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(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《同角三角函数的基本关系式与诱导公式》理 新人教B版


[第 18 讲

同角三角函数的基本关系式与诱导公式]

(时间:45 分钟 分值:100 分)

基础热身 1.[2013?潍坊检测] 若 α 为第三象限角,则 A.3 B.-3 C.1 D.-1 2.下列关系式中正确的是( ) A.sin11°<cos10°<sin168° B.sin168°<sin11°<cos10° C.sin11°<sin168°<cos10° D.sin168°<cos10°<sin11° 5 3.已知△ABC 中,tanA=- ,则 cosA=( 12 12 5 5 12 A. B. C.- D.- 13 13 13 13 cosα 1-sin α
2



2sinα 1-cos α
2

的值为(

)

)

4.[2013?豫南六校联考] 若 α ∈(0,π ),sinα +cosα = ( ) A.- 3 或- 3 3 D.- B.- 3 2 3 3

3-1 ,则 tanα 的值为 2

C.- 3

能力提升 π 5.若函数 f(x)=(1+ 3tanx)cosx,0≤x< ,则 f(x)的最大值为( ) 2 A.1 B.2 C. 3+1 D. 3+2 2 2 6.已知 tanθ =2,则 sin θ +sinθ cosθ -2cos θ 等于( ) 4 5 3 4 A.- B. C.- D. 3 4 4 5 5 ? 3 ? π ? ? 7.[2013?石家庄检测] 若 sinα =- ,α ∈?- ,0?,则 cos?α + π ?=( 2 4 ? 5 ? ? ? A.- 2 10 B. 2 10

)

7 2 C.- 10

7 2 D. 10
1

8 .已知函数 f(x) = sinx - cosx 且 f′(x) = 2f(x) , f ′ (x) 是 f(x) 的导函数,则 2 1+sin x =( ) 2 cos x-sin2x 19 19 11 11 A.- B. C. D .- 5 5 3 3 9.[2013?河南实验中学月考] 下列条件中,△ABC 是锐角三角形的是( ) 1 → → A.sinA+cosA= B.AB?BC>0 5 C.tanA+tanB+tanC>0 D.b=3,c=3 3,B=30° π ? ?2cos x,x≤2 000, 3 10 . [2013?沈阳模拟 ] 已知函 数 f(x) = ? 则 f[f(2 014)] = ? ?x-100,x>2 000, ________. ? π? ?π ? 1 2 11.[2013?宁波期末] 若 α ∈?0, ?,且 cos α +sin? +2α ?= ,则 tanα = 2 2 ? ? ? ? 2 ________. 12.[2013?长春检测] 下列命题正确的有________. π π ①若- <α <β < ,则 α -β 的范围为(-π ,π ); 2 2 α ②若 α 在第一象限,则 在第一、三象限; 2 m-3 4-2m ③若 sinθ = ,cosθ = ,则 m∈(3,9); m+5 m+5 θ 3 θ 4 ④sin = ,cos =- ,则 θ 在第四象限. 2 5 2 5 π π 2x 13 .已知 0<x< ,则 lgcosx ? tanx + 1 - 2sin + lg 2cosx - - lg(1 + sin2x) = 2 2 4 ________. 1 2 2 14.(10 分)已知 tanα , 是关于 x 的方程 x -kx+k -3=0 的两个实根,且 3π < tanα 7 α < π ,求 co sα +sinα 的值. 2

? 5π sin? +α 2 5 ? 2 15.(13 分)已知 sinα = ,求 tan(α +π )+ 5 ? 5π cos? -α ? 2

? ? ? 的值. ? ? ?

2

难点突破 16.(12 分)已知函数 f(n)=sin (n∈Z).求值: 6 (1)f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102); (2)f(1)?f(3)?f(5)?…?f(101).



3

课时作业(十八) 【基础热身】 1.B [解析] ∵α 为第三象 限角,∴sinα <0,cosα <0, cosα 2sinα cosα 2sinα 则 + = + =-1-2=-3. 2 2 1-sin α 1-cos α |cosα | |sinα | 2.C [解析] ∵sin11°=cos79°,sin168°=cos78°, 又∵y=cosx 在[0,π ]上单 调递减, 90°>79°>78°>10°, ∴cos79°<cos78°<cos10°, ∴sin11°<sin168°<cos10°,选 C. 5 2 3.D [解析] 在△ABC 中,由 tanA=- <0 知,∠A 为钝角,所以 cosA<0,1+tan A 12 2 2 sin A+cos A 1 169 12 = = 2 = ,所以 cosA=- ,故选 D. 2 cos A cos A 144 13 4.C [解析] ∵sinα +cosα = ∴tanα =- 3 或 tanα =- 3. 3 3-1 ?π 3π ? <1,∴α ∈? , ?, 4 ? 2 ?2 3-1 3 ,∴sinα cosα =- , 2 4

由 α ∈(0,π ),0<sinα +cosα = ∴tanα =- 3,故选 C. 【能力提升】

π ? π? 5.B [解析] f(x)=(1+ 3tanx)cosx=cosx+ 3sinx=2sin?x+ ?,∵0≤x< , 6 2 ? ? ∴f(x)max=2. 2 2 2 sin θ +sinθ cosθ -2cos θ tan θ +tanθ -2 4+2-2 4 6. D [解析] 原式= = = = , 2 2 2 sin θ +cos θ tan θ +1 4+1 5 故选 D. 3 4 ? π ? 7.C [解析] 由 sinα =- ,α ∈?- ,0?得 cosα = , 2 5 5 ? ? 5 π 4 5π 5π 2? 3? 7 2 ? ? 所以 cos?α + ?=cos cosα -sin sinα =- ? + ?=- . 4 ? 4 4 2 ?5 5? 10 ? 8.A [解析] f′(x)=cosx+sinx,∵f′(x)=2f(x), 2 2 1+sin x 1+sin x ∴ cosx + sinx = 2(sinx - cosx) ,∴tanx = 3 ,∴ = = 2 2 cos x-sin2x cos x-2sinxcosx 2 2 2 2sin x+cos x 2tan x+1 19 = =- . 2 cos x-2sinxcosx 1-2tanx 5 1 24 9.C [解析] 由 sinA+cosA= 得 2sinAcosA=- <0, 5 25 ∴A 为钝角. → → → → → → 由AB?BC>0,得BA?BC<0,∴cos〈BA,BC〉<0.∴B 为钝角. 由 tanA+tanB+tanC>0,得 tan(A+B)?(1-tanAtanB)+tanC>0.∴tanAtanBtanC >0,A,B,C 都为锐角. b c 3 π 2π 由 = ,得 sinC= ,∴C= 或 . sinB sinC 2 3 3 π ? ?2cos x,x≤2 000, 3 10.1 [解析] 由 f(x)=? 得 f(2 014)=2 014-100=1 914,

? ?x-100,x>2 000,

4

? ? f(1 914)=2cos? ?1 914?=2cos638π =1,
π ?3 故 f[f(2014)]=1.

?

1 3 1 π 2 2 2 11.1 [解析] c os α +cos2α = ? 3cos α = ? cos α = ? α = ? tanα =1. 2 2 2 4 π π 12.②④ [解析] ∵若- <α <β < ,则 α -β 的范围为(-π ,0),∴①错. 2 2 m-3 4-2m ∵若 sinθ = ,cosθ = , m+5 m+5 2 2 又由 sin θ +cos θ =1 得 m=0 或 m=8,故③错. 2 13.0 [解析] 原式=lg(sinx+cosx)+lg(cosx+sinx)-lg(sinx+cosx) =0. 1 2 14.解:∵tanα ? =k -3=1,∴k=±2, tanα 7 1 而 3π <α < π ,则 tanα + =k=2, 2 tanα 得 tanα =1,则 sinα =cosα =- 2 ,∴cosα +sinα =- 2. 2

2 5 15.解:∵sinα = >0,∴α 为第一或第二象限角. 5 当 α 是第 一象限角时,cosα = 1-sin α =
2

5 , 5

?5π ? sin? +α ? cosα ? 2 ? tan(α +π )+ =tanα + 5 π sinα ? ? cos? -α ? ? 2 ? sinα cosα 1 5 = + = = . cosα sinα sinα cosα 2
当 α 是第二象限角时,cosα =- 1-sin α =- 原式=
2

5 , 5

1 5 =- . sinα cosα 2 【难点突破】 (n+12)π n ?n ? 16.解:(1)∵sin =sin? π +2π ?=sin π ,∴f(n+12)=f(n), 6 6 ?6 ? 且 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(12)=0,又 102=8?12+6, ∴f(1)+f(2)+…+f(102)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6) π 2π 3π 4π 5π 6π 1 3 3 1 =sin +sin +sin +sin +sin +sin = + +1+ + +0 6 6 6 6 6 6 2 2 2 2 =2+ 3. (2n-1)π (2)∵f(2n-1)=sin ,其周期为 6, 6 1 1 ? 1? 2 2 ? ? 从 1 到 101 有 51 个奇数,而 51=6?8+3, 34 ? 1?4?8 ?1? . ∴原式=?-? ? ?2? ? ?f(1)?f(3)?f(5)=? ?2? ? ? ? ?

f( 1)?f(3)?…?f(11)= ?1? ??- ??(-1)??- ?=-? ? . 2 2 2

? 1? ? ?

?1? ? ?

4

5


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