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2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第7讲 函数图像


第 7 讲 函数图像
一、选择题 1.函数=ln 1 的大致图像为(如图所示) |2x-3| ( ).

解析

3 ? ?-ln?2x-3?,x>2, y=-ln|2x-3|=? 3 ? ?-ln ?3-2x?,x<2,

3 3 故当 x>2时,函数为减函数,当 x<2时,函数为增函数. 答案 A 2.由方程 x|x|+y|y|=1 确定的函数 y=f(x)在(-∞,+∞)上是( A.增函数 C.先增后减 解析 B.减函数 D.先减后增 ).

①当 x≥0 且 y≥0 时,x2+y2=1,②当 x>0 且 y<0 时,x2-y2=1,

③当 x<0 且 y>0 时,y2-x2=1, ④当 x<0 且 y<0 时,无意义.

由以上讨论作图如上图,易知是减函数. 答案 B

π? ?1? ? π 3. 已知函数 f(x)=? e?x-tan x?-2<x<2?, 若实数 x0 是函数 y=f(x)的零点, 且 0<t<x0, ? ? ? ? 则 f(t)的值 ( ).

A.大于 1 解析

B.大于 0

C.小于 0

D.不大于 0

?1? ? π π? 分别作出函数 y = ? e? x 与 y = tan x 在区间 ?-2,2? 上的图象,得到 ? ? ? ?

π ?1? 0<x0<2,且在区间(0,x0)内,函数 y=? e?x 的图象位于函数 y=tan x 的图象上 ? ? 方,即 0<x<x0 时,f(x)>0,则 f(t)>0,故选 B. 答案 B ? ? 2? ? 2 4.如图,正方形 ABCD 的顶点 A?0, ?,B? ,0?,顶点 C、D 位于第一象限, 2? ?2 ? ? 直线 l:x=t(0≤t≤ 2)将正方形 ABCD 分成两部分,记位于直线 l 左侧阴影 部分的面积为 f(t),则函数 S=f(t)的图象大致是 ( ).

解析 当直线 l 从原点平移到点 B 时,面积增加得越来越快;当直线 l 从点 B 平移到点 C 时,面积增加得越来越慢.故选 C. 答案 C

5.在同一坐标系中画出函数 y=logax,y=ax,y=x+a 的图象,可能正确的是 ( ).

解析

当 a>1 或 0<a<1 时,排除 C;当 0<a<1 时,再排除 B;当 a>1

时,排除 A. 答案 D

6.如右图,已知正四棱锥 S-ABCD 所有棱长都为 1, 点 E 是侧棱 SC 上一动点,过点 E 垂直于 SC 的截面 将正四棱锥分成上、下两部分.记 SE=x(0<x<1), 截面下面部分的体积为 V(x),则函数 y=V(x)的图象 大致为 ( ).

1 解析 (1)当 0<x<2时, 过 E 点的截面为五边形 EFGHI(如图 1 所示), 连接 FI,

由 SC 与该截面垂直知,SC⊥EF,SC⊥EI,∴EF=EI=SEtan 60° = 3x,SI =2SE=2x, IH=FG=BI=1-2x, FI=GH= 2AH=2 1 的面积 S=FG×GH+2FI× 2x, ∴五边形 EFGHI

?1 ? EF2-?2FI?2=2 2x-3 2x2, ? ?

1 1 1 ∴ V(x) = VC - EFGHI + 2VI - BHC = 3 (2 2 x - 3 2 x2)×CE + 2× 3 × 2 ×1×(1 - 2 2 2x)× 2 (1-2x)= 2x3- 2x2+ 6 ,其图象不可能是一条线段,故排除 C, D. 1 (2)当2≤x<1 时, 过 E 点的截面为三角形,如图 2,设此三角形为△EFG,则 EG=EF=ECtan 60° = 3(1-x),CG=CF=2CE=2(1-x),三棱锥 E-FGC 2 底面 FGC 上的高 h=ECsin 45° = 2 (1-x), 1 1 2 ∴V(x)=3×2CG· CF· h= 3 (1-x)3,

∴V′(x)=- 2(1-x)2, ?1 ? ? ?1 ?? 又显然 V′(x)=- 2(1-x)2 在区间?2,1?上单调递增,V′(x)<0?x∈?2,1??, ? ? ? ? ?? 2 ?1 ? ∴函数 V(x)= 3 (1-x)3 在区间?2,1?上单调递减,且递减的速率越来越慢, ? ? 故排除 B,应选 A. 答案 A 二、填空题 7.设函数 f(x)=|x+2|+|x-a|的图像关于直线 x=2 对称,则 a 的值为________. 解析 因为函数 f(x)的图像关于直线 x=2 对称,则有 f(2+x)=f(2-x)对于任 意实数 x 恒成立,即|x+4|+|x+2-a|=|x-4|+|x-2+a|对于任意实数 x 恒成 ?2-a=-4, 立,从而有? 解得 a=6. ?a-2=4, 答案 6 8.使 log2(-x)<x+1 成立的 x 的取值范围是________. 解析 作出函数 y=log2(-x)及 y=x+1 的图象. 其中 y=log2(-x)与 y=log2 x 的图象关于 y 轴对称,观察图象(如图所示)知-1<x<0,即 x∈(-1,0).也可把 ?-x>0, 原不等式化为? x+1 后作图. ?-x<2

答案 (-1,0) 9.已知定义在区间[0,1]上的函数 y=f(x)的图象如图所示,对于满足 0<x1<

x2<1 的任意 x1、x2,给出下列结论:

①f(x2)-f(x1)>x2-x1; ②x2f(x1)>x1f(x2); ③

f x1 +f x2
2

?x1+x2? ?. <f? ? 2 ?

其中正确结论的序号是________(把所有正确结论的序号都填上). 解析 由 f(x2)-f(x1)>x2-x1, 可得

f x2 -f x1 >1, 即两点(x1, f(x1)) x2-x1 f x1 x1

与(x2, f(x2))连线的斜率大于 1, 显然①不正确, 由 x2f(x1)>x1f(x2)得 >

f x2 ,即表示两点(x1,f(x1))、(x2,f(x2))与原点连线的斜率的大小, x2

可以看出结论②正确;结合函数图象,容易判断③的结论是正确的. 答案 ②③

1 10.已知 a>0,且 a≠1,f(x)=x2-ax,当 x∈(-1,1)时,均有 f(x)< ,则实数 2

a 的取值范围是________.
解析 1 由题知, 当 x∈(-1,1)时, f(x)=x2-ax< , 即 x2 - 2

1 x 1 <a .在同一坐标系中分别作出二次函数 y=x2- ,指数函数 y 2 2 =ax 的图象,如图,当 x∈(-1,1)时,要使指数函数的图象均 1 1 在二次函数图象的上方, 需 ≤a≤2 且 a≠1.故实数 a 的取值范围是 ≤a<1 或 1 2 2 <a≤2. 答案 1 [ ,1)∪(1,2] 2

三、解答题 1 11.设函数 f(x)=x+ x (x∈(-∞,0)∪(0,+∞))的图像为 C1,C1 关于点 A(2,1) 的对称的图像为 C2,C2 对应的函数为 g(x).

(1)求函数 y=g(x)的解析式,并确定其定义域; (2)若直线 y=b 与 C2 只有一个交点,求 b 的值,并求出交点的坐标. 1 解 (1)设 P(u,v)是 y=x+x 上任意一点, 1 ∴v=u+u①.设 P 关于 A(2,1)对称的点为 Q(x,y), ?u+x=4, ?u=4-x, ∴? ?? ?v+y=2 ?v=2-y, 代入①得 2-y=4-x+ ∴g(x)=x-2+ 1 1 ?y=x-2+ , 4-x x-4

1 (x∈(-∞,4)∪(4,+∞)). x-4

?y=b, ? (2)联立? 1 y=x-2+ ? x-4 ?

?x2-(b+6)x+4b+9=0,

∴Δ=(b+6)2-4×(4b+9)=b2-4b=0?b=0 或 b=4. ∴当 b=0 时得交点(3,0);当 b=4 时得交点(5,4). 12.已知函数 y=f(x)的定义域为 R,并对一切实数 x,都满足 f(2+x)=f(2-

x).
(1)证明:函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称; (2)若 f(x)是偶函数, 且 x∈[0,2]时, f(x)=2x-1, 求 x∈[-4,0]时的 f(x) 的表达式. 解析 (1)证明 则 y0=f(x0), 点 P 关于直线 x=2 的对称点为 P′(4-x0,y0). 因为 f(4-x0)=f[2+(2-x0)]=f[2-(2-x0)]= 设 P(x0,y0)是函数 y=f(x)图象上任一点,

f(x0)=y0,
所以 P′也在 y=f(x)的图象上, 所以函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称. (2) 当 x∈[-2,0]时,-x∈[0,2], 所以 f(-x)=-2x-1. 又因为 f(x)为偶函数,

所以 f(x)=f(-x )=-2x-1,x∈[-2,0]. 当 x∈[-4,-2]时,4+x∈[0,2], 所以 f(4+x)=2(4+x)-1=2x+7, 而 f(4+x)=f(-x)=f(x), 所以 f(x)=2x+7,x∈[-4,-2].
?2x+7,x∈[-4,-2], ? 所以 f(x)=? ?-2x-1,x∈[-2,0]. ?

13.当 x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax 恒成立,求 a 的取值范围. 解 设 f1(x)=(x-1)2 ,f2(x)=logax ,要使当 x∈(1,2)

时,不等式 (x-1)2<logax 恒成立, 只需 f1(x)=(x-1)2 在(1,2)上的图象在 f2(x)=logax 的下方即可.

当 0<a<1 时,综合函数图象知显然不成立. 当 a>1 时,如图,要使在(1,2)上,f1(x)=(x-1)2 的图象在 f2(x)=logax 的 下方, 只需 f1(2)≤f2(2), 即(2-1)2≤loga2,loga2≥1, ∴1<a≤2. ∴a 的取值范围是(1,2] 14.已知函数 f(x)=x|m-x|(x∈R),且 f(4)=0. (1)求实数 m 的值; (2)作出函数 f(x)的图象并判断其零点个数; (3)根据图象指出 f(x)的单调递减区间; (4)根据图象写出不等式 f(x)>0 的解集; (5)求集合 M={m|使方程 f(x)=m 有三个不相等的实根}. 解 (1)∵f(4)=0,∴4|m-4|=0,即 m=4. ?x?x-4?,x≥4, (2)∵f(x)=x|m-x|=x|4-x|=? ?-x?x-4?,x<4.

∴函数 f(x)的图象如图:

由图象知 f(x)有两个零点. (3)从图象上观察可知:f(x)的单调递减区间为[2,4]. (4)从图象上观察可知: 不等式 f(x)>0 的解集为:{x|0<x<4 或 x>4}. (5)由图象可知若 y=f(x)与 y=m 的图象有三个不同的交点,则 0<m<4,∴集 合 M={m|0<m<4}.


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