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《高三数学总复习》高考数学理新课标A版一轮总复习课件 第8章 解析几何-2


第八章
解析几何

第二节

两条直线的位置关系、距离公式

课前学案 基础诊断

课堂学案 考点通关

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开卷速查

1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂 考 直. 纲 2.能用解方程组的方法求两

条相交直线的交点坐 导 标. 学 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式, 会求两条平行直线间的距离.

课前学案

基础诊断
夯基固本 基础自测

1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行:对于两条不重合的直线l1、l2,其斜率分 1 __________.特别地,当直线l1、l2 别为k1、k2,则有l1∥l2? □ 2 ____. 的斜率都不存在时,l1与l2□ 与Ax+By+C=0平行的直线,可设为Ax+By+m= 0(m≠C).

(2)两条直线垂直:如果两条直线l1、l2斜率存在,设为k1、 3 __________,当一条直线斜率为零,另一条直 k2,则l1⊥l2? □ 4 ______. 线斜率不存在时,两直线□ 与Ax+By+C=0垂直的直线可设为Bx-Ay+n=0.

2.两直线相交 (1)交点:直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0
? ?A1x+B1y+C1=0, 的公共点的坐标与方程组? ? ?A2x+B2y+C2=0

的解一一对应.

(2)相交?方程组有 解.

5 □

______,交点坐标就是方程组的

6 ________. (3)平行?方程组□ 7 __________. (4)重合?方程组有□

3.三种距离公式 (1)点A(x1,y1)、B(x2,y2)间的距离为 8 ______________________. |AB|=□ (2)点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离为 9 ______________________________. d=□ (3)两平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2= 10 ____________. 0(C1≠C2)间的距离为d=□

1 k1=k2 答案:□ 5 唯一解 □ 8 □ 10 □

2 平行 □ 3 k1· 4 垂直 □ k2=-1 □ 6 无解 □ 7 无数个解 □
2 2

?x2-x1? +?y2-y1? |C2-C1| A2+B2

|Ax0+By0+C| 9 □ A2+B2

1条规律——与已知直线垂直及平行的直线系的设法 与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直和平行的直线方程可 设为: (1)垂直:Bx-Ay+m=0; (2)平行:Ax+By+n=0.

1种思想——转化思想在对称问题中的应用 一般地,对称问题包括点关于点的对称,点关于直线的对称, 直线关于点的对称,直线关于直线的对称等情况,上述各种对称问 题最终化归为点的对称问题来解决.

2个注意点——判断直线位置关系及运用两平行直线间的距离 公式的注意点 (1)在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是 否存在.若两条直线都有斜率,可根据判定定理判断,若直线无斜 率时,要单独考虑; |C1-C2| (2)运用两平行直线间的距离公式d= 2 2 的前提是将两方 A +B 程中的x,y的系数化为对应相等.

1.已知l1的倾斜角为45° ,l2经过点P(-2,-1),Q(3, m).若l1⊥l2,则实数m为( A.6 B.-6 ) C.5 D.-5

m+1 解析:由已知得k1=1,k2= 5 . m+1 ∵l1⊥l2,∴k1k2=-1,∴1× =-1,即m=-6. 5

答案:B

2.点(0,-1)到直线x+2y=3的距离为( 5 1 A. 5 B. 5 C.5 D.5
|0+2×?-1?-3| 解析:d= = 5. 5
答案:B

)

3.点(a,b)关于直线x+y+1=0的对称点是( A.(-a-1,-b-1) C.(-a,-b) B.(-b-1,-a-1) D.(-b,-a)

)

? ?y′-b×?-1?=-1, ?x′-a 解析:设对称点为(x′,y′),则 ? ?x′+a y′+b + 2 +1=0 ? ? 2 解得x′=-b-1,y′=-a-1.

答案:B

4.l1:x-y=0与l2:2x-3y+1=0的交点在直线mx+3y+5= 0上,则m的值为( )

A.3 B.5 C.-5 D.-8
? ?x-y=0, 解析:由? ? ?2x-3y+1=0

得l1与l2的交点坐标为(1,1).

所以m+3+5=0,m=-8.

答案:D

5.与直线4x+3y-5=0平行,并且到它的距离等于3的直线方 程是__________.
|m+5| 解析:设所求直线方程为4x+3y+m=0,由3= 2 2 ,得m 4 +3 =10或-20.
答案:4x+3y+10=0或4x+3y-20=0

课堂学案

考点通关
考点例析 通关特训

考点一

两条直线的平行与垂直

【例1】 已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2 -1=0. (1)试判断l1与l2是否平行; (2)l1⊥l2时,求a的值.

解析:(1)方法一:当a=1时, l1:x+2y+6=0, l2:x=0,l1不平行于l2; 当a=0时,l1:y=-3, l2:x-y-1=0,l1不平行于l2; 当a≠1且a≠0时,两直线可化为 a 1 l1:y=- x-3,l2:y= x-(a+1), 2 1-a

1 ? a ?- = , 2 1-a l1∥l2?? ? ?-3≠-?a+1?,

解得a=-1,

综上可知,a=-1时,l1∥l2,否则l1与l2不平行.

方法二:由A1B2-A2B1=0,得a(a-1)-1×2=0,由A1C2- A2C1≠0,得a(a2-1)-1×6≠0,
? ?a?a-1?-1×2=0, ∴l1∥l2?? 2 ? ?a?a -1?-1×6≠0,
2 ? ?a -a-2=0, ?? 2 ? ?a?a -1?≠6,

解得a=-1,

故当a=-1时,l1∥l2,否则l1与l2不平行.

(2)方法一:当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0, l1与l2不垂直,故a=1不成立; 当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不垂直于l2; 当a≠1且a≠0时, a 1 l1:y=-2x-3,l2:y= x-(a+1), 1-a
? a? 1 2 由?-2?· =-1解得a= . 3 ? ? 1-a

2 方法二:由A1A2+B1B2=0得a+2(a-1)=0解得a=3.

?名师点拨 两条直线平行与垂直的解题策略 (1)当直线的方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在 的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意 x、y的系数不能同时为零这一隐含条件. (2)在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的 系数间的关系得出结论.

通关特训1 已知过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线为l1,直线 2x+y-1=0为l2,直线x+ny+1=0为l3.若l1∥l2,l2⊥l3,则实数m +n的值为( A.-10 C.0 ) B.-2 D.8

4-m 解析:∵l1∥l2,∴kAB= =-2. m+2 解得m=-8. 1 又∵l2⊥l3,∴-n×(-2)=-1, 解得n=-2,∴m+n=-10.
答案:A

考点二

两条直线的交点问题

【例2】 求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的 交点,且垂直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程.

? ?3x+2y-1=0, 解析:方法一:先解方程组? ? ?5x+2y+1=0,

得l1、l2的交点坐标为(-1,2), 3 5 再由l3的斜率 求出l的斜率为- , 5 3 于是由直线的点斜式方程求出l: 5 y-2=- (x+1),即5x+3y-1=0. 3

方法二:由于l⊥l3,故l是直线系5x+3y+C=0中的一条,而l 过l1、l2的交点(-1,2), 故5×(-1)+3×2+C=0,由此求出C=-1, 故l的方程为5x+3y-1=0. 方法三:由于l过l1、l2的交点,故l是直线系3x+2y-1+λ(5x+ 2y+1)=0中的一条, 将其整理,得(3+5λ)x+(2+2λ)y+(-1+λ)=0. 3+5λ 5 1 其斜率- =-3,解得λ=5, 2+2λ 代入直线系方程即得l的方程为5x+3y-1=0.

?名师点拨 常用的直线系方程 (1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0 (m∈R且m≠C); (2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0 (m ∈R); (3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的 直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0 括l2. (λ∈R),但不包

通关特训2 已知直线l被两条直线l1:4x+y+3=0和l2:3x- 5y-5=0截得的线段的中点为P(-1,2),则直线l的一般式方程为 __________.

解析:方法一:设直线l与l1的交点为A(x0,y0),由已知条件, 得直线l与l2的交点为B(-2-x0,4-y0),并且满足
? ?4x0+y0+3=0, ? ? ?3?-2-x0?-5?4-y0?-5=0, ? ?4x0+y0+3=0, 即? ? ?3x0-5y0+31=0, ? ?x0=-2, 解得? ? ?y0=5,

y-2 x-?-1? 因此直线l的方程为 = , 5-2 -2-?-1? 即3x+y+1=0.

方法二:设直线l的方程为y-2=k(x+1), 即kx-y+k+2=0.
? ?kx-y+k+2=0, 由? ? ?4x+y+3=0, ? ?kx-y+k+2=0, 由? ? ?3x-5y-5=0,

-k-5 得x= . k+4 -5k-15 得x= . 5k-3

-k-5 -5k-15 则 + =-2,解得k=-3. k+4 5k-3 因此直线l的方程为y-2=-3(x+1), 即3x+y+1=0.

答案:3x+y+1=0

考点三

距离公式的应用

【例3】 已知A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2= 0,在坐标平面内求一点P,使|PA|=|PB|,且点P到直线l的距离为2.

解析:设点P的坐标为(a,b). ∵A(4,-3),B(2,-1), ∴线段AB的中点M的坐标为(3,-2). -3+1 而AB的斜率kAB= =-1, 4-2 ∴线段AB的垂直平分线方程为y+2=x-3,即x-y-5=0. ∵点P(a,b)在线段AB的垂直平分线上, ∴a-b-5=0.①

又点P(a,b)到直线l:4x+3y-2=0的距离为2, |4a+3b-2| ∴ =2,即4a+3b-2=± 10.② 5 ? 27 a= 7 , ? ? a = 1 , ? 由①②联立可得? 或? ? b =- 4 ? ?b=-8. 7 ?
?27 8? ∴所求点P的坐标为(1,-4)或? 7 ,-7?. ? ?

?名师点拨 距离公式应用的解题策略 (1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去 求,注意直线方程为一般式. (2)动点到两定点距离相等,一般不直接利用两点间距离公式 处理,而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上,从而计 算简便.

通关特训3 (1)点P到点A′(1,0)和直线x=-1的距离相等,且 2 P到直线y=x的距离等于 2 ,这样的点P共有( A.1个 C.3个 B.2个 D.4个 )

(2)l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线, 当l1,l2间的距离最大时,直线l1的方程是__________.

解析:(1)设点P(x,y),由题意知 2 |x-y| ?x-1? +y =|x+1|,且 2 = , 2
2 2 2 ? ?y =4x, 所以? ? ?|x-y|=1, 2 ? ?y =4x, 即? ? ?x-y=1,



2 ? ?y =4x, 或? ? ?x-y=-1,



? ?x=3-2 解①得? ? ?y=2-2 ? ?x=1, 解②得? ? ?y=2,

? 2, ?x=3+2 2, 或? ? 2 ?y=2+2 2,

因此,这样的点P共有3个.

(2)当两条平行直线与A、B两点连线垂直时,两条平行直线的 -1-1 距离最大.又kAB= =2,所以两条平行直线的斜率为k=- 0-1 1 1 2,所以直线l1的方程是y-1=-2(x-1),即x+2y-3=0.
答案:(1)C (2)x+2y-3=0

考点四 【例4】

对称问题及其应用

(1)已知直线l:x+2y-2=0.

①求直线l1:y=x-2关于直线l对称的直线l2的方程; ②求直线l关于点A(1,1)对称的直线方程. (2)光线由A(-5, 3 )点入射到x轴上B(-2,0)点,又反射到y轴 上的M点,再经y轴反射,求第二次反射线所在直线l的方程. (3)已知点P(2,4)、Q(3,1),直线l:x-y+1=0. ①在l上求一点M,使|PM|+|QM|最小,并求出最小值; ②在l上求一点N,使|QN|-|PN|最大,并求出最大值.

? ?y=x-2, 解析:(1)①由? ? ?x+2y-2=0,

解得交点P(2,0).

在l1上取点M(0,-2), M关于l的对称点设为N(a,b), b-2 ? ?a+2· 2 -2=0, ?2 则? 1? b+2 ?? ?- ?· =-1, ? ?? 2? a
?12 14? 解得N? 5 , 5 ?, ? ?

∴l2的方程为7x-y-14=0.

②设所求的直线方程为x+2y+m=0. 在l上取点B(0,1),则点B(0,1)关于点A(1,1)的对称点C(2,1)必在 所求的直线上,∴m=-4, 即所求的直线方程为x+2y-4=0.

(2)点A(-5, 3 )关于x轴的对称点A′(-5,- 3 )在反射光线 3 所在的直线BM上,可知lBM:y= 3 (x+2),
? 2 ? ∴M 0,3 ? ? 3? . ?

3 又第二次反射线的斜率k=kAB=- , 3 ∴第二次反射线所在直线l的方程为 3 2 y=- x+ 3,即x+ 3y-2=0. 3 3

(3)①如图,连接PQ与直线l交于点M,则|PM|+|QM|=|PQ|为 最小,此时由两点间距离公式可得 |PQ|= ?3-2?2+?1-4?2 = 10.

1-4 由P(2,4)、Q(3,1),可得kPQ= =-3, 3-2 故PQ所在直线方程为y-4=-3(x-2), 即3x+y-10=0. ? 9 ? ?x=4, ?3x+y-10=0, 由? 解得? ? ?x-y+1=0, ?y=13. 4 ?
?9 13? 故M点的坐标为?4, 4 ?. ? ?

②作点P关于l的对称点P′. ? ?y0-4×1=-1, ?x0-2 设P′(x0,y0),则? ?x0+2 y0+4 - 2 +1=0, ? ? 2
? ?x0=3, 解得? ? ?y0=3.

故P′(3,3). 连接QP′并延长交直线l于点N,

此时,|QN|-|PN|=|QN|-|P′N|=|QP′|最大,且最大值为 |QP′|= ?3-1?2+?3-3?2=2. ∵Q(3,1),P′(3,3),∴PQ方程为x=3.
? ?x=3, 由? ? ?x-y+1=0. ? ?x=3, 解得? ? ?y=4.

故N点坐标为(3,4).

?名师点拨

对称问题的求解策略

(1)关于中心对称问题的处理方法: ①若点M(x1,y1)及N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点坐标公
? ?x=2a-x1, 式得? ? ?y=2b-y1.

②直线关于点的对称,其主要方法是:在已知直线上取两点, 利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点 式求出直线方程,或者求出一个对称点,再利用l1∥l2,由点斜式 得到所求直线方程.

(2)关于轴对称问题的处理方法: ①点关于直线的对称 若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称, 则线段P1P2的中点在l上,而且连接P1P2的直线垂直于l,由方程组
?x1+x2? ?y1+y2? ? ? ? ? ? ?A + B ? ? 2 ?+C=0, ? ? ? 2 ? ? ? ? A? ?y2-y1 ? ?- ?=-1, · ? ?x2-x1 ? B?

可得到点P1关于l对称的点P2

的坐标(x2,y2)(其中B≠0,x1≠x2).

②直线关于直线的对称 此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况: 一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.

通关特训4 光线从A(-4,-2)点射出,到直线y=x上的B点 后被直线y=x反射到y轴上C点,又被y轴反射,这时反射光线恰好 过点D(-1,6),则BC所在的直线方程为__________.

解析:作出草图, 如图所示,设A关于直线y=x的对称点为A′,D关于y轴的对 称点为D′,则易得A′(-2,-4),D′(1,6).

由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C. y-6 x-1 故BC所在的直线方程为 = ,即10x-3y+8=0. 6+4 1+2

答案:10x-3y+8=0

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