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3.1.1


3.1.1 方程的根与函数的零点

提出问题 引入新课
问题 1 求下列方程的根. (1) 6 x ? 1 ? 0 ; (2) 3x ? 6 x ? 1 ? 0 ;
2

(3) 3x ? 6 x ? 1 ? 0 ;
5

怎么解呢?

方程解法史话:

花拉子米(约780~约850) 给出了一次方程和二次方 程的一般解法。

阿贝尔(1802~1829) 证明了五次以上一般 方程没有求根公式。

问题2:求下面这个方程的实数根

ln x ? 2 x ? 6 ? 0

怎么解呢?

问题3

怎么解一般的方程 f ( x) ? 0 ?

转换角度!用函数的思想去解决方程的问题。 即:通过研究相应函数去解方程。

问题4

方 程 f ( x) ? 0 的 根 与 函 数

y ? f ( x) 之间有什么样的关系呢?

思考探究一

一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)的根
2

与二次函数y ? ax ? bx ? c(a ? 0)的图像
2

有什么关系?

思考探究一

先观察几个具体的一元二次方程及其相应 的二次函数

( 1 )方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 f ?x ? ? x ? 2 x ? 3
2

2

( 2 )方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 f ?x ? ? x ? 2 x ? 1
2

2

(3)方程x ? 2x ? 3 ? 0
2

f ?x ? ? x ? 2 x ? 3
2

方程 函数 函 数 的 图 象

x 2- 2 x - 3 = 0

x2-2x+1=0 x2-2x+3=0

y= x2-2x-3 y= x2-2x+1 y= x2-2x+3
.
-1

y
2

y

.
-1 -2

y

.0
-3 -4

1 1 2

.

.
x
-1

2 1

. .

.
3 2

5

3

0

.

1

.

.
2

.

4

.
1

.
2

.

x
-1

1

0

3

x

方程的实数根 x1=-1,x2=3 函数的图象 (-1,0)、(3,0) 与x轴的交点

x1=x2=1 (1,0)

无实数根

无交点

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数 . y= ax2+bx+c(a≠0)的图象,以 a ? 0为例画图
判别式?
y=ax2+bx+c 的图象
x1 0

?>0
y
x2 x

??0
y

?<0
y

0

x1

x

0

x

ax2+bx+c=0 的根
函数的图象与 x 轴的交点

两个不相等的 实数根x1 、x2

有两个相等的 实数根x1 = x2
? b ? 一个交点? ? ,0 ? ? 2a ?

无实数根 无交点

两个交点 (x1,0) , (x2,0)

结论:一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与X轴交点的横 坐标。若一元二次方程无实数根,则相应的二次函数图像与X轴无 交点。

推广到更一般的情况,得:

方程f ( x) ? 0的实数根 ? 函数y ? f ( x)的图象与x轴交点的横坐标

1.函数的零点:
对于函数y ? f ( x), 把使f ( x) ? 0成立的实数 x

叫做函数 y ? f ( x)的零点.
零点是一个点吗?
(1)零点是一个实数

(2)方程f ( x) ? 0的实数根 ? 函数y ? f ( x)的图象与x轴交点的横坐标 ? 函数y ? f ( x)的零点

所以:

方程f ( x) ? 0有实数根 ? 函数y ? f ( x)的图象与x轴有交点 ? 函数y ? f ( x)的有零点

1 2 1.函数 y ? 2 x ? 1的零点是:_____

练习1

1 2.函数 y ? log2 x的零点是:_____
3.函数 y ? 2x ?1

0 的零点是:_____

0 4.函数 y ? x 2 ? x ? 1 的零点个数是:_____

2 5.函数 f ( x) ? 2 x 2 ? 3x ? 2 的零点个数是:____

练习2

函数y=f( x)的图象如下, 则其零点为 -2,1,3 .
y ?2 O 1 3 x

思考探究二

所有函数都存在零点吗? 什么条件下才能确定零点的存在呢?

思考探究二

1.观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象:
y
2 1 -2 -1 -1 -2 -3 -4

O

1

2

3

4

x

(1)函数f(x)在区间[-2, 1]内有零点x= ___ , 有 f(-2)· f(1) ____0(<或>) (2)函数f(x)在区间[2,4] 内有零点x= ___,有 f(2)· f(4) ____ 0(<或>)

思考探究二

函数在区间端点上的函数值的符号情况, 与函数零点是否存在某种关系?

(1) 在区间(a,b)上有 ____(有/无)零点; f(a)· f(b) <____0(<或>). (2) 在区间(b,c)上有 ____(有/无)零点; < f(b)· f(c)____0 (<或>). (3)在区间(c,d)上有 ____(有/无)零点; f(c ).f(d) < ____0(<或>).

思考探究二
若函数y ? f ( x)在区间 [a, b]上有定 义,而且满足 f ?a ? ? f ?b ? ? 0, 则函数
y y 0 a

y ? f ? x ?在区间?a, b ? 内一定存在零点吗?

0 a y 0a
b

b x

b

x

x

2.零点存在性定理:
如果函数

连续不断 y ? f ( x)在区间?a, b?上的图象是

那么 y ? f ( x)在区间 的一条曲线,并且 f(a)· f(b)<0, (a,b)内有零点,即存在 c ? (a, b), 使得f (c) ? 0, 这个 c也就是方程 f ( x) ? 0的根。

(1)两个前提条件缺一不可 (2)“有零点”是指有几个零点呢?
只有一个吗?
至少有一个, 可以有多个。

请问若函数满足函数零点存在性的判定方法的两个条件,那 么函数对应的图象有多少种类型?请全部画出来. y

y

y

0 a y 0 a

b x

0a y 0 a

b

x

0a

b

x

b

x

b

x

若函数满足函数零点存在性的判定方法的两个条件,则函数 在区间(a,b)上究竟存在几个零点?

函数何时只有一个零点?
函数零点存在且唯一的判定方法: 函数y=f(x)在区间[a,b]上 ①图象连续 ②f(a)?f(b)<0 0 y 0
a
a

y 0a

b x

y
b

x

b

x

③若函数y=f(x)在区间[a,b]上是单调函数 则函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点且唯一.

(3)再加上什么条件就“有且仅有一个零点”呢? 连续不断 如果函数 y ? f ( x)在区间?a, b?上的图象是 的一条曲线,并且 f(a)· f(b)<0,并且是单调函数,那么

y ? f ( x)在区间 (a,b)内有且只有一个零点。

y

0 a

b x

(4) 若函数y= f( x ) 在区间(a, b)内有零点,一 定能得出f( a )· f( b )<0的结论吗?

y

反之不成立!
bbb

0

a

bb

bb

b b bb x

b

(5)定理的作用:判定零点的存在, 并找出零点所在的区间。

三、解题示范
例题:求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数
解:用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表(表3-1) 和图象(图3.1—3)
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9

f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972

由表3-1和图3.1—3可知 y . f(2)<0,f(3)>0, 即f(2)· f(3)<0,14 12 . . 说明这个函数在区间(2,3)内 10 . 8 有零点 6 . 4 由于函数f(x)在定义域 2 .. (0,+∞)内是增函数,所以 0 1 2.3 4 5 6 7 8 9 10 -2 它仅有一个零点 . -4
-6

x

解法二:估算f(x)在各整数处的取值的正负:
x 1 2 3 4

f ( x) - - + + 解法三:通过数形结合,把讨论原函数的零点个数问题转化为讨 论方程的根个数问题,再转化为两个简单函数的图象交点个数问题, 其步骤是: y

①令f(x)=0, 得方程 6 , ②方程变形,lnx=-2x+6 拆成两个函数g(x)=lnx, h(x)=6-2x y= lnx ③画两函数图象 1 ④根据两函数图象交点个数 0 1 2 3 4 x 即为原函数的零点个数,得结果. y=-2x +6

练习2:

练习1:在下列哪个区间内,函数f (x)= x3+3x-5 一定有零点( C ) A、(-1,0) B、(0,1) C、(1,2) D、(2,3) 练习2:已知函数f(x)的图象是连续不断的, 且有如下的x ,f(x)对应值表: x 1 2 3 4 5 6 7 –7 11 –5 –12 –26 f(x) 23 9 那么该函数在区间[1,6]上有( B )零点. A、只有3个 B、至少有3个 C、至多有3个 D、无法确定

四、解题体验
利用函数图象判断下列方程有没有根,有几个根: (1)-x2+3x+5=0; (2)2x(x-2)=-3;

(3) x2 =4x-4;
(4)5 x2 +2x=3 x2 +5.

1(1) -x2+3x+5=0

对了,你真棒!
1(1)解:令f(x)=-x2+3x+5, 作出函数f(x)的图象,如下:
它与x轴有两个交点,所以 方程-x2+3x+5=0有两个不 相等的实数根。
y
8 6

.
. . .

4
2

-2 -1

.

0

1

2

3 4

x

1(2) 2x(x-2)=-3

对了,你真棒!
1(2)解:2x(x-2)=-3可化为 2x2-4x+3=0,令f(x)= 2x2-4x +3 , 作出函数f(x)的图象,如下: 它与x轴没有交点,所以方程 2x(x-2)=-3无实数根。
.
y

3 2 1
-1

.

5 4

. .

.
1 2 3

0

x

1(3) x2 =4x-4

对了,你真棒!
1(3)解:x2 =4x-4可化为x2-4x +4=0,令f(x)= x2-4x+4,作出 函数f(x)的图象,如下: 它与x轴只有一个交点,所以 方程x2 =4x-4有两个相等的实 数根。
y

.
.
3 2 1
-1

6 5 4

.
.

0

1

2

.

3

4

x

1(4) 5 x2 +2x=3 x2 +5

对了,你真棒!
+5可化为 2x2 +2x-5=0,令f(x)=2x2+ 2x-5 , 作出函数f(x)的图象, 如下: 它与x轴有两个交点,所以 方程5x2 +2x=3x2 +5有两个不 相等的实数根。 1(4)解:5x2 +2x=3x2
y
4 3 2 1

. .

.
-1

-4 -3 -2 -1

0

1 2

.

3

x

-2 -3 -4 -5 -6

.

利用函数的图象,指出下列函数零点所在的大致区间: f(x)= -x3-3x+5 2(1)解:作出函数的图象,如下: 因为f(1)=1>0,f(1.5)=-2.875<0, 所以f(x)= -x3-3x+5在区间(1, 1.5) 上有零点。又因为f(x)是(-∞,+∞) 上的减函数,所以在区间(1, 1.5)上有 且只有一个零点。
.
y

.5 4 .
3 2 1

.
1 2 3

0
-1

x

.

课堂小结:
1.函数零点的定义;
2.函数的零点与方程的根的关系; 3.函数零点存在性定理; 4.确定函数的零点所在区间的方法


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