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2013年秋北师大版必修1示范教案3.5.1对数函数的概念


§5

对数函数

整体设计 教学分析 有了学习指数函数的图像和性质的学习经历,以及对数知识的知识准备,对数函数概念 的引入、对数函数图像和性质的研究便水到渠成. 对数函数的概念是通过一个关于细胞分裂次数的确定的实际问题引入的,既说明对数函 数的概念来自实践,又便于学生接受.在教学中,学生往往容易忽略对数函数的定义域,因 此,在进行定义教学时,要结合指数式强调说明对数函数的定义域,加强对对数函数定义域 为(0,+∞)的理解.在理解对数函数概念的基础上掌握对数函数的图像和性质,是本节的教 学重点,而理解底数 a 的值对于函数值变化的影响(即对对数函数单调性的影响)是教学的一 个难点 ,教学时要充分利用图像,数形结合,帮助学生理解. 为了便于学生理解对数函数的性质,教学时可以先让学生在同一坐标系内画出函数 y= log2x 和 y= log 1 x 的图像,通过两个具体的例子,引导学生共同分析它们的性质.有条件的
2

学校也可以利用《几何画板》软件,定义变量 a,作出函数 y=logax 的图像,通过改变 a 的 值,在动态变化的过程中让学生认识对数函数的图像和性质. 研究了对数函数的图像和性质之后,可以将对数函数的图像和性质与指数函数的图像和 性质进行比较,以便加深学生对对数函数的概念、图像和性质的理解,同时也可以为反函数 的概念的引出作一些准备. 三维目标 1. 理解对数函数的概念, 掌握对数函数的性质, 了解对数函数在生产实际中的简单应用, 培养学生数学交流能力和与人合作精神,用联系的 观点分析问题,通过对对数函数的学习, 渗透数形结合、分类讨论等数学思想. 2.能根据对数函数的图像,画出含有对数式的函数的图像,并研究它们的有关性质,使 学生用联系的观点分析、解决问题.认识事物之间的相互转化,通过师生双边活动使学生掌 握比较同底对数大小的方法,培养学生的数学应用意识. 3. 掌握对数函数的单调性及其判定, 会进行同底数的对数和不同底数的对数的大小比较, 加深对对数函数和指数函数的性质的理解,深化学生对函数图 像变化规律 的理解,通过对数 函数有关性质的研究,培养学生观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力,增强学习 的积极性,同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质,培养学生数学交流能力. 重点难点 教学重点:对数函数的定义、图像和性质;对数函数性质的初步应用,利用对数函数单 调性比较同底对数大小,对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用. 教学难点:底数 a 对对数函数性质的影响,不同底数的对数比较大小,单调性和奇偶性 的判断和证明. 课时安排 3 课时 教学过程

5.1

对数函数的概念

导入新课 思路 1.考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物,利用 t=

log 5730

1 P 估算出土文物或古遗址的年代.根据问题的实际意义可知,对于每一个碳 14 含 2
1 P 都有唯一确定的年代 t 与它对应, 所以 t 是 P 的函数. 同 2

量 P, 通过对应关系 t= log 5730

理,对于每一个对数式 y=logax 中的 x,任取一个正的实数值,y 均有唯一的值与之对应, 所以 y=logax 是关于 x 的函数. 这就是本节课的主要内容, 教师点出课题: 对数函数的概念. 思路 2.我们研究指数函数时,曾经讨论过细胞分裂问题,某种细胞分裂时,得到的细胞

的个数 y 是分裂次数 x 的函数,这个函数可以用指数函数 y=2 表示.现在,我们来研究相 反的问题,如果要求这种细胞经过多少次分裂,大约可以得到 1 万个,10 万个,??细胞, 那么,分裂次数 x 就是要得到的细胞个数 y 的函数.根据对数的定义,这个函数可以写成对 数的形式就是 x=log2y.如果用 x 表示自变量,y 表示函数,这个函数就是 y=log2x.这一节, 我们来研究与指数函数密切相关的函数——对数函数.教师点出课题:对数函数的概念. 推进新课 新知探究 提出问题 3 ①用清水漂洗衣服, 若每次能洗去污垢的 , 写出存留污垢 x 表示的漂洗次数 y 的关系式, 4 1 请根据关系式计算若要使存留的污垢,不超过原有的 ,则至少要漂洗几次? 64 ②你是否能根据上面的函数关系式,给出一个一般性的概念? ③为什么对数函数的概念中明确规定 a>0,a≠1? ④你能求出对数函数的定义域、值域吗? ⑤如何根据对数函数的定义判断一个函数是否是一个对数函数?请你说出它的步骤. 活动:先让学生仔细审题,交流讨论,然后回答,教师提示引导,及时鼓励表扬给出正 确结论的学生,引导学生在不断探索中提高 自己应用知识的能力,教师巡视,个别辅导,评 价学生的结论. 3 1 1 讨论结果:(1)若每次能洗去污垢的 ,则每次剩余污垢的 ,漂洗 1 次存留污垢 x= , 4 4 4 1?2 1?y ? ? 漂洗 2 次存留污垢 x=? ? ,?,漂洗 y 次后存留污垢 x=? ? ,因此 y 用 x 表示的关系式是 ?4? ?4? 1 对上式两边取对数得 y= log 1 x ,当 x= 时,y=3,因此至少要漂洗 3 次. 64
4

x

1 (2)对于式子 y= log 1 x ,如果用字母 a 替代 ,这就是一般性的结论,即对数函数的定 4
4

义: 函数 y=logax(a>0 且 a≠1,x>0)叫作对数函数,对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)的 定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞). y y (3)根据对数与指数式的关系,知 y=logax 可化为 a =x,由指数的概念,要使 a =x 有 意义,必须规定 a>0 且 a≠1. y y (4)因为 y=logax 可化为 x=a ,不管 y 取什么值,由指数函数的性质 a >0,所以 x∈ (0,+∞),对数函数的值域为(-∞,+∞). (5)只有形如 y=logax(a>0 且 a≠1,x>0)的函数才叫作对数函数, 即对数符号前面的系数为 1,底数是正常数,真数是 x 的形式,否则就不是对数函数.像 y=loga(x+1),y=2logax,y=loga x+1 等函数,它们是由对数函数变化而得到的,都不是 对数函数. x 指数函数 y=a 和对数函数 y=logax(a>0,a≠1)有什么关系? x 指数函数 y=a 和对数函数 x=logay 刻画的是同一对变量 x, 之间的关系, y 所不同的是: x 在指数函数 y=a 中,x 是自变量,y 是 x 的函数.其定义 域是 R,值域是(0,+∞);在对 数函数 x=logay 中,y 是自变量,x 是 y 的函数,其定义域是(0,+∞),值域是 R.像这样 x 的两个函数叫作互为反函数,就是说,对数函数 x=logay 是指数函数 y=a 的反函数,指数 x 函数 y=a 是对数函数 x=logay 的反函数. x 由于对数函数通常写成 y=logax(a>0,a≠1),因此,指数函数 y=a (a>0,a≠1)是 对数函数 y=logax(a>0,a≠1)的反函数;同时,对数函数 y=logax(a>0,a≠1)也是指数 x 函数 y=a (a>0,a≠1)的反函数. 应用示例 思路 1

例 1 (1)计算对数函数 y=log2x 对应于 x 取 1,2,4 时的函数值; (2)计算常用对数函数 y=lg x 对应于 x 取 1,10,100,0.1 时的函数值. 解:(1)当 x=1 时,y=log2x=log21=0,当 x=2 时,y=log2x=log22=1,当 x=4 时, y=log2x=log24=2. (2)当 x=1 时,y=lg x=lg 1=0,当 x=10 时,y=lg x=lg 10=1,当 x=100 时,y =lg x=lg 100=2,当 x=0.1 时,y=lg x=lg 0.1=-1. 例 2 写出下列对数函数的反函数: (1)y=lg x;(2)y= log 1 x .
3

活动:我们知道对数函数与指数函数互为反函数.同学们只要把握住这一点就不难解决 问题. x 解:(1)对数函数 y=lg x,它的底数是 10,它的反函数是指数函数 y=10 ; 1 1 ?1?x (2)对数函数 y=log x,它的底数是 ,它的反函数是指数函数 y=? ? . 3 3 ?3? 例 3 写出下列指数函数的反函数: ?2?x x (1)y=5 ;(2)y=? ? . ?3? 活动:学生审题,教师提示强调,指数函数与对数函数互为反函数. x 解:(1)指数函数 y=5 ,它的底数是 5,它的反函数是对数函数 y=log5x; 2 2 ?2?x (2)指数函数 y=? ? ,它的底数是 ,它的反函数是对数函数 y=log x. 3 3 ?3? 点评:深刻理解对数的定义是解题的关键. 思路 2 例 1 求下列函数的定义域: ? 2x+3? x (1)y=logx+1(16-4 );(2)y=log3x-1? ?. ? x-1 ? 活动:学生回忆,教师提示,学生展示解题过程,教师巡导,及时评价学生.此题主要 利用对数函数的定义及 y=logax 的定义域(0,+∞)求解.教师引导,学生回答,求函数定 义域时应首先考虑函数解析式,这两类题既有二次根式,又有分式及对数和指数式,且底数 和指数中含有变量,因此考虑被开方数非负;分母不为零;零和负数没有对数;底数不为 1 等;转化为不等式来解.

?16-4 >0, ? 解:(1)要使函数有意义,需?x+1>0, ?x+1≠1, ?

x

?x<2, ? 即?x>-1, ?x≠0, ?

所以函数的定义域为{x|-1<x<2,且 x≠0}.

?2x+3>0, ?x-1>0, (2)要使函数有意义,需? 3x-1>0, ?3x-1≠1. ?

?x>-2, ?x>1, 解得? 1 x> , 3 ?x≠1. ? 3
3

所以函数的定义

域为{x |x>1}. 2 例 2 求证:函数 f(x)=lg( x +1-x)是奇函数. 活动:学生考虑,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.判断函数的奇偶 性,一般用定义法,学生回忆判断函数奇偶性的方法,要按规定的格式来写. 2 2 证明:设 f(x)=lg( x +1-x),由 x +1-x>0,

得 x∈(-∞,+∞),即函数的定义域为(-∞,+∞),它关于原点对称, 又对于定义域(-∞,+∞)内的任意的 x, 1 2 2 都有 f(-x)=lg( ? -x? +1+x)=lg( x +1+x)=lg 2 ? x +1-x? =-lg( x +1-x)=-f(x),所以函数 y=lg( x +1-x)是奇函数. 点评:函数奇偶性的判定不能只根据表面形式加以判定,而必须进行严格的演算才能得 出正确的结论. 知能训练 求下列函数的定义域:
2 2

(4 ? x 2 ) 4 2 (1)f(x -2)=lg 2 ;(2)y= . x -5 lg( x 2 ? x)
x2 t+2 t+2 x+2 = .所以 f(t)=lg , f(x)=lg 即 . x -5 t-3 t-3 x-3 t+2 2 2 因为 x ≥0,所以 t=x -2≥-2,又 >0,所以 t>3. t-3 所以所求函数定义域为{x|x>3}.
解: (1)设 x -2=t, x =2+t, 则 所以
2 2 2

3

x2

?4-x ≥0, ? 2 (2)要使函数有意义需?x -x>0, ?x2-x≠1, ?
所以所求函数定义域为{x|-2≤x<

2

?4≥x , ? 2 得?x >x, ?x2-x≠1, ?

2

?-2≤x≤2, ?x>1或x<0, 得? ?x≠1± 5. ? 2

1- 5 1- 5 1+ 5 1+ 5 或 <x<0 或 1<x< 或 < 2 2 2 2

x≤2}.
拓展提升 在同一坐标系中,画出函数 y=log3x,y= log 1 x ,y=log2x,y= log 1 x 的图像,比一
3 2

比,看它们之间有何区别与联系. 活动:教师引导学生回顾作函数图像的方法与步骤,共同讨论研究对数函数的性质的方 法,强调数形结合,强调函数图像在研究函数性质中的作用,注意从具体到一般的思想方法 的运用,渗透概括能力的培养,进行课堂巡视,个别辅导,及时评价学生,学生独立思考, 独立画图,观察图像及表格,表述自己的发现,同学们相互交流,形成对对数函数性质的认 识.计算机画出如下图像.

图1 可以看到: 所有图像都跨越一、 四象限, 任何两个图像都是交叉出现的, 交叉点是(1,0); 当 a>1 时,图像向下与 y 轴的负半轴无限靠拢,在点(1,0)的右侧,函数值恒大于 0, 对同一自变量 x 而言,底数越大,函数值越小,在点( 1,0)的左侧,函数值恒小于 0,对同一 自变量 x 而言,底数越大,函数值越大.

当 0<a<1 时, 图像向上与 y 轴的正半轴无限靠拢, 在点(1,0)的左侧, 函数值恒大于 0, 对同一自变量 x 而言,底数越大,函数值越大;在点(1,0)的右侧,函数值恒小于 0,对同一 自变量 x 而言,底数越大,函数值越小. 以此为依据,可定性地分析在同一坐标系中,底数不同的若干个对数函数的底数的大小 关系. 怎样定量分析同一坐标系中,底数不同的对数函数的底数的大小呢?我们知道,对于对 数函数 y=logax,当 y=1 时,x=a,而 a 恰好又是对数函数的底数,这就启发我们,不妨 作直线 y=1,它同各个图像相交,交点的横坐标恰好就是对数函数的底数,以此可比较底数 的大小. 同时,根据不同图像间的关系,也可比较真数相同,底数不同的对数函数值的大小,如 log23<log1.53,log20.5<log30.5,log0.52>log0.62 等. 除了上述两种情况外,对于底数和真数都不同的函数值也可通过媒介值“0”或“1”去 比较大小. 如 log1.50.5 与 log0.50.3,因为 log1.50.5<0,log0.50.3>0,所以 log1.50.5<log0.50.3. 又如 log21.5 与 log0.50.4,因为 log21<log21.5<log22, 所以 0<log21.5<1.又因为 log0.50.4>log0.50.5=1,所以 log0.50.4>log21.5. 课堂小结 1.对数函数的概念. 2.对数函数的反函数. 作业 习题 3—5 A 组 1,2,3. 设计感想 本节课是在前面研究了对数及常用对数、指数函数的基础上,研究的第二类具体初等函 数,它有着丰富的内涵,和我们的实际生活联系密切,也是以后学习的基础,鉴于这种情况, 安排教学时,要充分利用函数图像,数形结合,无论是导入还是概念得出的过程,都比较详 细,通俗易懂,因此课堂容量大,要提高学生互动的积极性,特别是归纳出对数函数的图像 和性质后,要与指数函数的图像和性质进行比较,加深对数函数的概念的理解,要提高课堂 的效率和节奏,多运用信息化的教学手段,顺利完成本堂课的任务. (设计者:郝云静)


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