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概率与统计专题训练(文科)


戴氏教育簇桥校区

概率与统计

授课老师:唐老师

概率与统计专题训练
一、选择填空
1. 某年级 120 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间.将测试结果分成 5 组:

[13, , [14 , , [15 , , [16 , ) , [17 , ,

得到如图所示的频率分布直方图.如果从左 14) 15) 16) 17 18]
到右的 5 个小矩形的面积之比为 1: 3 : 7 : 6 : 3 ,那么成绩在 [16,18] 的学生人数是_____.

2. 某公司对下属员工在龙年春节期间收到的祝福短信数量进行了统计,得到了如下的直方图,如果 该公司共有员工 200 人,则收到 125 条以上的大约有
频率/组距

人.

0.012 0.0105 0.009 0.0075 0.006 0.003

5

25

45

65

85

105

125

145

数值

3. 某高中校三个年级人数见下表: 年级 人数 高一 300 高二 300 高三 400

通过分层抽样从中抽取 40 人进行问卷调查,现在从答卷中随机抽取一张,恰好是高三学生的答卷的 概率是 (A)
1 10

(B)

1 40

(C)

2 3

(D)

2 5

1

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4.为了了解学生的视力情况,随机抽查了一批学生的视力,将抽查结果绘制成频率分布直方图(如 图所示).若[5.0,5.4]内的学生人数是 2,则根据图中数据可得被抽查的学生总数是____; 样本数据在[3.8,4.2)内的频率是______.

5. 某个容量为 100 的样本的频率分布直方图如下,则在区间 [4,5) 上的数据的频数为 .. 其中平均数为 ;众数为 ;中位数为 。



6. 右图是 1 , 2 两组各 7 名同学体重(单位: kg ) 数据的茎叶图.设 1 , 2 两组数据的平均数依次 为 x1 和 x2 ,标准差依次为 s1 和 s 2 ,那么( (注:标准差 s ? )

1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ( xn ? x ) 2 ] ,其中 x 为 x1 , x2 , ?, xn 的平均数) n

(A) x1 ? x2 , s1 ? s2 (C) x1 ? x2 , s1 ? s2

(B) x1 ? x2 , s1 ? s2 (D) x1 ? x2 , s1 ? s2

7. 右面茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损.则甲的平均成 绩超过乙的平均成绩的概率为( (A) ) 甲 9 8 2 1 0 8 9 乙 3 3 7 9

2 7 4 9 (B) (C) (D) 5 5 10 10

2

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8. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各 13 场比赛得分情况用茎叶图表示如下: 甲 9 6 5 3 7 8 1 2 1 8 0 0 0 1 2 3 4 ) 乙 7 2 0 7 5 2 9 6 3 9 7 9 9

根据上图,对这两名运动员的成绩进行比较,下列四个结论中,不正确的是( ... A.甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B.甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数 C.甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值 D.甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定

9. 某校共有学生 2000 名,各年级男、女学生人数如下表,已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到 二年级女生的概率是 0.19,现用分层抽样的方法在全校学生中抽取 64 人,则应在三年级抽取的学 生人数为( ) 一年级 女生 男生 (A) 24 (B) 18 385 375 二年级 三年级

a
360 (C)16

b

c
(D) 12

10. 某地为了调查职业满意度,决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相 关人员中,抽取若干人组成调查小组,有关数据见下表,则调查小组的总人数为 ;若从调 .

查小组中的公务员和教师中随机选 2 人撰写调查报告, 则其中恰好有 1 人来自公务员的概率为 相关人员数 公务员 教师 自由职业者 32 48 64 抽取人数

x
y
4

11.在区间 ?0,9? 上随机取一实数 x ,则该实数 x 满足不等式 1 ? log2 x ? 2 的概率为



12. 已知向量 a ? ( x, ?1) , b ? (3, y ) ,其中 x 随机选自集合 {?1,1,3} , y 随机选自集合 {1,3} ,那么

a ? b 的概率是


3

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13. 在长度为 1 的线段 AB 上随机的选取一点 P , 则得到 | PA |?

1 的概率是 2

.

14. 在面积为 1 的正方形 ABCD 内部随机取一点 P ,则 ?PAB 的面积大于等于

1 的概率______. 4

15. 如图,矩形长为 6,宽为 4,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆,数得落在椭圆外的黄豆数为 96 颗, 以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( (A) 7.68 (C) 16.32 (B) 8.68 (D) 17.32 )

16. 从集合 A ? {?1,1, 2} 中随机选取一个数记为 k , 从集合 B ? {?2,1,2} 中随机选取一个数记为 b , 则直线 y ? kx ? b 不经过第三象限的概率为( A. ) D.

2 9

B.

1 3

C.

4 9

5 9

17. 记集合 A ? {( x, y) x ? y ? 4}和集合 B ? {( x, y ) | x ? y ? 2 ? 0, x ? 0, y ? 0}表示的平面区域
2 2

分别为 Ω 1,Ω 2,若在区域 Ω 1 内任取一点 M(x,y),则点 M 落在区域 Ω 2 内的概率为( A ) (A)

? 2?

(B)

? ?

(C)

? 4

(D)

??? ??

18. 在两个袋内,分别装着写有 0,1,2,3,4,5 六个数字的 6 张卡片,今从每个袋中任取一张卡片, 则两数之和等于 5 的概率为_____.

19. 投掷一枚质地均匀的骰子两次,若第一次面向上的点数小于第二次面向上的点数我们称其为正 实验,若第二次面向上的点数小于第一次面向上的点数我们称其为负实验,若两次面向上的点数相 等我们称其为无效。那么一个人投掷该骰子两次后出现无效的概率是( A. )

1 36

B.

1 12

C.

1 6

D.

1 2

20. 设集合 A ? {1 2} B ? {1 2, ,分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b ,确定平面上的一个 ,, ,3} 点 P(a,b) ,记“点 P(a,b) 落在直线 x ? y ? n 上”为事件 Cn (2 ≤ n ≤ 5,n?N) ,若事件 Cn 的 概率最大,则 n 的所有可能值为( A.3 B.4 ) C.2 和 5 D.3 和 4

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二、解答题
1. 某校高一年级开设研究性学习课程,( 1 )班和( 2 )班报名参加的人数分别是 18 和 27 .现用 分层抽样的方法,从中抽取若干名学生组成研究性学习小组,已知从( 2 )班抽取了 3 名同学. (Ⅰ)求研究性学习小组的人数; (Ⅱ) 规划在研究性学习的中、 后期各安排 1 次交流活动, 每次随机抽取小组中 1 名同学发言. 求

2 次发言的学生恰好来自不同班级的概率.

2. 甲、乙两名考生在填报志愿的时候都选中了 A、B、C、D 四所需要面试的院校,但是它们的面试 安排在同一时间了。因此甲、乙只能在这四所院校中选择一个做志愿,假设每个院校被选择的机率 相等,试求: (I)甲乙选择同一所院校的概率; (II)院校 A、B 至少有一所被选择的概率; (III)院校 A 没有被选择的概率.

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3. 某企业员工 500 人参加“学雷锋”志愿活动,按年龄分组:第 1 组[25,30),第 2 组[30,35), 第 3 组[35,40),第 4 组[40,45),第 5 组[45,50],得到的频率分布直方图如右图所示:

(Ⅰ)下表是年龄的频数分布表,求正整数 a , b 的值;

(Ⅱ)现在要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人, 年龄在第 1,2,3 组的人数分 别是多少? (Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动,求至少有 1 人年龄在第 3 组的概率.

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4. 某地区农科所为了选择更适应本地区种植 的棉花品种, 在该地区选择了 5 块土地, 每块土地平均 分成面积相等的两部分,分别种植甲、乙两个品种的棉花,收获时测 得棉花的亩产量如下图所示: (Ⅰ)请问甲、乙两种棉花哪种亩产量更稳定,并说明理由; (Ⅱ)求从种植甲种棉花的 5 块土地中任选 2 块土地,这两块土 地的亩产量均超过种植甲种棉花的 5 块土地的总平均亩产量的概率.
7 5 甲 5 2 1 9 10 11 8 3 0 4 5 乙

5. 某中学高三(1)班有男同学 30 名,女同学 10 名,老师按照分层抽样的方法组建了一个 4 人的 校本教材自学实验小组. (Ⅰ)求小组中男、女同学的人数; (Ⅱ)从这个小组中先后选出 2 名同学进行测试,求选出的 2 名同学中恰有一名女同学的概率.

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6. 我区高三期末统一测试中某校的数学成绩分组统计如下表: (Ⅰ)求出表中 m 、 n 、 M 、 N 的值,并根据表中所给数据在下面给出的 坐标系中画出频率分布直方图;
0.016 0.015 0.014 0.013 0.012 0.011 0.010 0.009 0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 30 60 90 120 150 分数
频率/组距

分组

频数

频率

(0,30]
(30,60] (60,90]
(90,120] (120,150]
合计

3 3

0.03 0.03

37

0.37

m
15
M

n
0.15 N

(Ⅱ)若我区参加本次考试的学生有 600 人,试估计这次测试中我区成绩 在 90 分以上的人数; (Ⅲ)若该校教师拟从分数不超过 60 的学生中选取 2 人进行个案分析,求 被选中 2 人分数不超过 30 分的概率.

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7. 某班同学利用寒假在 5 个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查,以 计算每户的碳月排放量.若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”.若 小区内有至少 75 % 的住户属于“低碳族”,则称这个小区为“低碳小区”,否则称为“非低碳小 区” .已知备选的 5 个居民小区中有三个非低碳小区,两个低碳小区. (Ⅰ)求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率; (Ⅱ)假定选择的“非低碳小区”为小区 A , 调查显示其“低碳族”的比例为

1 ,数据如图 1 所示, 2

经过同学们的大力宣传,三个月后,又进行了一次调查,数据如图 2 所示,问这时小区 A 是否达到 “低碳小区”的标准?

频率 组距 0.30 0.25 0.20 0.15 0.05

频率 组距 0.46

0.23 0.14 0.10 0.07 1 2 3 4 5 6 月排放量 (百千克/户 户)

O

O

1

2

3

4

5

图1

图2

月排放量 (百千克/户 户)

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8.对某校全体教师在教学中是否经常使用信息技术实施教学的情况进行了调查, 得到统计数据如下:

(I)求该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率; (Ⅱ)在教龄 10 年以下,且经常使用信息技术实施教学的教师中任选 2 人,其中恰有一人教龄 在 5 年以下的概率是多少?

9. 某校为了解初高中学生的学科学习兴趣,对初高中学生做了一个喜欢数学和喜欢语文的抽样调 查,随机抽取了 100 名学生,相关的数据如下表所示: 数学 语文[来源:学+ 科+网] 初中 高中 总计 总计

40 15
55

18 27
45

58
42

100

(Ⅰ) 用分层抽样的方法从喜欢语文的学生中随机抽取 5 名,高中学生应该抽取几名? (Ⅱ) 在(Ⅰ)中抽取的 5 名学生中任取 2 名,求恰有 1 名初中学生的概率.

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10. 高三年级进行模拟考试,某班参加考试的 40 名同学的成绩统计如下: 分数段 人数 (70,90) 5 [90,100) [100,120) 15 [120,150]

a

b

规定分数在 90 分及以上为及格,120 分及以上为优秀,成绩高于 85 分低于 90 分的同学为希望 生.已知该班希望生有 2 名. (Ⅰ)从该班所有学生中任选一名,求其成绩及格的概率; (Ⅱ)当 a =11 时,从该班所有学生中任选一名,求其成绩优秀的概率; (Ⅲ)从分数在(70,90)的 5 名学生中,任选 2 名同学参加辅导,求其中恰有 1 名希望生的概率.

11

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11. 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取 M 名学生作为样本,得到这 M 名 学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下:

分组

频数 10 24

频率 0.25 a

频率/组距

[10,15) [15, 20)
[20, 25) [25,30)
合计

n
p
0.05 1
0 10 15 20 25 30 次数

m
2

M

(Ⅰ)求出表中 M , p 及图中 a 的值; (Ⅱ)若该校高三学生有 240 人,试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间 [10, 15) 内的人 数; (Ⅲ)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人,求至多一人参加社区 服务次数在区间 [25, 30) 内的概率.

12

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12. 为预防 H1 N1 病毒爆发,某生物技术公司研制出一种新流感疫苗,为测试该疫 苗的有效性(若 疫苗有效的概率小于 90 %,则认为测试没有通过),公司选定 2000 个流感样本分成三组,测试结果 如下表:

A组 B组 C组 y x 673 疫苗有效 z 77 90 疫苗无效 已知在全体样本中随机抽取 1 个,抽到 B 组疫苗有效的概率是 0.33 .
(Ⅰ)求 x 的值; (Ⅱ)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取 360 个测试结果,问应在 C 组抽取多少个? (Ⅲ)已知 y ? 465, z ? 30 ,求不能通过测试的概率.

13.某运动员进行 20 次射击练习,记录了他射击的有关数据,得到下表: 环数 命中次数 7 2 8 7 9 8 10 3

(Ⅰ)求此运动员射击的环数的平均数; (Ⅱ)若将表中某一环数所对应的命中次数作为一个结果,在四个结果(2 次、7 次、8 次、3 次)中,随机取 2 个不同的结果作为基本事件进行研究,记这两个结果分别为 m 次、 n 次, 每个基本事件为(m,n).求“ m ? n ≥ 10 ”的概率.

13

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14. 在平面直角坐标系 xOy 中,平面区域 W 中的点的坐标 ( x, y ) 满足 x2 ? y 2 ? 5 ,从区域 W 中随 机取点 M ( x, y ) . (Ⅰ)若 x ? Z , y ?Z ,求点 M 位于第四象限的概率; (Ⅱ) 已知直线 l : y ? ? x ? b (b ? 0) 与圆 O : x2 ? y 2 ? 5 相交所截得的弦长为 15 , y ?? x b 求 ? 概率. 的

15. 口袋中有质地、大小完全相同的 5 个球,编号分别为 1,2,3,4,5.甲先摸出一个球,记下编 号为 a ,放回袋中后,乙再摸一个球,记下编号为 b . (Ⅰ)求“ a ? b ? 6 ”的事件发生的概率; (Ⅱ)若点 ?a, b ? 落在圆 x 2 ? y 2 ? 21内,则甲赢,否则算乙赢,这个游戏规则公平吗?试说明理 由.

14


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