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2.4等比数列的性质


课前小测试

D

128 13 16

等比数列(二)

当你迷茫的时候,手边的事情就是好事情, 不要犹豫,不要觉得可能自己会错过什么, 你犹豫的时候,手边的事情就没做好,最后 这辈子啥也没得到。

一张纸对折,最多能折几次?无论什么材料的纸,无论纸有多大,也无论纸有 多薄,你最多能折几次呢?当然不能裁纸或者借助外力,也不是折了再拆拆了再折 的反复动作。 赶快动手吧,随便找一张纸试试看。 试试看,你会发现一个奇妙的现象。哲学上是无穷次,而你实际能折多少次 呢? 从物理上分析应该是有限次,要看你纸的大小,材料。 假设纸张厚度为 0.1mm,对折9次后,纸张的厚度51.2mm,10次是102.4mm,就折不动了 。不 可能无限的折叠,因为假设纸张厚度为0.1mm,对折9次后,纸张的厚51.2mm,10 次是102.4mm,11次是204.8mm,已经不可能从真正意义上说折动了。 如果是非 常大,非常薄的纸,也不超过9次,折九次时后纸的总厚度是单张的512倍。如果理 论上能折50次,总厚度就是原厚度的2的50次方....吓人哪,若原厚度是0.045mm, 那么总厚度约是4500公里,信吗?不信,你自己算算。 折一次等于原纸厚度的两倍。一张0.01毫米厚的纸,对折30次后比珠穆朗玛峰 还高(10737.41824米)。但你只能折七八次,其中的原因你想想就知道了。假设厚 度是0.1毫米,那么42次就相当于地球到月亮的距离了,380000千米 。 如果那“一张纸”是指通常见的A4左右大小的普通书写纸,而“折”是指类似 通常手工操作的对折,折九次时后纸的总厚度是单张的512倍,也就是这时的厚度远 KEY:用函数的眼光来看等比数列的通项公式,原来如此!想想 大于宽度(宽度已经变成原来的512分之1),那由于这“纸”的材料力学的弯曲和 以前我们学过几种函数的增长模型中,哪一种增长速度最快呢? 弹性等的特性,在不破坏(撕裂)的条件下是无法做到的。 所以,看完这个你算长知识了,那就是一张纸最多能折9次!

等比数列的力量

公比q对数列的影响
q>1 0<q<1 q=1
递增 递减 常数列

q<0
摆动数列

a1>0

a1<0

递减

递增

常数列

摆动数列

有关的几个性质
等比数列{an}中: 1、若m+n=r+s,则aman=aras,特别当m+n=2r 时,aman=ar2 。 2、从数列中等间距取出的子项构成的新数列仍 然成等比数列。(或者说:将等比数列的项按 下标成等差的方式取出构成的子数列仍然成等 比数列。 3、an=amqn-m

题型一、下标性质运用

KEY:运用下标和性质/通法:化到a1和q。

题型二、等比中项中的细节
例:求等比数列1,a,b,c,9中,a、b、c的值。 解:由于b是1、9的等比中项,故b2=1X9, 得 b=3或-3。…… 错啦!原因:G2=ab表明G是a,b的等比中项, 还有一个暗示就是ab>0,即ab同号!表现在等 比数列中的一个特征就是隔项必同号。故本例 中b不可能为-3,且a、c也要同号。因而只有两 组可能的解。 正解:b = 3, a = 3,c = 3 3或b = 3, a = - 3,c = - 3 3

题型三、等比数列的对称设法
解: ì a ? ? + a + aq = 26 ? ? q ……( ) 1 a ? 设三个数为 , a, aq,则 í ?骣 2 q ? ? a ÷ a 2 + (aq )2 = 1092 ……(2) ?? ? ? ?q ÷ ? 桫÷ ? ? 1 2 1) - (2)得a = - 8,q=-4或( 4 \ 三个数为2,-8, 或32,-8, 32 2

KEY:本题求解过程中要注意整体思想的运用

总结(二)


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