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直线与平面垂直的性质-2


三都民族中学、高一数学备课组

a

b

?
2016年5月27日

结论:一(唯一性)
过一点有且只有一条直线和已知平面垂直
m A

?

结论二:(唯一性)
过一点有且只有一个平面和已知直线垂直
m<

br />
?

A

B

(一)提出问题,创设情境 问题①:如果有两条、三条或更多直线垂直于一 个平面,则这些直线之间会有什么位置关系呢?
a a1 a a2 a3 n

?

O

n

m

(二) 线面垂直性质定理的探究

1、直观感知—猜想定理

直线和平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行.
a

图形语言
?

b

符号语言

a ? ?, b ? ? ? a // b
线线平行 ?

简记: 线面垂直

作用:证明空间直线的平行。

(二) 一、直线与平面垂直的性质定理: 线面垂直性质定理

3、启发引导—证明定理 垂直于同一个平面的两条直线平行

已知: a ? ? , b ? ?,求证: a // b
证明:假定b不平行于a,则b与a相交或异面。

设a ? b ? A (2)若a与b异面, (1)若a与b相交, 设b ? ?

?o

?a ? ?, b ? ?

过o作b' // a, ? b' // a, a ? ? ? 过点A有两条直线与平面 ? 垂直 ?b' ? ? , 又? b ? ?且b ? b' ? o,

这与“过一点有且只有一条直线垂?过点o有直线b和b'垂直于?, 直于已知平面”矛盾。 ?b与a不异面,综上假设不成 立。

? a与b不相交。
a
A

? a // b

b
?

a

b' b
o

?

(二) 线面垂直性质定理的探究 4、自主探究—深化定理 问题③: 如果两条直线与平面所成的角相等,则两直线平行吗?
b

a

a a a
1 1

b' b
b
2

b2
o o2 2 A2

?

1

A1

o1 o1 o 1

o2

结论:平行、相交、异面

(三) 线面垂直性质定理的应用

判断下列命题的正误。 (1)平行于同一直线的两条直线互相平行(





(2)垂直于同一直线的两条直线互相平行(×) (3)平行于同一平面的两条直线互相平行(×) (4)垂直于同一平面的两条直线互相平行(

√)

(三) 线面垂直性质定理的应用

例1、已知m、n是两条相交直线,L1、L2 是与m、 n都垂直的两条直线,且直线L与L1、L2都相 交.求证: ?1 ? ? 2

?直线m、n确定一个平面? 又?l1 ? m, l1 ? n, ?l1 ? ?
?l2 ? m, l2 ? n, ?l2 ? ?

证:? m ? n ? o

l1

1

l2
2

l
o
m n

?l1、l2都与l相交 ? ?1 ? ? 2

故 l1 // l2

?

例2.在正方体ABCD ? A1B1C1D1中,点E , F 分别 在A1D, AC上,且EF ? A1D, EF ? AC. 求证:EF / / BD1.
A1 D1 B1 C1

E

D
F

C

A

B

例3.在正方体ABCD ? A1B1C1D1中, 点M , N分别是AB,AC 1 的中点. 求证:MN ? 平面A1DC.
A1 D1 B1 C1

o
D

N
C

A

M

B

(四) 总结反思
一、直线与平面垂直的性质定理:

垂直于同一个平面的两条直线平行
二、反证法的证明思路:反设→归谬→结论 三、两条直线平行的判定方法: 1、定义法:两直线共面且没有公共点。 2、平行线的传递性

记:a // b, a // c ? b // c

3、线面平行的性质定理 记:a // ? , a ? ? ,? ? ? ? b ? a // b
4、面面平行的性质定理 记:? // ? ,? ? ? ? a, ? ? ? ? b ? a // b

5、线面垂直的性质定理 记:a ? ? , b ? ? ? a // b

作业:活页作业


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