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北师大版高中数学必修5第二章《解三角形》之解三角形应用举例(二)


第七课时 §2.3.2 解三角形应用举例(二) 一、教学目标 1、知识与技能:能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的 物体高度测量的问题。 2、过程与方法:本节课是解三角形应用举例的延伸。采用启发与尝试的方法,让学生在温 故知新中学会正确识图、画图、想图,帮助学生逐步构建知识框架。通过 3 道例题的安排和 练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。 教学形式要坚持引导——讨论——归 纳,目的不在于让学生记住结论,更多的要养成良好的研究、探索习惯。作业设计思考题, 提供学生更广阔的思考空间。 3、情感态度与价值观:进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、 概括的能力。 二、教学重点:结合实际测量工具,解决生活中的测量高度问题。 教学难点:能观察较复杂的图形,从中找到解决问题的关键条件。 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 Ⅰ.课题导入 提问:现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢?又怎样在水平飞行的飞 机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢?今天我们就来共同探讨这方面的问题 Ⅱ.探析新课 [范例讲解] 例 1、AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物,A 为建筑物的最高点,设计一种测量建筑物高度 AB 的方法。

分析:求 AB 长的关键是先求 AE,在 ? ACE 中,如能求出 C 点到建筑物顶部 A 的距离 CA,再

测出由 C 点观察 A 的仰角,就可以计算出 AE 的长。 解:选择一条水平基线 HG,使 H、G、B 三点在同一条直线上。由在 H、G 两点用测角仪器测 得 A 的仰角分别是 ? 、 ? ,CD = a,测角仪器的高是 h,那么,在 ? ACD 中,根据正弦定理 可得 AC =
a sin ? sin(? ? ? )

,AB =

AE + h= AC sin ? + h =

a sin? sin ? + h sin(? ? ? )

例 2、如图,在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角 ? =54 ? 40? ,在塔底 C 处测得 A 处 的俯角 ? =50 ? 1? 。已知铁塔 BC 部分的高为 27.3 m,求出山高 CD(精确到 1 m)

师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗? (给时间给学生讨论思考) 若在 ? ABD 中求 CD, 则关键需要求出哪条边呢? 生:需求出 BD 边。 师:那如何求 BD 边呢? 生:可首先求出 AB 边,再根据 ? BAD= ? 求得。 解:在 ? ABC 中, ? BCA=90 ? + ? , ? ABC =90 ? - ? , ? BAC= ? - ? , ? BAD = ? .根据正弦定 理,

BC sin(90? ? ? ) BC cos ? BC AB = , 所以 AB = = sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) sin(90 ? ? ? )
BD =ABsin ? BAD=

解 Rt ? ABD 中 , 得

BC cos ? sin ? , 将 测 量 数 据 代 入 上 式 , 得 BD = sin(? ? ? )

27.3 cos 50?1? sin 54?40? 27.3 cos 50?1? sin 54?40? = ≈177 (m),CD =BD -BC≈177-27.3=150(m) sin 4?39? sin(54?40? ? 50?1?)
答:山的高度约为 150 米.

师:有没有别的解法呢?生:若在 ? ACD 中求 CD,可先求出 AC。 师:分析得很好,请大家接着思考如何求出 AC? 生:同理,在 ? ABC 中,根据正弦定理求得。 (解题过程略) 例 3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到 A 处时测得公路南侧远处一山顶 D 在东偏南 15 ? 的方向上,行驶 5km 后到达 B 处,测得此山顶在东偏南 25 ? 的方向上,仰角为 8 ? , 求此山的高度 CD.

师:欲求出 CD,大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢?生:在 ? BCD 中 师:在 ? BCD 中,已知 BD 或 BC 都可求出 CD,根据条件,易计算出哪条边的长? 生:BC 边 解:在 ? ABC 中, ? A=15 ? , ? C= 25 ? -15 ? =10 ? ,根据正弦定理,

BC AB = , sin A sin C

BC

=

AB sin A 5 sin15? = ≈ 7.4524(km),CD=BC ? tan ? DBC≈BC ? tan8 ? ≈1047(m) sin10? sin C

答:山的高度约为 1047 米 Ⅲ.课堂练习:课本本节练习 1、2 Ⅳ.课时小结: 利用正弦定理和余弦定理来解题时, 要学会审题及根据题意画方位图,要懂得 从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素,进行适当的简化。 Ⅴ.课后作业:1、课本本节习题 2-3B 组 1、2 题 2、为测某塔 AB 的高度,在一幢与塔 AB 相距 20m 的楼的楼顶处测得塔顶 A 的仰角为 30 ? , 测得塔基 B 的俯角为 45 ? ,则塔 AB 的高度为多少 m? 五、教后反思: 答案:20+

20 3 (m) 3


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