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【解析版】天津市滨海新区2013年五所重点学校高三联考数学试卷(理科)


2013 年天津市滨海新区五所重点学校高三联考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析
一.选择题(本题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一个是正确 的) 1. 分) (5 (2013?天津模拟)复数 A.﹣i B.﹣1 (其中 i 为虚数单位)的虚部等于( C.1 D.0 )

考点: 复数代数形式的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 两个复数的商的乘方,等于被除数的乘方,除以除数的乘方. 解答: 解:由于 ,所以虚部为﹣1, 故选 B. 点评: 本题主要考查复数代数形式的混合运算,属于基础题. 2. 分) (5 (2013?天津模拟)p:|x|>2 是 q:x<﹣2 的( ) A.充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题. 分析: 解不等式可得命题 p 对应的集合,由集合的包含关系可得结论. 解答: 解:由|x|>2,解得 x>2 或 x<﹣2, 由于集合{x|x<﹣2}是{x|x>2 或 x<﹣2}的真子集, 故 p 是 q 的必要不充分条件 故选 C 点评: 本题考查充要条件的判断,用集合的包含关系是解决问题的关键,属基础题. 3. 分) (5 (2013?天津模拟)阅读如图的程序框图,若运行相应的程序,则输出的 S 的值是( )

A.39

B.21

C.81

D.102

考点: 循环结构. 专题: 图表型. 分析: 用列举法,通过循环过程直接得出 S 与 n 的值,得到 n=4 时退出循环,即可. 解答: 解:第一次循环,S=3,n=2; 第二次循环,S=3+2×3 =21,n=3; 3 第三次循环,S=21+3×3 =102,n=4; 3 第四次循环,不满足条件,输出 S=21+3×3 =102, 故选 D. 点评: 本题考查循环结构,判断框中 n=4 退出循环是解题的关键,考查计算能力. 4. 分) (5 (2013?天津模拟)若 A. B. (a>0)展开式中 x 的系数为 C.
3 2

,则 a 的值为( D.1



考点: 二项式定理. 专题: 计算题. 分析: 3 在二项展开式的通项公式中, x 的幂指数等于 3, 令 求出 k 的值, 再根据展开式中 x 的系数为 即可求得 a 的值. 解答: 解:由于 (a>0)展开式的通项为 , 由 5﹣2k=3 得 k=1,所以 a= , ,即 x 的系数为﹣5a ,即
3 4



,所以,

故选 A. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,二项式系数的 性质,属于中档题.

5. 分) (5 (2013?天津模拟)已知双曲线

=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,在双曲线 ,那么双曲线的离心率是( C. ) D.

右支上存在一点 P 满足 PF1⊥PF2 且∠PF1F2= A. B.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用 PF1⊥PF2 且 ,可得 的离心率.

,结合双曲线的定义,即可求得双曲线

解答:

解:因为 PF1⊥PF2 且 又 ,

,所以



所以

,即双曲线的离心率为



故选 C. 点评: 本题考查双曲线的离心率,考查双曲线的定义,考查学生的计算能力,属于基础题. 6. 分) (5 (2013?天津模拟)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,其中 A=120°,b=1, 且△ ABC 面积为 A. ,则 B. =( ) C. D.

考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 利用三角形的面积公式表示出三角形 ABC 的面积,将 sinA 与 b 的值,以及已知面积代入求出 c 的 长,再由 b,c 及 cosA 的值,利用余弦定理求出 a 的长,由 a 与 sinA 的值,利用正弦定理求出三角 形外接圆的半径 R,利用正弦定理及比例的性质即可求出所求式子的值. 解答: 解:∵S△ ABC= bcsin120°= ,即 c× = , ∴c=4, ∴由余弦定理得:a =b +c ﹣2bccos120°=21, 解得:a= , ∵ = =2R,∴2R= = =2 ,
2 2 2



=2R=2



故选 D 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及三角形的面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.

7. 分) (5 (2013?天津模拟)在平行四边形 ABCD 中, ,则实数 λ 与 μ 的乘积为( A. B. ) C.



,连接 CE、DF 相交于点 M,若

D.

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意可得 =2(λ﹣μ) +μ

,由 E、M、C 三点共线,可得 2λ﹣μ=1,①同理可得

=

,由 D、M、F 三点共线,可得 λ+μ=1,②,综合①②可得数值,作

乘积即可. 解答: 解:由题意可知:E 为 AB 的中点,F 为 BC 的三等分点(靠近 B) 故 =(λ﹣μ) +μ = =2(λ﹣μ) = +μ ,

因为 E、M、C 三点共线,故有 2(λ﹣μ)+μ=1,即 2λ﹣μ=1,① 同理可得 = = = , )=1,即 λ+μ=1,② =

因为 D、M、F 三点共线,故有 λ+(μ 综合①②可解得 λ= ,

,故实数 λ 与 μ 的乘积

故选 B 点评: 本题考查平面向量基本定理即意义,涉及三点共线的结论,属中档题.

8. 分) (5 (2013?天津模拟)已知函数 f(x) =1+x﹣ ﹣

+



+…+

,g (x) =1﹣x+



+

﹣…

,设函数 F(x)=f(x+3)?g(x﹣4) ,且函数 F(x)的零点均在区间[a,b](a<b,a,b∈Z 内, ) B.9

则 b﹣a 的最小值为( A.8

C.10

D.11

考点: 函数的零点与方程根的关系;函数最值的应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 可通过导数法求得 f(x)与 g(x)的零点,从而可得 f(x+3)和 g(x﹣4)的零点,继而可求得 F (x)的零点均在区间[a,b](a<b,a,b∈Z)的具体区间,从而可求得 b﹣a 的最小值. 解答: 解:∵f(x)=1+x﹣ + ﹣ +…+ , ∴f′(x)=(1﹣x)+(x ﹣x )+…+x 2 4 2010 2012 =(1﹣x) (1+x +x +…+x )+x 当 x=﹣1 时,f′(x)=2×1006+1=2013>0, 当 x≠﹣1 时,f′(x)=(1﹣x) (1+x +x +…+x =(1﹣x)? +x
2012 2 4 2010 2 3 2012

)+x

2012

=

>0, + ﹣ +…+ 在 R 上单调递增;

∴f(x)=1+x﹣ 又 f(0)=1,

f(﹣1)=﹣ ﹣ ﹣ ﹣…﹣ ∴f(x)=1+x﹣ + ﹣ +…+

<0, 在(﹣1,0)上有唯一零点,

由﹣1<x+3<0 得:﹣4<x<﹣3, ∴f(x+3)在(﹣4,﹣3)上有唯一零点. ∵g(x)=1﹣x+ ﹣ + ﹣…﹣
2 3


2012

∴g′(x)=(﹣1+x)+(﹣x +x )+…﹣x 2 3 2012 =﹣[(1﹣x)+(x ﹣x )+…+x ] =﹣f′(x)<0, ∴g(x)在 R 上单调递减; 又 g(1)=( ﹣ )+( ﹣ )+…+( g(2)=﹣1+( ﹣ )+( ﹣



)>0, ﹣ ) ,

)+…+(

∵n≥2 时,



=

<0,

∴g(2)<0. ∴g(x)在(1,2)上有唯一零点, 由 1<x﹣4<2 得:5<x<6, ∴g(x﹣4)在(5,6)上有唯一零点. ∵函数 F(x)=f(x+3)?g(x﹣4) , ∴F(x)的零点即为 f(x+3)和 g(x﹣4)的零点. ∴F(x)的零点区间为(﹣4,﹣3)∪(5,6) . 又 b,a∈Z, ∴(b﹣a)min=6﹣(﹣4)=10. 故选 C. 点评: 本题考查函数的零点,考查利用导数判断函数的单调性及零点存在定理的应用,考查综合分析与转 化的能力,属于难题. 二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.请把答案填在答题卡的相应的横线上. 9. 分) (5 (2013?天津模拟)某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为 2:3:4, 现用分层抽样方法抽出一个容量为 n 的样本,其中 A 型号产品有 16 件,那么此样品容量为 n= 72 . 考点: 分层抽样方法. 专题: 计算题. 分析: 用 A 型号产品的样本数 16,除以 A 型号产品所占的比例 解答: 解: 由于 A 型号产品的样本数为 16, 型号产品所占的比例为 A

,即得样本容量 n 的值. , 故样本容量 n=16÷ =72,

故答案为:72. 点评: 本题考查分层抽样的定义和方法,用 A 型号产品的样本数除以 A 型号产品所占的比例,即得样本容 量.

10. 分) (5 (2013?天津模拟)如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的体积大小为



考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 由三视图可知,该几何体时一个边长为 2,2,1 的长方体挖去一个半径为 1 的半球.代入长方体的 体积公式和球的体积公式,即可得到答案. 解答: 由三视图可知,该几何体时一个边长为 2,2,1 的长方体挖去一个半径为 1 的半球.所以长方体的 体积为 2×2×1=4,半球的体积为 故答案为: . ,所以该几何体的体积为 .

点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积, 其中根据已知中的三视图判断出几何体的形状是解题的关键. 11. 分) (5 (2013?天津模拟)已知 a= b . ,b=2 ,c=log43,则 a,b,c 的大小关系从小到大为 a,c,
0.6

考点: 不等关系与不等式. 专题: 转化思想. 分析: 由于此三个数既不同底,真数也不同,故需借助于中间值 0,1 来做. 解答: 解:由于 , b=2 >2 =1,0=log41<c=log43<log44=1 则 a,b,c 的大小关系为 a<c<b 故答案为 a,c,b. 点评: 本题考查的是比较实数的大小关系,属于基础题,注意:此类题除利用函数的单调性来处理外,还 常借助于中间值(如:﹣1,0,1)来处理
0.6 0

12. 分) (5 (2013?天津模拟)己知集合 <x<1},A∪B={x|﹣4<x<3},则实数 m 等于 .

,若 A∩B={x|﹣1

考点: 子集与交集、并集运算的转换. 专题: 计算题.

分析: 首先化简 A,然后根据已知条件求出集合 B,再由一元二次不等式的解集求出结果. 解答: 解:∵ , A∩B={x|﹣1<x<1},A∪B={x|﹣4<x<3}, ∴由数轴可知 B={x|﹣4<x<1}, 即﹣4,1 是方程 x +2mx﹣4=0 的两个根, ∴﹣4+1=﹣2m=﹣3,解得 故答案为: 点评: 此题考查了子集与交集、并集运算的转换,属于基础题. .
2

13. 分) (5 (2013?天津模拟)直线 l:

(t 为参数) ,圆 C:ρ=2

(极轴与

x 轴的非负半轴重合,且单位长度相同) ,若直线 l 被圆 C 截得的弦长为

,则实数 a 的值为 0 或 2 .

考点: 参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 专题: 计算题. 分析: 化直线的参数方程为普通方程, 化圆的极坐标方程为一般方程, 由直线 l 被圆 C 截得的弦长为 化为圆心到直线的距离,由点到直线的距离公式求解实数 a 的值. 解答: 解:直线 l: ,由②得,



,代入①得直线 l 的方程为 x+2y+(2﹣a)=0,

由 ρ=2

,得 =2cosθ﹣2sinθ.

ρ =2ρcosθ﹣2ρsinθ,所以圆的方程为 x +y =2x﹣2y,即(x﹣1) +(y+1) =2, 所以圆心为(1,﹣1) ,半径 .若直线 l 被圆 C 截得的弦长为 ,

2

2

2

2

2

则圆心到直线的距离





,即|1﹣a|=1,

解得 a=0 或 a=2. 故答案为 0 或 2. 点评: 本题考查了参数方程化普通方程,考查了极坐标和直角坐标的互化,训练了点到直线的距离公式, 是中档题.

14. 分) (5 (2013?天津模拟)设函数

,A0 为坐标原点,An 为函数 y=f(x)图象

上横坐标为 n(n∈N )的点,向量

*

,向量 i=(1,0) ,设 θn 为向量 an 与向量 i 的夹角,

则满足

的最大整数 n 是 3 .

考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 压轴题. 分析: 先确定点 A =(n,f(n),再确定 )
n

,然后明确夹角 θn,进一步表示出 tanθn,最后可由列举法求

出满足要求的最大整数 n. 解答: 解:由题意知 A =(n,f(n), ) n = ,

则 θn 为直线 A0An 的倾斜角,所以 tanθn= 所以 tanθ1= 则有 ,tanθ3= ,

=



=1,tanθ2=

=

=

,tanθ4=

=



故满足要求的最大整数 n 是 3. 点评: 本题综合考查向量的夹角与运算及正切函数的定义与求值. 三.解答题:本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (13 分) (2013?天津模拟)已知函数 f(x)=sin x+2 (I)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; (II)求函数 f(x)在区间 上的值域.
2

sinxcosx+3cos x,x∈R.求:

2

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;复合三角函数的单调性. 专题: 三角函数的求值. 分析: (I)利用二倍角、辅助角公式,化简函数,即可求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; (II)先确定 解答: 解: I) ( : = 分) ∴最小正周期 ∵ ,…(5 分) 时 f(x)为单调递增函数 = …(4 ,再求函数 f(x)在区间 上的值域.

∴f(x)的单调递增区间为 ( II)∵ ∴ ∴ , , ,由题意得:

…(8 分)

∴f(x)∈[1,4] ∴f(x)值域为[1,4]…(13 分) 点评: 本题考查三角函数的化简,考查三角函数的性质,考查学生分析解决问题的能力,考查学生的计算 能力,属于中档题. 16. (13 分) (2013?天津模拟)甲、乙两人参加某种选拔测试.规定每人必须从备选的 6 道题中随机抽出 3 道题进行测试,在备选的 6 道题中,甲答对其中每道题的概率都是 ,乙只能答对其中的 3 道题.答对一 题加 10 分,答错一题(不答视为答错)得 0 分. (Ⅰ)求乙得分的分布列和数学期望; (Ⅱ)规定:每个人至少得 20 分才能通过测试,求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率. 考点: 离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)确定乙得分的取值,求出相应的概率,即可求得分布列和数学期望; (Ⅱ)利用对立事件的概率公式,即可求得甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率. 解答: 解: (Ⅰ)设乙的得分为 X,X 的可能值有 0,10,20,30…(1 分) , ,

…(5 分) 乙得分的分布列为: X 0 P …(6 分)

10

20

30

所以乙得分的数学期望为 15…(8 分) (Ⅱ)乙通过测试的概率为 甲通过测试的概率为 甲、乙都没通过测试的概率为 …(9 分) …(11 分)

因此甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率为

…(13 分)

点评: 本题考查概率的求解,考查离散型随机变量的分布列与期望,考查学生分析解决问题的能力,属于 中档题. 17. (13 分) (2013?天津模拟)如图在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形, 侧面 PAD⊥ 底面 ABCD,且 PA=PD= AD,设 E、F 分别为 PC、BD 的中点.

(Ⅰ) 求证:EF∥平面 PAD; (Ⅱ) 求证:面 PAB⊥平面 PDC; (Ⅲ) 求二面角 B﹣PD﹣C 的正切值.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)利用线面平行的判定定理:连接 AC,只需证明 EF∥PA,利用中位线定理即可得证; (Ⅱ)利用面面垂直的判定定理:只需证明 PA⊥面 PDC,进而转化为证明 PA⊥PD,PA⊥DC,易 证三角形 PAD 为等腰直角三角形,可得 PA⊥PD;由面 PAD⊥面 ABCD 的性质及正方形 ABCD 的 性质可证 CD⊥面 PAD,得 CD⊥PA; (Ⅲ)设 PD 的中点为 M,连结 EM,MF,则 EM⊥PD,由(Ⅱ)可证 PD⊥平面 EFM,则∠EMF 是二面角 B﹣PD﹣C 的平面角,通过解 Rt△ FEM 可得所求二面角的正切值; 解答: (Ⅰ)证明:ABCD 为平行四边形, 连结 AC∩BD=F,F 为 AC 中点,E 为 PC 中点, ∴在△ CPA 中 EF∥PA,且 PA?平面 PAD,EF?平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD; (Ⅱ)证明:因为面 PAD⊥面 ABCD,平面 PAD∩面 ABCD=AD,ABCD 为正方形, ∴CD⊥AD,CD?平面 ABCD, 所以 CD⊥平面 PAD,∴CD⊥PA, 又 , ,即 PA⊥PD,

所以△ PAD 是等腰直角三角形,且

CD∩PD=D,且 CD、PD?面 ABCD,PA⊥面 PDC, 又 PA?面 PAB, ∴面 PAB⊥面 PDC; (Ⅲ)解:设 PD 的中点为 M,连结 EM,MF,则 EM⊥PD, 由(Ⅱ)知 EF⊥面 PDC,EF⊥PD,PD⊥面 EFM,PD⊥MF,∠EMF 是二面角 B﹣PD﹣C 的平面 角,

Rt△ FEM 中,







故所求二面角的正切值为



点评: 本题考查线面平行、面面垂直的判定及二面角的求解,考查学生的推理论证能力及逻辑思维能力, 属中档题. 18. (13 分) (2013?天津模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an﹣2(n∈N ) ,数列{bn}满足 b1=1, * 且点 P(bn,bn+1) (n∈N )在直线 y=x+2 上. (Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ)求数列{an?bn}的前 n 项和 Dn; (Ⅲ)设 cn=an?sin
2 *

,求数列{cn}的前 2n 项和 T2n.

考点: 数列与三角函数的综合;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)利用数列递推式,再写一式,两式相减,可求求数列{an}的通项公式;利用点 在直线 y=x+2 上,可得{bn}是等差数列,公差为 2,首项 b1=1,从 而可求{bn}的通项公式; (Ⅱ)利用错位相减法,可求数列{an?bn}的前 n 项和 Dn; (Ⅲ)利用分组求和法,可求数列{cn}的前 2n 项和 T2n. 解答: 解: (Ⅰ)当 n=1,a1=2…(1 分) 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1…(2 分) ∴an=2an﹣1(n≥2) ,∴{an}是等比数列,公比为 2,首项 a1=2 ∴ 又点 …(3 分) 在直线 y=x+2 上,∴bn+1=bn+2,

∴{bn}是等差数列,公差为 2,首项 b1=1,∴bn=2n﹣1…(5 分) (Ⅱ)∵ ∴ ① ②

①﹣②得

…(7 分)

= …(9 分)

…(8 分)

(Ⅲ)

…(11 分)

T2n=(a1+a3+…+a2n﹣1)﹣(b2+b4+…b2n) = …(13 分)

点评: 本题考查数列的通项与求和,考查等差数列与等比数列的判定,考查错位相减法的运用,属于中档 题.

19. (14 分) (2013?天津模拟)设椭圆 C: 点为 A,在 x 轴负半轴上有一点 B,满足 (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; ,且 AB⊥AF2.

的左、右焦点分别为 F1、F2,上顶

(Ⅱ)若过 A、B、F2 三点的圆恰好与直线 相切,求椭圆 C 的方程; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点,若点 P(m,0) 使得以 PM,PN 为邻边的平行四边形是菱形,求的取值范围.

考点: 圆与圆锥曲线的综合;直线与圆的位置关系;椭圆的简单性质. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ) 由题意知 F1 (﹣c, , 2 0) F (c, , (0, , 0) A b) 由 知 F1 为 BF2 的中点, AB⊥AF2, 由 知 Rt△ ABF2 中,BF2 =AB +AF2 (Ⅱ)由 ,知 ,
2 2 2

,由此能求出椭圆的离心率. , ,Rt△ ABF2 的外接圆圆心为(﹣ ,

0) ,半径 r=a,所以

,由此能求出椭圆方程.

(Ⅲ)由 F2(1,0) ,l:y=k(x﹣1) ,设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,由
2 2 2

,得(3+4k )

2

x ﹣8k x+4k ﹣12=0,由此能求出 m 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)由题意知 F1(﹣c,0) 2(c,0) ,F ,A(0,b) ∵ AB⊥AF2 ∴Rt△ ABF2 中,BF2 =AB +AF2 又 a =b +c ∴a=2c
2 2 2 2 2 2

知 F1 为 BF2 的中点,



故椭圆的离心率 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 于是 ,

…(3 分) 得 , ,

Rt△ ABF2 的外接圆圆心为(﹣ ,0) ,半径 r=a,

所以 ∴c=1, ,

,解得 a=2,

所求椭圆方程为

…(6 分)

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 F2(1,0) ,l:y=k(x﹣1) , 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 由 ,代入得(3+4k )x ﹣8k x+4k ﹣12=0
2 2 2 2





y1+y2=k(x1+x2﹣2)…(8 分)

由于菱形对角线垂直, 则 故 x1+x2﹣2m+k(y1+y2)=0 2 即 x1+x2﹣2m+k (x1+x2﹣2)=0,

…(10 分) 由已知条件知 k≠0, ∴



故 m 的取值范围是

.…(12 分)

点评: 本题主要考查椭圆标准方程, 简单几何性质, 直线与椭圆的位置关系, 圆的简单性质等基础知识. 考 查运算求解能力,推理论证能力;考查函数与方程思想,化归与转化思想.
3 2

20. (14 分) (2013?天津模拟)设函数 f(x)= (Ⅰ)讨论函数 的单调性;

,g(x)=x ﹣x ﹣3.

(Ⅱ)如果存在 x1,x2∈[0,2],使得 g(x1)﹣g(x2)≥M 成立,求满足上述条件的最大整数 M; (Ⅲ)如果对任意的 s,t ,都有 f(s)≥g(t)成立,求实数 a 的取值范围.

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求导函数,分类讨论,利用导数的正负,即可确定函数的单调区间; (Ⅱ)如果存在 x1,x2∈[0,2],使得 g(x1)﹣g(x2)≥M 成立,等价于:[g(x1)﹣g(x2)]max≥M, 求出函数的最值,即可求满足条件的最大整数 M; (Ⅲ)当 x 即可得到结论. 解答: 解: (Ⅰ) , ,…(1 分) 时, 恒成立,等价于 a≥x﹣x lnx 恒成立,求右边的最值,
2

①a≤0,h'(x)≥0,函数 h(x)在(0,+∞)上单调递增…(2 分) ②a>0, ,函数 h(x)的单调递增区间为 , ,函数 h(x)的单调递减区间为 …(4 分) (Ⅱ)存在 x1,x2∈[0,2],使得 g(x1)﹣g(x2)≥M 成立,等价于:[g(x1)﹣g(x2)]max≥M,… (5 分) 考察 g(x)=x ﹣x ﹣3, x 0 ﹣ 递减 0 极(最)小值 + 递增
3 2

,…(6 分) 2

g′(x) 0 g(x) ﹣3 …(8 分)

1

由上表可知: ∴[g(x1)﹣g(x2)]max=g(x)max﹣g(x)min= 所以满足条件的最大整数 M=4;…(10 分) (Ⅲ)当 x
2

, ,…(9 分)

时,

恒成立,等价于 a≥x﹣x lnx 恒成立,…(11 分)

2

记 h(x)=x﹣x lnx,所以 a≥hmax(x) 又 h′(x)=1﹣2xlnx﹣x,则 h′(1)=0. 记 h'(x)=(1﹣x)﹣2lnx, 即函数 h(x)=x﹣x lnx 在区间
2

,1﹣x>0,xlnx<0,h'(x)>0 上递增,

记 h'(x)=(1﹣x)﹣2lnx,x∈(1,2],1﹣x<0,xlnx>0,h'(x)<0 即函数 h(x)=x﹣x lnx 在区间(1,2]上递减, ∴x=1,h(x)取到极大值也是最大值 h(1)=1…(13 分) ∴a≥1…(14 分) 点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
2


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