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高三一轮复习第九讲:概率统计理科


2015 届高三学生一轮复习资料
概率统计(共三课时)
【知识点梳理】 (第一课时)

第一章

计数原理

一、两个计数原理
1、分类加法计数原理:做一件事情,完成它有 N 类办法,在第一类办法中有 M1种不同的方法,在第二类办法中有 M2 种不同的方法,??,在第 N 类办法中有 MN

种不同的方法,那么完成这件事情共有 M1+M2+??+MN 种不同的方法。 2、分步乘法计数原理:做一件事,完成它需要分成 N 个步骤,做第一 步有 m1种不同的方法,做第二步有 M2不同的方 法,??,做第 N 步有 MN 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M1M2...MN 种不同的方法。 3、两个计数原理的区别

二、排列与组合
1、排列:一般地,从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。 2、排列数:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列 m 数。用符号 An 表示. 3、排列数公式:Am ? n n ? 1 n ? 2 ? n ? m ? 1
n

?

??

?

?

?

?
*

n! ?n ? m ? !

其中 n, m ? N , 并且m ? n. 4、组合:一般地,从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素合成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。 5、组合数:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合 m 数。用符号 Cn 表示。 n?n ? 1??n ? 2 ?? ?n ? m ? 1? m 6、组合数公式: Cn ? m
m ! n ! ? m!?n ? m ? !
*

Cn

n, m ? N , 并且 m ? n. 其中 注意:判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时 要弄清楚“事件是什么”. m n ?m m m?1 m 7、性质: Cn ? Cn Cn ? Cn ? Cn ?1

三、二项式定理

-1-

a ? b ) ? C a ? C a b ? C a b ? ? ? C a b ? ? ? C b n n n n n 二项式定理: (
n n

n 0 n 1 n ? 1 2 n ? 2 2

r n ? r r

r n ? r r 通项公式 二 项 展 开 式 的 通 项 公 式 : T ? C a b ( r ? 0 , 1 ? ? n ) r ? 1 n

如果在二项式定理中,设 a=1,b=x,则可以得到公式:

2、性质:

奇数项二项式系数和 ? 偶数项二项式系数和: Cn0 ? Cn2 ? Cn4 ?
第二课时:随机抽样
一、三种常用抽样方法: 1.简单随机抽样: (1)抽签法(2)随机数表法 结论: ① 用简单随机抽样,从含有 N 个个体的总体中抽取一个容量为 n 的样本时,每次抽取一个个体时任一个体被抽到 的概率为
1 ? Cn ? Cn3 ? Cn5 ?

? 2n ?1

1 n ;在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为 ; N N

② 基于此,简单随机抽样体现了抽样的客观性与公平性; ③ 简单随机抽样的特点:它是不放回抽样;它是逐个地进行抽取;它是一种等概率抽样。 2.系统抽样:有间隔的抽取 3.分层抽样: 当已知总体由差异明显的几部分组成时,常将总体分成几部分,然后按照各部分所占的比进行抽样,这种抽样叫做 分层抽样,其中所分成的各部分叫做层。 结论: (1)分层抽样是等概率抽样,它也是公平的。用分层抽样从个体数为 N 的总体中抽取一个容量为 n 的样本时,在 整个抽样过程中每个个体被抽到的概率相等,都等于

n ; N

(2)分层抽样是建立在简单随机抽样或系统抽样的基础上的,由于它充分利用了已知信息,因此利用它获取的样 本更具有代表性,在实践的应用更为广泛。 二.用样本的数字特征估计总体的数字特征 1、本均值: x ?

x1 ? x2 ? ? ? xn n

-2-

( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 2、 .样本标准差: s ? s ? n
2

3.用样本估计总体时,如果抽样的方法比较合理,那么样本可以反映总体的信息,但从样本得到的信息会有偏差。在 随机抽样中,这种偏差是不可避免的。 虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差,而只是一 个估计,但这种估计是合理的,特别是当样本量很大时,它们确实反映了总体的信息。 4. (1)如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数,标准差不变 (2)如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数 k,标准差变为原来的 k 倍 (3)一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响,区间 ( x ? 3s, x ? 3s) 的应用; “去掉一个最高分,去掉一个最低分”中的科学道理

三、用样本估计总体
〈一〉频率分布的概念: 频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。一般用频率分布直方图反映样本的频率分布。其一 般步骤为:计算一组数据中最大值与最小值的差,即求极差 1、决定组距与组数 2、将数据分组 3、列频率分布表 4、画频率分布直方图 〈二〉频率分布直方图的特征: 1、从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势。 2、从频率分布直方图得不出原始的数据内容,把数据表示成直方图后,原有的具体数据信息就被抹掉了。 〈三〉频率分布折线图、总体密度曲线

四、变量间的相关关系
1、相关关系的概念: 自变量取值一定时,因变量的取值带有一定的随机性,则两个变量之间的关系叫做相关关系. 2、ATTENTION 与函数关系不同.因为函数关系是一种非常确定的关系,而相关关系是一种非确定性关系,即相关关系是非随机变 量与随机变量之间的关系.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系.因此, 不能把相关关系等同于函数关系, (二)函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系.例如,有人发现,对于在校 儿童,鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系.然而,学会新词并不能使脚变大,而是涉及到第三个因素——年龄.当 儿童长大一些,他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大. (三)在现实生活中存在着大量的相关关系,如何判断和描述相关关系,统计学发挥着非常重要的作用.变量之间 的相关关系带有不确定性,这需要通过收集大量的数据,对数据进行统计分析,发现规律,才能作出科学的判断.

3、 最小二乘法:回归直线的定义,使离差的平方和 Q= ? ( yi ? a ? bxi ) 2 最小的那条直线,这种使“离差的平方和为最小”
i ?1

n

的方法叫做最小二乘法,要掌握用最小二乘法求回归直线系数 a、b 的公式:b= i ?1n ,a= y -b x . 2 2 ? xi ? n x
i ?1

? xi yi ? n x ? y

n

﹡⊙求

回归直线方程的步骤: 2 2 (1)将已知的数据列表,列出 x,y,并求出 x ,y ,xy.
i ?1 (2)利用公式 b= n

? xi yi ? n x ? y
i ?1

n

? xi ? n x 2

2

,a= y -b x ,计算回归系数 b,a.

(3)写出回归直线方程 y =bx+a.

?

五.概 率
3.1.1 —3.1.2 随机事件的概率及概率的意义
-3-

1、基本概念: (1)必然事件:在条件 S 下,一定会发生的事件,叫相对于条件 S 的必然事件; (2)不可能事件:在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫相对于条件 S 的不可能事件; (3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件; (4)随机事件:在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件 S 的随机事件; (5)频数与频率:在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA

nA 为事件 A 出现的频数;称事件 A 出现的比例 fn(A)= n 为事件 A 出现的概率:对于给定的随机事件 A,
如果随着试验次数的增加,事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作 P(A) ,称为事 件 A 的概率。

nA (6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数 nA 与试验总次数 n 的比值 n ,它具有一定
的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小。我们把这个 常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的 前提下可以近似地作为这个事件的概率 3.1.3 概率的基本性质 1、基本概念: (1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件 (2)若 A∩B 为不可能事件,即 A∩B=ф ,那么称事件 A 与事件 B 互斥; (3)若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件; (4)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件, 所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B) 2、概率的基本性质: 1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0≤P(A)≤1; 2)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B); 3)若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B); 4)互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不会同时发生,其具体包括三 种不同的情形: (1)事件 A 发生且事件 B 不发生; (2)事件 A 不发生且事件 B 发生; (3)事件 A 与事件 B 同时不 发生,而对立事件是指事件 A 与事件 B 有且仅有一个发生,其包括两种情形; (1)事件 A 发生 B 不发生; (2)事件 B 发生事件 A 不发生,对立事件互斥事件的特殊情形。

六.古典概型与几何概型
知识要点
(1)古典概型 1 定义:试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;且每个基本事件出现的可能性相等.我们将这样的概率模 ○
-4-

型称为古典概率模型,简称古典概型. 2 古典概型计算任何事件的概率计算公式为: ○ 3 古典概型的特征: ○ (ⅰ) 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (ⅱ) 每个基本事件出现的可能性相等. (2)几何概型 1 定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何 ○ 概率模型,简称几何概型. 2 几何概型中事件 A 的概率计算公式为: ○

P(A) ?

构成事件A的区域长度(面积或体 积等) . 试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体 积等)
(ⅱ)每个结果的出现是等可能的.

3 几何概型的两个特征:(ⅰ)试验结果有无限多; ○

第三课时:
一.随机变量及其分布 随机变量:如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量 X 来表示,并且 X 是随着试验的结果的不同而变化,那么这 样的变量叫做随机变量. 随机变量常用大写字母 X、Y 等或希腊字母 ξ 、η 等表示。 1、离散型随机变量:在上面的射击、产品检验等例子中,对于随机变量 X 可能取的值,我们可以按一定次序一一列出, 这样的随机变量叫做离散型随机变量. 3、离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量 X 可能取的值为 x1,x2,..... ,xi ,......,xn X 取每一个值 xi(i=1,2,......)的概率 P(ξ =xi)=Pi,则称表为离散型随机变量 X 的概率分布,简称分布列

4、分布列性质① pi≥0, i =1,2, ? ;② p1 + p2 +?+pn= 1. 5、二项分布:如果随机变量 X 的分布列为:

其中 0<p<1,q=1-p,则称离散型随机变量 X 服从参数 p 的二点分布 6、超几何分布:一般地, 设总数为 N 件的两类物品,其中一类有 M 件,从所有物品中任取 n(n≤N)件,这 n 件中所含这 类物品件数 X 是一个离散型随机变量, 则它取值为 k 时的概率为 P ( X ? k ) ? 其中 m ? min
k n? k CM CN ?M (k ? 0,1, 2, n CN

, m) ,

? M , n? ,且 n ≤ N , M ≤ N , n, M , N ? N *

7、条件概率:对任意事件 A 和事件 B,在已知事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率,叫做条件概率.记作 P(B|A), 读作 A 发生的条件下 B 的概率 8、公式: P ( AB) P ( B | A) ? , P ( A) ? 0. P ( A) 9、相互独立事件:事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 10、n 次独立重复事件:在同等条件下进行的,各次之间相互独立的一种试验 11、二项分布: 设在 n 次独立重复试验中某个事件 A 发生的次数,A 发生次数ξ 是一个随机变量.如果在一次试验中
k k n ?k ? Cn p q (其中 某事件发生的概率是 p,事件 A 不发生的概率为 q=1-p,那么在 n 次独立重复试验中 P(? ? k )

-5-

k=0,1, ??,n,q=1-p ) 于是可得随机变量ξ 的概率分布如下:

这样的随机变量ξ 服从二项分布,记作 ξ ~B(n,p) ,其中 n,p 为参数 12、数学期望:一般地,若离散型随机变量ξ 的概率分布为

则称 Eξ =x1p1+x2p2+?+xnpn+? 为ξ 的数学期望或平均数、 均值, 数学期望又简称为期望. 是离散型随机变量。 13、两点分布数学期望:E(X)=np 14、超几何分布数学期望:E(X)= n ?
2

M . N
2 2

15、方差:D(ξ )=(x1-Eξ ) ·P1+(x2-Eξ ) ·P2 +......+(xn-Eξ ) ·Pn 叫随机变量ξ 的均方差,简称方差。 16、集中分布的期望与方差一览: 期望 两点分布 超几何分布 Eξ =p Dξ =pq,q=1-p 方差

?服从参数为 N, M, n的超几何分布
二项分布,ξ ~ B(n,p)

E? ? n ?

M N

D(X)=np(1-p)* (N-n)/(N-1) (不要求)

Eξ =np

Dξ =qEξ =npq, (q=1-p)

17、正态分布: 若概率密度曲线就是或近似地是函数

f ( x) ?

? 1 e 2? ?

( x?? )2 2? 2

, x ? ( ?? ,?? )

(? ? 0) 是参数,分别表示总体的平均数与标准差. 的图像,其中解析式中的实数 ?、?
则其分布叫正态分布 记作:N ( ? , ? ) ,f( x )的图象称为正态曲线。 18、基本性质:

①曲线在 x 轴的上方,与 x 轴不相交.

-6-

②曲线关于直线 x= ? 对称,且在 x=

? 时位于最高点.

③当时 x ? ? ,曲线上升;当时 x ? ? ,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以 x 轴为渐近线,向它无限 靠近. ④当 ? 一定时,曲线的形状由 ? 确定. ? 越大,曲线越“矮胖” ,表示总体的分布越分散; ? 越小,曲线越“瘦高” , 表示总体的分布越集中. ⑤当σ 相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ 来决定. ⑥正态曲线下的总面积等于 1. 19、 3 ? 原则: 从上表看到,正态总体在 (? ? 2? , ? ? 2? ) 以外取值的概率 只有 4.6%,在 (? ? 3? , ? ? 3? ) 以外取值的概率只有

0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可 能发生的.

二.统计案例
1、独立性检验 假设有两个分类变量 X 和 Y,它们的值域分另为{x1, x2}和{y1, y2},其样本频数列联表为: y1 x1 x2 总计 a c a+c y2 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d

若要推断的论述为 H1:“X 与 Y 有关系”,可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系,并且能较精确地给出这 种判断的可靠程度。具体的做法是,由表中的数据算出随机变量 K^2 的值(即 K 的平方) 2 2 2 K = n (ad - bc) / [(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)],其中 n=a+b+c+d 为样本容量,K 的值越大,说明“X 与 Y 有关系”成 2 2 2 立的可能性越大。 K ≤3.841 时,X 与 Y 无关; K >3.841 时,X 与 Y 有 95%可能性有关;K >6.635 时 X 与 Y 有 99%可 能性有关

第一课时:师生同乐
1.某校高一年级 4 个班学生中的 34 人,其中一、二、三、四班分别为 7 人、8 人、9 人、10 人,他们自愿组成数学课 外小组. (1)选其中一人为负责人,有多少种不同的选法? (2)每班选一名组长,有多少种不同的选法? (3)推选二人做中心发言,这二人需来自不同的班级,有多少种不同的选法? 2.a,b,c,d4 人排成一行,其中 a 不排第一,b 不排第二,c 不排第三,d 不排第四的不同排法共有多少种?

3.用 1,2,3,4,5 这 5 个数字组成比 20000 大,且百位数不是 3 的无重复数字的五位数有多少个?

-7-

自主学习: 1.甲、乙、丙、丁 4 种不同的种子,在 3 块不同土地上试种,每块土地只试种一种,其中种子甲必须试种,那么不同 的试种方法共有( ). (A)12 种 (B)18 种 (C)24 种 (D)96 种 2.下列等式不正确 的是( ). ...
m n?m (A) Cn ? Cn 1 2 3 (C) C5 ? C5 ? C5 m m?1 m (B) Cm ? Cm ? Cm ?1 m m?1 m m?1 (D) Cn ? Cn ?1 ? Cn ?1 ? Cn?1

3.若 n∈ N 且 n<20,则(27-n)(28-n)…(34-n)等于(
8 (A) A27 ?n

).
8 (D) A34 ?n

27 ? n (B) A34 ?n

7 (C) A34 ?n

4.从 4 个男生,3 个女生中挑选 4 人参加智力竞赛,要求至少有 1 个女生参加的选法共有( ). (A)12 种 (B)34 种 (C)35 种 (D)340 种 5.在某班学生中,选出 4 个组长的不同选法有 m 种,选出正、副组长各一名的不同选法有 n 种,若 m∶ n=13∶ 2,则 该班的学生人数是( ). (A)10 (B)15 (C)20 (D)22 二、填空题 6. 某天上午要排语文、 数学、 体育、 计算机 4 节课, 其中体育不排在第一节, 那么这天上午课程表的不同排法共有______ 种. 7.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台,其中至少要有甲型和乙型电视机各 1 台,则不同的取法共有______ 种.
2 2 8.方程 A2 x ?1 =10 Ax 的解为______.

9.在 9 件产品中,有一级品 4 件,二级品 3 件,三级品 2 件,现抽取 4 个检查,至少有 2 件一级品的抽法共有______ 种. 10.8 个相同的球放进编号为 1,2,3 的盒子中,恰有一个空盒,则不同的放求方法有____种(以数字作答). 三、解答题 12.从 5 位男生,4 位女生中选出 5 名代表,求其中: (1)男生甲当选且女生 A 不能当选,有几种选法? (2)至少有一个女生当选,有几种选法? (3)最多有 2 个女生当选,有几种选法? (4)若选出 5 名代表为 3 男 2 女,并进行大会发言,有多少种不同的发言顺序?

13.口袋中有 4 个不同的红球和 6 个不同的白球,每次取出 4 个球,取 1 个红球记 2 分,取 1 个白球记 1 分,则使总 分不大于 5 分的取球方法种数有多少?

Ⅲ 拓展性训练 14.用红、黄、蓝、白、黑色涂在“田”字形 4 个小方格内,每格涂一种色,有公共边的两格不同色,颜色可重复使用, 共有多少种不同涂色法?

-8-

师生继续同乐: 1.3 个女生和 5 个男生排成一排. (1)如果女生必须全排在一起,有多少种不同的排法? (2)如果女生必须全分开,有多少种不同的排法? (3)如果两端都不能排女生,有多少种不同的排法? (4)如果两端不能都排女生,有多少种不同的排法?

2.a,b,c,d,e5 人排成一列纵队(答案只需写出计算公式). (1)a 与 b 相邻,有几种排法? (2)a 与 b 不相邻,有几种排法? (3)a 在 b 前面,有几种排法? (4)a 与 b 相邻,a 在 b 前面,有几种排法? (5)c 在 a 与 b 之间,有几种排法? (6)a 不在头,b 不在尾,有几种排法?

3.10 名班干部中,有 6 名男生,4 名女生,现要选出 5 名班干部,去听环保专家作报告,求满足下列条件的不同选法. (1)男生选 3 名,女生选 2 名; (2)选出的男生少于女生; (3)选出的 5 人中,至少 1 名女生; (4)选出的 5 人中,至多 3 名女生; (5)男生选 3 名,女生选 2 名,且男甲不选在内,女乙必须选在内; (6)男生选 3 名,女生选 2 名,且男甲选在内或女乙选在内.

4.用 0,1,2,3,4,5 六个数字,排成不含重复数字的四位数(答案只需写出计算公式). (1)可排成多少个不同的数? (2)可排成多少个不同的奇数? (3)可排成多少个不同的偶数? (4)可排成多少个不同的可以被 3 整除的数?

6.有 6 件不同的礼品,按下面的分法,回答问题(用公式表达即可): (1)分给甲、乙、丙 3 人、每人各得 2 件,有多少种分法? (2)分给 3 人,甲得 1 件,乙得 2 件,丙得 3 件,有多少种分法? (3)分给 3 人,1 人得 1 件,1 人得 2 件,1 人得 3 件,有多少种分法? (4)平均分成 3 堆,有多少种分法? (5)分给 3 人,2 人各得 1 件,1 人得 4 件,有多少种分法?

-9-

自主学习: 1.(1+2x) 6 的展开式中第三项的系数为( (A)6 (B)12 ) (C)15 ) (C)1 5 (D)60 ) (D)60

2.(1+2x) 6 的展开式中第三项的二项式系数为( (A)6 3.已知( x + (A)10 (B)12

1
3

x

2

) 的展开式的第三项与第二项系数的比为 11∶ 2,则 n 的值是( (B)11 (C)12 ) (D)13

n

1 2 3 n n?1 n 4.- Cn ? 3Cn ? 9Cn ? ?? (? 1 ) · 3 Cn =(

(A)

1 [(1-3)n-1] 3

(C)(1-3)n-1
n m 5.若 C 21 与 Cn 同时有最大值,m 的值是(

1 (1-3)n 3 1 (D) [1-(1-3)n] 3
(B) ) (C)5 或 6 (D)6 或 7

(A)5 二、填空题
7

(B)4 或 5

6.在(3-x) 的展开式中, x 的系数是______(结果用数值表示). 7.(1+ x ) 展开式中系数的和大于 8 而小于 32,则 n=______. 8.设(1—2x) =a 0 +a 1 x+a 2 x +…+a 6 x , 则 a1=______;a 0 +a 1 +a 2 +…+a 6 =______; |a 0 |+|a 1 |+|a 2 |+…+|a 6 |=______. 9.8 除以 9 的余数是______. 10.在(1-x3)(1+x) 的展开式中,x 的系数是______. 三、解答题 11.若( 3 x -
10 5 11 6 2 6 n

5

2 n ) 展开式中第八项是含有 3 x 的项. x
7

(1)求 n 的值; (2)求展开式中 x 项的系数及二项式系数.

12.已知 f(x)=(1+2x) (1+3x) 展开式中 x 的系数为 13,求展开式中 x2 的系数.

m

n

- 10 -

第二课时:师生同乐 1、从一个信箱中任取一封信,记一封信的重量为 ? (单位:克) ,如果 P(? ? 10) =0.3,

P(10 ? ? ? 30) ? 0.4, 则p(? ? 30) =



)A.0.2 B.0.3 C.0.7

D.0.8 )

2、从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋中任取出 2 个球,那么下列互斥而不对立的两个事件是( A 至少有 1 个白球;都是白球 C 恰有 1 个白球;恰有 2 个白球 B D 至少有 1 个白球;至少有 1 个红球 至少有 1 个白球;都是红球 )

3、从 1、2、3、4 中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于 20 的概率为( A.

3 4 1 8 2 9 3 8 4 9

B.

3 5 7 8 5 8

C.

1 2


D.

5 6

4、先后抛 3 枚均匀的硬币,至少出现一次正面的概率为( A B C D

5、如图,两个圆中,指针在本圆每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率为( A B C



2 3

D

1 3

1

8
7

2 3 4

7 9 2

3 1

5

6.已知右图所示的矩形,其长为 12,宽为 5. 在矩形内随机地撒 1000 颗黄豆,数得落在阴影部分的黄豆数为 550 颗. 则 可以估计出阴影部分的面积约为 . 巩固练习: 7、将一枚硬币抛两次,恰好出现一次正面的概率是( A ) D

1 2 3 13

B

1 4 1 3 2 15

C

3 4 2 5 2 5 3 5

1 3


8、在由 1,2,3 组成的不多于三位的自然数(可以有重复数字)中任意取 1 个,正好抽出两位自然数的概率为( A B C D

9、一个盒子中装有标号为 1,2,3, ,4,5 的 5 张标签,随机的选取两张标签,标签的选取是无放回的,则两张标签 上的数字为相邻整数的概率是( )A.

1 5

B.

C.

D.

12 25


10、在线段[0,3]上任取一点,其坐标小于 1 的概率为 11、甲、乙、丙三人在 3 天节日中值班,每人值班一天,那么甲排在乙前面值班的概率为 12、袋中装有白球和黑球各 3 个,从中任取出 2 个,求(1)至多有一个黑球的概率; (2)至少有一个黑球的概率。
2 13、已知函数: f ( x) ? x ? bx ? c ,其中: 0 ? b ? 4,0 ? c ? 4 ,记函数 f ( x) 满足条件: ?

? f (2) ? 12 的事件为 A, ? f (?1) ? 3

求事件 A 发生的概率。

- 11 -

自主学习: 1、 如果用简单随机抽样从个体数为 10 的总体中抽取一个容量为 2 的样本, 那么每个个体被抽到的概率都等于 ( )

1 A 10

B

1 5

C

1 4

D

1 2

2、某市 A,B,C 三个区共有高中学生 20000 人,其中 A 区高中学生 7000 人,现采用分层抽样的方法从这三个区所有 高中学生中抽取一个容量为 600 人的样本进行学习兴趣调查,现 A 区应抽取 A.200 人 B.205 人 C.210 人 D.215 人 3、 某班 50 名学生的一次数学质量测验成绩的频率分布直方图如图所示, 则成绩不低于 70 分的学生人数是 .

4、已知一组数据为-1,0,3,5,x 。它们的方差(方差的平方)为 6.8 ,则 x 的值为( A -2或 5.5 B 2 或-5.5 C 4 或 11 D -4 或-11 5 、甲、乙两位同学某学科的连续五次考试成绩用茎叶图表示如图,则平均分数较高的 是 ,成绩较为稳定的是 。



6、如果将一组数据中的每一数据都加上同一个非零常数,那么这组数据的平均数和方差(标准差的平方)的变化情况 为( ) A.平均数和方差都不变 B.平均数不变,方差改变 C.平均数改变,方差不变 D.平均数和方差都改变 7、某校为了了解学生的课外阅读情况,随机调查了 50 名学生,得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据,结 果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这 50 名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 ( (A) 0.6 小时 (C) 1.0 小时 (B) 0.9 小时 (D) 1.5 小时
人数(人) 20 15 10 5

)

0

0.5

1.0

1.5

2.0

时间(小时)

- 12 -

8、一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图).为 了分析居民的收入与年龄、 学历、 职业等方面的关系, 要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查, 则在 [2500,3000) (元)/月收入段应抽出 人.
频率/组距 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 月收入(元) 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

9 某政府机关在编人员共 100 人,其中副处级以上干部 10 人,一般干部 70 人,工人 20 人,上级部门为了了解该机关 对政府机构改革的意见,要从中抽取 20 人,用下列哪种方法最合适 A.系统抽样 B.简单随机抽样 C.分层抽样 D.随机数表法 10 为了解 1200 名学生对学校教改试验的意见,打算从中抽取一个容量为 30 的样本,考虑采用系统抽样,则分段的间 隔k为 A.40 B.30 C.20 D.12 11 一批灯泡 400 只,其中 20 W、40 W、60 W 的数目之比为 4∶3∶1,现用分层抽样的方法产生一个容量为 40 的样 本,三种灯泡依次抽取的个数为______________. 12 从总体为.的一批零件中用分层抽样抽取一个容量为3 0的样本,若每个零件被抽取的机率为0.25,则 N 等于 A.150 B.200 C.120 D.100 13 一个总体的 60 个个体的编号为 0,1,2,?,59,现要从中抽取一个容量为 10 的样本,请根据编号按被 6 除余 3 的方法,取足样本,则抽取的样本号码是______________. 14.(深圳一模) 一个公司共有 1000 名员工,现正下设一些部门,要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为 50 的样本,已知某部门有 200 名员工, 那么从该部门抽取的工人数是 . 15.(汕头一模)采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查为此将他们随机编号为 1,2 ...960,分组后在第一组 采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9, 抽到的 32 人中, 编号落入区间[1,450]的人做问卷 A, 编号落人区间[451,750] 的人做问卷 B,其余的人做问卷 C.则抽到的人中,做问卷 C 的人数为( ) A. 15 B. 10 C. 9 D. 7 16(2013 广东高考调研) (13 分)某市为了了解今年高中毕业生的体能状况,从本市某校高中毕业班中抽取一个班进 行铅球测试,成绩在 7.95 米及以上的为合格。把所得数据进行整理后,分成 6 组画出频率分布直方图的一部分(如图), 已知从左到右前 5 个小组的频率分别为 0.04,0.10,0.14,0.28,0.30 ,第 6 小组的频数是 7. (1)求这次铅球测试成 绩合格的人数; (2) 若由直方图来估计这组数据的中位数, 指出它在第几组内, 并说明理由; (3)若参加此次测试的学生中,有 9 人的成绩为优秀,现在要从成绩优秀的 学生中,随机选出 2 人参加“毕业运动会” ,已知 a 、 b 的成绩均为优秀,求 两人至少有 1 人入选的概率.

17 有关线性回归的说法,不正确的是
- 13 -

A.相关关系的两个变量不是因果关系 B.散点图能直观地反映数据的相关程度 C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系 D.任一组数据都有回归方程 18 下面哪些变量是相关关系 A.出租车费与行驶的里程 B.房屋面积与房屋价格 C.身高与体重 D.铁的大小与质量 ? =1.5x-15,则 19 回归方程 y A. y =1.5 x -15 B.15 是回归系数 a C.1.5 是回归系数 a D.x=10 时,y=0 ? y 20 线性回归方程 =bx+a 过定点________. x 3 21 . (2013 深圳一模)已知 x、y 的取值如下表:从散点图分析,y 与 x 线性相关,且 y 2.5 回归方程为 y ? 0.7 x ? a ,则 a ? 22. (2013 揭阳一模)一般来说,一个人脚掌越长, 他的身高就越高,现对 10 名成年人的脚掌长 x 与身 高 y 进行测量,得到数据(单位均为 cm )如上表, 脚长 身高 20 141 21 146 22 154 23 160 24 169 25 176 26 181
10

4 3 27 188
2

5 4 28 197

6 4.5 29 203

作出散点图后,发现散点在一条直线附近,经计算得到一些数据:

?
i ?1

10

( xi ? x)( yi ? y) ? 577.5 ,

? ( x ? x)
i ?1 i

? 82.5 ;

某刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印, 量得每个脚印长为 26.5cm , 则估计案发嫌疑人的身高为

cm .

23.(2013 高考)ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点.在长方形 ABCD 内随机取一点,取到的点到 O 的距 离大于 1 的概率为 ( ) π π π π A. B.1- C. D.1- 4 4 8 8 24.设-1≤a≤1,-1≤b≤1,则关于 x 的方程 x2+ax+b2=0 有实根的概率是 ( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 4 8 16 25.已知 Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x≤4,y≥0,x-2y≥0},若向区域 Ω 上随机投一点 P,则点 P 落入区域 A 的概率为 ( ) 1 2 1 2 A. B. C. D. 3 3 9 9

?x+y- 26.在区域?x-y+ ?y≥0

2≤0, 2≥0, 内任取一点 P,则点 P 落在单位圆 x2+y2=1 内的概率为( )

π π π π A. B. C. D. 2 8 6 4 2 2 27.已知函数 f(x)=x -2ax+b ,a,b∈R. (1)若 a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素,b 从集合{0,1,2}中任取一个元素,求方程 f(x)=0 有两个不相等实根的概率; (2)若 a 从区间[0,2]中任取一个数,b 从区间[0,3]中任取一个数,求方程 f(x)=0 没有实根的概率.

28. 从一批产品中取出三件产品, 设 A= “三件产品全不是次品” , B= “三件产品全是次品” , C= “三件产品不全是次品” , 则下列结论不正确 的是( ) ...

A. A 与 B 互斥且为对立事件 不是对立事件

B.

B 与 C 互斥且为对立事件 C. A 与 C 存在有包含关系 D. A 与 C

29. 抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷 1000 次,那么第 999 次出现正面朝上的概率是( )
- 14 -

A.

1 999
1 2 1 3
.

B.

1 1000
1 4 1 4
C.

C.

999 1000
1 3

D.

1 2
1 8

30.同时抛掷两枚质地均匀的硬币,则出现两个正面朝上的概率是( ) A. B. C. D.

31.甲、乙两人随意入住两间空房,则甲乙两人各住一间房的概率是( ) A. B.

1 2

D.无法确定

32. 口袋内装有一些大小相同的红球、 白球和黒球, 从中摸出 1个球, 摸出红球的概率是 0.42 , 摸出白球的概率是 0.28 , 那么摸出黒球的概率是( ) A 0.42 B 0.28 C 0.3 D 0.7 33. 已知地铁列车每 10 min 一班,在车站停 1 min.则乘客到达站台立即乘上车的概率是( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 10 9 11 8 34、有五条线段长度分别为 1,3,5, 7,9 ,从这 5 条线段中任取 3 条,则所取 3 条线段能构成一个三角形的概率为( )
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A

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1 10
B.

B

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3 10
C.

C

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1 2
D.

D

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7 10
)A. 1

35、从五件正品,一件次品中随机取出两件,则取出的两件产品中恰好是一件正品,一件次品的概率是

1 2 1 2
B.

1 3
B.

2 3
C.

36、一个袋中装有 2 个红球和 2 个白球,现从袋中取出 1 球,然后放回袋中再取出一球,则取出的两个球同色的概率 是( )A.

1 3 3 10
D.

1 4

D.

2 5


37、现有五个球分别记为 A,C,J,K,S,随机放进三个盒子,每个盒子只能放一个球,则 K 或 S 在盒中的概率是( A.

1 10

3 5
2 5

C.

9 10 4 5

38.【2012 高考安徽 10】袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球,其中有 1 个红球,2 个白球和 3 个黑球,从袋中任取 两球,两球颜色为一白一黑的概率等于 (A)

1 5

(B)

(C)

3 5

(D)

39.(汕头一模)( 本小题满分 12 分)从甲、乙两名学生的若干次数学成绩中随机抽取 6 次,分别 为获得成绩数据 的茎叶图如图所示. (1)根据萃叶图,求甲、乙两名学生的数学成绩的方差; (2)现从甲学生这 6 次数学成绩中随机抽取 2 次成绩,求这 2 次成绩至少有一个高于 90 分的概率.

40.设不等式组 ? (A)

? 4

?0 ? x ? 2, ,表示平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是 ?0 ? y ? 2 ? ?2 ? 4 ?? (B) (C) (D) 2 6 4

第三课时:师生同乐
- 15 -

题型一:超几何分布,频率分布直方图 (2012 广东理)某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所 示 ,其中成绩分组区间是: ?40,50? , ?50,60? , ?60,70? , ?70,80? ,
频率 组距

?80,90? , ?90,100? .
(Ⅰ) 求图中 x 的值; (Ⅱ) 从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,该 2 人中 成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数记为 ? ,求 ? 的数学期望.

0.054

x 0.01 0.006

40 50 60 70 80 90 100 成绩
第 17 题图

题型二:二项分布 (2010?广东理)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的 40 件产品作为样本称出 它们的重量(单位:克) ,重量的分组区间为(490,495], (495,500],…, (510,515],由此得到样本的频率分布直 方图,如图所示. (1)根据频率分布直方图,求重量超过 505 克的产品数量. (2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件,设 Y 为重量超过 505 克的产品数量,求 Y 的分布列. (3)从流水线上任取 5 件产品,求恰有 2 件产品合格的重量超过 505 克的概

率.

题型三:茎叶图及样本的数字特征
- 16 -

(2013 广东理) 某车间共有 12 名工人,随机抽取 6 名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为 个位数. (Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值; 1 7 9 (Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 0 1 5 2 根据茎叶图推断该车间 12 名工人中有几名优秀工人; 3 0 (Ⅲ) 从该车间 12 名工人中,任取 2 人,求恰有 1名优秀 工人的概率. 第 17 题图

题型四:离散型随机变量及其分布列 (2008?广东理)随机抽取某厂的某种产品 200 件,经质检,其中有一等品 126 件、二等品 50 件、三等品 20 件、次品 4 件.已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1 万元,而 1 件次品亏损 2 万元.设 1 件产品 的利润(单位:万元)为 ξ. (1)求 ξ 的分布列; (2)求 1 件产品的平均利润(即 ξ 的数学期望) ; (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 1%,一等品率提高为 70%.如果此时要求 1 件产品的平均 利润不小于 4.73 万元,则三等品率最多是多少?

题型五:散点图;线性回归方程
- 17 -

(2007?广东理)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨 标准煤)的几组对照数据. x y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5

(1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据, 用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 ;

(3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产 100 吨甲 产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?(参考数值:3× 2.5+4× 3+5× 4+6× 4.5=66.5)

题型六:综合应用

(华附联考)某省示范高中为了推进新课程改革,满足不同层次学生的需求,决定从高一年级开始,在 每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座,每位 有兴趣的同学可以在规定期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座,也可以放弃任何一门科目的辅 导讲座.(规定:各科达到预先设定的人数时称为满座,否则称为不满座)统计数据表明,各学科讲座各 天的满座的概率如下表: 信息技术 周一 周三 周五 1 4 1 2 1 3 生物 1 4 1 2 1 3 化学 1 4 1 2 1 3 物理 1 4 1 2 1 3 数学 1 2 2 3 2 3

(Ⅰ) 求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率; (Ⅱ) 设周三各辅导讲座满座的科目数为 ξ,求随机变量 ξ 的分布列和数学期望.

自主练习: (2013 汕头期末)汕头市澄海区以塑料玩具为主要出口产品,塑料厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批
- 18 -

产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品. (I)若厂家库房中的每件产品合格的概率为 0.8,从中任意取出 3 件进行检验.求恰有 1 件是合格品的概率; (H)若厂家发给商家 20 件产品,其中有 3 件不合格,按合同规定,该商家从中任取 2 件,都进行检验,只有 2 件都合 格时才接收这批产品,否则拒收,求该商家可能检验出不合格产品数 ? 的分布列及期望 E ? ,并指出该商家拒收这批产 品的概率。

(2011?广东)为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取 14 件和 5 件,测量产品中的微量元素 x,y 的含量(单位:毫克) .下表是乙厂的 5 件产品的测量数据: 编号 x y 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81

(1)已知甲厂生产的产品共有 98 件,求乙厂生产的产品总数. (2)当产品中的微量元素 x,y 满足 x≥175,y≥75,该产品为优等品.用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量. (3)从乙厂抽出的上述 5 件产品中,随机抽取 2 件,求抽取的 2 件产品中的优等品数 ξ 的分布列极其均值(即数学期 望) .

(2009?广东)根据空气质量指数 API(为整数)的不同,可将空气质量分级如下表:
- 19 -

对某城市一年(365 天)的空气质量进行监测,获得的 API 数据按照区间[0,50], (50,100], (100,150], (150,200], (200,250], (250,300]进行分组,得到频率分布直方图如图. (1)求直方图中 x 的值; (已知 5 =78125,2 =128, (2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数; (3)求该城市某一周至少有 2 天的空气质量为良或轻微污染的概率.
7 7

,365=73× 5)

(2014?广东)随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数(单位:件) ,获得数据如下:

根据上述数据得到样本的频率分布表如下:

(1)确定样本频率分布表中 n1 , n2 , f1 和 f 2 的值; (2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图; (3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取 4 人,至少有 1 人的日加工零件数落在区间(30,50]的概率。

- 20 -


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