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函数的零点和最值


函数的零点和最值
一、函数零点 函数 y ? f ( x) ,使得 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数 y ? f ( x) 的零点。 二、根的存在定理 如 果 函 数 y ? f ( x) 在 区 间 ? a, b? 上 的 图 像 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 , 并 且 有

f ( a) f ( b) ? ,那么函数 0 y ? f ( x) 在区间 ? a, b ? 内至少有一个零点,即有 c ? ? a, b? 使得 f (c ) ? 0 。
这个条件不是充分必要条件。 三、二分法 对于在区间 ? a, b? 上连续且满足 f (a) f (b) ? 0 的函数 y ? f ( x) , 通过不断把函数 f ( x ) 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,从而得到零点的近似值。 步骤: (1)确定区间 ? a, b? ,验证 f (a) f (b) ? 0 ,给定精确度 ? , (2)求区间 ? a, b? 的中点 x1 , (3)计算 f ? x1 ? 若 f ? x1 ? ? 0 ,则 x1 就是函数的零点; 若 f (a) f ? x1 ? ? 0 ,令 b ? x1 ,此时零点 x0 ? ? a, x1 ? ; 若 f ? x1 ? f (b) ? 0 ,令 a ? x1 ,此时零点 x0 ? ? x1 , b ? 。 (4)判断是否达到精确度 ? ,即若 a ? b ? ? ,则得到零点的近似值 a(或 b) ; 否则重复(2)~(4) 。 四、一元二次方程根的分布
2 设 x1 , x2 是一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 的两个实数根, x0 ? ?

b , 2a

令 f ( x) ? ax ? bx ? c ? a ? 0? ,则
2

? f ? x0 ? ? 0 ? (1) x1 ? m, x2 ? m ? ? f ? m ? ? 0 ; (2) x1 ? m ? x2 ? f (m) ? 0 ; ? x ?m ? 0

? f ? x0 ? ? 0 ? f ? x0 ? ? 0 ? ? f ? m? ? 0 ? (3) x1 ? m, x2 ? m ? ? f ? m ? ? 0 ; (4) m ? x1 ? x2 ? n ? ? 。 f n ? 0 ? ? ? ? x ?m ? 0 ? ?m ? x0 ? n

例 1 若函数 f ( x) ? 2? x?1 ? lg x 有一个零点在区间 ? n, n ? 1? ? n ? N ? ,则 n =



如果从区间 ? n, n ? 1? 开始,用二分法求这个零点,精确度为 0.001 的近似值,则需要 对分区间的次数至多为 。

变式 1 :若函数 f ( x) ? a x ? x ? a ( a ? 0 且 a ? 1 )有两个零点,则实数 a 的取值范围 是 。

例 2:若函数 f ( x) ? 2ax2 ? 2 x ? 3 ,如果函数 y ? f ( x) 在区间 ??1,1? 上有零点,求实数 a 的取值范围。

变式 2:已知函数 f ( x) ? 3ax ? 1 ? 2a 在区间 ? ?1,1? 上存在 x0 使得 f ( x0 ) ? 0 ,则实数 a 的 取值范围是 。

变式 3 :已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 ? a, b ? R, a ? 0? ,方程 f ( x) ? x 有两个实根

x1 , x2 ,且满足 x1 ? 2 ? x2 ? 4 。设的对称轴方程为 x ? x0 。求证: x0 ? 1 ? 0 。

例 3 某旅游公司有客房 300 间,每间日租房为 20 元时,每天都客满。公司欲提高档次,并 提高租金。若每间客房每日增加 2 元,客房出租就会减少 10 间。若不考虑其他因素, 公司将房间租金提高多少的时,每天客房的租金总收入最高?

四、函数的单调性与值域 (一) 、知识梳理 1、增函数和减函数的定义 2、函数的单调性和单调区间 3、判断函数单调性的方法:定义法、图像法、导数法 4、函数的最值及其几何意义 5、函数的值域的求法 单调性法、配方法、换元法、判别式法、图像法、不等式法、导数法等。 6、复合函数的单调性(同増异减)

例 4 求下列函数的值域

1 ?x; x b (2) f ( x) ? ax ? ? a ? 0, b ? 0, x ? 0 ? ; x
(1) f ? x ? ? (3) f ? x ? ? x ? 1 ? x ;
2

(4) f ? x ? ? x ?

1 ? x ? 3? ; x ?3

(5) f ? x ? ? x 2 ?

1? 1? ? x ? ? ?; x? 2?


(6) f ? x ? ? (7) f ? x ? ?

x2 ? 5 x2 ? 4
2

1 x ? x ?1

习题:
1、二次函数 f ( x) ? a2 x2 ? ax 在区间 ? 0,1? 上有零点,则实数 a 的取值范围是( A. a ? 0 2、函数 f ( x ) ? e ?
x

)。

B. a ? ? 1

C. a ? 0 或 a ? ?1 )。 C. ?1, ?

D. a ? R

1 的零点所在区间是( x
B. ?

A. ? 0, ?

? ?

1? 2?

?1 ? ,1? ?2 ?

? 3? ? 2?

D. ?

?3 ? ,2? ?2 ?

3 、设函数 f ( x) ? 2x ? x ? 4 , x0 是函数 f ( x ) 的一个正数零点,且 x0 ? ? a, a ?1? ,其中

a ? N ,则 a =
4、函数 f ( x) ? ? A.0 5、关于 x 的方程 2
x
2x



? x2 ? 2x ? 3 x ? 0 的零点个数为( x ? 0 ? 2 ? ln x ?
B.1 C.2

) D.3 。

? 2x a ? a ? 3 ? 0 有实根,则实数 a 的取值范围是


?1? 6、若方程 ? ? ? x 3 有解 x0 ,则 x0 属于以下哪个区间( ?2?
A. ? 0, ?

1

? ?

1? 3?

B. ? ,

?1 1? ? ?3 2?

C. ?

?1 ? ,1? ?2 ?

D. ?1, 2 ?

7、 函数 f ( x ) 是连续的偶函数, 且当 x ? 0 时, f ( x ) 是单调函数, 则满足 f ( x) ? f ? 的所有 x 之和是( A. ? 3 ) B.3 C. ?8 。 D.8

? x?3? ? ? x?4?

8、函数 y ? lg x ? x ? 2 的零点个数是

9、函数 f ( x) ? A.增函数

1 ? x 在 ? 0, ??? 上是( x
B.减函数

) C.不具有单调性 D.无法判断

10、函数 f ( x ) ? 1 ?

1 的 ?3, 4 ? 上( x

) B.有最大值无最小值 D.最大值和最小值都不存在

A.有最小值无最大值 C.既有最大值又有最小值

11、 (2009 福建卷)下列函数 f ( x ) 中满足“对任意的 x1, x2 ? ? 0, ??? ,当 x1 ? x2 时,都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ”的是( 1 A. f ( x ) ? x
C. f ( x) ? e x

) 。 B. f ( x ) ? ? x ? 1?
2

D. f ( x) ? ln ? x ?1? ) C.R ) D. ??1,1? D. ?1, ?? ?

12、函数 f ( x) ? x ? 1 ? 2x 的值域是( A. ? ??,1? B. ? ??, ?1?

13、函数 f ( x ) 的值域是 ? ?2, 2? ,则 f ( x ? 2) 的值域是( A. ? ?2, 2? 14、求下列函数的值域: (1) y ? x ? x ?1 ; B. ? ?4,0?

C. ? 0, 4?

(2) y ? x ? 1 ? x ; (4) y ? 4 ? 2 ? 3 。
x x

? x 2 ? 1, ?1 ? x ? 2 (3) y ? ? ; ??6 x ? 17, 2 ? x ? 3


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