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北京四中2011-2012学年高一上学期期末考试数学


北京四中高 2014 级高一上学期期末考试数学试卷
试卷分为两卷,卷(I)100 分,卷(II)50 分,共计 150 分考试时间:120 分钟 卷(I) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. cos 210 ? = A.

1 2

B.

3 2

C. ?

1 2

D. ?

3 2

2. 设向量 a ? ?1, 0?, b ? ? ,

?1 ?2

1? ? ,则下列结论中正确的是 2? 2 2
C. a ? b与b 垂直 D. a ∥b

A. | a |?| b | 3. 已知 ? ? ? ?

B. a ? b ?

3 ? ? ? , 0 ? , cos a ? ,则 tan ? ? 5 ? 2 ?
B. ?

A.

3 4

3 4

C.

4 3

D. ?

4 3

4. 已知向量 a 、 b 满足 a ? b ? 0, | a |? 1, | b |? 2 ,则 | 2a ? b |? A. 0 5. 若 B. 2 2 C. 4 D. 8

?
4

?? ?

?
2

,则下列各式中正确的是 B. cos ? ? tan ? ? sin ? C. tan ? ? sin ? ? cos ? D. cos ? ? sin ? ? tan ?

A. sin ? ? cos ? ? tan ?

6. 设 P 是△ABC 所在平面内的一点,且 BC ? BA ? 2 BP ,则 A. PA ? PB ? PC ? 0 7. 函数 y ? 2 cos ? x ?
2

B. PA ? PC ? 0

C. PB ? PC ? 0

D. PA ? PB ? 0

? ?

??

? ?1是 4?
B. 最小正周期为 ? 的偶函数 D. 最小正周期为 2? 的偶函数

A. 最小正周期为 ? 的奇函数 C. 最小正周期为 2? 的奇函数

8. 若向量 AB ? ?3, 4?, d ? ?? 1, 1? ,且 d ? AC ? 5 ,则 d ? BC ? A. 0 B. -4 C.4 D. 4 或-4

9. 若函数 f ?x ? ? cos x ? 3 sin x? 0 ? x ? A. 1 B. -1

? ?

??

? ,则 f ?x ? 的最小值是 2?
C. 2 D. -2

10. 若 f ?x ? ? 2 cos??x ? ? ? ? m ,对任意实数 t 都有 f ? t ? A. ? 1 B. ? 3 C. -3 或 1

? ?

??

?? ? ? ? f ?? t ? ,且 f ? ? ? ?1 ,则实数 m 的值等于 4? ?8?
D. -1 或 3

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11. 已知 sin ? ? 3 cos ? ,则 sin ? cos ? ? _________。

12. 已知向量 a ? ?2, ? 1?, b ? ?? 1, m?, c ? ?? 1, 2? ,若 a ? b ∥ c ,则 m ? ________。 13. tan? ? ?

? ?

? ?

??

1 ?? 1 ? ? ? , tan? ? ? ? ? ? ,则 tan?? ? ? ? ? _________。 6? 3 6? 2 ?

14. 若函数 f ?x? ? sin 2 x ,则 f ?

?? ? ,单调增区间是_________。 ? ? _________, ? 12 ?

15. 如图,在△ABC 中,AD⊥AB, BC ? 3 BD , | AD |? 1,则 AC ? AD ? _________。 16. 定义运算 a * b 为: a * b ? ?

?a?a ? b? 。例如: 1 * 2 ? 1 ,则函数 f ?x ? ? sin x * cos x 的值域为_________。 ?b?a ? b?

三、解答题(本大题共 3 小题,共 26 分) 17. (本小题满分 6 分) 已知:如图,两个长度为 1 的平面向量 OA和OB ,它们的夹角为 求: (1) OA? OB 的值; (2) AB? AC 的值。

2? ,点 C 是以 O 为圆心的劣弧 AB 的中点。 3

18. (本小题满分 10 分) 已知:函数 f ?x ? ? a sin x ? cos x ? 3a cos x ?
2

3 a ? b?a ? 0? 2

(1)若 x ? R ,求函数 f ?x ? 的最小正周期及图像的对称轴方程; (2)设 x ? ?0,

? ?

??
2? ?

, f ?x ? 的最小值是-2,最大值是 3 ,求:实数 a, b 的值。

19. (本小题满分 10 分) 已知:向量 a ? ?4 cos? , sin ? ?, b ? ?sin ? , 4 cos? ?, c ? ?cos? , ? 4 sin ? ? (1)若 tan? tan ? ? 16 ,求证: a ∥b ; (2)若 a与b ? 2c 垂直,求 tan?? ? ? ?的值; (3)求 | b ? c | 的最大值。

卷(II) 一、选择题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 1. 要得到 y ? f ? 2 x ?

? ?

??

? 的图象,只需把 y ? f ?2 x ? 的图象 3?
B. 向左平移

A. 向右平移

? 个单位 3 ? 个单位 6

? 个单位 3 ? 个单位 6

C. 向右平移

D. 向左平移

2. 设函数 f ?x ? 是以 2 为周期的奇函数,若 x ? ?0, 1? 时, f ?x ? ? 2 x ,则 f ?x ? 在区间(1,2)上是 A. 增函数且 f ?x ? ? 0 C. 增函数且 f ?x ? ? 0 3. 设 a ? B. 减函数且 f ?x ? ? 0 D. 减函数且 f ?x ? ? 0

1 3 2 tan13? 1 ? cos50? ,则有 cos6? ? sin 6?, b ? ,c? 2 2 2 2 1 ? tan 13?
B. a ? b ? c C. a ? c ? b D. b ? c ? a

A. a ? b ? c

二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 4. 函数 y ?

log 1 ?3x ? 2? 的定义域是_________
2

5. 设 0 ? ? ? 2? 时,已知两个向量 OP ? ?cos? , sin? ?, OP ? ?2 ? sin? , 2 ? cos? ? ,而 | P P2 | 的最大值为 1 2 1 _________,此时 ? ? _________。
2 2 6. 已知函数 f ?x ? 是定义在 (??, 1] 上的减函数,且对一切实数 x ,不等式 f ?k ? sin x ? ? f k ? sin x 恒成立,

?

?

则实数 k ? _________。

三、解答题(本大题共 2 小题,共 20 分) 7. (本小题满分 10 分)

已知:向量 a ? ?1, ? 3?, b ? ?? 2, m?,且 a ? a ? b 。 (1)求实数 m 的值; (2)当 k a ? b 与 a ? b 平行时,求实数 k 的值。

? ?

8. (本小题满分 10 分) 对于在区间 ? p, q? 上有意义的两个函数 f ?x ? 和 g ?x ? ,如果对于任意的 x ? ? p, q? ,都有 | f ?x ? ? g ?x ? |? 1 , 则称 f ?x ? 与 g ?x ? 在区间 ? p, q? 上是“接近”的两个函数,否则称它们在 ? p, q? 上是“非接近”的两个函数。 现有两个函数 f ? x ? ? log a ? x ? 3a ?, g ? x ? ? log a

1 ?a ? 0, 且a ? 1? ,给定一个区间 ?a ? 2, a ? 3? 。 x?a

(1)若 f ?x ? 与 g ?x ? 在区间 ?a ? 2, a ? 3? 都有意义,求实数 a 的取值范围; (2)讨论 f ?x ? 与 g ?x ? 在区间 ?a ? 2, a ? 3? 上是否是“接近”的两个函数。

北京四中高 2014 级高一上学期期末考试数学答案
1-5 DCDBD 11. 6-10 BACAC 12. -1 13.

3 10

1 7

14.

?? 2? 3 ? , ?k? , k? ? ??k ? Z ? 4 2? ?
2? 3

15.

? 3 16. ?? 1, ?

2? ? 2 ?

17. 解: (1)∵向量 OA和OB 长度为 1,夹角为 ∴ OA? OB ?| OA || OB | cos

2π 1 ? ? 。 分) (2 3 2

∵点 C 是以 O 为圆心的劣弧 AB 的中点, ∴∠AOC=∠BOC=

? 1 ,∴ OA? OC ? OB ? OC ? 。 分) (3 3 2

∴ AB ? AC ? (OB ? OA) ? (OC ? OA) ? OB ? OC ? OB ? OA ? OA ? OC ? OA? OA

?

1 ? 1? 1 3 (6 ? ? ? ? ? ? 1 ? 。 分) 2 ? 2? 2 2
? ? ?
2

18. 解: (1) f ? x ? ? a? sin x ? cos x ? 3 cos x ?

3? ? ?b 2 ? ?

?1 1 ? cos 2 x 3? ? ? ? b ? a sin ? 2 x ? ? ? b (3 分) ? a? sin 2 x ? 3 ? ? ? ? ?2 2 2 ? 3? ? ? ?
函数 f ?x ? 的最小正周期 T ? 当 sin ? 2 x ?

2? ? ? 。 分) (4 2

? ?

??

? ? ? ? ?1 时,得到对称轴方程,即 2 x ? ? k? ? , 3 2 3?
k? 5? ?k ? Z ? ; 分) ? (6 2 12

∴函数 f ?x ? 的图像的对称轴方程: x ? (2) f ?x ? ? a sin ? 2 x ? ∵ x ? ?0,

? ?

??

? ? b, 3?

? ?

??

? ? ? 2? ? ? ,∴ 2 x ? ?0, ? ? ,∴ 2 x ? 3 ? ?? 3 , 3 ? 2? ? ?
?? ?
3 ? , 1? 。 分) (7 ? ? ?? 3? ? 2 ?
∵a ? 0,

∴ sin ? 2 x ?

? ?

∴函数 f ?x ? 的最小值是 ?

3 a ? b ? ?2 ,最大值 a ? b ? 3 。 分) (9 2

解得 a ? 2, b ? 3 ? 2。 (10 分)

19. 解: (1)∵ tan? tan ? ? 16 ,∴ sin ? sin ? ? 16cos? cos ? ∵ a ? ?4 cos? , sin ? ?, b ? ?sin ? , 4 cos? ? ∴

(2)∵ a与b ? 2c 垂直,∴ a ? b ? 2c ? a ? b ? 2a ? c ? 0 ,

?

?

4 cos? sin ? ? ,∴ a ∥b 。 分) (2 sin ? 4 cos ?

即: 4 cos? sin ? ? 4 sin ? cos ? ? 2?4 cos? cos ? ? 4 sin ? sin ? ? ? 0 , 分) (4 ∴ 4 sin ?? ? ? ? ? 8 cos?? ? ? ? ? 0 ,∴ tan?? ? ? ? ? 2 ; 分) (6 (3)∵ b ? c ? ?sin ? ? cos ? , 4 cos ? ? 4 sin ? ? ∴ | b ? c | 2 ? ?sin ? ? cos? ? ? ?4 cos? ? 4 sin ? ?
2 2

? 17 ? 30sin ? cos ? ? 17 ? 15s i n ? (9 分) 2
∴当 sin 2? ? ?1 时, | b ? c | max ? 17 ? 15 ? 4 2 ; (10 分) 卷(II) 1-3 DCC 4. ( , 1]

2 3

5.

14 , ?

6. -1

7. 解: (I) a ? b ? ?3, ? 3 ? m?,由 a ? a ? b 得 a ? a ? b ? 0 即 3 ? 3?? 3 ? m? ? 0 ,故 m ? ?4 ; (II)由 k a ? b ? ?k ? 2, ? 3k ? 4? , a ? b ? ?3, 1? 当 k a ? b与a ? b 平行时, ?k ? 2? ? 3?? 3k ? 4? ? 0 ,从而 k ? ?1 。

? ?

? ?

? x ? 3a ? 0 ? ? x ? 3a 8. 解: (1)要使 f 1 ? x ? 与 f 2 ? x ? 有意义,则有 ? x ? a ? 0 ?a ? 0且a ? 1 ?

要使 f 1 ? x ? 与 f 2 ? x ? 在 ?a ? 2, a ? 3? 上有意义, 等价于真数的最小值大于 0

1 ? ?a ? 3 ? a ? 0 ? 即 ?a ? 2 ? 3a ? 0 ? 0 ? a ? 1 ?a ? 0且a ? 1 ? ?

(2) | f1 ?x? ? f 2 ?x? |?| loga ??x ? 3a ??x ? a ?? | , 令 | f1 ?x ? ? f 2 ?x ? |? 1, 得 ? 1 ? loga ??x ? 3a??x ? a?? ? 1 。 (*) 因为 0 ? a ? 1 ,所以 ?a ? 2, a ? 3? 在直线 x ? 2a 的右侧。 所以 g ?x? ? loga ??x ? 3a??x ? a?? 在 ?a ? 2, a ? 3? 上为减函数。 所以 g ?x?min ? g ?a ? 3? ? loga ?9 ? 6a?, g ?x?max ? g ?a ? 2? ? loga ?4 ? 4a? 。

?log a ?4 ? 4a ? ? 1 9 ? 57 ? 于是 ?log a ?9 ? 6a ? ? ?1 ,∴ 0 ? a ? 。 12 ?0 ? a ? 1 ?
所以当 a ? ? 0,

? ? ?

9 ? 57 ? ? 时, f 1 ? x ? 与 f 2 ? x ? 是接近的; 12 ? ? 1? ? ?1, ? ? ? 上是非接近的。 ? ?

当a ??

? 9 ? 57 ? 12 , ?


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