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《备战2014数学高考》2014


2014 届高三数学复习精练试题选

6-2 等差数列
【基础巩固强化】 1.(文)(2012· 辽宁文,4)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则 a2+a10= ( ) A.12 C.20 [答案] [解析] B 本题考查等差数列的性质. B.16 D.24

由等差数列的性质得,a2+a10=a4+a8=16,B

正确. [点评] 解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的性质.

(理)(2013· 浙江金华一中 12 月月考)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a2 Sn+64 =4,S10=110,则 a 的最小值为(
n

) 17 D. 2

A.7 [答案] [解析] D

B.8

15 C. 2

?a1+d=4, 由题意知? ?10a1+45d=110.

?a1=2, ∴? ∴Sn=n2+n,an=2n. d=2. ? Sn+64 n2+n+64 n 1 32 1 ∴ a = =2+2+ n ≥2+2 2n n =8,故选 D. 2.(文)(2011· 福州模拟)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2+a6+a7=18, 则 S9 的值是( A.64 C.54 [答案] C [解析] 由 a2+a6+a7=3a1+12d=3a5=18,得 a5=6. ) B.72 D.以上都不对 n 32 17 n 32 ∴n 2· = 2 .等号成立时, = n , n 2

9?a1+a9? 所以 S9= 2 =9a5=54.
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(理)已知等差数列{an}的公差为 d(d≠0),且 a3+a6+a10+a13=32,若 am=8, 则 m 为( A.12 C.6 [答案] [解析] B 由等差数列性质知,a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+ ) B.8 D.4

2a8=4a8=32, ∴a8=8. ∴m=8.故选 B. 3.(2011· 西安五校一模)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=-11,a3 +a7=-6,则当 Sn 取最小值时,n 等于( A.8 C.6 [答案] C [解析] 设等差数列{an}的公差为 d,依题意得 a3+a7=2a5=-6,∴a5=- ) B.7 D.9

a5-a1 3,∴d= 5-1 =2,∴an=-11+(n-1)× 2=2n-13.令 an>0 得 n>6.5,即在数列 {an}中,前 6 项均为负数,自第 7 项起以后各项均为正数,因此当 n=6 时,Sn 取最小值,选 C. 4. 已知不等式 x2-2x-3<0 的整数解构成等差数列{an}的前三项, 则数列{an} 的第四项为( A.3 C.2 [答案] [解析] D 由 x2-2x-3<0 及 x∈Z 得 x=0,1,2. ) B.-1 D.3 或-1

∴a4=3 或-1.故选 D. 5. (2012· 大纲全国理, 5)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 5=5, 5=15, a S 1 则数列{a a }的前 100 项和为( n n+1 )

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100 A.101 99 C.100 [答案] [解析] A

99 B.101 101 D.100

本小题主要考查等差数列的通项公式和前 n 项和公式的运用,以及

裂项求和的综合应用. 5?a1+a5? ∵a5=5,S5=15,∴ 2 =15,即 a1=1. a5-a1 ∴d= 5-1 =1,∴an=n. 1 1 1 1 ∴a a =n?n+1?=n-n+1. n n+1 1 1 1 1 1 1 则数列{a a }的前 100 项的和为:T100=(1-2)+(2-3)+…+(100-101) n n+1 1 100 =1-101=101. 故选 A. [点评] 本题亦可利用等差数列的性质,由 S5=15 得 5a3=15,即 a3=3,

再进一步求解. 6.(文)在函数 y=f(x)的图象上有点列(xn,yn),若数列{xn}是等差数列,数 列{yn}是等比数列,则函数 y=f(x)的解析式可能为( A.f(x)=2x+1 C.f(x)=log3x [答案] [解析] D ?3? ?3? 对于函数 f(x)=?4?x 上的点列(xn,yn),有 yn=?4?xn,由于{xn}是等差 ? ? ? ? )

B.f(x)=4x2 ?3? D.f(x)=?4?x ? ?

?3? yn+1 ?4?xn+1 ?3? ? ? ?3? 数列,所以 xn+1-xn=d,因此 y = 3 =?4?xn+1-xn=?4?d,这是一个与 n ? ? ? ? n ? ? ?4?xn ? ? 无关的常数,故{yn}是等比数列.故选 D. [点评] 根据指数与对数运算的性质知真数成等比(各项为正),其对数成等
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差,指数成等差时,幂成等比. (理)已知直线(3m+1)x+(1-m)y-4=0 所过定点的横、 纵坐标分别是等差数 1 列{an}的第一项与第二项,若 bn=a · ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,则 T2014 n an+1 =( ) 2013 A.4029 4017 C.4029 [答案] [解析] B 依题意, 将(3m+1)x+(1-m)y-4=0 化为(x+y-4)+m(3x-y)=0, 2014 B.4029 4018 D.4029

?x+y-4=0 ?x=1 令? ,解得? , ?3x-y=0 ?y=3 ∴直线(3m+1)x+(1-m)y-4=0 过定点(1,3), ∴a1=1,a2=3,公差 d=2,an=2n-1, 1 1 1 1 ∴bn=a · =2(2n-1-2n+1), n an+1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2014 ∴T2014=2× 1-3)+(3-5)+…+(4027-4029)]=2× [( (1-4029)=4029.故选 B. 7.(2011· 洛阳部分重点中学教学检测)已知 a,b,c 是递减的等差数列,若 a2+c2 将其中两个数的位置对换,得到一个等比数列,则 b2 的值为________. [答案] [解析] 20 ?a+c=2b, ?a+c=2b, ?a+c=2b, 依题意得①? 2 或②? 2 或③? 2 由 ?b =ac. ?a =bc. ?c =ab.

①得 a=b=c, 这与“a, c 是递减的等差数列”矛盾; b, 由②消去 c 整理得(a-b)(a a2+c2 +2b)=0,又 a>b,因此 a=-2b,c=4b, b2 =20;由③消去 a 整理得(c- a2+c2 b)(c+2b)=0,又 b>c,因此有 c=-2b,a=4b, b2 =20. 8.(文)(2011· 天津文,11)已知{an}是等差数列,Sn 为其前 n 项和,n∈N*, 若 a3=16,S20=20,则 S10 的值为________.
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[答案] [解析]

110 由题意,设公差为 d,则 ?a1=20, 解得? ?d=-2.

?a1+2d=16, ?20a +20×?20-1?d=20, ? 1 2

10?10-1? ∴S10=10a1+ 2 d=110. (理)设等差数列{an}的公差为正数,若 a1+a2+a3=15,a1a2a3=105,则 a11 +a12+a13=________. [答案] [解析] 75 ?a1+a2+a3=15, ∵? ?a1a2a3=105,

?a2=5, ?a1+d=5, ∴? ∴? ?a1a3=21, ?a1?a1+2d?=21, ?d=2, ∵d>0,∴? ?a1=3, ∴a11+a12+a13=3a1+33d=75. 9.(文)将正偶数按下表排成 5 列: 第1列 第1行 第2行 第3行 …… 16 第2列 第3列 2 14 18 …… 第4列 4 12 20 28 第5列 6 10 22 26 24 8

那么 2014 应该在第________行第________列. [答案] [解析] 252 2

通项 an=2n,故 2014 为第 1007 项,∵1007=4× 251+3,

又 251 为奇数,因此 2014 应排在第 252 行,且第 252 行从右向左排第 3 个 数,即 252 行第 2 列. (理)已知 an=n 的各项排列成如图的三角形状: 记 A(m,n)表示第 m 行的第 n 个数,则 A(31,12)=________.
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a1 a2 a5 a6 a3 a7 a4 a8 a9

………………………… [答案] [解析] 912 由题意知第 1 行有 1 个数,第 2 行有 3 个数,……第 n 行有 2n-1

n[1+?2n-1?] 个数,故前 n 行有 Sn= =n2 个数,因此前 30 行共有 S30=900 个数, 2 故第 31 行的第一个数为 901,第 12 个数为 912, 即 A(31,12)=912. 10.(文)(2011· 济南模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(n,Sn)(n∈N+) 在函数 f(x)=3x2-2x 的图象上. (1)求数列{an}的通项公式; 3 (2)设 bn=a · ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. n an+1 [解析] =3n2-2n. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n-3(n-1)2+2(n-1)=6n-5, 当 n=1 时,a1=S1=1 也适合上式,∴an=6n-5. 3 3 (2)bn=a a =?6n-5??6n+1? n n+1 1 1 1 =2(6n-5-6n+1), 11 1 1 1 1 1 ∴Tn=2(1-7+7-13+…+6n-5-6n+1) 1 1 1 1 =2(1-6n+1)=2-12n+2. (理)(2011· 重庆文,16)设{an}是公比为正数的等比数列,a1=2,a3=a2+4. (1)求{an}的通项公式; (2)设{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列{an+bn}的前 n 项和 Sn. [解析] (1)设等比数列{an}的公比为 q,由 a1=2,a3=a2+4 得 2q2=2q+4, (1)由已知点(n,Sn)(n∈N+)在函数 f(x)=3x2-2x 的图象上,可得 Sn

即 q2-q-2=0,
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解得 q=2 或 q=-1(舍),∴q=2, ∴an=a1·n-1=2·n-1=2n. q 2 (2)数列 bn=1+2(n-1)=2n-1, 2×?1-2n? n?n-1? ∴Sn= 1-2 +[n× 1+ 2 × 2] =2n+1+n2-2. 【能力拓展提升】 11.(文)已知在等差数列{an}中,对任意 n∈N*,都有 an>an+1,且 a2,a8 是方 程 x2-12x+m=0 的两根,且前 15 项的和 S15=m,则数列{an}的公差是( A.-2 或-3 C.-2 [答案] [解析] A 由 2a5=a2+a8=12,得 a5=6, B.2 或 3 D.3 )

m 由 S15=m 得 a8=15. 又因为 a8 是方程 x2-12x+m=0 的根, 解之得 m=0,或 m=-45, 则 a8=0,或 a8=-3. 由 3d=a8-a5 得 d=-2,或 d=-3. (理)如表定义函数 f(x): x f(x) 1 5 2 4 3 3 4 1 5 2 )

对于数列{an},a1=4,an=f(an-1),n=2,3,4,…,则 a2014 的值是( A.1 C.3 [答案] [解析] A B.2 D.4

本题可通过归纳推理的方法研究数列的规律.由特殊到一般易知 a1

=4,a2=f(a1)=f(4)=1,a3=f(a2)=f(1)=5,a4=f(a3)=f(5)=2,a5=f(a4)=f(2) =4,…,据此可归纳数列{an}为以 4 为周期的数列,从而 a2014=a2=1. S1 12.(2011· 烟台诊断)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn 且 S15>0,S16<0,则a ,
1

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S2 S15 ,…,a 中最大的是( a2 15 S15 A.a
15

) S9 B.a
9

S8 C.a
8

S1 D.a 1

[答案] C ?a1+7d>0, ? ?S15>0, [解析] ? ?? 15 ?S16<0, ?a1+ 2 d<0, ? ?a8>0, ?? ?a9<0.

∴0<S1<S2<…<S8>S9>S10>…>S15>0>S16,a1>a2>…>a8>0>a9, S8 ∴a 最大.故选 C.
8

13.(文)(2011· 湖北文,9)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子, 自上而下各节的容积成等差数列, 上面 4 节的容积共 3L, 下面 3 节的容积共 4L, 则第 5 节的容积为( A.1L 47 C.44L [答案] [解析] B 设该数列为{an}公差为 d,则 ) 67 B.66L 37 D.33L

?a1=13, a1+a2+a3+a4=3, 4a1+6d=3, ? 22 ? ? ? 即? 解之得? 7 ?a7+a8+a9=4, ?3a1+21d=4, ?d=66, ?
13 7 67 所以第 5 节的容积为 a5=a1+4d=22+66× 66. 4= (理)(2011· 哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学联合模拟)已知{an}是 等差数列, n 为其前 n 项和, S21=S4000, 为坐标原点, P(1, n), Q(2011, S 若 O 点 a 点 → → a2011),则OP· 等于( OQ A.2011 C.0
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) B.-2011 D.1

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[答案] [解析]

A S21=S4000?a22+a23+…+a4000=0?a2011=0,

→ → 又 P(1,an),Q(2011,a2011),则OP=(1,an),OQ=(2011,a2011), → → ∴OP· =(1,an)· OQ (2011,a2011)=2011+ana2011=2011,故选 A. 14.(文)(2011· 哈尔滨六中模拟)若数列{xn}满足 xn-xn-1=d,(n∈N*,n≥2), 其中 d 为常数,x1+x2+…+x20=80,则 x5+x16=________. [答案] [解析] 8 由 xn-xn-1=d 知{xn}为公差为 d 的等差数列,

∴x1+x2+…+x20=80?10(x1+x20)=80?x1+x20=8, ∴x5+x16=x1+x20=8. (理)(2011· 莱阳模拟)数列{an},{bn}都是等差数列,a1=0,b1=-4,用 Sk、 Sk′分别表示等差数列{an}和{bn}的前 k 项和(k 是正整数),若 Sk+Sk′=0,则 ak+ bk=________. [答案] [解析] 4 k?k-1? k?k-1? k?k-1??d+d′? 由条件知,Sk+Sk′= 2 d+ 2 d′-4k= -4k=0, 2

∵k 是正整数,∴(k-1)(d+d′)=8, ∴ak+bk=(k-1)d-4+(k-1)d′ =(k-1)(d+d′)-4=4. 15.(文)(2011· 杭州质量检测)已知正数数列{an}的前 n 项和为 Sn,且对任意 的正整数 n 满足 2 Sn=an+1. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设 bn=a · ,求数列{bn}的前 n 项和 Bn. n an+1 [解析] (1)由 2 Sn=an+1,n=1 代入得 a1=1,

两边平方得 4Sn=(an+1)2① ①式中 n 用 n-1 代替得 4Sn-1=(an-1+1)2 (n≥2)②

①-②,得 4an=(an+1)2-(an-1+1)2,0=(an-1)2-(an-1+1)2,
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[(an-1)+(an-1+1)]· n-1)-(an-1+1)]=0, [(a ∵{an}是正数数列,∴an-an-1=2, 所以数列{an}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列, ∴an=2n-1. 1 1 (2)bn=a · =?2n-1??2n+1? n an+1 1 ? 1? 1 =2?2n-1-2n+1?, ? ? 1 1 1 1 1 1 裂项相消得 Bn=b1+b2+…+bn= [(1- )+( - )+…+( - )] 2 3 3 5 2n-1 2n+1 n =2n+1. (理)(2011· 河南郑州质量检测)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2-an,数列{bn} 满足 b1=1,b3+b7=18,且 bn-1+bn+1=2bn(n≥2). (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; bn (2)若 cn=a ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
n

[解析]

(1)由题意 Sn=2-an,①

当 n≥2 时,Sn-1=2-an-1,② ①-②得 an=Sn-Sn-1=an-1-an, 1 即 an=2an-1,又 a1=S1=2-a1, 1 1 ∴a1=1,故数列{an}是以 1 为首项,2为公比的等比数列,所以 an=2n-1; 由 bn-1+bn+1=2bn(n≥2)知,数列{bn}是等差数列, 1 设其公差为 d,则 b5= (b3+b7)=9, 2 所以 d= b5-b1 4 =2,bn=b1+(n-1)d=2n-1.

综上,数列{an}和{bn}的通项公式为 1 an=2n-1,bn=2n-1. bn (2)cn=a =(2n-1)·n-1, 2
n

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Tn=c1+c2+c3+…+cn =1× 0+3× 1+5× 2+…+(2n-1)× n-1,③ 2 2 2 2 2Tn=1× 1+3× 2+…+(2n-3)× n-1+(2n-1)× n,④ 2 2 2 2 ③-④得:-Tn=1+2(21+22+23+…+2n-1)-(2n-1)·n 2 2-2n =1+2×1-2 -(2n-1)·n=-(2n-3)·n-3. 2 2 ∴Tn=(2n-3)·n+3. 2 16.(2012· 湖北文,20)已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为 8. (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)若 a2,a3,a1 成等比数列,求数列{|an|}的前 n 项和. [分析] (1)利用等差数列的通项公式,及相关关系求出首项和公差.

(2)先确定数列的通项公式, 由于首项 a1<0 需判断从哪一项开始 an>0, 将{|an|} 前 n 项和写为分段函数的形式. [解析] (1)设等差数列{an}的公差为 d,则 a2=a1+d,a3=a1+2d,

?3a1+3d=-3, 由题意得? ?a1?a1+d??a1+2d?=8. ?a1=2, ?a1=-4, 解得? 或? ?d=-3, ?d=3. 所以由等差数列通项公式可得 an=2-3(n-1)=-3n+5,或 an=-4+3(n -1)=3n-7. 故 an=-3n+5,或 an=3n-7. (2)当 an=-3n+5 时,a2,a3,a1 分别为-1,-4,2,不成等比数列; 当 an=3n-7 时,a2,a3,a1 分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件. ?-3n+7, n=1,2. 故|an|=|3n-7|=? ?3n-7, n≥3. 记数列{|an|}的前 n 项和为 Sn. 当 n=1 时,S1=|a1|=4; 当 n=2 时,S2=|a1|+|a2|=5;
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当 n≥3 时, Sn=S2+|a3|+|a4|+…+|an|=5+(3× 3-7)+(3× 4-7)+…+(3n-7) =5+ ?n-2?[2+?3n-7?] 3 2 11 =2n - 2 n+10. 2

当 n=2 时,满足此式. ?4, ? 综上,Sn=?3 2 11 ?2n - 2 n+10, ? 【能力提升】 S4 1 S8 1. (2011· 郑州一测)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, S =3, S =( 且 则
8 16

n=1, n>1.

)

1 A.8 1 C.9 [答案] [解析] D

1 B.3 3 D.10

设 a1+a2+a3+a4=A1, 5+a6+a7+a8=A2, 9+a10+a11+a12=A3, a a

a13+a14+a15+a16=A4,∵数列{an}为等差数列,∴A1、A2、A3、A4 也成等差数 A1+A2 S4 A1 1 S8 列, =A +A =3, 不妨设 A1=1, A2=2, 3=3, 4=4, =A +A +A +A 则 A A S8 S16 1 2 1 2 3 4 1+2 3 =1+2+3+4=10,故选 D. 2. (2011· 济宁模拟)将正偶数集合{2,4,6…}从小到大按第 n 组有 2n 个偶数进 行分组,第一组{2,4},第二组{6,8,10,12},第三组{14,16,18,20,22,24},则 2010 位于第( A.30 C.32 [答案] C [解析] 因为第 n 组有 2n 个正偶数,故前 n 组共有 2+4+6+…+2n=n2+ )组. B.31 D.33

n 个正偶数.2010 是第 1005 个正偶数.若 n=31,则 n2+n=992,而第 32 组中有 偶数 64 个,992+64=1056,故 2010 在第 32 组. 3.(2011· 黄冈 3 月质检)设数列{an}是以 2 为首项,1 为公差的等差数列,bn
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是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,则 ab +a b +…+a b =(
1 2 10

)

A.1033 C.1034 [答案] [解析] =2
n -1

B.2057 D.2058

A 依题意得 an=2+(n-1)× 1=n+1,bn=1× n-1=2n-1,ab =bn+1 2
n 0 1 9

1×?210-1? +1,因此 ab +a b +…+a b =(2 +1)+(2 +1)+…+(2 +1)= 2-1 1 2 10

+10=210+9=1033,故选 A. 5 4.一个算法的程序框图如下图所示,若该程序输出的结果为6,则判断框中 应填入的条件是( )

A.i<4? C.i≥5? [答案] [解析] D

B.i<5? D.i<6?

1? ?1 1? 1 1 1 ? 由 题 意 知 S = 1× + 2× + … + i?i+1? = ?1-2? + ?2-3? + … + 2 3 ? ? ? ?

1 ? i 5 ?1 ? i -i+1?= ,故要输出 S=6,i=5 时再循环一次,故条件为 i≤5 或 i<6,故 ? ? i+1 选 D. 1 5.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0 的四个根组成一个首项为4的等差数
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列,则|m-n|=( A.1 1 C.2 [答案] C [解析]

) 3 B.4 3 D.8

设 x2-2x+m=0 的根为 x1、x2 且 x1<x2,

1 x2-2x+n=0 的根为 x3、x4 且 x3<x4,且 x1=4, 7 又 x1+x2=2,∴x2=4, 又 x3+x4=2,且 x1、x3、x4、x2 成等差数列, 17 1 1 3 5 ∴公差 d=3(4-4)=2,∴x3=4,x4=4. 1 7 3 5 1 ∴|m-n|=|4× -4× |=2,故选 C. 4 4 6.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以 Sn 表示{an} 的前 n 项和,则使得 Sn 达到最大值的 n 是( A.21 C.19 [答案] [解析] B ∵3d=(a2+a4+a6)-(a1+a3+a5)=99-105=-6,∴d=-2,由 ) B.20 D.18

a1+a3+a5=105 得 3a1+6d=105,∴a1=39,∴an=39-2(n-1)=41-2n, 由 an≥0,n∈N 得,n≤20,∴a20>0,a21<0,故选 B. ? π π? 7. 已知函数 f(x)=sinx+tanx, 项数为 27 的等差数列{an}满足 an∈?-2,2?, ? ? 且公差 d≠0.若 f(a1)+f(a2)+…+f(a27)=0,则当 k=________时,f(ak)=0. [答案] [解析] 14 ∵f(x)=sinx+tanx 为奇函数,且在 x=0 处有定义,∴f(0)=0.

∵{an}为等差数列且 d≠0, ∴an(1≤n≤27,n∈N*)对称分布在原点及原点两侧, ∵f(a1)+f(a2)+…+f(a27)=0,∴f(a14)=0.
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∴k=14. 8.(2011· 南京一模)已知各项都为正数的等比数列{an}中,a2·4=4,a1+a2 a 1 +a3=14,则满足 an·n+1·n+2>9的最大正整数 n 的值为________. a a [答案] [解析] 4
2 设等比数列{an}的公比为 q,其中 q>0,依题意得 a3=a2·4=4,又 a

1 1 a3>0, 因此 a3=a1q2=2, 1+a2=a1+a1q=12, a 由此解得 q=2, 1=8, n=8× 2)n a a (
-1

1 1 1 =24-n,an·n+1·n+2=29-3n.由于 2-3=8>9,因此要使 29-3n>9,只要 9-3n≥- a a

1 3,即 n≤4,于是满足 an·n+1·n+2>9的最大正整数 n 的值为 4. a a 9.(2012· 东北三校二模)公差不为零的等差数列{an}中,a3=7,且 a2,a4, a9 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 an=bn+1-bn,b1=1,求数列{bn}的通项公式. [解析] ?a3=7, (1)由条件知,? 2 a ?a4=a2·9,

?a1+2d=7, ∴? 2 ??a1+3d? =?a1+d?·?a1+8d?, ?a1=1, 解之得? ?d=3. ∴an=3n-2. (2)由条件知, 1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=1+a1+a2+…+an-1 b ?n-1??1+3n-5? 3n2-7n+6 =1+ = , 2 2 3n2-7n+6 ∴bn= . 2 10.已知等差数列{an}中,公差 d>0,前 n 项和为 Sn,a2·3=45,a1+a5= a 18. (1)求数列{an}的通项公式;

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Sn (2)令 bn=n+c(n∈N*),是否存在一个非零常数 c,使数列{bn}也为等差数 列?若存在,求出 c 的值;若不存在,请说明理由. [分析] 第(1)问是求等差数列的通项公式,需要知道首项 a1 和公差 d 的值,

由条件 a2·3=45,a1+a5=18 建立方程组不难求得;第(2)问是构造一个等差数 a 列{bn},可考虑利用等差数列的定义,研究使 bn+1-bn(n∈N*)为一个常数时需要 满足的条件. [解析] (1)由题设知{an}是等差数列,且公差 d>0,

?a2a3=45, ??a1+d??a1+2d?=45, 则由? 得? ?a1+a5=18, ?a1+?a1+4d?=18, ?a1=1, 解得? ?d=4. 所以 an=4n-3(n∈N*). n?1+4n-3? 1 2n?n-2? 2 Sn (2)由 bn=n+c= n+c = n+c , 1 因为 c≠0,所以可令 c=-2,得到 bn=2n. 因为 bn+1-bn=2(n+1)-2n=2(n∈N*), 所以数列{bn}是公差为 2 的等差数列. 1 即存在一个非零常数 c=-2,使数列{bn}也为等差数列. 11.(2012· 东北三省四市第二次联考)已知等差数列{an}满足 a4=6,a6=10. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设等比数列{bn}各项均为正数,其前 n 项和 Tn,若 a3=b2+2,T3=7,求 Tn. [解析] (1)设等差数列{an}的公差为 d,首项为 a1,

?a1+3d=6, ?a1=0, ∵a4=6,a6=10,∴? 解得? ?a1+5d=10. ?d=2. ∴数列{an}的通项公式 an=a1+(n-1)d=2n-2. (2)设各项均为正数的等比数列{bn}的公比为 q(q>0).
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∵an=2n-2,∴a3=2× 3-2=4. ∵a3=b2+2,∴b2=2. ?b1q=2, ∴? 2 ?b1?1+q+q ?=7. ?b1=4, ? ?b1=1, 解得? 或? 1 ?q=2, ?q=2. ? b1?1-qn? 1×?1-2n? ∴Tn= 1-q = 1-2 =2n-1, 1 4[1-?2n] ? 1 或 Tn= =8-(2)n-3. 1 1-2

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