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二面角(4)


坐标法解立体几何问题-(4)求二面角的大小
复习:利用空间向量求空间角 1、

? 异面直线所成的角(范围: ? ? (0, ] ) 2
若异面直线 a,b 的方向向量分别为 a,b,异面直线所成的角为θ, |a·b| 则 cos θ=|cos〈a,b〉|= . |a||b|

异面直线 a、b 所成的角的余弦值为 cos ? ?| cos ? m, n ?|?

| m?n | | m || n |

2、

? 直线与平面所成的角(范围: ? ? [0, ] ) 2
求出平面的法向量 n,直线的方向向量 a,设线面所成的角为θ,

|n·a| 则 sinθ=|cos〈n,a〉|= . |n||a| 新课: 3、 二面角(范围: ? ? [0, ? ] ) 求出二面角α-l-β的两个半平面α与β的法向量 n1,n2, |n1·n2| 若二面角α-l-β所成的角θ为锐角,则 cos θ=|cos〈n1,n2〉|= ; |n1||n2| |n1·n2| 若二面角α-l-β所成的角θ为钝角,则 cos θ=-|cos〈n1,n2〉|=- . |n1||n2|

?? n , n ? 1 2
n2
n1

? ?? n1 , n2 ?
?
l

?

? n1, n2 ?

n1
n2
?

? ? ? ? ? n1, n2 ?

?

?
l

结论: cos? ? cos ? n1 , n2 ?



cos? ? ? cos ? n1 , n2 ?

归纳:法向量的方向:一进一出,二面角等于法向量夹角;

同进同出,二面角等于法向量夹角的补角.

例题: 1、如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,侧棱 SD ⊥ 底面 ABCD,E,F 分别为 AB,SC 的中点. (1)证明 EF ∥ 平面 SAD ; (2)设 SD ? 2DC ,求二面角 A ? EF ? D 的余弦值大小. arccos

3 3

z S

F

M D A x E B C y

2、如图,在直三棱柱 A1B1C1?ABC 中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4, 点 D 是 BC 的中点. (1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值;
3 10 10 5 3

(2)求平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值.

习题: 1、如图, ABCD 是一直角梯形, ?ABC ? 90? , SA ? 面 ABCD , SA ? AB ? BC ? 1 ,

AD ?

1 ,求面 SCD 与面 SBA 所成二面角的余弦值. 2
z

S
B A

C

D

y

x

2、正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,点 E 、 F 分别为 CD 、 DD1 的中点.求二面角

F ? AE ? D 的余弦值。

3、 如图, 四棱锥 S-ABCD 中, SD ? 底面 ABCD, AB//DC, AD ? DC, AB=AD=1, DC=SD=2,E 为棱 SB 上的一点,平面 EDC ? 平面 SBC . (Ⅰ)证明:SE=2EB; (Ⅱ)求二面角 A-DE-C 的大小 .

4、 .如图,在三棱柱 ABC?A1B1C1 中,AA1C1C 是边长为 4 的正方形, 平面 ABC⊥平面 AA1C1C,AB=3,BC=5. (1)求证:AA1⊥平面 ABC; (2)求二面角 A1?BC1?B1 的余弦值;
16 25

(3)证明:在线段 BC1 上存在点 D,使得 AD⊥A1B,并求

BD BC1

的值.

9

25

5、.如图所示,在直三棱柱 ABC?A1B1C1 中,∠ACB=90°,AA1=BC=2AC=2. (1)若 D 为 AA1 中点,求证:平面 B1CD⊥平面 B1C1D; (2)在 AA1 上是否存在一点 D,使得二面角 B1?CD?C1 的大小为 60°?AD=
2= 2 2

AA1

6、如图 1,A,D 分别是矩形 A1BCD1 上的点,AB=2AA1=2AD=2,DC=2DD1,把四 边形 A1ADD1 沿 AD 折叠,使其与平面 ABCD 垂直,如图 2 所示,连接 A1B,D1C 得几何 体 ABA1?DCD1.

(1)当点 E 在棱 AB 上移动时,证明:D1E⊥A1D; π (2)在棱 AB 上是否存在点 E,使二面角 D1?EC?D 的平面角为 ?若存在,求出 AE 的长;若 6 不存在,请说明理由.AE=2-
3 3

7 、如图 , 在六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 , 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形 , 四边形

A1 B1C1 D1 是边长为 1 的正方形, DD1 ? 平面 A1 B1C1 D1 , DD1 ? 平面 ABCD, DD1 ? 2.
求二面角 A ? BB1 ? C 的余弦值大小. z D A1
1

C1 B1 外 n2

?? ?

?? n1
外 A x D



C y B

8、如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都是 2,又 AA1⊥平面 ABC,D,E 分别是 AC,CC1 的中点. (1)求证:AE⊥平 面 A1BD. (2)求平面 DBA1 与平面 ABA1 的夹角的余弦值.

(3)求点 B1 到平面 A1BD 的距离

4、在四棱锥 P—ABCD 中,底面是边长为 2 的正方形,平面 PAB⊥平面 ABCD, PA= PB= 5, E 为 PB 的中点. (1)求异面直线 PD 与 CE 所成角的余弦值; (2)求 PD 与平面 PCB 所成角的正弦值; (3)求平面 PAB 与平面 PCD 所成锐二面角的大小.


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