA|=|→ OB|=|→ OC|, NA+→ NB+→ NC=0, 且→ PA?→ PB =→ PB?→ PC=→ PC?→ PA,则点 O,N,P 依次是△ABC 的( A.重心、外心、垂心 C.外心、重心、垂心 )

B.重心、外心、内心 D.外心、重心、内心

解析:|→ OA|=|→ OB|=|→ OC|知,O 为△ABC 的外心;由→ NA+→ NB+→ NC=0 知,N 为△ABC 的重心. ∵→ PA?→ PB=→ PB?→ PC, ∴(→ PA-→ PC)?→ PB=0. ∴→ CA?→ PB=0,∴→ CA⊥→ PB. 同理,AP⊥BC,∴P 为△ABC 的垂心,选 C. 答案:C 9.非零向量 a 和 b 满足|a|=|b|=|a-b|,a 与 a+b 的夹角为( π A. 6 π C. 3 B. D. π 4 π 2 )

解析:如右图,|a|=|b|=|a-b|, ∴△OPQ 为等边三角形. π ∴a 与 b 的夹角为 . 3 π ∴a 与 a+b 的夹角为 . 6

答案:A 10.在△ABC 中,若→ AB2=→ AB?→ AC+→ BA?→ BC+→ CA?→ CB,△ABC 为( A.等边三角形 C.直角三角形 B.锐角三角形 D.钝角三角形 )

解析:移项变形得→ AB?(→ AB-→ AC)=→ BC?(→ BA+→ AC), ∴→ AB?→ CB=→ BC?→ BC. ∴→ BC?(→ AB+→ BC)=0,即→ BC?→ AC=0. ∴∠C=90°. 答案:C 11.已知 a⊥b,且|a|=2,|b|=3,(3a+2b)?(λ a-b)=0,则 λ 等于( 3 A. 2 C.± 3 2 B.- D.1 3 2 )

解析:(3a+2b)?(λ a-b) =3λ a2+(2λ -3)a?b-2b2=0. 3 ∴12λ =18,λ = . 2 答案:A 1 →+2→ 12. 在△ABC 中, N 是 AC 边上一点, 且→ AN= → NC, P 是 BN 上的一点, 若→ AP=mAB AC, 2 9 则实数 m 的值为( 1 A. 9 C.1 ) B. 1 3

D.3

1 1 →+2→ →+2→ 解析:如图,因为→ AN= → NC,所以→ AN= → AC,→ AP=mAB AC=mAB AN,因为 B、P、 2 3 9 3

N 三点共线,所以 m+ =1,所以 m= ,选择 B.

2 3

1 3

答案:B 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上) 8 13.已知|b|=3,且 a 在 b 方向上的投影为 ,则 a?b=8. 3 8 解析:根据向量数量积的几何意义,|a|?cosθ = ,则 a?b=|a||b|cosθ =8. 3 14.已知 O 是直角坐标系的原点,A(2,2),B(4,1),在 x 轴上有一点 P,使→ AP?→ BP取 得最小值,则点 P 的坐标为(3,0). 解析:设 P(x,0),则→ AP=(x-2,-2),→ BP=(x-4,-1),∴→ AP?→ BP=(x-2)(x -4)+(-2)(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1,故当 x=3 时取到最小值,故 P(3,0). 15.已知 a=(2cosθ ,2sinθ ),b=(3, 3),且 a 与 b 共线,θ ∈[0,2π ),则 π 7 θ = 或 π. 6 6 2sinθ 3 3 π 7 解析:a 与 b 共线,则 = ? tanθ = .又 θ ∈[0,2π ),∴θ = 或 π . 2cosθ 3 3 6 6 16.[2013?甘肃兰州检测]设向量 a=(a1,a2),b=(b1,b2),定义一种向量积 a?b 1 π =(a1b1,a2b2),已知向量 m=(2, ),n=( ,0),点 P(x,y)在 y=sinx 的图象上运 2 3 动.Q 是函数 y=f(x)图象上的点,且满足→ OQ=m?→ OP+n(其中 O 为坐标原点),则函数 y 1 1 =f(x)的值域是[- , ]. 2 2 解析:令 Q(c,d),由新的运算可得 π ? c=2x+ , ? 3 1 π π 1 → OQ=m?→ OP+n=(2x, sinx)+( ,0)=(2x+ , sinx),? 2 3 3 2 1 d= sinx, ? ? 2



1 1 π 1 1 π 1 去 x 得 d= sin( c- ),所以 y=f(x)= sin( x- ),易知 y=f(x)的值域是[- , 2 2 6 2 2 6 2 1 ]. 2 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤) 17.(10 分)已知|a|=4,|b|=2,且 a 与 b 的夹角为 120°. 求:(1)|2a-b|; (2)(a-2b)?(a+b); (3)a 与 a+b 的夹角; (4)若(a-b)⊥(λ a+b),求 λ 的值. 1 解: (1)∵|2a-b|2=4a2-4a?b+b2=4?16-4?4?2?(- )+4=84, ∴|2a-b| 2 =2 21. (2)(a-2b)?(a+b)=a2-a?b-2b2 1 =16-4?2?(- )-2?4=12. 2 (3)∵|a+b|2=a2+2a?b+b2=16+2?4? 1 2?(- )+4=12,∴|a+b|=2 3. 2 1 又∵a?(a+b)=a2+a?b=16+4?2?(- )=12, 2 设 a 与 a+b 的夹角为 θ , ∴cosθ =

a??a+b? 12 3 = = . |a|?|a+b| 4?2 3 2
π . 6

∵θ ∈[0,π ],∴θ =

(4)依题意,知(a-b)?(λ a+b)=0, 即 λ a2+(1-λ )a?b-b2=0. 2 ∴16λ -4(1-λ )-4=0,解得 λ = . 5 18.(12 分)如图,已知在△OAB 中,点 C 是以点 A 为中心的点 B

→ → → → → 的对称点,点 D 是将OB分成 2∶1 的一个内分点,DC和OA交于点 E,设OA=a,OB=b. (1)用 a 和 b 表示向量→ OC、→ DC; (2)若→ OE=λ → OA,求实数 λ 的值. 解:(1)∵→ OC=→ OB+→ BC=→ OB+2→ BA,→ BA= → OA-→ OB, ∴→ OC=2a-b, → → → 1→ DC=DB+BC= OB+2→ BA 3 1 5 5 = → OB+2(→ OA-→ OB)=2→ OA- → OB=2a- b. 3 3 3 (2)→ AB=b-a,→ CB=2(b-a), → OC=→ OB+→ BC=b+2(a-b)=2a-b, → CE=→ OE-→ OC=λ a-(2a-b)=(λ -2)a+b, 2 5 又→ CD=→ OD-→ OC= b-(2a-b)= b-2a. 3 3 →. 又→ CD、→ CE共线,存在唯一的实数 m,使→ CE=mCD 5 (λ -2)a+b=m( b-2a). 3

由向量相等的定义,得? 5 ?1=3m 4 ∴λ = . 5

?

λ -2=-2m,

3 ? m = , ? 5 ?? 4 λ = . ? ? 5

19.(12 分)已知向量→ OA=(3,-4),→ OB=(6,-3),→ OC=(5-m,-(3+m)). (1)若点 A、B、C 能构成三角形,求实数 m 应满足的条件; (2)若△ABC 为直角三角形,且 A 为直角,求实数 m 的值. 解:(1)已知向量→ OA=(3,-4),→ OB=(6,-3),

→ OC=(5-m,-(3+m)). 若点 A、B、C 三点构成三角形,则这三点不共线. ∵→ AB=(3,1),→ AC=(2-m,1-m), 故 3(1-m)≠2-m. 1 ∴实数 m≠ 时满足条件. 2 (2)∵A 为直角,则→ AB?→ AC=0,即 3(2-m)+1-m=0, 7 ∴m= . 4 20.(12 分)一架飞机从 A 地向北偏西 60°的方向飞行 1000 km 到达 B 地,然后向 C 地飞行.设 C 地恰好在 A 地的南偏西 60°方向上,并且 A,C 两地相距 2000 km,求飞 机从 B 地到 C 地的位移. 解:如下图,设 A 地在东西基线和南北基线的交点处.

则 A(0,0),

B(-1000cos30°,1000sin30°),即 B(-500 3,500), C(-2000cos30°,-2000sin30°),即 C(-1000 3,-1000).
∴→ BC=(-500 3,-1500). ∴|→ BC|= ?-500 3?2+?-1500?2=1000 3 (km). 设正南方向的单位向量为 j=(0,-1), 则→ BC与正南方向的夹角 θ 满足 cosθ = 1500 3 = = , → 2 |BC|?|j| 1000 3 → BC?j

∴θ =30°,由图形可知→ BC的方向是南偏西 30°.

21.(12 分)已知 a,b,c 分别为△ABC 中三个内角 A、B、C 的对边,G 为△ABC 的 →+bGB →+cGC →=0,求证:△ABC 为正三角形. 重心,且 aGA 解:∵点 G 为△ABC 的重心, ∴→ GA+→ GB+→ GC=0. →+bGB →+cGC →=0, 又 aGA →+bGB →-c(→ ∴aGA GA+→ GB)=0. 即(a-c)→ GA=(c-b)→ GB,又→ GA、→ GB不共线 , ∴a-c=c-b=0,∴a=b=c. 故△ABC 为正三角形. →+nBC →,求 m 和 n 的 22.(12 分)设 I 为△ABC 的内心,AB=AC=5,BC=6,→ AI=mAB 值. 解:如右图,连接 AI,并延长 AI 交 BC 于 D, ∵AB=AC,I 为角平分线上的点, ∴AI⊥BC,BD=DC. 在 Rt△ABD 中,AD= AB -BD =
2 2

BC AB2-? ?2= 52-32=4.
2

S△ABC= ?BC?AD= ?6?4=12= (AB+AC+BC)?r(r 为内切圆半径).
3 ∴r= =ID. 2 5 ∴AI=AD-ID= , 2 5 5 1 → AI= → AD= ? ?(→ AB+→ AC) 8 8 2 5 5 = (→ AB+→ AC)= (→ AB+→ BC-→ BA) 16 16 5 5 5 = (2→ AB+→ BC)= → AB+ → BC. 16 8 16

1 2

1 2

1 2

5 5 ∴m= ,n= . 8 16


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