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2.3分式不等式的解法1


其它不等式的解法(一)
——分 式 不等式的解法 Solving of Fractional Inequality

分式不等式的定义
? 型如
f ( x) f ( x) ? 0或者 ?0 g ( x) g ( x)

(其中f(x)、g(x)为整式且g(x) ≠0)的不等式称 为分式不等式(fractio

nal nequality)

x ?1 例1、解不等式: ?2 3x ? 2

解:方法一:由
整理得: 5 x ? 5 ? 0
3x ? 2

x ?1 x ?1 ?2?0 ? 2 得: 3x ? 2 3x ? 2
?5x ? 5 ? 0 ?5x ? 5 ? 0 (1)? 或 (2)? ?3x ? 2 ? 0 ?3x ? 2 ? 0
2 ) , 1 3

不等式组(1)的解集为( 的解集为 ? .

,不等式组(2)

所以原不等式的解集为不等式组(1)的解集 2 1 和不等式组(2)的解集的并集( 3 , )

例1、解不等式:
解:方法二: (5x-5)(3x-2)<0

x ?1 ?2 3x ? 2 x ?1 ?2 3x ? 2
5x ? 5 ?0 3x ? 2

2 ? x ?1 3

方法小结
? 本例提供的两种方法都 是先移项,将不等式 的一边变为零,另外一边经过通分后转化为 形如 f ( x) ? 0(或 ? 0) 的形式。
g ( x)

? 方法一讨论f(x)和g(x)的正负,通过解整式不 等式组 ? f(x) ? 0(或 ? 0) 求得解集。
? ?g(x) ? 0(或 ? 0)

? 方法二 通过整式不等式f(x)g(x)<0(或>0)求得 解集。

例2:解不等式

x ?1 ?1 2x ?1
x ?1 ?x?2 x?2 ?1 ? 0 ? ?0? ?0 2x ?1 2x ?1 2x ?1
? ? ?? x ?2 ? 0 ?? x ?2 ? 0 ?? 或? 1 >0 ?0 2x ?1? 0 ?2x ?1<0 ?

x ?1 解: ?1 2x ?1

?

?( x ? 2)(2 x ? 1) ? 0 ?? ?2 x ? 1 ? 0

所以原不等式的解集为:

1 { x | x ? ? 或x ? ?2} 2

练习:解不等式

x ?1 ?1 2x ?1

1 解:当2 x ? 1 ? 0,即x ? ? 时 2 原不等式可化为 ? 1 ? 2 x ? 1 x 1 则x ? ?2 ? x ? ? 2 此时, 1 当2 x ? 1 ? 0,即x ? ? 时 x>-1/2与 X≥-2与X>-1/2 2 x≤-2是什 是什么关系呢? 么关系呢? 原不等式可化为 ? 1 ? 2 x ? 1 x 则x ? ?2

? x ? ?2

所以原不等式的解集为 1 { x | x ? ? 或x ? ?2} 2

Ⅰ. 解分式不等式重要的是等价转化,尤其是含“≥”或“≤”转换。

? f ( x ) ? g ( x ) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 f ( x) ?0?? ?? 或? g ( x) ? g ( x) ? 0 ? g ( x ) ? 0 ? g ( x) ? 0
? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0 ? ? 或? g ( x) ? g ( x) ? 0 ? g ( x) ? 0

求解分式不等式时每一步的变换必须都是等价变

换!

练一练:
1.

7x ? 3 ?5 2 x ?1

2.

x?3 ?0 3 ? 2x

例3:解不等式 解:
2
2

x ? 3x ? 2 ?0 2 x ? 2x ? 3
2
(1) 2 ( 2)

? x ? 3x ? 2 ? 0 ? x ? 3x ? 2 ? 0 x ? 3x ? 2 ? ? 或? 2 ?0 ? 2 ? 2 ?x ? 2x ? 3 ? 0 ?x ? 2 x ? 3 ? 0 x ? 2x ? 3 ? ?

{x | ?1 ? x ? 1或2 ? x ? 3}
由此可知,原不等式的解集是

不等式组(1)的解集是 不等式组(2)的解集是

?

原不等式的解 以下过程同 集就是上面的 学来完成 两个不等式组 的解集的并集

{x | ?1 ? x ? 1或2 ? x ? 3}

x?a ?0 例4:解关于x的不等式: 2 x?a
解:原不等式可变为:(x-a)(x-a2)<0

(a ? R)

(1)当a2>a,即:a>1或a<0时,解集为:{x|a<x<a2} (2)当a2=a即:a=0或a=1时,解集为:x∈φ (3)当a2<a即:0<a<1时,解集为:{x|a2<x<a} 综上:(1) 当a>1或a<0时, 原不等式解集为:{x|a<x<a2}} (2)当a=0或a=1时,原不等式解集为:x∈φ (3)当0<a<1时, 原不等式解集为:{x|a2<x<a}

练一练:

a?x ?0 1? x

课堂小结
1、主要的数学思想:等价转化、分类讨论 2、分式不等式的主要类型及其等价转化:
? f ( x ) ? g ( x ) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 f ( x) ?0?? ?? 或? g ( x) ? g ( x) ? 0 ? g ( x ) ? 0 ? g ( x) ? 0
? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0 ? ? 或? g ( x) ? g ( x) ? 0 ? g ( x) ? 0

3、解含有字母的分式不等式必须分清: 必须分清对字母分类讨论的依据;最后要下结论。

作 业:
1、解关于x的不等式: 3x ? 5 3x x?3 ⑴ ?2 ?1 ⑶ 2 ?3 ⑵ x ? 2x ? 3 2? x x2 ?1 x 1 ?a ⑷ 0 ? x ? ?1 ⑸ x?2 x

( x ? a)(x ? b) 2、已知关于x的不等式 ?0 x?c 的解为? 1 ? x ? 2或x ? 3, 求不等式 x?c ? 0的解集。 ( x ? a)(x ? b)


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