当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学课本回归


高中数学课本回归(1)
第一章、集合
一、基础知识(理解去记) 定义 1 一般地,一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合,简称集,用大写字母来表示;集合 中的各个对象称为元素,用小写字母来表示,元素 x 在集合 A 中,称 x 属于 A,记为 x ? A ,否则称 x 不 属于 A,记作 x ? A 。 例如,通常用 N,Z,Q,B,Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集,不含任何 元素的集合称为空集,用 ? 来表示。集合分有限集和无限集两种。

集合的表示方法有列举法:将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法,如 {1,2,3};描述法:将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数},
{ x x ? 0}



别表示有理数集和正实数集。 定义 2 子集:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素,则 A 叫做 B 的子集,记为 A ? B ,例如 N ? Z 。规定空集是任何集合的子集,如果 A 是 B 的子集,B 也是 A 的子集, 则称 A 与 B 相等。如果 A 是 B 的子集,而且 B 中存在元素不属于 A,则 A 叫 B 的真子集。 便于理解: A ? B 包含两个意思:①A 与 B 相等 、②A 是 B 的真子集 定义 3 交集, 定义 4 并集,
A ? B ? { x x ? A 且 x ? B }. A ? B ? { x x ? A 或 x ? B }. A ? I , 则 C 1 A ? { x x ? I , 且 x ? A}

定义 5 补集,若 定义 6 集合

称为 A 在 I 中的补集。

{ x a ? x ? b , x ? R , a ? b}

记作开区间 ( a , b ) ,集合

{ x a ? x ? b , x ? R , a ? b}

记作闭区间 [ a , b ] ,R 记作 ( ?? , ?? ).

定义 7 空集?是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 补充知识点 对集合中元素三大性质的理解 (1)确定性 集合中的元素,必须是确定的.对于集合 A 和元素 a ,要么 a ? A ,要么 a ? A ,二者必居其一.比 如: “所有大于 100 的数”组成一个集合,集合中的元素是确定的.而“较大的整数”就不能构成一个集 合,因为它的对象是不确定的.再如, “较大的树”“较高的人”等都不能构成集合. 、 (2)互异性 对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的.任何两个相同的对象在同一集合中时,只能算作 这个集合中的一个元素.如:由 a , a 组成一个集合,则 a 的取值不能是 0 或 1. 数学必修回归课本 共 31 页
2

(3)无序性
2 3 3 2 集合中的元素的次序无先后之分.如:由 1,, 组成一个集合,也可以写成 1,, 组成一个集合,它们

都表示同一个集合. 帮你总结:学习集合表示方法时应注意的问题 (1)注意 a 与
a ? ? a?

? a?

的区别. a 是集合

? a?

的一个元素,而

? a?

是含有一个元素 a 的集合,二者的关系是



(2)注意 ? 与

? 0?

的区别. ? 是不含任何元素的集合,而

? 0?

是含有元素 0 的集合.

(3)在用列举法表示集合时,一定不能犯用{实数集}或

?R ?

来表示实数集 R 这一类错误,因为这里“大

括号”已包含了“所有”的意思. 用特征性质描述法表示集合时,要特别注意这个集合中的元素是什么,它应具备哪些特征性质,从而 准确地理解集合的意义.例如: 集合
y ? x

? ( x, y ) y ?

x

? 中的元素是 ( x, y ) ,这个集合表示二元方程 y ?

x

的解集,或者理解为曲线

上的点组成的点集;

集合 集合 集合

?x
?y

y ? y ?
x

x x

? 中的元素是 x ,这个集合表示函数 y ?
? 中的元素是 y ,这个集合表示函数 y ?
x

x x

中自变量 x 的取值范围; 中函数值 y 的取值范围;

?y ?

? 中的元素只有一个(方程 y ?

) ,它是用列举法表示的单元素集合.

(4)常见题型方法:当集合中有 n 个元素时,有 2n 个子集,有 2n-1 个真子集,有 2n-2 个非空真子集。 二、基础例题(必会) 例 1 已知
A ?

?y

y ? x ? 4 x ? 3, x ? R
2

?,B ? ?y

y ? ? x ? 2 x ? 2, x ? R
2

? ,求 A ? B .

例2 若

A ? ? 2,, a ? 2 a ? a ? 7 ? 4
3 2



1 2 ? ? 2 3 2 B ? ?1, a ? 1, a ? 2 a ? 2, ( a ? 3 a ? 8), a ? a ? 3 a ? 7 ? ? 5 2 ? ? ,且 A ? B ? ? 2,? ,试求实数 a .

数学必修回归课本 共 31 页

三、趋近高考(必懂) 1.(2010 年江苏高考 1)设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数 a=______________ 方法:将集合 B 两个表达式都等于 3,且抓住集合三大性质。
{( x, y ) | x
2

?

y

2

? 1}

2. (2010.湖北卷 2.) 设集合 A= A. 4 B.3 C.2 D.1 集合穿针 转化引线(最新) 一、集合与常用逻辑用语

4

16

, { ( x , y ) | y ? 3 } ,则 A∩B 的子集的个数是 B= (
x



? ? 3.若 p : 3 x ? 8 x ? 4 ? 0, q : ( x ? 1)( x ? 2 ) ? 0 ,则 p 是 q 的(
2

) .

(A)充分条件 (C)充要条件

(B)必要条件 (D)既不充分又不必要条件
x
2

4. 若 k ? R ,则“ k ? 3 ”是“方程 k ? 3 (A)充分条件 (C)充要条件 二、集合与函数
2

?

y

2

k ?3

?1

表示双曲线”的(

) .

(B)必要条件 (D)既不充分又不必要条件

5.已知集合

P ? { y y ? ? x ? 2, x ? R }, Q ? { x y ? ? x ? 2, x ? R }

,那么 P ? Q 等于(

) .

(A) (0,2)(1,1) , (C) {1,2} 三、集合与方程 6.已知

(B)(0,2)(1,1) { , } (D)
{ y y ≤ 2}

A ? { x x ? ( p ? 2 ) x ? 1 ? 0, x ? R }, B ? { x x ? 0}
2

,且 A ? B ? ? ,求实数 p 的取值范围.

四、集合与不等式 7. 已知集合
A ? { a a x ? 4 x ? 1 ≥ ? 2 x ? a 恒 成 立 }, B ? { x x ? ( 2 m ? 1) x ? m ( m ? 1) ? 0}
2 2 2



五、集合与解析几何 例 6 已知集合
A ? { ( x, y ) x ? m x ? y ? 2 ? 0}
2



B ? { ( x, y ) x ? y ? 1 ? 0, ≤ x ≤ 2} 0



如果 A ? B ? ? ,求实数 m 的取值范围.

数学必修回归课本 共 31 页

第二章、函数
一、基础知识(理解去记) 定义 1 映射,对于任意两个集合 A,B,依对应法则 f,若对 A 中的任意一个元素 x,在 B 中都有唯一一 个元素与之对应,则称 f: A→B 为一个映射。 定义 2 函数,映射 f: A→B 中,若 A,B 都是非空数集,则这个映射为函数。A 称为它的定义域,若 x∈ A, y∈B,且 f(x)=y(即 x 对应 B 中的 y) ,则 y 叫做 x 的象,x 叫 y 的原象。集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域。 通常函数由解析式给出,此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围,如函数 y=3 x -1 的 定义域为{x|x≥0,x∈R}. 定义 3 反函数,若函数 f: A→B(通常记作 y=f(x))是一一映射,则它的逆映射 f-1: A→B 叫原函数的反函 数,通常写作 y=f-1(x). 这里求反函数的过程是:在解析式 y=f(x)中反解 x 得 x=f-1(y),然后将 x, y 互换得
1 1

y=f-1(x),最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如:函数 y= 1 ? x 的反函数是 y=1- x (x ? 0). 补充知识点: 定理 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称。 定理 2 在定义域上为增(减)函数的函数,其反函数必为增(减)函数。 定义 4 函数的性质。 (1)单调性:设函数 f(x)在区间 I 上满足对任意的 x1, x2∈I 并且 x1< x2,总有 f(x1)<f(x2)(f(x)>f(x2)),则 称 f(x)在区间 I 上是增(减)函数,区间 I 称为单调增(减)区间。 (2) 奇偶性: 设函数 y=f(x)的定义域为 D, D 是关于原点对称的数集, 且 若对于任意的 x∈D, 都有 f(-x)=-f(x), 则称 f(x)是奇函数;若对任意的 x∈D,都有 f(-x)=f(x),则称 f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称, 偶函数的图象关于 y 轴对称。 (3)周期性: 对于函数 f(x),如果存在一个不为零的常数 T,使得当 x 取定义域内每一个数时,f(x+T)=f(x) 总成立,则称 f(x)为周期函数,T 称为这个函数的周期,如果周期中存在最小的正数 T0,则这个正数叫做 函数 f(x)的最小正周期。 定义 5 如果实数 a<b,则数集{x|a<x<b, x∈R}叫做开区间,记作(a,b) ,集合{x|a≤x≤b,x∈R}记作闭区 间[a,b],集合{x|a<x≤b}记作半开半闭区间(a,b],集合{x|a≤x<b}记作半闭半开区间[a, b),集合{x|x>a}记 作开区间(a, +∞) ,集合{x|x≤a}记作半开半闭区间(-∞,a]. 定义 6 函数的图象,点集{(x,y)|y=f(x), x∈D}称为函数 y=f(x)的图象,其中 D 为 f(x)的定义域。通过画图不 难得出函数 y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b>0); (1)向右平移 a 个单位得到 y=f(x-a)的图象; (2)向左平移 a 个单位得到 y=f(x+a)的图象; (3)向下平移 b 个单位得到 y=f(x)-b 的图象; (4)与函数 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称; (5)与函数 y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称; (6)与函数 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称; (7)与函数 y=-f(x)的图象关于 x 轴对称。
1

定理 3 复合函数 y=f[g(x)]的单调性,记住四个字: “同增异减” 。例如 y= 2 ? x , u=2-x 在(-∞,2)上是减
1 1

函数,y= u 在(0,+∞)上是减函数,所以 y= 2 ? x 在(-∞,2)上是增函数。 数学必修回归课本 共 31 页

注:复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证,求导之后是显然的。 一、基础知识(初中知识 必会)
b

1. 二次函数: a ? 0 时, 当 y=ax2+bx+c 或 f(x)=ax2+bx+c 称为关于 x 的二次函数, 其对称轴为直线 x=- 2 a ,
b

另外配方可得 f(x)=a(x-x0)2+f(x0),其中 x0=- 2 a ,下同。 2.二次函数的性质:当 a>0 时,f(x)的图象开口向上,在区间(-∞,x0]上随自变量 x 增大函数值减小(简 称递减) ,在[x0, -∞)上随自变量增大函数值增大(简称递增) 。当 a<0 时,情况相反。 3. a>0 时, 当 方程 f(x)=0 即 ax2+bx+c=0?①和不等式 ax2+bx+c>0?②及 ax2+bx+c<0?③与函数 f(x)的关 系如下(记△=b2-4ac) 。 1) 当△>0 时, 方程①有两个不等实根, x1,x2(x1<x2), 设 不等式②和不等式③的解集分别是{x|x<x1 或 x>x2} 和{x|x1<x<x2},二次函数 f(x)图象与 x 轴有两个不同的交点,f(x)还可写成 f(x)=a(x-x1)(x-x2).
? b 2 a ,不等式②和不等式③的解集分别是{x|x ? ? b 2a }

2)当△=0 时,方程①有两个相等的实根 x1=x2=x0= 和空集 ? ,f(x)的图象与 x 轴有唯一公共点。

3)当△<0 时,方程①无解,不等式②和不等式③的解集分别是 R 和 ? .f(x)图象与 x 轴无公共点。 当 a<0 时,请读者自己分析。
4 ac ? b
2

?

b 2 a 时,f(x)

4.二次函数的最值:若 a>0,当 x=x0 时,f(x)取最小值 f(x0)=
4 ac ? b
2

4a

,若 a<0,则当 x=x0=

取最大值 f(x0)=

4a

.对于给定区间[m,n]上的二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0), x0∈[m, n]时, 当 f(x)在[m,

n]上的最小值为 f(x0); 当 x0<m 时。f(x)在[m, n]上的最小值为 f(m);当 x0>n 时,f(x)在[m, n]上的最小值为 f(n)(以上结论由二次函数图象即可得出) 。 定义 1 能判断真假的语句叫命题, “3>5” 如 是命题, “萝卜好大” 不是命题。 不含逻辑联结词 “或” 、 “且” 、 “非”的命题叫做简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。 一定注意: “p 或 q”复合命题只有当 p,q 同为假命题时为假,否则为真命题; 且 q”复合命题只有 “p 当 p,q 同时为真命题时为真,否则为假命题;p 与“非 p”即“p”恰好一真一假。 定义 2 原命题:若 p 则 q(p 为条件,q 为结论) ;逆命题:若 q 则 p;否命题:若非 p 则 q;逆否命题: 若非 q 则非 p。 一定注意: 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。 一定注意: 反证法的理论依据是矛盾的排中律,而未必是证明原命题的逆否命题。 定义 3 如果命题“若 p 则 q”为真,则记为 p ? q 否则记作 p ? q.在命题“若 p 则 q”中,如果已知 p ? q, 则 p 是 q 的充分条件;如果 q ? p,则称 p 是 q 的必要条件;如果 p ? q 但 q 不 ? p,则称 p 是 q 的充分 非必要条件;如果 p 不 ? q 但 p ? q,则 p 称为 q 的必要非充分条件;若 p ? q 且 q ? p,则 p 是 q 的充 要条件。

数学必修回归课本 共 31 页

二、基础例题(必懂) 1.数形结合法。
1

例 1(09.江西) 求方程|x-1|= x 的正根的个数.

y 1 x x 1 x

例 2(2010.广西模拟)求函数 f(x)= 最大值。

x

4

? 3x

2

? 6 x ? 13 ?

x

4

? x

2

?1



2.函数性质的应用。
? ( x ? 1 ) 2 ? 1997 ( x ? 1 ) ? ? 1 ? ? 3 ? ( y ? 1 ) ? 1997 ( y ? 1 ) ? 1 例 3 (10、全国) 设 x, y∈R,且满足 ? ,求 x+y.

例 4 (10、全国) 奇函数 f(x)在定义域(-1,1)内是减函数,又 f(1-a)+f(1-a2)<0,求 a 的取值范围。

例 5 (10、 全国) 设 f(x)是定义在 (-∞, +∞) 上以 2 为周期的函数, k∈Z, 用 Ik 表示区间(2k-1, 2k+1], 对 已知当 x∈I0 时,f(x)=x2,求 f(x)在 Ik 上的解析式。

例 6 (10·全国) 解方程:(3x-1)( 9 x ? 6 x ? 5 ? 1 )+(2x-3)( 4 x ? 12 x ? 13 +1)=0.
2 2

3.配方法。 例 7 (经典例题) 求函数 y=x+ 2 x ? 1 的值域。

4.换元法。 例 8 (经典例题) 求函数 y=( 1 ? x + 1 ? x +2)( 1 ? x +1),x∈[0,1]的值域。 数学必修回归课本 共 31 页
2

7.待定系数法。 例 1 (经典例题) 设方程 x2-x+1=0 的两根是α ,β ,求满足 f(α )=β ,f(β )=α ,f(1)=1 的二次函数 f(x).

8.方程的思想 例 2 (10.全国) 已知 f(x)=ax2-c 满足-4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5,求 f(3)的取值范围。

9.利用二次函数的性质。 例 3 (经典例题) 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R, a ? 0), 若方程 f(x)=x 无实根, 求证: 方程 f(f(x))=x 也无实根。

10.利用二次函数表达式解题。
1

例 4 (经典例题)设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程 f(x)=x 的两根 x1, x2 满足 0<x1<x2< a , (Ⅰ)当 x∈(0, x1)时,求证:x<f(x)<x1;
x1 .

(Ⅱ)设函数 f(x)的图象关于 x=x0 对称,求证:x0< 2

11.构造二次函数解题。 例 5 (经典例题) 已知关于 x 的方程(ax+1)2=a2(a-x2), a>1,求证:方程的正根比 1 小,负根比-1 大。

12.定义在区间上的二次函数的最值。
x
4

? x
2

2

?5
2

例 6 (经典例题)当 x 取何值时,函数 y=

(x

? 1)

取最小值?求出这个最小值。

?

1 2 ,求 b 的值。

例 7 设变量 x 满足 x2+bx≤-x(b<-1),并且 x2+bx 的最小值是

数学必修回归课本 共 31 页

13.一元二次不等式问题的解法。
?x2 ? x ? a ? a 2 ? 0 ? x ? 2a ? 1 例 8 (经典例题) 已知不等式组 ?

①②的整数解恰好有两个,求 a 的取值范围。

14.充分性与必要性。 例 9 (经典例题) 设定数 A,B,C 使得不等式 A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)≥0 ① 对一切实数 x,y,z 都成立,问 A,B,C 应满足怎样的条件?(要求写出充分必要条件,而且限定用只涉及 A,B,C 的等式或不等式表示条件)

15.常用结论。 定理 1 若 a, b∈R, |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.——绝对值不等式 【证明】 因为-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|,所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|, 所以|a+b|≤|a|+|b|(注:若 m>0,则-m≤x≤m 等价于|x|≤m). 又|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|, 即|a|-|b|≤|a+b|.综上定理 1 得证。 定理 2 若 a,b∈R, 则 a2+b2≥2ab;若 x,y∈R+,则 x+y≥ 注
2 xy .

定理 2 可以推广到 n 个正数的情况,在不等式证明一章中详细论证。

第三章、基本初等函数 一、基础知识(必会) 1.指数函数及其性质:形如 y=ax(a>0, a ? 1)的函数叫做指数函数,其定义域为 R,值域为(0,+∞) ,当 0<a<1 时,y=ax 是减函数,当 a>1 时,y=ax 为增函数,它的图象恒过定点(0,1) 。
1 m

a

n

?

n

a,a

n

?

n

a

m

,a

?n

?

1 a
n

?

m n

,a

?
n

1 a
m

2.分数指数幂:



3.对数函数及其性质:形如 y=logax(a>0, a ? 1)的函数叫做对数函数,其定义域为(0,+∞) ,值域为 R, 图象过定点(1,0) 。当 0<a<1,y=logax 为减函数,当 a>1 时,y=logax 为增函数。 4.对数的性质(M>0, N>0) ; 1)ax=M ? x=logaM(a>0, a ? 1); 2)loga(MN)= loga M+ loga N;
M

3)loga( N )= loga M- loga N;4)loga Mn=n loga M(万能恒等式)
1

log log

c c

b a

5)loga M = n loga M;6)aloga M=M; 7) loga b= 数学必修回归课本 共 31 页

n

(a,b,c>0, a, c ? 1).

5. 函数 y=x+ x (a>0)的单调递增区间是 ?? ? , ? a 和

a

? ?

a , ??

? ,单调递减区间为 ??

a ,0

? 和 ?0 ,

a

?。

(请同学自己用定义证明) 6.连续函数的性质:若 a<b, f(x)在[a, b]上连续,且 f(a)·f(b)<0,则 f(x)=0 在(a,b)上至少有一个实根。 二、基础例题(必懂) 1.构造函数解题。 例 1 已知 a, b, c∈(-1, 1),求证:ab+bc+ca+1>0.

例 2 (06) (柯西不等式)若 a1, a2,?,an 是不全为 0 的实数,b1, b2,?,bn∈R,则(

?a
i ?1

n

2 i

)( ·

?b
i ?1

n

2 i



≥(

?a
i ?1

n

i

bi

?b )2,等号当且仅当存在 ? ? R,使 ai= i , i=1, 2, ?, n 时成立。

例 3(10.全国卷)

1 ?? 1 ? ? ? x ? ?? y ? ? ? ? x ?? y? 设 x, y∈R+, x+y=c, c 为常数且 c∈(0, 2],求 u= ? 的最小值。

2.指数和对数的运算技巧。
q

例 4 (经典例题) 设 p, q∈R+且满足 log9p= log12q= log16(p+q),求 p 的值。

数学必修回归课本 共 31 页

1

?

1 y

?

1 z

?

1 w

例 5 (经典例题)对于正整数 a, b, c(a≤b≤c)和实数 x, y, z, w,若 ax=by=cz=70w,且 x 证:a+b=c.

,求

例 6 (经典例题) 已知 x ? 1, ac ? 1, a ? 1, c ? 1. 且 logax+logcx=2logbx,求证 c2=(ac)logab.

3.指数与对数方程的解法。 解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单调性的应用和未 知数范围的讨论。 例 7 (经典例题)解方程:3x+4 x +5 x =6 x.

? x x ? y ? y 12 ? ? x? y 3 ?y ? x 例 8 (经典例题) 解方程组: ? (其中 x, y∈R+).

例 9 已知 a>0, a ? 1,试求使方程 loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的 k 的取值范围。

数学必修回归课本 共 31 页

高中数学课本回归(2) 第一章 立体几何初步
一、基础知识(理解去记) (一)空间几何体的结构特征 (1)多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共 点叫做顶点。 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中,这条定直 线称为旋转体的轴。 (2)柱,锥,台,球的结构特征 1.棱柱 1.1 棱柱——有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行, 由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
E' F' 侧面 A' B'
l

D' C'

1.2 相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱)的关 系:

底面 侧棱 E F A B D C

?斜 棱 柱 ? ①棱 柱 ? 棱垂直于底面 ? ??? ? ? ? 直棱柱 ?
侧棱垂直于底面

是正多 ? ? 底 面 ? ?形? 正 棱 柱 ? ? ? ? ?其 他 棱 柱 ? ?

②四棱柱

底面为平行四边形

平行六面体

直平行六面体 底面为矩形

长方体 底面为正方形 正四棱柱 侧棱与底面边长相等 正方体 1.3 棱柱的性质: ①侧棱都相等,侧面是平行四边形; ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ④直棱柱的侧棱长与高相等,侧面与对角面是矩形。 补充知识点 长方体的性质: ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和; 【如图】 A C 1 ? A B ? A D ? A A1
2 2 2 2

D1 B1

C1

A1 D

C

②(了解)长方体的一条对角线 A C 1 与过顶点 A 的三条棱所成的 角 分 别 是 ?, ?, ?
2 2 2

A

B

s , 那 么 c o ? ?
2

c o s ? ?
2

2

c o , ? ? s

1

sin ? ? sin ? ? sin ? ? 2 ;

③ (了解 )长方 体的一条 对角线 A C 1 与 过顶点 A 的 相邻三 个面所 成的角分 别是 ? , ? , ? , 则
c o s ? ? c o s ? ? c o s? ?
2 2 2

2 , sin ? ? sin ? ? sin ? ? 1 .
2 2 2

1.4 侧面展开图:正 n 棱柱的侧面展开图是由 n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 数学必修回归课本 共 31 页

1.5 面积、体积公式:

S直 棱 柱侧 ? c ? h S 直 棱 柱 全 ? c ? h ? 2 S 底 , V棱 柱 ? S 底 ? h

(其中 c 为底面周长,h 为棱柱的高)

注意:大多数省市在高考试卷会给出面积体积公式,因此考生可以不用刻意地去记 2.圆柱 2.1 圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴, 其余各边旋转而形成的 母线 曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.2 圆柱的性质: 下底及平行于底面的截面都是等圆; 上、 过轴的截面 (轴 截面)是全等的矩形. 2.3 侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩 形. 2.4 面积、体积公式:
2 2

O' B'

A'

C'

轴 轴 截面

A B

C O

侧面 底面

S 圆柱侧= 2 ? r h ;S 圆柱全= 2 ? rh ? 2 ? r ,V 圆柱=S 底 h= ? r h (其中 r 为底面半径,h 为圆柱高) 3.棱锥 3.1 棱锥——有一个面是多边形,其余各面是有 S 一个公共顶点的三角形, 由这些面所围成的几何 侧面 顶点 高 体叫做棱锥。 侧棱 正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边 形, 并且顶点在底面的射影是底面的中心, 这样 的棱锥叫做正棱锥。 底面 3.2 棱锥的性质: 斜高 D C ①平行于底面的截面是与底面相似的正多边形, O H A B 相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面 的距离之比; ②正棱锥各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; ③正棱锥中六个元素,即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半,构 成四个直角三角形。(如上图: ? S O B ,? S O H ,? S B H ,? O B H 为直角三角形) ) 3.3 侧面展开图:正 n 棱锥的侧面展开图是有 n 个全等的等腰三角形组成的。 3.4 面积、体积公式:S 正棱锥侧=
1 2 c h ? ,S
正棱锥全

=

1 2

c h ? ? S 底 ,V

棱锥

=

1 3

S 底 ? h .(其中 c 为底面周长, h ? 侧

面斜高,h 棱锥的高) 4.圆锥 4.1 圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体 叫圆锥。 4.2 圆锥的性质: S ①平行于底面的截面都是圆,截面直径与底面直径之比等于顶点到 顶点 截面的距离与顶点到底面的距离之比; ②轴截面是等腰三角形;如右图: ? S A B 母线 轴 ③如右图: l ? h ? r .
2 2 2

h l 轴截面 A r
O

侧面

4.3 圆锥的侧面展开图:圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心,以母线 长为半径的扇形。 4.4 面积、体积公式:

B 底面

数学必修回归课本 共 31 页

S 圆锥侧= ? rl ,S 圆锥全= ? r ( r ? l ) ,V 圆锥= ? r h (其中
2

1

3

r 为底面半径,h 为圆锥的高,l 为母线长) 5.棱台 5.1 棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面 与底面之间的部分称为棱台. 5.2 正棱台的性质: ①各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰梯形; ②正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是正多边形; ③ 如右图:四边形 O `M N O , O `B `B O 都是直角梯形 ④ 棱 台 经 常 补 成 棱 锥 研 究 . 如 右 图 : ? S O 与 S O N ? , S `S O O? ` B B 相 与 ` M ? 似 ,注意考虑相似比. `
1 3

S

上 底面 高 A' 下 底面
D

D' O' B'

C' M

侧棱 侧面 斜高
C

顶点

O A B

N

5.3 棱台的表面积、体积公式: S 全 = S 上 底 + S 下 底 + S 侧,V 棱 台= ( S + S S ` ? S `) h , (其中 S , S ` 是上,下底面 面积,h 为棱台的高) 6.圆台 6.1 圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间 的部分叫做圆台. 6.2 圆台的性质: ①圆台的上下底面,与底面平行的截面都是圆; ②圆台的轴截面是等腰梯形; ③圆台经常补成圆锥来研究。如右图: ? S O ` A 与 ? S O B 相 似 ,注意相似比的应用. 6.3 圆台的侧面展开图是一个扇环; 6.4 圆台的表面积、体积公式: S 全 = ? r 2 ? ? R 2 ? ? ( R ? r ) l , V 圆台 = ( S + S S ` ? S `) h= ( ? r 2 ? ? rR ? ? R 2 ) h , (其中 r,R 为上下底面半径,h 为高)
3 3 1 1
S

A 轴 母线 l B R

r O' h 轴 截面

上 底面 D 侧面

O

C 下 底面

7.球 7.1 球——以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球. 或空间中,与定点距离等于定长的点的集合叫做球面,球面所围成的几何体叫做球体,简称球; 7.2 球的性质: ①球心与截面圆心的连线垂直于截面; ②r ?
R ?d
2 2

(其中,球心到截面的距离为 d、球的半
球心 轴

球面 半径 O

径为 R、截面的半径为 r) 7.3 球与多面体的组合体:球与正四面体,球与长方体,球 与正方体等的内接与外切.
D' C' B' A'

C'

R r A

注:球的有关 问题转化为圆 的问题解决.

A'

d O1 B

O

O

D A B

C A c

数学必修回归课本 共 31 页

7.4 球面积、体积公式: S 球 ? 4 ? R , V 球 ?
2

4 3

? R (其中 R 为球的半径)
3

(二)空间几何体的三视图与直观图 根据最近几年高考形式上看,三视图的考察已经淡化,所以同学只需了解即可 1.投影:区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2.三视图——是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形; 正视图——光线从几何体的前面向后面正投影,得到的投影图; 侧视图——光线从几何体的左面向右面正投影,得到的投影图; 正视图——光线从几何体的上面向下面正投影,得到的投影图; 注: (1)俯视图画在正视图的下方, “长度”与正视图相等;侧视图画在正视图的右边, “高度”与正视图 相等, “宽度”与俯视图。 (简记为“正、侧一样高,正、俯一样长,俯、侧一样宽”. (2)正视图,侧视图,俯视图都是平面图形,而不是直观图。 3.直观图: 3.1 直观图——是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。直观图通常是在平行投影下画 出的空间图形。 3.2 斜二测法: step1:在已知图形中取互相垂直的轴 Ox、Oy, (即取 ? xo y ? 9 0 ? ) ;
) step2:画直观图时,把它画成对应的轴 o ' x ', o ' y ' ,取 ? x ' o ' y ' ? 45 ?( or135 ? ,它们确定的平面表示水平

平面; step3:在坐标系 x ' o ' y ' 中画直观图时,已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变,平行于 x 轴(或 在 x 轴上)的线段保持长度不变,平行于 y 轴(或在 y 轴上)的线段长度减半。 结论:一般地,采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的
2 4

倍.

解决两种常见的题型时应注意: (1)由几何体的三视图画直观图时,一般先考虑“俯视图”. (2)由几何体的直观图画三视图时,能看见的轮廓线和棱画成实线,不能看见的轮廓线和棱画成虚线。 二 点、直线、平面之间的位置关系 (一) 平面的基本性质 1.平面——无限延展,无边界 1.1 三个定理与三个推论 公理 1:如果一条直线上有两点在一个平面内,那么直线在平面内。 用途:常用于证明直线在平面内. 图形语言: 符号语言: 公理 2:不共线的三点确定一个平面. 图形语言: ... 推论 1:直线与直线外的一点确定一个平面. 图形语言: 推论 2:两条相交直线确定一个平面. 图形语言: 推论 3:两条平行直线确定一个平面. 图形语言: 用途:用于确定平面。 数学必修回归课本 共 31 页

公理 3:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有公共点,这些公共点的集合是一条直线(两个平面的 交线). 用途:常用于证明线在面内,证明点在线上. 图形语言: 符号语言: 形语言,文字语言,符号语言的转化:

(二)空间图形的位置关系 1.空间直线的位置关系: ?
?共 面 :a ? b=A,a//b ?异 面 :a与 b异 面

平行线的传递公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表述: a // b , b // c ? a // c 等角定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。 异面直线: (1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线; (2) 判定定理: 连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线是异面直线。
P
P ?? ? ? A?? ? 符号语言: 异 ? ? P A与 a 面 a ??? A?a ? ?

图形语言:

?

A

a

数学必修回归课本 共 31 页

异面直线所成的角: (1)范围: ? ? ? 0 ? , 9 0 ? ? ; (2)作异面直线所成的角:平移法. 如右图,在空间任取一点 O,过 O 作 a '// a , b '// b ,则 a ', b ' 所成的

a'
? 角为异面直线 a , b 所成的角。特别地,找异面直线所成的角时,经常

a b ?

? b' O

把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如线段中点,端点 等)上,形成异面直线所成的角.
?l ? ? ? 2.直线与平面的位置关系: ? ?l ? ? ? A l ? ? ? ? ? l // ? ?

图形语言:

?平 行 : ? //? ? 3.平面与平面的位置关系: ? ?斜 交 : ? ? ? =a 相交 ? ? ?垂 直 : ? ? ? ?

(三)平行关系(包括线面平行,面面平行) 1.线面平行: ①定义:直线与平面无公共点.
a // b ? ? ②判定定理: a ? ? ? ? a // ? (线线平行 ? 线面平行) 【如图】 ? b ?? ? ? ? ③性质定理: a ? ? 【如图】 ? ? a // b (线面平行 ? 线线平行) ? ? ? ? b? ? a // ?

④判定或证明线面平行的依据: (i)定义法(反证) l ? ? ? ? ? l // ? (用于判断)(ii)判定定理: : ;
a // b ? ? // ? ? ? a ? ? ? ? a // ? “线线平行 ? 面面平行” (用于证明)(iii) ; ? ? a // ? “面面平行 ? 线面平行” a ??? ? b ?? ? b ? a ? ? (用于证明)(4) b ? ? ? ? a // ? (用于判断) ; ; a ??? ?

2.线面斜交: l ? ? ? A ①直线与平面所成的角(简称线面角) :若直线与平面斜交,则平面的斜线 与该斜线在平面内射影的夹角。 【如图】 P O ? ? 于 O,则 AO 是 PA 在 数学必修回归课本 共 31 页

P

?

A

? O

平面 ? 内的射影, 则 ? P A O 就是直线 PA 与平面 ? 所成的角。 范围:? ? ? 0 ? , 9 0 ? ? ,注:若 l ? ? 或 l // ? ,则直线 l 与平面 ? 所成的角为 0 ? ;若 l ? ? ,则直线 l 与平 面 ? 所成的角为 9 0 ? 。 3.面面平行: ①定义: ? ? ? ? ? ? ? // ? ; ②判定定理:如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么两个平面互相平行; 符号表述: a , b ? ? , a ? b ? O , a // ? , b // ? ? ? // ?
Oa ? ?
Oa ? O a' ?

【如下图①】

b

b

b'

图① 图② 推论:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线,那么这两个平面互相平行 符号表述: a , b ? ? , a ? b ? O , a ', b ' ? ? , a // a ', b // b ' ? ? // ? 【如上图②】 判定 2:垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述:
a ? ? , a ? ? ? ? // ? .【如右图】

? ?

③判定与证明面面平行的依据: (1)定义法; (2)判定定理 (3)判定 2 ④面面平行的性质: (1)
? // ?
? // ? ?
? ? a // ? (面面平行 ? 线 a ???

a

及推论 (常用)

面平行)(2) ;

? ? ? ? ? ? a ? ? a // b ; (面面平行 ? 线线平行) (3)夹在两个平行平面间的平行线段相等。 【如图】 ? ? ? ? ? b?

(四)垂直关系(包括线面垂直,面面垂直) 1.线面垂直 ①定义:若一条直线垂直于平面内的任意一条直线,则这条直线垂直于平面。 符号表述:若任意 a ? ? , 都有 l ? a ,且 l ? ? ,则 l ? ? .
? ? a?b ?O ? ? ②判定定理: l ? ? ? ? l ? ? (线线垂直 ? 线面垂直) ? l ? a ? l ? b ? ? a,b ? ?

③性质: (1) l ? ? , a ? ? ? l ? a (线面垂直 ? 线线垂直)(2) a ? ? , b ? ? ? a // b ; ; 数学必修回归课本 共 31 页

④证明或判定线面垂直的依据: (1)定义(反证)(2)判定定理(常用)(3) ; ;
? ? ?

a // b ? ? ? b ? ? (较常 a ???

? ? ? // ? ? a ? ? ? b? 用)(4) ; (5) ?? a ? ? ; ? ? a ? ? (面面垂直 ? 线面垂直)常用; a ??? a ?? ? ? a ? b ?

⑤三垂线定理及逆定理: (I)斜线定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段与斜线段中, P O ? ? (1)斜线相等 ? 射影相 等; 2)斜线越长 ? 射影越长; 3)垂线段最短。 如图】 ( ( 【 P PB ? PC ? OB ? OC ; PA ? PB ? OA ? OB (II)三垂线定理及逆定理:已知 P O ? ? ,斜线 PA 在平面 ? 内的射影 为 OA, a ? ? , ①若 a ? O A ,则 a ? P A ——垂直射影 ? 垂直斜线,此为三垂线定 O 理; B ? A C ②若 a ? P A ,则 a ? O A ——垂直斜线 ? 垂直射影,此为三垂线定 P 理的逆定理; 三垂线定理及逆定理的主要应用: (1)证明异面直线垂直; (2)作、证二面角 的平面角; (3)作点到线的垂线段; 【如图】 a A O 3.2 面面斜交 ? ①二面角: (1)定义: 【如图】
OB ? l,OA ? l ? ?AOB是 二 面 角 ?- l ? ? 的 平 面 角

范围: ? A O B ? [0 ? ,1 8 0 ? ] ②作二面角的平面角的方法: (1)定义法; (2)三垂线法(常用)(3)垂面 ; 法. 3.3 面面垂直 (1)定义:若二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 9 0 ? ,则 ? ? ? ; (2)判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平 面互相垂直.
a ??? ?? ? ? ? a ? ??
? a B

(线面垂直 ? 面面垂直)
? A

(3) 性质: ①若 ? ? ? , 二面角的一个平面角为 ? M O N , ? M O N ? 9 0 ? ; 则

数学必修回归课本 共 31 页

? ? a ? ? ? AB ? ② ; ? ? a ? ? (面面垂直 ? 线面垂直) a ?? ? ? a ? AB ?
?
? A a

? ? ?

? a B

A

? ? ??

? ? ??



? A?? ? ?? a ?? A?a ? a ? ? ? ?

? ? a ? ? 或 a // ? a ? ? ?

.

?

④ 二、基础题型(必懂) 1、概念辨析题: (1)此题型一般出现在填空题,选择题中,解题方法可采用排除法,筛选法等。 (2)对于判断线线关系,线面关系,面面关系等方面的问题,必须在熟练掌握有关的定理和性质的前提 下,利用长方体,正方体,实物等为模型来进行判断。你认为正确的命题需要证明它,你认为错误 的命题必须找出反例。 (3)相关例题:课本和辅导书上出现很多这样的题型,举例说明如下: 例: (09 年北京卷)设 m,n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列四个说法:① m ? ? , n // ? ? m ? n ;② ? // ? , ? // ? , m ? ? ? m ? ? ;③ m // ? , n // ? ? m // n ④ ? ? ? , ? ? ? ? ? // ? ,说法正确的序号是:_________________ 2、证明题。证明平行关系,垂直关系等方面的问题。 (1)基础知识网络:
平行与垂直关系可互相转化

平行关系
1. a 2. a 3. a 4. ? 5. ?
? ? , b ? ? ? a // b ? ? , a // b ? b ? ?

垂直关系

平面几何知识

? ? , a ? ? ? ? // ? // ? , a ? ? ? a ? ? // ? , ? ? ? ? ? ? ?

平面几何知识

线线平行 判定

??

线线垂直 判定

性质 判定

性质

判定推论

性质 判定

面面垂直定义 面面垂直

线面平行 三、趋近高考(必懂)

面面平行

线面垂直

1.(2010 全国卷 2 理)已知正四棱锥 S ? A B C D 中, S A ? 2 3 ,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为

数学必修回归课本 共 31 页

(A)1

(B) 3

(C)2

(D)3

2.(2010 陕西文)若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 [B] (A)2 (C)
2 3

(B)1 (D)
1 3

3.(2010 辽宁文)已知 S , A , B , C 是球 O 表面上的点, S A ? 平 面 A B C , A B ? B C ,
SA ? AB ? 1 , BC ?

2 ,则球 O 的表面积等于

(A)4 ?

(B)3 ?

(C)2 ?

(D) ?

4.(2010 安徽文)一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积是 (A)372 (C)292 (B)360 (D)280

【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知 道是两个长方体的组合体,画出直观图,得出各个棱的长度.把几何体的表 面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的 4 个侧面积之和。 5.(2010 重庆文)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 (A)只有 1 个 (C)恰有 4 个 (B)恰有 3 个 (D)有无穷多个 如图所示,

6.(2010 浙江文)若某几何体的三视图(单位:cm) 则此几何体的体积是 (A) (B) (C) (D)
352 3 320 3

cm cm

3

3

224 3
160 3

cm cm

3

3

7.(2010 福建文)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示, 则其侧面积等于 ( ... A. 3 ) B.2

数学必修回归课本 共 31 页

C. 2 3

D.6

8.(2010 全国卷 1 文)已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积 的最大值为 (A)
2 3 3

(B)

4 3 3

(C) 2 3

(D)

8 3 3

第二章 平面解析几何初步
一、基础知识(理解去记) 1.解析几何的研究对象是曲线与方程。解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线 与方程的关系,即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射,则方程叫做这条 曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。如 x2+y2=1 是以原点为圆心的单位圆的方程。 2.求曲线方程的一般步骤:(1)建立适当的直角坐标系;(2)写出满足条件的点的集合;(3)用坐标表示条件, 列出方程;(4)化简方程并确定未知数的取值范围; (5)证明适合方程的解的对应点都在曲线上,且曲线上 对应点都满足方程(实际应用常省略这一步) 。 3.直线的倾斜角和斜率:直线向上的方向与 x 轴正方向所成的小于 1800 的正角,叫做它的倾斜角。规定 平行于 x 轴的直线的倾斜角为 00,倾斜角的正切值(如果存在的话)叫做该直线的斜率。根据直线上一点 及斜率可求直线方程。 4.直线方程的几种形式: 【必会】 【必考】 (1)一般式:Ax+By+C=0; (2)点斜式:y-y0=k(x-x0); (3)斜截式:y=kx+b; (4)截距式:
x a ? y b ?1;

(5)两点式:

x ? x1 x 2 ? x1

?

y ? y1 y 2 ? y1



(6)法线式方程:xcosθ +ysinθ =p(其中θ 为法线倾斜角,|p|为原点到直线的距离) ; (7)参数式: ?
? ? x ? x 0 ? t cos ? ? y ? y 0 ? t sin ? ?

(其中θ 为该直线倾斜角) 的几何意义是定点 P0(x0, y0)到动点 P(x, ,t

y)的有向线段的数量(线段的长度前添加正负号,若 P0P 方向向上则取正,否则取负) 。 5.到角与夹角:若直线 l1, l2 的斜率分别为 k1, k2,将 l1 绕它们的交点逆时针旋转到与 l2 重合所转过的最小 正角叫 l1 到 l2 的角;l1 与 l2 所成的角中不超过 900 的正角叫两者的夹角。若记到角为θ ,夹角为α ,则 tan θ =
k 2 ? k1 1 ? k1 k 2

,tanα =

k 2 ? k1 1 ? k1 k 2

.

6.平行与垂直:若直线 l1 与 l2 的斜率分别为 k1, k2。且两者不重合,则 l1//l2 的充要条件是 k1=k2;l1 ? l2 的充要条件是 k1k2=-1。 7.两点 P1(x1, y1)与 P2(x2, y2)间的距离公式:|P1P2|= ( x 1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 ) 。
2 2

8.点 P(x0, y0)到直线 l: Ax+By+C=0 的距离公式: d ? 数学必修回归课本 共 31 页

| Ax

0

? By A
2

0

?C |
2



? B

9.直线系的方程:若已知两直线的方程是 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0,则过 l1, l2 交点的直线 方程为 A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2=0;由 l1 与 l2 组成的二次曲线方程为(A1x+B1y+C1) 2x+B2y+C2) (A =0;与 l2 平行的直线方程为 A1x+B1y+C=0( C ? C 1 ). 10.二元一次不等式表示的平面区域,若直线 l 方程为 Ax+By+C=0. 若 B>0,则 Ax+By+C>0 表示的区域 为 l 上方的部分,Ax+By+C<0 表示的区域为 l 下方的部分。 11.解决简单的线性规划问题的一般步骤: (1)确定各变量,并以 x 和 y 表示; (2)写出线性约束条件和 线性目标函数; (3)画出满足约束条件的可行域; (4)求出最优解。 12 . 圆 的 标 准 方 程 : 圆 心 是 点 (a, b), 半 径 为 r 的 圆 的 标 准 方 程 为 (x-a)2+(y-b)2=r2 , 其 参 数 方 程 为
? x ? a ? r co s ? (θ 为参数) 。 ? ? y ? b ? r s in ?

13.圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)。其圆心为 ? ?
?

?

D 2

,?

1 E ? ? ,半径为 2 2 ?

D

2

? E

2

? 4F 。

若点 P(x0, y0)为圆上一点,则过点 P 的切线方程为
? x0 ? x ? ? y ? y? ? ? E? 0 ? ? F ? 0. x0 x ? y0 y ? D ? ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ?



14.根轴:到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线(或它的一部分) ,这条直线叫两圆的根轴。给定 如 下 三 个 不 同 的 圆 : x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0, i=1, 2, 3. 则 它 们 两 两 的 根 轴 方 程 分 别 为 (D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0; (D2-D3)x+(E2-E3)y+(F2-F3)=0; (D3-D1)x+(E3-E1)y+(F3-F1)=0。不难证明这三条直 线交于一点或者互相平行,这就是著名的蒙日定理。 二、基础例题(必会) 1.坐标系的选取:建立坐标系应讲究简单、对称,以便使方程容易化简。 例 1 (经典例题) 在Δ ABC 中,AB=AC,∠A=900,过 A 引中线 BD 的垂线与 BC 交于点 E,求证:∠ ADB=∠CDE。 [证明] 见图 10-1, A 为原点, 所在直线为 x 轴, 以 AC 建立直角坐标系。 设点 B, 坐标分别为 C (0,2a) ,(2a,0), 则点 D 坐标为(a, 0) 。直线 BD 方程为
x a ? y 2a 1 2 ?1,

①直线 BC 方程为 x+y=2a,

②设直线 BD 和 AE
1 2 x,

的斜率分别为 k1, k2,则 k1=-2。因为 BD ? AE,所以 k1k2=-1.所以 k 2 ?
1 ? x, 2 ? ?y ? ?4 由? 解得点 E 坐标为 ? a , a ? 。 2 3 ? ?3 ?x ? y ? 2a ?

,所以直线 AE 方程为 y ?

2

a ? 2 . 因为 k1+k3=0.

所以直线 DE 斜率为 k 3 ?
0

3 4 3 a?a

所以∠BDC+∠EDC=180 ,即∠BDA=∠EDC。 例 2 (经典例题)半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动。证明:三角形另两条边截 0 圆所得的弧所对的圆心角为 60 。 [证明] 以 A 为原点,平行于正三角形 ABC 的边 BC 的直线为 x 轴,建立直角坐标系见图 10-2,设⊙D 的 半径等于 BC 边上的高,并且在 B 能上能下滚动到某位置时与 AB,AC 的交点分别为 E,F,设半径为 r,则 数学必修回归课本 共 31 页

直线 AB,AC 的方程分别为 y ? (x1,y1),(x2,y2),则 y 1 ?
( x1 ? m ) ? 3 x1 ? r
2 2 2

3x , y ? ?

3 x .设⊙D 的方程为(x-m) +y =r .①设点 E,F 的坐标分别为

2

2

2

3 x 1 , y 2 ? ? 3 x 2 ,分别代入①并消去 y 得
2 2 2

? 0 .( x 2 ? m ) ? 3 x 2 ? r

? 0.

所以 x1, x2 是方程 4x2-2mx+m2-r2=0 的两根。
m ? x1 ? x 2 ? , ? 2 ? 由韦达定理 ? ,所以 ? 2 2 m ?r ?x x ? ? 1 2 4 ?

|EF|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+3(x1-x2)2 =4(x1+x2)2-4x1x2=m2-(m2-r2)=r2. 所以|EF|=r。所以∠EDF=600。 2.到角公式的使用。 例 3 设双曲线 xy=1 的两支为 C1,C2,正Δ PQR 三顶点在此双曲线上,求证:P,Q,R 不可能在双曲线 的同一支上。

3.代数形式的几何意义。 例 4 求函数 f ( x ) ?
x
4

? 3x

2

? 6 x ? 13 ?

x

4

? x

2

? 1 的最大值。

4.最值问题。 例 5 已知三条直线 l1: mx-y+m=0, l2: x+my-m(m+1)=0, l3: (m+1)x-y+m+1=0 围成Δ ABC,求 m 为何值时, Δ ABC 的面积有最大值、最小值。

5.线性规划。 例 6 设 x, y 满足不等式组 ?
?1 ? x ? y ? 4 , ? y ? 2 ?| 2 x ? 3 | .

(1)求点(x, y)所在的平面区域; (2)设 a>-1,在(1)区域里,求函数 f(x,y)=y-ax 的最大值、最小值。

数学必修回归课本 共 31 页

6.参数方程的应用。 例 7 如图 10-5 所示,过原点引直线交圆 x2+(y-1)2=1 于 Q 点,在该直线上取 P 点,使 P 到直线 y=2 的距 离等于|PQ|,求 P 点的轨迹方程。

7.与圆有关的问题。 例 8 点 A,B,C 依次在直线 l 上,且 AB=ABC,过 C 作 l 的垂线,M 是这条垂线上的动点,以 A 为圆心, AB 为半径作圆,MT1 与 MT2 是这个圆的切线,确定Δ AT1T2 垂心 的轨迹。

例 9 已知圆 x2+y2=1 和直线 y=2x+m 相交于 A,B,且 OA,OB 与 x 轴正方向所成的角是α 和β ,见图 10-7,求证:sin(α +β )是定值。

例 10 已知⊙O 是单位圆,正方形 ABCD 的一边 AB 是⊙O 的弦,试确定|OD|的最大值、最小值。

例 11 当 m 变化且 m≠0 时,求证:圆(x-2m-1)2+(y-m-1)2=4m2 的圆心在一条定直线上,并求这一系列圆 的公切线的方程。

三、趋近高考【必懂】
1. (2010 江西理) 8.直线 y ? kx ? 3 与圆 ? x ? 3 ? ? ? y ? 2 ? ? 4 相交于 M,N 两点,
2 2

若 M N ? 2 3 ,则 k 的取值范围是
? 3 ? ? , 0 ? 4 ? ? ? A.

? 3 3? 3? ? , ? ?? ?? , ? ? ? 0, ? ? ? ? 3 3 ? 4? ? B. ? C. ?

? 2 ? ? , 0 ? 3 ? ? ? D.

2.(2010 安徽文) (4)过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是 (A)x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0
? x ? 2 ? cos ? , ? y ? s in ?

(D)x+2y-1=0 ( ? ? [0, 2 ? ) )有两个不同的公共点,则

3.(2010 重庆文) (8)若直线 y ? x ? b 与曲线 ? 实数 b 的取值范围为 (A) ( 2 ?
2 ,1)

(B) [ 2 ?

2,2 ?

2]

数学必修回归课本 共 31 页

(C) ( ? ? , 2 ?

2 ) ? (2 ?

2 , ?? )

(D) ( 2 ?
x?

2,2 ?

2)

4.(2010 重庆理)(8) 直线 y=

3 3

? x ? 3 ? 3 co s ? , ? 2 与圆心为 D 的圆 ? ? ? ? ? 0, 2 ? ? ? y ? 1 ? 3 sin ? ?

? ? 交与 A、B

两点,则直线 AD 与 BD 的倾斜角之和为 A.
7 6

?

B.

5 4

?

C.

4 3

?

D.

5 3

?

5.(2010 广东文)

6. (2010 全国卷 1 理) (11) 已知圆 O 的半径为 1, PB 为该圆的两条切线, B 为两切点, PA、 A、 那么 P A ? P B 的最小值为 (A) ? 4 ?
2

??? ?

??? ?

(B) ? 3 ?

2

(C) ? 4 ? 2 2

(D) ? 3 ? 2 2

2 2 7.(2010 安徽理)9、动点 A ? x , y ? 在圆 x ? y ? 1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12 秒旋转一周。

已知时间 t ? 0 时,点 A 的坐标是 ( ,
2

1

3 2

) ,则当 0 ? t ? 1 2 时,动点 A 的纵坐标 y 关于 t (单位:秒)的

函数的单调递增区间是 A、 ? 0 ,1 ? B、 ?1, 7 ? C、 ? 7 ,1 2 ? D、 ? 0 ,1 ? 和 ? 7 ,1 2 ?

8.(2009 江苏卷 18) (本小题满分 16 分)
2 2 在 平 面 直 角 坐 标 系 x o y 中 , 已 知 圆 C 1 : ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 4 和 圆

C 2 : ( x ? 4 ) ? ( y ? 5) ? 4 .
2 2

(1) 若直线 l 过点 A ( 4 , 0 ) , 且被圆 C 1 截得的弦长为 2 3 , 求直线 l 的方程; (2) P 为平面上的点, 设 满足: 存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 数学必修回归课本 共 31 页

l 2 ,它们分别与圆 C 1 和圆 C 2 相交,且直线 l1 被圆 C 1 截得的弦长与直线 l 2 被圆 C 2 截得的弦长相等,试求

所有满足条件的点 P 的坐标。

数学必修回归课本 共 31 页

高中数学课本回归(3)
一、基础知识(理解去记) (1)四种基本的程序框

(2)三种基本逻辑结构

顺序结构 (3)基本算法语句 (一)输入语句

条件结构

循环结构

单个变量
INPUT “提示内容” ;变量

多个变量
INPUT “提示内容 1,提示内容 2,提示内容 3,?” ;变量 1,变量 2,变量 3,? (二)输出语句 PRINT “提示内容” ;表达式 (三)赋值语句 变量=表达式 数学必修回归课本 共 31 页

(四)条件语句 IF-THEN-ELSE 格式

IF 条件 THEN 语句 1 满足条件? 否

ELSE
语句 2

是 语句 1 语句 2

END IF
当计算机执行上述语句时,首先对 IF 后的条件进行判断,如果条件符合,就执行 THEN 后的 语句 1,否则执行 ELSE 后的语句 2。其对应的程序框图为: (如上右图) IF-THEN 格式 是 满足条件? 否 语句

IF 条件 THEN 语句

END IF

计算机执行这种形式的条件语句时,也是首先对 IF 后的条件进行判断,如果条件符合,就执行 THEN 后的语句,如果条件不符合,则直接结束该条件语句,转而执行其他语句。其对应的程序框 图为: (如上右图) (五)循环语句 (1)WHILE 语句

WHILE 条件 循环体

WEND
循环体 满足条件? 其中循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的。WHLIE 后面的“条件”是用于控制计算机执行循 是 环体或跳出循环体的。 否 当计算机遇到 WHILE 语句时,先判断条件的真假,如果条件符合,就执行 WHILE 与 WEND 之间的 数学必修回归课本 共 31 页

循环体;然后再检查上述条件,如果条件仍符合,再次执行循环体,这个过程反复进行,直到某一次条件 不符合为止。这时,计算机将不执行循环体,直接跳到 WEND 语句后,接着执行 WEND 之后的语句。因 此,当型循环有时也称为“前测试型”循环。其对应的程序结构框图为: (如上右图) (2)UNTIL 语句

DO 循环体

LOOP 条件

UNTIL

循环体 否 满足条件? 是

其对应的程序结构框图为: (如上右图) (4)算法案例 案例 1 辗转相除法与更相减损术 案例 2 秦九韶算法 案例 3 排序法:直接插入排序法与冒泡排序法 案例 4 进位制 二.基础例题(必会) 例 1 写一个算法程序,计算 1+2+3+?+n 的值(要求可以输入任意大于 1 的正自然数)

例 2 设计一个程序框图对数字 3,1,6,9,8 进行排序(利用冒泡排序法)

思考:上述程序框图中哪些是顺序结构?哪些是条件结构?哪些是循环结构? 例 3 把十进制数 53 转化为二进制数.

例 4 利用辗转相除法求 3869 与 6497 的最大公约数与最小公倍数。

数学必修回归课本 共 31 页

三、趋近高考(必懂) 1.(2010 浙江理)某程序框图如图所示, 若输出的 S=57,则判断框内位 (A) k>4? (B)k>5? (C) k>6? (D)k>7?

2.(2010 辽宁理)如果执行右面的程序框图,输入正整数 n,m,满足 n≥ 那么输出的 P 等于

m,

(A) C n (B) A n

m ?1

m ?1

(C) C n (D) A n

m

m

3.(2010 广东理)某城市缺水问题比较突出,为了制定节水管理办法,对 全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查, 其中 n 位居民的月均用水量分 别为 x1?xn(单位:吨),根据图 2 所示的程序框图,若 n=2, 且 x1,x2 分别为 1,2,则输出地结果 s 为 .

4.(2010 广东文)某城市缺水问题比较突出,为了制定节水 管 理办法,对全市居民某年的月均用水量进行了 抽样调查,其中 4 位居民的月均用水量分别为 (单位:吨) 。根据图 2 所示的程序框图,若分 别为 1,1.5,1.5,2,则输出的结果 s 为 第一( i ? 1 )步: s 1 ? s 1 ? x i ? 0 ? 1 ? 1 第二( i ? 2 )步: s 1 ? s 1 ? x i ? 1 ? 1 . 5 ? 2 . 5 第三( i ? 3 )步: s 1 ? s 1 ? x i ? 2 . 5 ? 1 . 5 ? 4 第四( i ? 4 )步: s 1 ? s 1 ? x i ? 4 ? 2 ? 6 , s ? 第五( i ? 5 )步: i ? 5 ? 4 ,输出 s ? 数学必修回归课本 共 31 页
3 2 1 4 ?6 ? 3 2

.

4.(2010 安徽文)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出值 x= 5.(2010 江苏卷)右图是一个算法的流程图,则输出 S 的值是_____________

6.(2009 浙江卷理)某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的 值是 A. 4 B. 5 ( ) C. 6 D. 7

7、 (2009 年广东卷文)某篮球队 6 名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下 表所示: 队员 i 三分球个数 1
a1

2
a2

3
a3

4
a4

5
a5

6
a6

下图(右)是统计该 6 名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图,则图 中判断框应填 ,输出的 s=

(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”)

开 始 8、(2009 山东卷理)执行右边的程序框图,输出的 T= . S=0,T=0,n =0 T>S 否 S=S+5 数学必修回归课本 共 31 页 n=n+2 T=T+n 是

输 出 T 结束


相关文章:
高中数学回归课本(极限)
高中数学回归课本(极限) 隐藏>> 回归课本(十三) 极限一.考试内容:教学归纳法.数学归纳法应用. 数列的极限. 函数的极限.根限的四则运算.函数的连续性. 则 lim...
高中数学回归课本(极限)
高中数学回归课本(极限)_哲学/历史_人文社科_专业资料 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 高中数学回归课本(极限)_哲学/历史_人文社科_专业资料。高中数学回归...
高中数学课本回归
高中数学课本回归(1)第一章、集合一、基础知识(理解去记) 定义 1 一般地,一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合,简称集,用大写字母来表示;集合 中...
高考数学教材回归
高考数学教材回归_数学_高中教育_教育专区。高考数学教材回归会泽茚旺高中数学高级教师 杨顺武 尽管剩下的复习时间已经不多,但我们仍然要注意回归课本。只有吃透课本上...
高中数学回归课本(三角函数)
高中数学回归课本(三角函数)_数学_高中教育_教育专区。回归课本(五)三角函数一.考试内容:角的概念的推广.弧度制.任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线. 同角...
2016年高考数学回归课本必备
2016年高考数学回归课本必备_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学重要公式、一些升华结论、易错提醒 2016 年高考数学回归课本必备 1.区分集合中元素的形式:如...
高中数学回归课本(导数)
高中数学回归课本(导数)_城乡/园林规划_工程科技_专业资料。高中数学回归课本(导数)回归课本(十四) 回归课本(十四)导数一.考试内容: 导数的概念.导数的几何意义.几...
高中数学课本回归精析
高中数学课本回归精析_数学_高中教育_教育专区。高中数学课本回归精析 一、集合与逻辑 1、区分集合中元素的形式:如: ?( x, y) | y ? lg x? —函数图象...
高中数学课本回归
高中数学课本回归教学案 第一章一、必背知识: 1.集合的概念:一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合. 如何理解阴影部分的词语? 2.集合中的元素...
高考数学回归课本100个问题
高考数学回归课本100个问题_高考_高中教育_教育专区。高考数学回归课本 100 个问题 1.区分集合中元素的形式:如: {x | y = lg x}—函数的定义域; {y | y...
更多相关标签: