高中数学人教版

2012.3.26

一. 不等式(精简版）
1.两实数大小的比较

?a ? b ? a ? b ? 0 ? ?a ? b ? a ? b ? 0 ?a ? b ? a ? b ? 0 ?
2.不等式的性质：8条性质.

3.基 本不 等式 定理

? ? a 2 ? b 2 ? 2a b ? ? ? ? a 2 ? b ? 1 (a ? b ) 2 2 ? ? 2 2 ? ? a?b? ? ? ?整 式 形 式 ab ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? a ? b2 ? ab ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ?a ? b ? ? ab ? ? ? 2 ?根 式 形 式 ? 2 2 ? ?a ? b ? 2(a ? b ) ? ? ? ? b a ? 2(a, b同 号 ） ?分 式 形 式 ? a b ? 1 ? ? a? 0? a? ? 2 ? ? a ? ?倒 数 形 式 1 ?a ? 0 ? a ? ? ?2 ? a ? ?

4.公式：

2 a?b a 2 ? b2 ? ab ? ? a ?1 ? b?1 2 2
1

3.解不等式
(1)一元一次不等式 (2)一元二次不等式： 判别式 △=b2- 4ac y=ax2+bx+c 的图象 (a>0) △>0

? ?x ? ax ? b(a ? 0)? ?x ? ?
△=0

b (a ? 0 ) a b (a ? 0 ) a
△<0

y x1 O x x2

y

y

O x1

x

O

x

ax2+bx+c=0 有两相异实根 (a>0)的根 x1, x2 (x1<x2)

有两相等实根 x1=x2= ?
? b 2a

没有实根

b 2a

ax2+bx+c>0 {x|x<x1,或 x>x2} {x|x≠ (y>0) 的 解 集 ax2+bx+c<0 {x|x1< x <x2 } (y<0) 的 解 集 Φ

}

R

Φ

2

一元二次不等式的求 解流程： 一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集. (3)解分式不等式：

? f ( x) ? 0 ? f ( x ) ? g( x ) ? 0 ? ? g( x ) ? f ( x) ?f ( x) ? g( x) ? 0 ? ?0?? ? ? g( x ) ? 0 ? g( x )
高次不等式：

( x ? a1 )( x ? a2 )?( x ? an ) ? 0

(4)解含参数的不等式： （1）

(x – 2)(ax – 2)>0

（2）x2 – (a+a2)x+a3>0； （3）2x2 +ax +2 > 0；
注:解形如 ax2+bx+c>0 的不等式时分类讨 论的标准有： 1、讨论 a 与 0 的大小；2、讨论⊿与 0 的大小；3、讨论两根的 大小； 二、运用的数学思想： 1、分类讨论的思想；2、数形结合的思想；3、等与不等的化归思想

(4)含参不等式恒成立的问题：

3

、 函数 ?1 ? ?2、 分离参数后用最值 ?3 ? 、 用图象
例 1．已知关于 x 的不等式 x ? (3 ? a ) x ? 2a ? 1 ? 0
2 2

在(–2，0)上恒成立，求实数 a 的取值范围． 例 2．关于 x 的不等式

y ? log2 (?ax2 ? ax ? 1)

对所有实数 x∈R 都成立，求 a 的取值范围.

例3.若对任意 则

x ? 0,

x ? a恒成立， 2 x ? 3x ? 1

a的取值范围.

(5)一元二次方程根的分布问题： 方法： 依据二次函数的图像特征从： 开口方向、 判别式、 对称轴、 函数值三个角度列出不等式组，总之都是转化为一元二次 不等式组求解.
4

二

次

方

程

根

的

分

布

问

题

的

讨

论

：

1．x1< x2< k

? f (k ) ? 0 ? b ? ?k ?? 2 a ? ? ?? ? 0

y
x1
k

O

x2 k

x

y
2．k < x1< x2
? f (k ) ? 0 ? b ? ?k ?? 2 a ? ? ?? ? 0

k x1 O

x2

x

y
3．x1< k < x2

f (k ) ? 0
k x1 O x
2

x

5

4． k1 < x1 < x2 < k2 y k1 x1 O x2 k2 x

5 ． x1 < k1 < k2 < x2 y O x1 k1 k2 x2 x

? f ( k1 ) ? 0 ? f ( k2 ) ? 0 ? ? ?? ? 0 ? ?k ? ? b ? k 1 2 ? 2a ?
6． k1 <x1 < k2 < x2< k3

? f ( k1 ) ? 0 ? ? f ( k2 ) ? 0

y O k2 x2 k3 x

? f ( k1 ) ? 0 ? ? f ( k2 ) ? 0 ? f (k ) ? 0 ? 2
4 解线性规划问题的一般步骤：

k1 x1

第一步：在平面直角坐标系中作出可行域； 第二步：在可行域内找到最优解所对应的点； 第三步： 解方程的最优解， 从而求出目标函数的最大值或最小值。

z ? ax ? by

z ? x2 ? y2

z?

y x
6

练习：1.求满足 | x | + | y | ≤4 的整点（横、纵坐标为整数）的 个数。

2.求函f ( x ) ? 2 ? log 2 x ?
3 4.f(x)=x+

1 (0 ? x ? 1)的最大值； log 2 x

1 （x ? 4）的最小值 x ?1
的最小值.
2 8

( x ? 1)2 ? 4 ( x ? ?1) 4.求函数 f ( x ) ? x ?1

5.已知两个正数 a , b 满足 a ? b ? 4, 求使 a ? b ? m 恒成立的 m 的取值范围.
1. 实数的性质：

a ? b ? a ?b ? 0 ；a ? b ? a ?b ? 0；a ? b ? a ?b ? 0 ．
2. 不等式的性质：

性
对称性 传递性 加法性质 乘法性质

质

内
a ? b ? b ? a，a ? b ? b ? a．
a ? b 且b ? c ? a ? c ．

容

a ? b ? a ?c ? b ?c；a ? b 且c ? d ? a ? c ? b ? d ．

a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ； a ? b ? 0 ，且 c ? d ? 0 ? ac ? bd ? 0 ．

乘方、开方性质 倒数性质

a ? b ? 0, n ? N ? ? an ? bn ； a ? b ? 0, n ? N ? ? n a ? n b ．
a ? b, ab ? 0 ? 1 1 ? ． a b

3. 常用基本不等式： 条 件 结 论 等号成立的条件

a?R

a2 ? 0

a?0
2 2

a ? R, b ? R
a ? 0, b ? 0

a 2 ? b2 ? 2ab ， ab ? (
基本不等式： 常见变式：

a?b 2 a ?b a?b 2 ) ， ?( ) 2 2 2
a? 1 ?2 a

a?b

a ? b ? 2 ab b a ? ? 2； a b

a?b

7

a ? 0, b ? 0

a?b ? ab ? ? 1 1 2 ? a b 2

a2 ? b2 2

a?b

7. 不等式证明方法： 基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法 辅助方法：换元法（三角换元、均值换元等） 、放缩法、构造法、判别式法 特别提醒：不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的 内容，最常用的思路是用分析法探求证明途径，再用综合法加以叙述。我们在利用不等式的性质或基本不等式 时要注意等号、不等号成立的条件。 例：解下列不等式：
(1) (3)

x 2 ? 7 x ? 12 ? 0 ； x2 ? 2 x ? 1 ? 0 ；
2

(2) (4)

? x2 ? 2 x ? 3 ? 0 ； x2 ? 2 x ? 2 ? 0 ．

解： (1)方程 x 的解集是 {x |

? 7 x ? 12 ? 0 的解为 x1 ? 3, x2 ? 4 ．根据 y ? x2 ? 7 x ? 12 的图象，可得原不等式 x 2 ? 7 x ? 12 ? 0

x ? 3或x ? 4} ．
2

(2)不等式两边同乘以 ?1 ，原不等式可化为 x 方程 x 根据
2

? 2x ? 3 ? 0 ．

? 2 x ? 3 ? 0 的解为 x1 ? ?3, x2 ? 1 ．

y ? x2 ? 2x ? 3 的图象，可得原不等式 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是 {x | ?3 ? x ? 1} ．
(3)方程 x 根据
2

? 2 x ? 1 ? 0 有两个相同的解 x1 ? x2 ? 1．

y ? x2 ? 2 x ? 1的图象，可得原不等式 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 的解集为 ? ．

(4)因为 ? 为? ．

? 0 ，所以方程 x2 ? 2 x ? 2 ? 0 无实数解，根据 y ? x2 ? 2x ? 2 的图象，可得原不等式 x2 ? 2 x ? 2 ? 0 的解集

练习 1. （1）解不等式 （2）解不等式

2x ? 3 ? 1； x?7

x?3 x?3 ? 0 呢？） （若改为 ?0； x?7 x?7

解:(1)原不等式 ? ?

? x ? 7 ? 0, ? x ? 7 ? 0, ?{x | ?7 ? x ? 3} 或 ? ?x ? 3 ? 0 ?x ? 3 ? 0

(该题后的答案: {x | ?7 ? (2)

x ? 3} ).

x ? 10 ? 0 即?{x | ?7 ? x ? 10} . x?7

8、线性规划问题的解题方法和步骤 解决简单线性规划问题的方法是图解法，即借助直线（线性目标函数看作斜率确定的一族
8

平行直线）与平面区域（可行域）有交点时，直线在 y 轴上的截距的最大值或最小值求解。它的 步骤如下： （1）设出未知数，确定目标函数。 （2）确定线性约束条件，并在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域。 a z （3）由目标函数 z＝ax＋by 变形为 y＝－ x＋ ，所以，求 z 的最值可看成是求直线 y＝ b b a z － x＋ 在 y 轴上截距的最值（其中 a、b 是常数，z 随 x，y 的变化而变化） 。 b b （4）作平行线：将直线 ax＋by＝0 平移（即作 ax＋by＝0 的平行线） ，使直线与可行域有 z 交点，且观察在可行域中使 最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标。 b （5）求出最优解：将（4）中求出的坐标代入目标函数，从而求出 z 的最大（或最小）值。 9、在平面直角坐标系中，已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 ，坐标平面内的点

? ? x0 , y0 ?

．

①若 ? ? 0 ， ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ，则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的上方． ②若 ? ? 0 ， ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ，则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的下方． 10、在平面直角坐标系中，已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 ．
? C? ①若 ? ? 0 ， 则 ?x?? y 线 ?x ? ?y ? C ? 0 下方的区域． ? C? ②若 ? ? 0 ， 则 ?x?? y 线 ?x ? ?y ? C ? 0 上方的区域． 0 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 上方的区域；?x ? ?y ? C ? 0 表示直 0 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 下方的区域；?x ? ?y ? C ? 0 表示直

11、最值定理 设 x 、 y 都为正数，则有 ⑴ 若 x ? y ? s （和为定值） ，则当 x ? y 时，积 xy 取得最大值
s2 ． 4

⑵ 若 xy ? p （积为定值） ，则当 x ? y 时，和 x ? y 取得最小值 2 p ． 即：“积定，和有最小值；和定，积有最大值” 注意：一正、二定、三相等
几种常见解不等式的解法 重难点归纳
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解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化， 对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题 (1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法 (2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法 (3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法 (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法 (5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式
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(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论 典型题例示范讲解
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例 1：如果多项式 f ( x) 可分解为 n 个一次式的积，则一元高次不等式 f ( x) ? 0（或 f ( x) ? 0 ）可用“穿 根法”求解，但要注意处理好有重根的情况． 当分式不等式化为

f ( x) ? 0(或 ? 0) 时，要注意它的等价变形 g ( x)

①

f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0 g ( x)

②

? f ( x) ? g ( x ) ? 0 f ( x) f ( x) ?0?? 或 ? 0 ? f ( x) ? 0或f ( x) ? g ( x) ? 0 g ( x) g ( x) ? g ( x) ? 0

用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中 x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含 重根的不等式，也可直接用“穿根法” ，但注意“奇穿偶不穿” ，其法如下图．

不等式左右两边都是含有 x 的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为 0 再解．
2 3 例：解不等式： （1） 2 x ? x ? 15x ? 0 ； （2） ( x ? 4)(x ? 5) (2 ? x) ? 0 ．
3 2

解： （1）原不等式可化为

x(2 x ? 5)(x ? 3) ? 0
把方程 x(2 x ? 5)(x ? 3) ? 0 的三个根 x1 ? 0, x2 ? ? , x3 ? 3 顺次标上数轴． 然后从右上开始画线顺次经 过三个根，其解集如下图的阴影部分．

5 2

∴原不等式解集为 ? x ? （2）原不等式等价于

? ?

5 ? ? x ? 0或x ? 3? 2 ?

( x ? 4)(x ? 5) 2 ( x ? 2)3 ? 0 ? x ? ?5 ?x ? 5 ? 0 ?? ?? ?( x ? 4)(x ? 2) ? 0 ? x ? ?4或x ? 2
∴原不等式解集为 x x ? ?5或 ? 5 ? x ? ?4或x ? 2

?

?
10

解下列分式不等式：

6 1. 已知x> 0, y> 0，且

1 9 + = 1，求x+ y的最小值. x y

11