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广东省广州市广雅中学2015届高三上学期10月月考数学试卷(理科)


广东省广州市广雅中学 2015 届高三上学期 10 月月考数学试卷 (理 科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 2 2 1. (5 分)设集合 M={x∈Z|x +2x≤0},N={x|x ﹣2x=0,x∈R},则 M∩N=() A.{0} B.{0,2} C.{﹣2,0} D.{﹣

2,0,2}

2. (5 分)若复数 z1=5+5i,z2=3﹣i,则 A.4+2i B.2+i

=() C.1+2i D.3

3. (5 分)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是() A.y=ln(x+1) B.y=﹣ C.y=( )
x

D.y=x+

4. (5 分)已知 sin(α+ A. B.

)= ,则 cos2α=() C. D.

5. (5 分)设 m、n 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,下列命题中错误的是() A.若 m⊥α,m∥n,n∥β,则 α⊥β B. 若 α⊥β,m?α,m⊥β,则 m∥α C. 若 m⊥β,m?α,则 α⊥β D.若 α⊥β,m?α,n?β,则 m⊥n 6. (5 分)巳知双曲线 G 的中心在坐标原点,实轴在 x 轴上,离心率为 的两个焦点的距离之差为 12,则双曲线 G 的方程为() A. ﹣ =1 B. ﹣ =1 ,且 G 上一点到 G

C.



=﹣1

D.



=1

7. (5 分)在平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组

给定.若 M(x,y)

为 D 上的动点,点 A 的坐标为(

,1) ,则|

|的最大值为()

A.4

B. 3

C.

D.3

8. (5 分)若 X 是一个集合,集合 v 是一个以 X 的某些子集为元素的集合,且满足: (1)X∈v,空集?∈v; (2)v 中任意多个元素的并集属于 v; (3)v 中任意多个元素的交集属于 v;称 v 是集合 X 上的一个拓扑. 已知集合 X={a,b,c},对于下列给出的四个集合 v: ①v={?,{a},{c},{a,b,c}}; ②v={?,{b},{c},{b,c},{a,b,c}}; ③v={?,{a},{a,b},{a,c}}; ④v={?,{a,c},{b,c},{c},{a,b,c}}. 则其中是集合 X 上的拓扑的集合 v 的序号是() A.①③ B.③④ C.①② D.②④

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 25 分. (一)必做题(9~ 13 题) 9. (5 分)计算 (cosx+1)dx=.

10. (5 分)函数 f(x)=

的单调递增区间是.

11. (5 分)执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 4,则输出 s 的值为.

12. (5 分)曲线 y=e 过点(0,0)的切线方程为.

x

13. (5 分)某同学为研究函数

的性质,构

造了如图所示的两个边长为 1 的正方形 ABCD 和 BEFC, 点 P 是边 BC 上的一个动点, 设 CP=x, 则 AP+PF=f(x) .请你参考这些信息,推知函数 f(x)的值域是.

(二)选做题(14~15 题,只能从中选做一题) 【坐标系与参数方程选做题】 14. (5 分)在直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数) ,以平面直角坐标系

的原点为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的方程为 ρsinθ=1,则曲线 C1 和 C2 交点的直角坐标为.

【几何证明选讲选做题】 15.如图,圆 O 的直径 AB=6,C 为圆周上一点,BC=3,过 C 作圆的切线 l,过 A 作 l 的垂线 AD,垂足为 D,则线段 CD 的长为.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ) (A>0,ω>0,﹣ <φ<0)的图象与 y 轴的

交点为 (0, 1) , 它在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 (x0, 2) 和 (x0+2π, ﹣2) . (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若锐角 θ 满足 f(2θ+ )= ,求 f(2θ)的值.

17. (12 分)每年 5 月 17 日为国际电信日,某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐 的客户进行优惠,优惠方案如下:选择套餐一的客户可获得优惠 200 元,选择套餐二的客户 可获得优惠 500 元,选择套餐三的客户可获得优惠 300 元.根据以往的统计结果绘出电信日 当天参与活动的统计图,现将频率视为概率. (1)求某两人选择同一套餐的概率; (2)若用随机变量 X 表示某两人所获优惠金额的总和,求 X 的分布列和数学期望.

18. (14 分) 如图, 在四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 侧面 A1ADD1⊥底面 ABCD, D1A=D1D= 底面 ABCD 为直角梯形,其中 BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点. (Ⅰ)求证:A1O∥平面 AB1C; (Ⅱ)求锐二面角 A﹣C1D1﹣C 的余弦值.



19. (14 分)已知数列{an}满足 a0∈R,an+1=2 ﹣3an, (n=0,1,2,…) (1)设 bn= ,试用 a0,n 表示 bn(即求数列{bn}的通项公式) ;

n

(2)求使得数列{an}递增的所有 a0 的值.

20. (14 分)已知椭圆

=1(a>b>0)经过点(

,﹣

) ,且椭圆的离心率 e= .

(1)求椭圆的方程; (2)过椭圆的右焦点 F 作两条互相垂直的直线,分别交椭圆于点 A,C 及 B,D,设线段 AC, BD 的中点分别为 P,Q.求证:直线 PQ 恒过一个定点. 21. (14 分)已知函数 f(x)=lnx+x . (Ⅰ)若函数 g(x)=f(x)﹣ax 在其定义域内为增函数,求实数 a 的取值范围; 3x x (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 a>1,h(x)=e ﹣3ae x∈[0,ln2],求 h(x)的极小值; 2 (Ⅲ)设 F(x)=2f(x)﹣3x ﹣kx(k∈R) ,若函数 F(x)存在两个零点 m,n(0<m<n) , 且 2x0=m+n.问:函数 F(x)在点(x0,F(x0) )处的切线能否平行于 x 轴?若能,求出该 切线方程;若不能,请说明理由.
2

广东省广州市广雅中学 2015 届高三上学期 10 月月考数学 试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. ( 5 分)设集合 M={x∈Z|x +2x≤0},N={x|x ﹣2x=0,x∈R},则 M∩N=() A.{0} B.{0,2} C.{﹣2,0} D.{﹣2,0,2} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 M 中不等式解集的整数解确定出 M,求出 N 中方程的解确定出 N,找出两集合 的交集即可. 2 2 解答: 解: ∵M={x∈Z|x +2x≤0}={x∈Z|﹣2≤x≤0}={﹣2, ﹣1, 0}, N={x|x ﹣2x=0,x∈R}={0, 2}, ∴M∩N={0}. 故选:A. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
2 2

2. (5 分)若复数 z1=5+5i,z2=3﹣i,则 A.4+2i B.2+i

=() C.1+2i D.3

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数.

分析: 直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值. 解答: 解:∵z1=5+5i,z2=3﹣i, 则 = .

故选:C. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题. 3. (5 分)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是() A.y=ln(x+1) B.y=﹣ C.y=( )
x

D.y=x+

考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据指数函数,对数函数,幂函数,一次函数,对勾函数和复合函数单调性,逐一 分析四个答案中函数的单调性,可得答案. 解答: 解:A 中,函数 y=ln(x+1)在区间(0,+∞)上为增函数, B 中,y=﹣ 在区间(0,+∞)上为减函数, C 中,y=( ) 在区间(0,+∞)上为减函数, D 中,y=x+ 在区间(0,1)上为减函数,在(1,+∞)为增函数, 故选:A 点评: 本题考查的知识点是函数单调性的性质,熟练掌握指数函数,对数函数,幂函数, 一次函数,对勾函数和复合函数单调性,是解答的关键.
x

4. (5 分)已知 sin(α+ A. B.

)= ,则 cos2α=() C. D.

考点: 二倍角的余弦;运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 因为 sin(α+ cos2α=2cos α﹣1=﹣ . 解答: 解:sin(α+ cos2α=2cos α﹣1=﹣ . 故选:A. 点评: 本题主要考察了二倍角的余弦公式和诱导公式的综合运用,属于中档题.
2 2

)=﹣cosα= ,即有 cosα=﹣ ,从而由二倍角的余弦公式知

)=﹣cosα= ,即有 cosα=﹣ ,

5. (5 分)设 m、n 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,下列命题中错误的是() A.若 m⊥α,m∥n,n∥β,则 α⊥β B. 若 α⊥β,m?α,m⊥β,则 m∥α C. 若 m⊥β,m?α,则 α⊥β D.若 α⊥β,m?α,n?β,则 m⊥n 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 分析: 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 解答: 解:若 m⊥α,m∥n,n∥β, 则由平面与平面垂直的判定定理得 α⊥β,故 A 正确; 若 α⊥β,m?α,m⊥β,则由直线与平面平行的判定定理得 m∥α,故 B 正确; 若 m⊥β,m?α,则由平面与平面垂直的判定定理得 α⊥β,故 C 正确; 若 α⊥β,m?α,n?β,则 m 与 n 相交、平行或异面,故 D 错误. 故选:D. 点评: 本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培 养.

6. (5 分)巳知双曲线 G 的中心在坐标原点,实轴在 x 轴上,离心率为 的两个焦点的距离之差为 12,则双曲线 G 的方程为() A. ﹣ =1 B. ﹣ =1

,且 G 上一点到 G

C.



=﹣1

D.



=1

考点: 双曲线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: 设双曲线 G 的方程为

, 由已知得

, 由此能求出双曲线方程.

解答: 解:设双曲线 G 的方程为



∵离心率为

,且 G 上一点到 G 的两个焦点的距离之差为 12,



,解得 a=6,b=3,

∴所求双曲线方程为



故选:B. 点评: 本题考查双曲线方程的求法,是中档题,解题时要注意双曲线性质的合理运用.

7. (5 分)在平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组

给定.若 M(x,y)

为 D 上的动点,点 A 的坐标为( A.4 B. 3

,1) ,则|

|的最大值为() D.3

C.

考点: 简单线性规划. 专题: 数形结合;平面向量及应用. 分析: 由约束条件作出可行域,然后由图可得使| |取得最大值的点 M,并求得最大值.

解答: 解:由不等式组

作出可行域如图,

由图象知,当点 M 的坐标为(0,0)或(0,2)时,

的值最大,为



故选:C. 点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了向量模的求法,体现了数形结合的解题思想方 法,是中档题. 8. (5 分)若 X 是一个集合,集合 v 是一个以 X 的某些子集为元素的集合,且满足: (1)X∈v,空集?∈v; (2)v 中任意多个元素的并集属于 v; (3)v 中任意多个元素的交集属于 v;称 v 是集合 X 上的一个拓扑. 已知集合 X={a,b,c},对于下列给出的四个集合 v: ①v={?,{a},{c},{a,b,c}}; ②v={?,{b},{c},{b,c},{a,b,c}}; ③v={?,{a},{a,b},{a,c}}; ④v={?,{a,c},{b,c},{c},{a,b,c}}. 则其中是集合 X 上的拓扑的集合 v 的序号是()

A.①③

B.③④

C.①②

D.②④

考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 集合. 分析: 根据拓扑的定义,结合元素和集合的关系即可得到结论. 解答: 解:利用拓扑的定义,可以发现集合 X 的空集和全集都属于它的拓扑 v,∴③错误; 又∵v 中任意多个元素的并集属于 v,v 中任意多个元素的交集属于 v,∴①错误, 另外根据拓扑的定义可知②④正确, 故选:D. 点评: 本题主要考查元素和集合关系的判断,正确理解拓扑的定义是解决本题的关键. 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 25 分. (一)必做题(9~ 13 题) 9. (5 分)计算 (cosx+1)dx=π.

考点: 定积分. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 结合导数公式,找出 cosx+1 的原函数,用微积分基本定理代入进行求解. 解答: 解: (cosx+1)dx=(sinx+x)| =π,

故答案为:π 点评: 本题考查了导数公式及微积分基本定理,属于基本知识、基本运算的考查.

10. (5 分)函数 f(x)=

的单调递增区间是(0,e) .

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 求出函数 的导数为 y′的解析式, 令 y′>0 求得 x 的范围, 即可得到函数

的单调递增区间.

解答: 解:由于函数

的导数为 y′=



令 y′>0 可得 lnx<1,解得 0<x<e, 故函数 的单调递增区间是 (0,e) ,

故答案为: (0,e) . 点评: 本题主要考查利用导数研究函数的单调性,属于基础题. 11. (5 分)执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 4,则输出 s 的值为 15.

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 执行程序框图,依次写出 s,i 的值,第四次循环后:s=15,i=5;此时,i≤n 不成立输 出 s 的值为 15. 解答: 解:执行程序框图,有 n=4,s=1,i=1 第一次循环后:s=3,i=2; 第二次循环后:s=6,i=3; 第三次循环后:s=10,i=4; 第四次循环后:s=15,i=5;此时,i≤n 不成立输出 s 的值为 15. 故答案为:15. 点评: 本题主要考察程序框图和算法,属于基础题. 12. (5 分)曲线 y=e 过点(0,0)的切线方程为 y=ex. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 设切点为(m,n) ,求出函数的导数,求出切线的斜率,结合两点的斜率公式,得到 m,n 的方程,解出,再由斜截式方程即可得到切线方程. x x 解答: 解:设切点为(m,n) ,y=e 的导数 y′=e , m 则切线的斜率 k=e , 又切线过(0,0) ,则 k= , 则有 e = ,且 n=e , 解得 m=1,n=e, 则过点(0,0)的切线方程为 y=ex,
m m x

故答案为:y=ex. 点评: 本题考查导数的几何意义:曲线在某点处的切线的斜率,注意切点的确定,同时考 查直线方程的形式,属于基础题.

13. (5 分)某同学为研究函数

的性质,构

造了如图所示的两个边长为 1 的正方形 ABCD 和 BEFC, 点 P 是边 BC 上的一个动点, 设 CP=x, 则 AP+PF=f(x) .请你参考这些信息,推知函数 f(x)的值域是[ , ].

考点: 函数的值域. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 分别在 Rt△ PCF 和 Rt△ PAB 中利用勾股定理,得 PA+PF= + .运动点 P,可得 A、P、B 三点共线时,PA+PF 取得最小

值;当 P 在点 B 或点 C 时,PA+PF 取得最大值.由此即可得到函数 f(x)的值域. 解答: 解:Rt△ PCF 中,PF= 同理可得,Rt△ PAB 中,PA= ∴PA+PF= + =

∵当 A、B、P 三点共线时,即 P 在矩形 ADFE 的对角线 AF 上时,PA+PF 取得最小值 = 当 P 在点 B 或点 C 时,PA+PF 取得最大值 +1 ∴ ≤PA+PF≤ +1,可得函数 f(x)=AP+PF 的值域为[ , ]. 故答案为:[ , ]. 点评: 本题以一个实际问题为例,求函数的值域,着重考查了勾股定理和函数的值域及其 求法等知识点,属于基础题. (二)选做题(14~15 题,只能从中选做一题) 【坐标系与参数方程选做题】 14. (5 分)在直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数) ,以平面直角坐标系

的原点为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的方程为 ρsinθ=1,则曲线 C1 和 C2 交点的直角坐标为(1,1) . 考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程.

分析: 首先把曲线都转化为直角坐标方程,进一步联立方程组求的结果. 解答: 解:曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数)转化为直角坐标方程为:y =x.
2

曲线 C2 的方程为 ρsinθ=1 转化为直角坐标方程为:y=1 联立方程组得:

解得: 交点的坐标为: (1,1) 点评: 本题考查的知识点:参数方程和直角坐标方程的互化,极坐标方程和直角坐标方程 的互化,解方程组知识. 【几何证明选讲选做题】 15.如图,圆 O 的直径 AB=6,C 为圆周上一点,BC=3,过 C 作圆的切线 l,过 A 作 l 的垂线 AD,垂足为 D,则线段 CD 的长为 .

考点: 圆的切线的性质定理的证明. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 连接圆心 O 与切点 C,由切线性质可知 OC 垂直于直线 l,又因为 AD 也垂直与直线 l,得出 OC 平行于 AD,根据 AB 为圆的直径,利用直径所对的圆周角为直角得到三角形 ABC 为直角三角形,再根据 BC 和 AB 的长度,利用勾股定理求出 AC 的长,且利用在直角三角形 中一直角边等于斜边的一半,则这条直角边所对的角为 30°推出角 CAB 为 30°,等边对等角和 平行线的性质可知角 CAD 等于 30°,在直角三角形 ADC 中,利用 30°角所对的直角边等于斜 边的一半求出 CD 即可. 解答: 解:连接 OC,则 OC⊥直线 l,所以 OC∥AD, ∵AB 为圆的直径,∴∠ACB=90°, 又 AB=6,BC=3,所以∠CAB=30°,AC= 由 OA=OC 得,∠ACO=∠CAB=30°, ∵OC∥AD, ∴∠CAD=∠ACO=30°, ∴CD= AC= ×3 = =3 ,

点评: 此题考查学生灵活运用圆的切线垂直于过切点的直径,掌握圆中的一些基本性质, 灵活运用直角三角形的边角关系化简求值,是一道综合题. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ) (A>0,ω>0,﹣ <φ<0)的图象与 y 轴的

交点为 (0, 1) , 它在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 (x0, 2) 和 (x0+2π, ﹣2) . (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若锐角 θ 满足 f(2θ+ )= ,求 f(2θ)的值.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 分析: (1)由题意可得 A=2,由周期公式可得 ω= ,再由 f(0)=1 可得 φ=﹣ (x)=2cos( x﹣ ) ; ,而 f(2θ)=2( cosθ+ sinθ) ,代值计算可 ,可得 f

(2)由已知可得 cosθ= ,进而可得 sinθ= 得. 解答: 解: (1)由题意可得 A=2, = ∴f(x)=2cos( x+φ) , 由图象可知 f(0)=2cosφ=1,∴cosφ= , 又﹣ <φ<0,∴φ=﹣

=2π,解得 ω= ,

∴f(x)=2cos( x﹣ (2)∵

) ,∴2cosθ= ,

∴cosθ= ,∵θ 为锐角,∵sinθ= ∴f(2θ)=2cos(θ﹣ =2( + )=2( cosθ+ )= , sinθ)

即 f(2θ)的值为 点评: 本题考查三角函数的图象与解析式,涉及三角函数和差角的公式,属基础题. 17. (12 分)每年 5 月 17 日为国际电信日,某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐 的客户进行优惠,优惠方案如下:选择套餐一的客户可获得优惠 200 元,选择套餐二的客户 可获得优惠 500 元,选择套餐三的客户可获得优惠 300 元.根据以往的统计结果绘出电信日 当天参与活动的统计图,现将频率视为概率. (1)求某两人选择同一套餐的概率; (2)若用随机变量 X 表示某两人所获优惠金额的总和,求 X 的分布列和数学期望.

考点: 离散型随机变量的期望与方差;古典概型及其概率计算公式;离散型随机变量及其 分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (1)由题意利用互斥事件加法公式能求出某两人选择同一套餐的概率. (2)由题意知某两人可获得优惠金额 X 的可能取值为 400,500,600,700,800,1000.分 别求出相应的概率,由此能求出 X 的分布列和数学期望. 解答: 解: (1)由题意可得某两人选择同一套餐的概率为: . (2)由题意知某两人可获得优惠金额 X 的可能取值为 400,500,600,700,800, 1000. , ,

, , , , 综上可得 X 的分布列为: X 400 500 600 700 P X 的数学期望 .

800

1000

点评: 本小题主要考查学生对概率知识的理解,通过分布列的计算,考查学生的数据处理 能力. 18. (14 分) 如图, 在四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 侧面 A1ADD1⊥底面 ABCD, D1A=D1D= 底面 ABCD 为直角梯形,其中 BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点. (Ⅰ)求证:A1O∥平面 AB1C; (Ⅱ)求锐二面角 A﹣C1D1﹣C 的余弦值. ,

考点: 直线与平面平行的判定;用空间向量求平面间的夹角. 专题: 计算题;证明题. 分析: (Ⅰ)欲证 A1O∥平面 AB1C,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证 A1O 与 平面 AB1C 内一直线平行,连接 CO、A1O、AC、AB1,利用平行四边形可证 A1O∥B1C,又 A1O?平面 AB1C,B1C?平面 AB1C,满足定理所需条件; (Ⅱ)根据面面垂直的性质可知 D1O⊥底面 ABCD,以 O 为原点,OC、OD、OD1 所在直线 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系,求出平面 C1CDD1 的一个法向量 及平面 AC1D1 的一个法向量 可求出锐二面角 A﹣C1D1﹣C 的余弦值. 解答: 解: (Ⅰ)证明:如图(1) , 连接 CO、A1O、AC、AB1, (1 分) 则四边形 ABCO 为正方形,所以 OC=AB=A1B1, ,以

,然后求出两个法向量夹角的余弦值即

所以,四边形 A1B1CO 为平行四边形, (3 分) 所以 A1O∥B1C, 又 A1O?平面 AB1C,B1C?平面 AB1C 所以 A1O∥平面 AB1C(6 分) (Ⅱ)因为 D1A=D1D,O 为 AD 中点,所以 D1O⊥AD 又侧面 A1ADD1⊥底面 ABCD, 所以 D1O⊥底面 ABCD, (7 分) 以 O 为原点,OC、OD、OD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图(2)所示的坐标系, 则 C(1,0,0) ,D(0,1,0) ,D1(0,0,1) ,A(0,﹣1,0) . (8 分)所以

, (9 分) 设 由 为平面 C1CDD1 的一个法向量, ,得 ,

令 z=1,则 y=1,x=1,∴ 又设

. (10 分) 为平面 AC1D1 的一个法向量, ,得 ,



令 z1=1,则 y1=﹣1,x1=﹣1,∴ 则 ,

, (11 分)

故所求锐二面角 A﹣C1D1﹣C 的余弦值为 (12 分)

点评: 本题主要考查了线面平行的判定,以及利用空间向量的方法求解二面角等有关知识, 同时考查了空间想象能力、转化与划归的思想,属于中档题. 19. (14 分)已知数列{an}满足 a0∈R,an+1=2 ﹣3an, (n=0,1,2,…) (1)设 bn= ,试用 a0,n 表示 bn(即求数列{bn}的通项公式) ;
n

(2)求使得数列{an}递增的所有 a0 的值. 考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 综合题;点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)an+1=2 ﹣3an? ;
n

,即

,变形整理即可求得,

(2) 由 (1) 知

, 从而



于是有 ,依题意,证明 解答: 解: (1)∵an+1=2 ﹣3an, ∴ , (2 分)
n

,设 即可.

,则

即 故

,变形得, ,因而,

, (2 分) ; (1 分)

(2) 由 (1) 知 (1 分)

, 从而



故 设 则 若 , ,下面说明 ,则 A<0,此时对充分大的偶数 n,

, (3 分)

,讨论: ,有 an<an﹣1,这与{an}

递增的要求不符; (2 分) 若 ,则 A>0,此时对充分大的奇数 n, ,有 an<an﹣1,这与{an}

递增的要求不符; (2 分) 若 ,则 A=0, ,始终有 an>an﹣1.综上, (1 分)

注意:直接研究通项,只要言之成理也相应给分. 点评: 本题考查数列递推式,着重考查等比关系的确定及构造函数思想,考查推理、分析 与运算的综合能力,属于难题.

20. (14 分)已知椭圆

=1(a>b>0)经过点(

,﹣

) ,且椭圆的离心率 e= .

(1)求椭圆的方程; (2)过椭圆的右焦点 F 作两条互相垂直的直线,分别交椭圆于点 A,C 及 B,D,设线段 AC, BD 的中点分别为 P,Q.求证:直线 PQ 恒过一个定点. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)由已知得 , ,由此能求出椭圆的方程. ;

(2) 当直线 AC 的斜率不存在时, AC: x=1, 则 BD: y=0. 直线 PQ 恒过一个定点 当直线 AC 的斜率存在时,设 AC:y=k(x﹣1) (k≠0) ,BD:
2 2 2 2

.联立方程组

,得(4k +3)x ﹣8k x+4k ﹣12=0,由此利用韦达定理结合已知条件能证明

直线 PQ 恒过一个定点



解答: (1)解:由
2 2 2 2 2

,得
2



即 a =4c =4(a ﹣b ) ,即 3a =4b . …(1 分) 由椭圆过点 知, . …(2 分)

联立(1) 、 (2)式解得 a =4,b =3. 故椭圆的方程是 .…(4 分)

2

2

…(3 分)

(2)证明:直线 PQ 恒过一个定点

.…(5 分)

椭圆的右焦点为 F(1,0) ,分两种情况. 1°当直线 AC 的斜率不存在时, AC:x=1,则 BD:y=0.由椭圆的通径得 P(1,0) , 又 Q(0,0) ,此时直线 PQ 恒过一个定点 .…(6 分)

2°当直线 AC 的斜率存在时,设 AC:y=k(x﹣1) (k≠0) , 则 BD: .

又设点 A(x1,y1) ,C(x2,y2) . 联立方程组
2


2 2 2

消去 y 并化简得(4k +3)x ﹣8k x+4k ﹣12=0,…(8 分) 所以 . .

.…(10 分)

由题知,直线 BD 的斜率为﹣ , 同理可得点 .…(11 分)



,…(12 分) 即 4yk +(7x﹣4)k﹣4y=0. 令 4y=0,7x﹣4=0,﹣4y=0,解得 故直线 PQ 恒过一个定点 . ;…(13 分)
2

综上可知,直线 PQ 恒过一个定点

.…(14 分)

点评: 本题考查椭圆方程的求法,考查直线恒过一个定点的证明,解题时要认真审题,注 意函数与方程思想的合理运用. 21. (14 分)已知函数 f(x)=lnx+x . (Ⅰ)若函数 g(x)=f(x)﹣ax 在其定义域内为增函数,求实数 a 的取值范围; 3x x (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 a>1,h(x)=e ﹣3ae x∈[0,ln2],求 h(x)的极小值; 2 (Ⅲ)设 F(x)=2f(x)﹣3x ﹣kx(k∈R) ,若函数 F(x)存在两个零点 m,n(0<m<n) , 且 2x0=m+n.问:函数 F(x)在点(x0,F(x0) )处的切线能否平行于 x 轴?若能,求出该 切线方程;若不能,请说明理由. 考点: 函数的单调性与导数的关系;利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点 切线方程. 专题: 计算题;压轴题;导数的概念及应用. 分析: (Ⅰ)先根据题意写出:g(x)再求导数,由题意知,g′(x)≥0,x∈(0,+∞)恒 成立,即 由此即可求得实数 a 的取值范围;
x 3 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,利用换元法令 t=e ,则 t∈[1,2],则 h(t)=t ﹣3at,接下来 利用导数研究此函数的单调性,从而得出 h(x)的极小值; (Ⅲ)对于能否问题,可先假设能,即设 F(x)在(x0,F(x0) )的切线平行于 x 轴,其中 F (x)=2lnx﹣x ﹣kx 结合题意,列出方程组,证得函数 调递增,最后出现矛盾,说明假设不成立,即切线不能否平行于 x 轴. 解答: 解: (Ⅰ)g(x)=f(x)﹣ax=lnx+x ﹣ax, 由题意知,g′(x)≥0,对任意的 x∈(0,+∞)恒成立,即 又∵x>0, ∴ (Ⅱ)由(Ⅰ)知, h(t)=t ﹣3at, 由 h′(t)=0,得 ∵ ,∴ 或 (舍去) ,
3 2 2

在(0,1)上单

,当且仅当 ,可得

时等号成立

,令 t=e ,则 t∈[1,2],则

x

若 递增

,则 h′(t)<0,h(t)单调递减;若

,则 h′(t)>0,h(t)单调

∴当 时,h(t)取得极小值,极小值为 2 (Ⅲ)设 F(x)在(x0, F(x0) )的切线平行于 x 轴,其中 F(x)=2lnx﹣x ﹣kx

结合题意,有

①﹣②得

所以

,由④得

所以

设 设

,⑤式变为 ,

所以函数

在(0,1)上单调递增,

因此,y<y|u=1=0,即

,也就是

此式与⑤矛盾

所以 F(x)在(x0,F(x0) )的切线不能平行于 x 轴 点评: 此题是个难题.本题主要考查用导数法研究函数的单调性,基本思路是:当函数为 增函数时,导数大于等于零;当函数为减函数时,导数小于等于零,根据解题要求选择是否分 离变量, 体现了转化的思想和分类讨论以及数形结合的思想方法, 同时考查了学生的灵活应用 知识分析解决问题的能力和计算能力.


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