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17-18版-第3章-第4节-函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用


[考纲传真]

1.了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出函数的图象, 了解参数 A,ω,φ 对函数图象变化的影响. 2.会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描 述周期变化现象的重要函数模型.

1.y=Asin (ωx+φ)的有关概念

2.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示

3.由 y= sin x 的图象变换得到 y=A sin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0)的图象 先平移后伸缩 ? 先伸缩后平移 ?

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的单位 长度一致.( ) ) )

? π π? ? (2)将 y=3sin 2x 的图象左移 个单位后所得图象的解析式是 y=3sin?2x+ ? ? .( 4 4 ? ?

(3)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期.(

(4)函数 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 T,那么函数图象的两个相邻对称中心之 T 间的距离为 .( 2
[答案] (1)×

)
(2)× (3)× (4)√

? ? π ? ? 2.(2016· 四川高考)为了得到函数 y=sin?x+ ?的图象,只需把函数 y=sin x 的图 3? ?

象上所有的点(

)

π π A.向左平行移动 个单位长度 B.向右平行移动 个单位长度 3 3 π π C.向上平行移动 个单位长度 D.向下平行移动 个单位长度 3 3
A π [ 把函数 y = sin x 的图象上所有的点向左平行移动 个单位长度就得到函数 y= 3

? π? sin?x+3?的图象.] ? ?

3.若函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图 341,则 ω=(
A.5 C.3 B.4 D.2

)

B

T π π π 2π [由图象可知, =x0+ -x0= ,所以 T= = ,所以 ω=4.] 2 4 4 2 ω

π 4. 将函数 y=sin(2x+φ)的图象沿 x 轴向左平移 个单位后, 得到一个偶函数的图 8 象,则 φ 的一个可能取值为( 3π A. 4 C.0 ) π B. 4 π D.- 4

B

? π φ π? ? ? [把函数 y=sin(2x+φ)沿 x 轴向左平移 个单位后得到函数 y=sin 2?x+ + ?= 8 2 8? ?

? π? ? sin?2x+φ+ ? ?为偶函数,则 4 ? ?

π φ 的一个可能取值是 .] 4

5 . ( 教材改编 ) 电流 I( 单位: A) 随时间 t( 单位: s) 变化的函数关系式是 I =
? ? π ? ? 5sin?100πt+ ?,t∈[0,+∞),则电流 I 变化的初相、周期分别是________. 3? ?

π 1 π 2π 1 , [由初相和周期的定义,得电流 I 变化的初相是 ,周期 T= = .] 3 50 3 100π 50

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及变换

已知函数

?1 π? ? ? f(x)=3sin? x- ?,x∈R. 4? ?2

(1)画出函数 f(x)在一个周期的闭区间上的简图;

(2)将函数 y=sin x 的图象作怎样的变换可得到 f(x)的图象?

[解]

(1)列表取值: x 1 π x- 2 4 f(x) π 2 0 0 3 π 2 π 2 3 5 π 2 π 0 7 π 2 3 2π -3 9 π 2 2π 0

描出五个关键点并用光滑曲线连接, 得到一个周期的简图.

π (2)先把 y=sin x 的图象向右平移 个单位,然后把 4 所有点的横坐标扩大为原来的 2 倍,再把所有点的 纵坐标扩大为原来的 3 倍,得到 f(x)的图象.

[规律方法]

1.变换法作图象的关键是看 x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移,对于后者 可利用
? φ? ? ωx+φ=ω?x+ ? ? 确定平移单位. ω ? ?

π 3 2.用“五点法”作图,关键是通过变量代换,设 z=ωx+φ,由 z 取 0, ,π, 2 2

π,2π 来求出相应的 x,通过列表,描点得出图象.如果在限定的区间内作图象, 还应注意端点的确定.

[变式训练 1] (1)(2016· 全国卷Ⅰ)将函数 应的函数为(

? π? 1 ? ? y=2sin?2x+ ?的图象向右平移 个周期后, 所得图象对 6? 4 ? ? ? π ? B.y=2sin? 2 x + ? 3? ? ?

? ? π ? )A.y=2sin? 2 x + ? 4? ? ?

? π? ? ? C.y=2sin?2x- ? 4? ?

? π? ? ? D.y=2sin?2x- ? 3? ?

(2)(2016· 全国卷Ⅲ)函数 y=sin x- 3cos x 的图象可由函数 y=sin x+ 3cos x 的 图象至少向右平移________个单位长度得到.

(1)D

2π (2) 3
? π? ? ? y=2sin?2x+ ?的周期为 6? ?

[(1)函数

π,将函数

? π? 1 ? ? y=2sin?2x+ ?的图象向右平移 个周 6? 4 ?

? ? ? ? π? π π? ? ? ? π? ? 期即 个单位长度,所得图象对应的函数为 y=2sin?2?x-4 ?+6 ?=2sin?2x- ? ? ,故 4 3 ? ? ? ? ? ?

选 D. (2)因为 y=sin x+ 3cos
? π? ? x=2sin?x+ ? y=sin ?, 3 ? ?

x- 3cos

? π? ? x=2sin?x- ? ?,所以把 3 ? ?

y

? π? 2π ? ? =2sin?x+ ?的图象至少向右平移 个单位长度可得 3? 3 ?

? π? ? y=2sin?x- ? ?的图象.] 3 ? ?

求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式

(1)(2016· 全国卷Ⅱ)函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象

如图 342 所示,则(
? π? ? ? A.y=2sin?2x- ? 6? ? ? ? π ? C.y=2sin? x + ? 6? ? ?

)
? π? ? ? B.y=2sin?2x- ? 3? ? ? ? π ? D.y=2sin? x + ? 3? ? ?

(2)已知函数 y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的最大值为 4,最小值为 0,最小正

π π 周期为 ,直线 x= 是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式为 2 3 )
? π? ? A.y=4sin?4x+ ? 6? ? ? ? π? ? C.y=2sin?4x+ ? +2 ? 3? ? ? π? ? B.y=2sin?2x+ ? +2 ? 3? ? ? π? ? D.y=2sin?4x+ ? +2 ? 6? ?

(

(1)A

? T π ? 2π ? π? π (2)D [(1)由图象知 = -?- ?= , 故 T=π, 因此 ω= =2.又图象的一 2 3 ? 6? 2 π

?π ? ? 个最高点坐标为? ,2? 所以 ?, 3 ? ?

π π π A=2, 且 2× +φ=2kπ+ (k∈Z), 故 φ=2kπ- (k 3 2 6 A.

∈Z),结合选项可知

? π? ? y=2sin?2x- ? ?.故选 6 ? ?

(2)由函数 y=Asin(ωx+φ)+b 的最大值为 4,最小值为 0,可知 b=2,A=2.由函

π 2π π π 数的最小正周期为 ,可知 = ,得 ω=4.由直线 x= 是其图象的一条对称轴, 2 3 ω 2 π π 5π 可知 4× + φ= kπ+ ,k∈ Z,从而 φ=kπ- ,k ∈Z,故满足题意的是 y = 3 2 6
? π? ? 2sin?4x+ ? +2.] 6? ? ?

[规律方法]

确定 y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的步骤和方法

M-m M+m (1)求 A,b:确定函数的最大值 M 和最小值 m,则 A= ,b= ; 2 2 2π (2)求 ω:确定函数的周期 T,则可得 ω= ; T

(3)求 φ:常用的方法有:①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时 A,ω,b 已知) 或代入图象与直线 y= b 的交点求解 ( 此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间 上).②五点法:确定 φ 值时,往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口.“第一 点”(即图象上升时与 x 轴的交点)时 ωx+φ=0;“第二点”(即图象的“峰点”)时 ωx π +φ= ;“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)时 ωx+φ=π;“第四点”(即图象的 2 3π “谷点”)时 ωx+φ= 2 ;“第五点”时 ωx+φ=2π.

[变式训练 2]

(2017· 石家庄一模)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图
?11π? ? f? ? 24 ?的值为( ? ?

象如图 343 所示,则

)

6 A.- 2 2 C.- 2

3 B.- 2 D.-1

D [由图象可得 A=
?7π ? ? ? sin? +φ?=- ?6 ? ?11π? ? ? f? ?= ? 24 ?

?7π π? ?7π? 2π ? ? ? ? 2,最小正周期 T=4? - ?=π,则 ω= =2.又 f? ?= T ?12 3? ?12?

2

? 5π π π?? ? 2, 解得 φ=- +2kπ(k∈Z), 即 k=1, φ= , 则 f(x)= 2sin?2x+ ?, 3 3 3? ?

?11π π? ? ? 2sin? + ?= ? 12 3?

5π 2sin =-1,故选 D.] 4

函数 y=Asin(ωx+φ)图象与性质的应用

(2016· 天津高考)已知函数 f(x)=4tan (1)求 f(x)的定义域与最小正周期; (2)讨论
? π π? ? f(x)在区间?- , ? 上的单调性. ? 4 4? ?

?π ? ? π? ? ? ? xsin? -x?· cos?x- ? - ? 3? ?2 ? ?

3.

[解]

? ? ? π ? (1)f(x)的定义域为? x x ≠ + k π , k ∈ Z ? ? 2 ? ? ? ? π ? ? xcos?x- ?- 3? ?

? ? ?. ? ?

f(x)=4tan xcos

? π? ? ? xcos?x- ?- 3? ?

3

=4sin

3=4sin

? ?1 x? cos x+ ?2

? 3 ? 2 sin x?- 3 =2sin xcos x+2 3sin x- 3= 2 ?

sin 2x+ 3(1-cos 2x)- 3=sin 2x- 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =π. 2

? π? 3cos 2x=2sin?2x- ?. 3? ?

? π ? π π ? ? (2)令 z=2x- ,则函数 y=2sin z 的单调递增区间是?- +2kπ, +2kπ?,k∈Z. 3 2 ? 2 ?

? π π? π π π π 5π ? ? 由- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z. 设 A=?- , ?, 2 3 2 12 12 ? 4 4? ? ? ? ? π 5π B=? x - + k π ≤ x ≤ + k π , ? ? 12 ? ? 12 ? ? k∈Z? ,易知 ? ? ? π π? ? ? A∩B=?- , ?. ? 12 4 ?

所以当 递减

? π π? ? π π? ? π π? ? ? ? ? ? ? x∈?- , ?时,f(x)在区间?- , ?上单调递增,在区间?- ,- ?上单调 12? ? 4 4? ? 12 4 ? ? 4

[规律方法]

讨论函数的单调性,研究函数的周期性、奇偶性与对称性, 都必须首先利用辅助角公式,将函数化成一个角的一种三 角函数.

3 2 [变式训练 3] 设函数 f(x)= - 3sin ωx-sin ωxcos ωx(ω>0),且 y=f(x)图象 2 π 的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 . (1)求 ω 的值;(2)求 f(x)在区 4
? 3π? ? ? 间?π, ?上的最大值和最小值. 2? ?

[解]

1-cos 2ωx 1 3 3 2 (1)f(x)= - 3sin ωx-sin ωxcos ωx= - 3· - sin 2ωx 2 2 2 2
? 3 1 π? ? = cos 2ωx- sin 2ωx=-sin?2ωx- ? ?. 2 2 3 ? ?

π 2π π 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 ,又 ω>0,所以 =4× , 4 4 2ω 因此 ω=1.
? π? (2)由(1)知 f(x)=-sin?2x- ?. 3? ?

3π 5π π 8π 当 π≤x≤ 时, ≤ 2x- ≤ , 2 3 3 3

? 3 π? 3 所以- ≤ sin?2x- ?≤ 1,则-1≤f(x)≤ .10 分 2 3? 2 ?



? 3π? f(x)在区间?π, ?上的最大值和最小值分别为 2? ?

3 ,-1. 2

三角函数模型的简单应用

某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近似满足函数关 π π 系:f(t)=10- 3cos t-sin t,t∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差; 12 12 (2)若要求实验室温度不高于 11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温?

?π π? 3 π 1 π ? ? ? ? [解] (1)因为 = 10 - 2sin t + , 又 0≤t<24, cos t+ sin t ? ?12 ? 3? 2 12 2 12 ? ? ?π ?π π π π 7π π? π? ? ? ? ? 所以 ≤ t+ < ,-1≤sin? t+ ?≤1. 当 t=2 时,sin? t+ ?=1; 3 12 3 3 12 3 3? ? ? ?12 ?π π? ? 当 t=14 时,sin? t+ ? =-1.于是 f(t)在[0,24)上取得最大值 12,取得最小值 8. ? 3? ?12

? f(t)=10-2? ? ?

故实验室这一天最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差为 4 ℃.
?π π? f(t)=10-2sin? t+ ?,故有 3? ?12

(2)依题意,当 f(t)>11 时实验室需要降温.由(1)得
?π π? 1 ? ? sin t+ <- . 3? 2 ?12

?π π? 10-2sin? t+ ?>11,即 3? ?12

7π π π 11π 又 0≤t<24,因此 < t+ < , 6 12 3 6

即 10<t<18.故在 10 时至 18 时实验室需要降温.

[规律方法] 1.三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面:一是用已知的模型去分析解决

实际问题,二是把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型解决问题, 其关键是合理建模.

2.建模的方法是认真审题,把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语 言”,这个过程就是数学建模的过程.

[变式训练 4]

(2015· 陕西高考)如图 344, 某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲
?π ? ? y=3sin? x+φ? ?+ k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最 6 ? ?

线近似满足函数 大值为(
A.5 C.8

)
B.6 D.10

C

[根据图象得函数的最小值为 2,有-3+k=2,k=5,最大值为 3+k=8.]

[思想与方法] 1.由图象确定函数解析式

由图象确定 y=Asin(ωx+φ)时,φ 的确定是关键,尽量选择图象的最值点代入 若选零点代入,应根据图象升降找“五点法”作图中第一个零点. 2.对称问题

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与 x 轴的每一个交点均为其对称中心,经过该图象上

坐标为(x, ± A)的点与 x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴,这样的最近两点间 横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离).

[易错与防范] 1.要弄清楚是平移哪个函数的图象,得到哪个函数的图象. 2.要注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应先利用诱导公式化为 同名函数.

3.由 y= sin x 的图象变换到 y=A sin(ωx+φ)的图象,先相位变换再周期变换(伸缩变换),

|φ | 平移的量是 |φ |个单位;而先周期变换 ( 伸缩变换 ) 再相位变换,平移的量是 (ω > 0) 个单 ω 位.原因是相位变换和周期变换都是针对 x 而言的. 4.函数 y=A sin(ωx+φ)在 x∈[m,n]上的最值可先求 t=ωx+φ 的范围,再结合图象得出 y=Asin t 的值域.


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