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2013届高三理科数学二轮复习热点 专题一 高考中选择题、填空题解题能力突破 26 考查空间角与距离


考查空间角与距离

【例 59】 (2012· ? 陕西)如图, 在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC A1B1C1, CA=CC1=2CB, 则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为( ). 5 A. 5 5 2 5 B. 3 C. 5 3 D.5

→ 解析 设 CA=2, C(0,0,0), 则 A(2,0,0), B(0,0,1), C1(0,2,0), B1(0,2,1), 可得向量AB1=(-2,2,1), -2×0+2×2+1×? -1? 1 5 → → → BC1=(0,2,-1),由向量的夹角公式 得 cos〈AB1,BC1〉= = =5. 5 0+4+1· 4+4+1 答案 A 【例 60】? (2012· 辽宁)已知正三棱锥 PABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3的球面上,若 PA,PB,PC 两两相互垂直,则 球心到截面 ABC 的距离为____ ____.

解析 先在一个正方体中找一个满足条件的正三棱锥,再利用正方体的性质解题.如图,满 足题意的正三棱锥 P-ABC 可以是正方体的一部分,其外接球的直径是正 方体的体对角线, 且面 ABC 与体对角线的交点 是体对角线的一个三等分点,所以球心到平面 ABC 的距离等于 1 1 3 体对角线长的6,故球心到截面 ABC 的距 离 为6×2 3= 3 . 答案 3 3

命题研究:1.两条异面直线所成的角的求解多以柱体为载体,计算 较为简单,主要以选择题 或填空题的形式进行考查; 2.直线和平面所成的角多以多面体为载体,在选择题或填空题中主要考查利用定义法求解; 3.以特殊的柱体或锥体为载体,直接考查点到面或面到面的距离,多为选择题或填空题,试 题难度不大.

[押题 50] 如图,已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的各条棱长都相等,且 CC1⊥底面 ABC,M 是侧棱 CC1 的中点,则异面直线 AB1 和 BM 所成的角为( ). π A.2 π B.4

π C.6

π D.3

→ → → 答案: A [由题意可知该三棱柱为正三棱柱,设其棱长为 2,BA=a,BB1=b,BC=c,则 π π π |a|=|b|=|c |=2,且〈a,c〉=3, 〈a,b〉=〈b,c〉=2,所以 a· c=2×2×cos3=2,a· b 1 1 1 → → → → ? 1 ? =b· c=0.而AB1= b-a,BM=c+2b,所以AB1· =(b-a)· c+2b =b· 2b2-a· 2a· BM c+ c- b=

?

?

π π → → 0,故〈AB1,BM〉=2,即异面直线 AB1 与 BM 所成的角为2.] [押题 51] 如图,△BCD 与△MCD 都是边长为 2 的正三角形,平面 MCD⊥平面 BCD,AB⊥平 面 BCD,AB=2 3,则点 A 到平面 MBC 的距离等于________.

解析 取 CD 的中点 O,连接 OB、OM,则 OB⊥CD,OM⊥CD.又平面 MCD⊥平面 BCD,则 OM⊥平面 BCD,所以 OM⊥OB.以 O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.由已

知得 OB=OM= 3,则各点坐标分别为 C(1,0,0),M(0,0, 3),B(0,- 3,0),A(0,- 3, → → → 2 3).所以BC=(1, 3,0),BM=(0, 3, 3),BA=( 0,0,2 3).设 n=(x,y,z)是平面 → → MBC 的法向量,由 n⊥BC,得 x+ 3y=0;由 n⊥BM,得 3y+ 3z=0.令 x= 3,则 y=- → |BA· n| 1, z=1, 所以 n=( 3, -1,1)是平面 MBC 的一个法向量. 所以点 A 到 平面 MBC 的距离为 |n| 2 3 2 15 = = 5 . 5 答案 2 15 5


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