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数列、不等式、函数函 综合题


1 已知数列

是各项均不为 的等差数列,公差为



为其前

项和,且满足



.数列

满足



为数列

的前 n 项和.

(1)求







(2)若对任意的

,不等式

恒成立,求实数

的取值范围;

(3) 是否存在正整数 的值;若不存在,请说明理由.

, 使得

成等比数列?若存在, 求出所有

2、设不等式组 纵坐标均为整数的点)个数为

所表示的平面区域为 .

,记

内的格点(格点即横坐标和

(1)求

的值及

的表达式;

(2) 记 成立,求实数

, 试比较 的取值范围;

的大小; 若对于一切的正整数

, 总有

(3)设

为数列

的前

项的和,其中

,问是否存在正整数

,使

成立?若存在,求出正整数

;若不存在,说明理由.

3、已知函数 图像上的两点,且线段



上的最小值为 .





是函数

的中点 P 的横坐标为

(1)求证:点 P 的纵坐标是定值;

(2)若数列 项和 ;

的通项公式为

, 求数列

的前 m

(3)设数列
4、(本小题 14 分)

满足:

,设



设函数 y=f(x)的定义域为(0,+∞),且在(0,+∞)上单调递增,若对任意 x,y∈(0,+∞) 都有:f(xy)=f(x)+f(y)成立,数列{an}满足:a1=f(1)+1,

(1)求数列{an}的通项公式,并求 Sn 关于 n 的表达式; (2)设函数 g(x)对任意 x、y 都有:g(x+y)=g(x)+g(y)+2xy,若 g(1)=1,正项数列{bn}满

足:

,Tn 为数列{bn}的前 n 项和,试比较 4Sn 与 Tn 的大小。

5、已知定义在

上的奇函数

满足

,且对任意





(Ⅰ)判断



上的奇偶性,并加以证明.

(Ⅱ)令



,求数列

的通项公式.

(Ⅲ)设



的前

项和,若



恒成立,求

的最大值.

6、对于给定数列 立,我们称数列

,如果存在实常数 是 “M 类数列”.

,使得

对于任意

都成

(I)若 它对应的实常数





,数列



是否为“M 类数列”?若是,指出

,若不是,请说明理由;

(II)若数列

满足





(1)求数列



项的和.

(2)已知数列

是 “M 类数列”,求

.

7、(本小题满分 14 分)

已知函数



(1)当

时,如果函数

仅有一个零点,求实数

的取值范围 ;

(2)当

时,试比较

与 的大小;

(3)求证: 8、(本小题满分 14 分)



).

已知函数



(1)当

时,如果函数

仅有一个零点,求实数

的取值范围 ;

(2)当

时,试比较

与 的大小;

(3)求证:



).

9、(本小题满 分 14 分)已知函数

(Ⅰ)求函数的定义域,并证明

在定义域上是奇函数;

(Ⅱ)若

恒成立,求实数

的取值范围;

(Ⅲ)当

时,试比较



的大小关系.

10、已知函数 数 ,证明:

f(x)的导函数是

。对任意两个不相等的正

(Ⅰ)当

时,



(Ⅱ)当

时,



11、已知数列

中,

,且

(1)求证:



(2)设



是数列

的前

项和,求

的解析式;

(3)求证:不等式

对于

恒成立。

12、设

为正整数,规定:

,已知



(1)解不等式:



(2)设集合

,对任意

,证明:



(3)求

的值;

(4)若集合

,证明:

中至少包含有 个元素.

13、已知函数

满足下列条件:

①函数

的定义域为[0,1];

②对于任意



③对于满足条件

的任意两个数

(1)证明:对于任意的



(2)证明:于任意的



(3)不等式

对于一切 x∈[0,1]都成立吗?试说明理由.

15、设不等式组 坐标均为整数的点)个数为

所表示的平面区域为 .

,记

内的格点(格点即横坐标和纵

(1)求

的值及

的表达式;

(2) 记 成立,求实数

, 试比较 的取值范围;

的大小; 若对于一切的正整数

, 总有

(3)设

为数列

的前

项的和,其中

,问是否存在正整数

,使

成立?若存在,求出正整数

;若不存在,说明理由.

16、函数

的定义域为{x| x ≠1},图象过原点,且



(1)试求函数

的单调减区间;

(2)已知各项均为负数的数列

前 n 项和为

,满足

,求证:



答案

1、解:(1)(法一)在

中,令









??????????????2 分

解得





???????????????3 分







????????5 分

(法二)

是等差数列,



??????????2 分



,得







,则



?????????3 分

(

求法同法一)

(2)①当

为偶数时,要使不等式

恒成立,即需不等式

恒成立.

?????????????6 分

,等号在

时取得.

此时

需满足



????????????????7 分

②当

为奇数时,要使不等式

恒成立,即需不等式

恒成立.

?????????????8 分

是随

的增大而增大,



取得最小值



此时

需满足



????????????????9 分

综合①、②可得

的取值范围是



????????? ???????10 分

(3)





成等比数列,则

,即

.?11 分

(法一)由



可得







?????????????12 分



??????????????13 分



,且

,所以

,此时



因此,当且仅当



时, 数列

中的

成等比数列.????14 分

(法二)因为

,故

,即



,(以下同上). 2、(本小题主要考查数列、不等式等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及抽象概 括能力、运算求解能力和创新意识)

解:⑴ 当 时, 取值为 1,2,3,?, 当 时, 取值为 1,2,3,?, ∴ 共有 共有

-----------------2 分

个格点

个格点 -----------------4 分



-------------5 分 当 当 时, 时, ------------------6 分 ∴ 时,

时, 时,

∴ 要使

中的最大值为 对于一切的正整数

. 恒成立,

------------------8 分

只需

∴ ⑶

-------------------9 分

.

---------------10 分



代入



化简得,

(﹡)-------------------11 分







, 显然 -------------------12 分





(﹡)式化简为

不可能成立 --------------13 分 综上, 存在正整数

使

成立

3、解:(1)当

时,



上单调递减,又

的最小值为





,得 t=1 ;



时,



上单调递增,又

的最小值为





,得 t=2(舍) ;

当 t = 0 时,

(舍),

∴t = 1,

.









,即 p 点的纵坐标为定值



(2)由(1)可知,

, 所以

,





, ? ①



?②

由①+②, 得



(3) ∵

, ??③

∴对任意的

. ??④

由③、④, 得



.



.



∴数列

是单调递增数列.



关于 n 递增. 当

, 且

时,

.











∴m 的最大值为 6.

5、解:(Ⅰ).

对任意



????①





;??????????????????1分



由①得





替换上式中的



???????????????2分



上为奇函数.??????????????????3分

(Ⅱ).

满足

,则必有

否则若

则必有

,依此类推必有

,矛盾

??????????????????5分

,又

是 为首项,

为公比的等比数列,?????????????7分

??????????????????8分

(Ⅲ).

??????????????????9分



??????????????②

?????????③



③得

??????????????????11分

??????????????????12分





恒成立须

,解得

????????13分

的最大值为-



??????????????????14分

6、解:(I)因为

则有

故数列

是“M 类数列”, 对应的实常数分别为

. ???2 分

因为

,则有

故数列

是“M 类数列”, 对应的实常数分别为

. ???????????4 分

(II)(1)因为

则有





?????..6 分

故数列



项的和

+

+

+

+

??????9 分

(2)

数列

是“M 类数列”,

存在实常数



使得

对于任意

都成立,????????????????..10 分

且有

对于任意

都成立,

因此

对于任意

都成立,



,且

则有

对于任意

都成立,



对于任意

都成立,

因此

,????????????12 分

此时,

????????????13 分

7、解:(1)当

时,

,定义域是



, 令

,得





?2 分





时,

,当

时,



函数





上单调递增,在

上单调递减.

?????4 分

的极大值是

,极小值是





时,

; 当

时,





仅有一个零点时,

的取值范围是



.?????5 分

(2)当

时,

,定义域为











上是增函数.

?????????????7 分

①当

时,

,即



②当

时,

,即



③当

时,

,即



?????????????9 分

(3)(法一)根据(2)的结论,当

时,

,即





,则有



. ?????12 分



??????????????14 分

(法二)当

时,





,即

时命题成立.

????????????10 分

设当

时,命题成立,即



时,



根据(2)的结论,当

时,

,即





,则有



则有

,即

时命题也成立.?????13 分

因此,由数学归纳法可知不等式成 立. ????????????14 分

(法三)如图,根据定积分的定义,



.??11 分





????????????12 分













?????????????14 分

【说明】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识,考 查分类讨论思想和数形结合思想, 考查考生的计算能力及分析问题、 解决问题的能力和创新意识.

8、解:(1)当

时,

,定义域是



, 令

,得





?2 分





时,

,当

时,



函数





上单调递增,在

上单调递减.

?????4 分

的极大值是

,极小值是





时,

; 当

时,





仅有一个零点时,

的取值范围是



.?????5 分

(2)当

时,

,定义域为











上是增函数.

?????????????7 分

①当

时,

,即



②当

时,

,即



③当

时,

,即



?????????????9 分

(3)(法一)根据(2)的结论,当

时,

,即





,则有



. ?????12 分

,[来源:学科网 ZXXK]



??????????????14 分

(法二)当

时,





,即

时命题成立.

????????????10 分

设当

时,命题成立,即



时,



根据(2)的结论,当

时,

,即





,则有



则有

,即

时命题也成立.?????13 分

因此,由数学归纳法可知不等式成 立. ????????????14 分

(法三)如图,根据定积分的定义,



.??11 分





????????????12 分













?????????????14 分

【说明】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识,考 查分类讨论思想和数形结合思想, 考查考生的计算能力及分析问题、 解决问题的能力和创新意识.

9、解:(Ⅰ)由

,解得





∴ 函数的定义域为



时,[来



在定义域上是奇函数。

???4 分

(Ⅱ)由

时,

恒成立,







成立





,由二次函数的性质可知

时函数单调递增,

时函数单调递减,

时,



???8 分

(Ⅲ)

=

证法一:设函数

,



时,

,即



上递减,

所以

,故



成立,

则当

时,

成立. ???14 分

证法二:构造函数





时,

,∴



单调递减,

???12 分





)时,

?14 分

10、证明:(Ⅰ)由























由①、②、③得



(Ⅱ)证法一:由

,得

下面证明对任意两个不相等的正数

,有

恒成立

即证

成立





,则





,列表如下:

极小值



∴对任意两个不相等的正数

,恒有

证法二:由

,得





是两个不相等的正数







,列表:

极小值





∴即对任意两个不相等的正数

,恒有

二、计算题

11、解:(1)



又因为

, 则

, 即









(2)



因为

,所以



时,



时,

,①

,②

①-②:



.综上所述,

(3)





,易验证当

时不等式成立;

假设

,不等式成立,即

,两边乘以 3 得

又因为

所以



时不等式成立.故不等式恒成立.

12、解:(1)①当 0≤

≤1 时,由



得,



.∴



≤1.

②当 1<

≤2 时,因



恒成立.∴1<

≤2.

由①,②得,



的解集为{

|



≤2}.

(2)∵







∴当

时,





时,





时,



即对任意

,恒有



(3)









一般地,



).

(4)由(1)知,

,∴

.则

.∴



由(2)知,对

,或 1,或 2,恒有

,∴



则 0,1,2



由(3)知,对







,恒有













综上所述,

,0,1,2,







.∴

中至少含有 8 个元素.

13、(1)证明:对于任意的

即对于任意的

(2)证明:由已知条件可得

所以对于任意的

(3)解:取函数



显然满足题目中的(1),(2)两个条件,

任意取两个数

即不等式 15、(本小题主要考查数列、不等式等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能 力、运算求解能力和创新意识)

解:⑴

-----------------2 分



时,

取值为 1,2,3,?,

共有

个格点



时,

取值为 1,2,3,?,

共有

个格点



-----------------4 分



-------------5 分



时,



时,

------------------6 分



时,

时,

时,



中的最大值为

.

------------------8 分

要使

对于一切的正整数

恒成立,

只需



-------------------9 分



.

---------------10 分



代入



化简得,

(﹡)-------------------11 分









显然

-------------------12 分





(﹡)式化简为 不可能成立 --------------13 分 综上,

存在正整数

使

成立.

- --------------14 分

16、解:(1)由己知

.





。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4

于是







故函数 6

的单调减区间为



.。。。。。。。。。。。。。。。。

(2)由已知可得





时,

两式相减得



(各项均为负数)



时,

, ∴

。。。。。。。。。。。8

于是,待证不等式即为



为此,我们考虑证明不等式

.。。。。。。。。。。。10







再令







∴当

时,

单调递增



于是

即 12

①.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。









∴当

时,

单调递增



于是



②.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。14

由①、②可知

所以,

,即

.。。。。。16


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