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河北省唐山市玉田县林南仓中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年河北省唐山市玉田县林南仓中学高一(上)期中 数学试卷
一、选择题(注意,每个题的四个选项中只用一个是正确的。本大题满分 60 分×12=60 分) 1.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,6},B={1,3,5,7},则 A∩(? UB)等 于( ) A.{2,4,6} B.{1,3,5} C.{2,4,5} D.{2,5} 2.已知集合 A.0 或 B.0 或 3 3.下列各式成立的是( A. =(x+y) ,B={1,m},A∪B=A,则 m=( C.1 或 D.1 或 3 ) B.
7 7



=

C.

=

D. ( ) =n m

4.与函数 A. B.

有相同图象的一个函数是( C.

) D.

5.函数 f(x)=2x﹣1+log2x 的零点所在区间是( A. ( ) B. ( ) C. ( ) D. (1,2)



6.幂函数 y=f(x)的图象经过点(﹣2,﹣ ) ,则满足 f(x)=27 的 x 的值是( A. B.﹣ C.3 D.﹣3



7.函数 A. ( ,+∞) B.[1,+∞)

的定义域为( C. ( ,1]



D. (﹣∞,1)

8.设 a=0.5 ,b=0.3 ,c=log0.30.2,则 a,b,c 的大小关系是( A.c<a<b B.b<a<c C.c<b<a D.a<b<c

0.5

0.5



9.已知 lga=2.31,lgb=1.31,则 =( A. B. C.10 D.100



10.函数

的图象大致形状是(



A.

B.

C.

D.

11.设函数 f(x)= A.[﹣1,2] B.[0,2]

,则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是( C.[1,+∞) D.[0,+∞)



12.若 f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,又 f(﹣3)=0,则(x﹣1)f(x)< 0 的解是( ) A. (﹣3,0)∪(1,+∞) B. (﹣3,0)∪(0,3) C. (﹣∞,﹣3)∪(3,+∞) D. (﹣3,0)∪(1,3)

二、填空题(本大题共 4 个小题,请将正确答案填在横线上,每个小题 5 分,满分共 20 分) 13.设集合 M={x|y= },N={y|y=3﹣2 },则 M∩N=
x



14.若函数 y=a 的反函数的图象经过点( ,1) ,则 a=

﹣x



15.已知 log73=a,log74=b,用 a,b 表示 log4948 为
x x+2

. .

16.已知函数 f(x)=4 ﹣2 +3,x∈[0,2],求函数 f(x)的值域是

三、解答题(本大题共 6 小题,请写出每个题的必要的解题过程,满分共 70 分) 17. (1) (2 )
a b

﹣(﹣9.6) ﹣(3 )

0

+(1.5) ;

﹣2

(2)已知 2 =5 =m,且 + =2,求 m 的值.

18.已知集合 A{x|(a﹣1)x +3x﹣2=0},B={x|x ﹣3x+2=0}. (1)若 A≠? ,求实数 a 的取值范围; (2)若 A∩B=A,求实数 a 的取值范围. 19.已知函数 .

2

2

(1)判断函数 f(x)在[3,5]上的单调性,并证明; (2)求函数 的最大值和最小值.

20.已知函数 f(x)=loga(2x+1) ,g(x)=loga(1﹣2x) (a>0 且 a≠1) (1)求函数 F(x)=f(x)﹣g(x)的定义域; (2)判断 F(x)=f(x)﹣g(x)的奇偶性,并说明理由; (3)确定 x 为何值时,有 f(x)﹣g(x)>0. 21.某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过 4 吨时,每顿为 2.10 元,当用水超 过 4 吨时,超过部分每顿 3.00 元,某月甲、乙两户共交水费 y 元.已知甲、乙两用户该月用 水量分别为 5x,3x 吨. (1)求 y 关于 x 的函数; (2)如甲、乙两户该月共交水费 40.8 元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.
x

22.已知:集合 A={x|2 ≤256},集合 B={x|log2x≥ }. (1)求 A∩B; (2)若函数 f(x)=log2( ) ? log 数 m 的取值范围. ( )﹣m(x∈A∩B)的图象与 x 轴有交点,求实

2014-2015 学年河北省唐山市玉田县林南仓中学高一 (上) 期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(注意,每个题的四个选项中只用一个是正确的。本大题满分 60 分×12=60 分) 1.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,6},B={1,3,5,7},则 A∩(? UB)等 于( ) A.{2,4,6} B.{1,3,5} C.{2,4,5} D.{2,5} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 根据全集 U 及 B 求出 B 的补集,找出 A 与 B 补集的交集即可. 解答: 解:∵全集 U={1,2,3,4,5,6,7},B={1,3,5,7}, ∴? UB={2,4,6}, ∵A={2,4,6}, ∴A∩(? UB)={2,4,6}. 故选:A. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 2.已知集合 ,B={1,m},A∪B=A,则 m=( ) A.0 或 B.0 或 3 C.1 或 D.1 或 3 考点: 集合关系中的参数取值问题. 专题: 集合. 分析: 由题设条件中本题可先由条件 A∪B=A 得出 B? A,由此判断出参数 m 可能的取值,再 进行验证即可得出答案选出正确选项. 解答: 解:由题意 A∪B=A,即 B? A,又 ,B={1,m}, ∴m=3 或 m= ,解得 m=3 或 m=0 及 m=1, 验证知,m=1 不满足集合的互异性,故 m=0 或 m=3 即为所求, 故选:B. 点评: 本题考查集合中参数取值问题,解题的关键是将条件 A∪B=A 转化为 B? A,再由集合 的包含关系得出参数所可能的取值. 3.下列各式成立的是( A. =(x+y) ) B.
7 7

=

C.

=

D. ( ) =n m

考点: 根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据指数幂的基本运算法则即可得到结论.

解答: 解:A. (x+y) B. C.
7 7 ﹣7 7

= = ≠ ,成立





=

D. ( ) =n m ≠n m



故选:C 点评: 本题主要考查指数幂的运算,根据指数幂的运算法则以及根式之间的关系是解决本题 的关键.

4.与函数 A. B.

有相同图象的一个函数是( C.

) D.

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 计算题. 分析: 本题考查的知识点是判断两个函数是否为同一函数,我们根据两个函数是否为同一函 数的判断方法,要先求函数 的定义域,然后再化简解析式,然后再去判断.

解答: 解:要使函数解析式有意义则 x≤0 即函数 故 又因为函数 故函数 = 的定义域为: (﹣∞,0] = 的定义域也为: (﹣∞,0] 与函数 表示同一个函数

则他们有相同的图象 故选 A 点评: 两个函数解析式表示同一个函数需要两个条件:①两个函数的定义域是同一个集合; ②两个函数的解析式可以化为一致.这两个条件缺一不可,必须同时满足. 5.函数 f(x)=2x﹣1+log2x 的零点所在区间是( A. ( ) B. ( ) C. ( ) D. (1,2) )

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数的解析式可得 f( )=﹣1,f(1)=1,故有 f( ) f(1)<0,故连续函数 f(x)的零点所在区间.

解答: 解:∵函数

,∴f( )=﹣1,f(1)=1, ) ,

∴f( ) f(1)<0,故连续函数 f(x)的零点所在区间是(

故选 C. 点评: 本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用,属于基础题.

6.幂函数 y=f(x)的图象经过点(﹣2,﹣ ) ,则满足 f(x)=27 的 x 的值是( A. B.﹣ C.3 D.﹣3



考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 现根据幂函数的图象过定点,代入后求出幂函数解析式,然后在解析式中取 y=27 求 x 的值. 解答: 解:设幂函数为 y=x ,因为图象过点(﹣2,﹣ ) ,所以有 α=﹣3 所以幂函数解析式为 y=x ,由 f(x)=27,得:x =27,所以 x= . 故选 A. 点评: 本题考查了密函数的概念、解析式,解答此题的关键是掌握幂函数的表达式,是基础 题. 7.函数 A. ( ,+∞) B.[1,+∞) 的定义域为( C. ( ,1] )
﹣3 ﹣3 α

=(﹣2) ,解得:

α

D. (﹣∞,1)

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: 直接由根式内部的代数式大于等于 0,然后求解对数不等式得答案. 解答: 解:由 log0.8(2x﹣1)≥0, 得 0<2x﹣1≤1,解得: ∴函数 . 的定义域( ,1].

故选:C. 点评: 本题考查了函数定义域及其求法,考查了对数不等式的解法,是基础题. 8.设 a=0.5 ,b=0.3 ,c=log0.30.2,则 a,b,c 的大小关系是( A.c<a<b B.b<a<c C.c<b<a D.a<b<c 考点: 有理数指数幂的化简求值;不等关系与不等式. 专题: 综合题.
0.5 0.5



分析: 利用幂函数的性质比较 b 与 c 的大小,利用指数函数的性质比较 b 与 1 的大小,利用 对数式的运算性质得到 c 大于 1,从而得到结论. 解答: 解:因为 y=x 在(0,+∞)上是为增函数,且 0.5>0.3,所以 0.5 >0.3 ,即 a >b. c=log0.30.2>log0.30.3=1,而 1=0.5 >0.5 . 所以 b<a<c. 故选 B. 点评: 本题考查了不等关系与不等式,考查了基本初等函数的单调性,是基础题.
0 0.5 0.5 0.5 0.5

9.已知 lga=2.31,lgb=1.31,则 =( A. 考点: 专题: 分析: 解答: B. C.10 D.100



对数的运算性质. 函数的性质及应用. 利用对数的运算法则求解. 解:∵lga=2.31,lgb=1.31,

∴lga﹣lgb=lg =2.31﹣1.31=1, ∴ =10. 故选:C. 点评: 本题考查对数值的求法,是基础题,解题时要注意对数性质的合理运用.

10.函数

的图象大致形状是(



A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数的解析式可得可得函数在(0,+∞)上单调递增,函数值大于 1;在(﹣∞,0) 上单调递减,且函数的值大于﹣1 且小于零.结合所给的选项,得出结论. 解答: 解:由函数 = ,

可得函数在(0,+∞)上单调递增,此时函数值大于 1; 在(﹣∞,0)上单调递减,且此时函数的值大于﹣1 且小于零. 结合所给的选项,只有 B 满足条件, 故选 B. 点评: 本题主要考查函数的图象特征,注意利用函数的单调性和值域,属于基础题.

11.设函数 f(x)=

,则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是(



A.[﹣1,2] B.[0,2] C.[1,+∞) D.[0,+∞) 考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 分类讨论. 分析: 分类讨论:①当 x≤1 时;②当 x>1 时,再按照指数不等式和对数不等式求解,最后 求出它们的并集即可. 解答: 解:当 x≤1 时,2 ∴0≤x≤1.
1﹣x

≤2 的可变形为 1﹣x≤1,x≥0,

当 x>1 时,1﹣log2x≤2 的可变形为 x≥ , ∴x≥1, 故答案为[0,+∞) . 故选 D. 点评: 本题主要考查不等式的转化与求解,应该转化特定的不等式类型求解. 12.若 f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,又 f(﹣3)=0,则(x﹣1)f(x)< 0 的解是( ) A. (﹣3,0)∪(1,+∞) B. (﹣3,0)∪(0,3) C. (﹣∞,﹣3)∪(3,+∞) D. (﹣3,0)∪(1,3) 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 把不等式(x﹣1) ? f(x)<0 转化为 f(x)>0 或 f(x)<0 的问题解决,根据 f(x) 是奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又 f(﹣3)=0,把函数值不等式转化为自变量不等 式,求得结果. 解答: 解:∵f(x)是 R 上的奇函数,且在(0,+∞)内是增函数, ∴在(﹣∞,0)内 f(x)也是增函数, 又∵f(﹣3)=0,∴f(3)=0 ∴当 x∈(﹣∞,﹣3)∪(0,3)时,f(x)<0; 当 x∈(﹣3,0)∪(3,+∞)时,f(x)>0; ∵(x﹣1) ? f(x)<0 ∴ 或

解可得﹣3<x<0 或 1<x<3 ∴不等式的解集是(﹣3,0)∪(1,3) 故选 D. 点评: 本题主要考查函数的奇偶性和单调性,考查解不等式,体现了分类讨论的思想方法, 属基础题. 二、填空题(本大题共 4 个小题,请将正确答案填在横线上,每个小题 5 分,满分共 20 分)

13.设集合 M={x|y=

},N={y|y=3﹣2 },则 M∩N= (﹣∞, ]

x



考点: 交集及其运算. 专题: 函数的性质及应用;集合. 分析: 由 3﹣2x≥0 求出函数 y= 由交集的运算求出 M∩N. 解答: 解:由 3﹣2x≥0 得,x≤ ,则函数 y=
x x x

的定义域 M,由 2 ≥0 求出函数 y=3﹣2 的值域 N,再

x

x

的定义域 M=(﹣∞, ],

由 2 ≥0 得,3﹣2 ≤3,则函数 y=3﹣2 的值域 N=(﹣∞,3) , 所以 M∩N=(﹣∞, ], 故答案为: (﹣∞, ]. 点评: 本题考查交集及其运算,以及函数的定义域、值域的求法,属于基础题.
﹣x

14.若函数 y=a 的反函数的图象经过点( ,1) ,则 a= 2 .

考点: 反函数;指数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据互为反函数的两个函数图象关于直线 y=x 对称, 可得函数 y=a 的图象经过点 ( 1, ) ,代入构造关于 a 的方程,解方程可得 a 值. 解答: 解:若函数 y=a 的反函数的图象经过点( ,1) , 则函数 y=a 的图象经过点(1, ) , 即a = 解得 a=2 故答案为:2 点评: 本题考查的知识点是反函数,指数函数解析式的求法,其中根据已知结合互为反函数 的两个函数图象关于直线 y=x 对称,得到函数 y=a 的图象经过点(1, ) ,是解答的关键.
﹣x ﹣1 ﹣x ﹣x ﹣x

15.已知 log73=a,log74=b,用 a,b 表示 log4948 为



考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数换底公式、对数的运算法则即可得出. 解答: 解:∵log73=a,log74=b,

∴log4948=

=

=



故答案为:



点评: 本题考查了对数换底公式、对数的运算法则,属于基础题. 16.已知函数 f(x)=4 ﹣2 +3,x∈[0,2],求函数 f(x)的值域是 [﹣1,3] . 考点: 二次函数在闭区间上的最值;函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 将解析式变形,设 2 =t,则 t∈[1,4],解析式为 f(t)=t ﹣4t+3,求二次函数闭区 间的最值. 解答: 解:设 2 =t,则 t∈[1,4],解析式为 f(t)=t ﹣4t+3=(t﹣2) ﹣1, 函数 f(t)在[1,2]单调递减,在[2,4]单调递增, 所以函数的最小值为 f(2)=﹣1,最大值为 f(4)=3; 所以函数 f(x)的值域是[﹣1,3]; 故答案为:[﹣1,3]. 点评: 本题考查了利用换元的方法将问题转化为二次函数闭区间上的最值的求法;注意换元 后新元的范围,即这里 t 的范围. 三、解答题(本大题共 6 小题,请写出每个题的必要的解题过程,满分共 70 分) 17. (1) (2 )
a b x 2 2 x 2 x x+2

﹣(﹣9.6) ﹣(3 )

0

+(1.5) ;

﹣2

(2)已知 2 =5 =m,且 + =2,求 m 的值.

考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)直接利用有理指数幂的运算法则求解即可. (2)利用指数与对数的互化,求出 a,b 即求解结果. 解答: 解: (1)原式=(2 ) ﹣(﹣9.6) ﹣(3 )
0

+(1.5)

﹣2

=( )

﹣1﹣(
﹣2


﹣2

= ﹣1﹣( )

+( )

﹣2

= ﹣( ) +( ) = (2)由 2 =5 =m,所以 a=log2m= 由 + =2,所以
a b

,b=log5m=



=2,所以 1=2lgm,

所以 m= 点评: 本题考查对数的运算法则的应用,有理指数幂的运算,考查计算能力. 18.已知集合 A{x|(a﹣1)x +3x﹣2=0},B={x|x ﹣3x+2=0}. (1)若 A≠? ,求实数 a 的取值范围; (2)若 A∩B=A,求实数 a 的取值范围. 考点: 交集及其运算;集合关系中的参数取值问题. 专题: 集合. 分析: (1)由 A 中的方程,分两种情况考虑:①a=1;②a≠1,根据 A 不为空集,确定出 a 的范围即可; (2)由 A 与 B 的交集为 A,得到 A 为 B 的子集,分两种情况考虑:①A=? ,求出 a 的范围; ②A≠? 时,根据 B 中方程的解确定出 B,得到 1 和 2 为 A 中方程的解,确定出 a 的值. 解答: 解: (1)分两种情况考虑: ①当 a=1 时,A={ }≠? ; ②当 a≠1 时,△=9+8(a﹣1)≥0,即 a≥﹣ 且 a≠1, 综上,a 的范围为 a≥﹣ ; (2)由 A∩B=A,得到 A? B, 分两种情况考虑:①当 A=? 时,a<﹣ ; ②当 A≠? 时,得到 B 中方程的解 1 和 2 为 A 的元素,即 A={1,2}, 把 x=1 代入 A 中方程得:a=0, 综上,a 的范围为{a|a<﹣ 或 a=0}. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 19.已知函数 .
2 2

(1)判断函数 f(x)在[3,5]上的单调性,并证明; (2)求函数 的最大值和最小值.

考点: 函数的最值及其几何意义;函数单调性的判断与证明. 专题: 计算题. 分析: (1)用单调性定义进行,先任取两个变量,且界定大小,再作差变形看符号. (2)由(1)的结论知在区间上是增函数,则 3,5 分别对应最小值和最大值. 解答: 解: (1)f(x)在[3,5]上是单调增函数 证明:设 x1,x2 是区间[3,5]上的两个任意实数且 x1<x2(2 分) = (5 分)

∵3≤x1<x2≤5 ∴x1﹣x2<02﹣x1>02﹣x2>0, ∴f(x1)<f(x2) , ∴f(x)在[3,5]上是单调增函数(8 分) (2)∵f(x)在[3,5]上是单调增函数,所以 x=3 时,f(x)取最小值﹣4(10 分) x=5 时 f(x)取最大值﹣2(12 分) 点评: 本题主要考查函数单调性的证明和应用,在求最值时,一定要先研究单调性, 20.已知函数 f(x)=loga(2x+1) ,g(x)=loga(1﹣2x) (a>0 且 a≠1) (1)求函数 F(x)=f(x)﹣g(x)的定义域; (2)判断 F(x)=f(x)﹣g(x)的奇偶性,并说明理由; (3)确定 x 为何值时,有 f(x)﹣g(x)>0. 考点: 指、对数不等式的解法;函数奇偶性的判断;对数函数的定义域. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: (1)利用对数函数的性质求函数的定义域. (2)利用函数奇偶性的定义去判断. (3)若 f(x)>g(x) ,可以得到一个对数不等式,然后分类讨论底数取值,即可得到不等 式的解. 解答: 解: (1)要使函数有意义,则有 (2)F(x)=f(x)﹣g(x) =loga(2x+1)﹣loga(1﹣2x) , F(﹣x)=f(﹣x)﹣g(﹣x) =loga(﹣2x+1)﹣loga(1+2x) =﹣F(x) . ∴F(x)为奇函数. (3)∵f(x)﹣g(x)>0 ∴loga(2x+1)﹣loga(1﹣2x)>0 即 loga(2x+1)>loga(1﹣2x) . ①0<a<1, ②a>1, . . .

点评: 本题主要考查了函数的定义域以及函数奇偶性的判断,判断函数的奇偶性首先要判断 定义域是否关于原点对称,然后在利用奇偶性的定义去判断,同时考查不等式的解法等基础 知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想. 21.某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过 4 吨时,每顿为 2.10 元,当用水超 过 4 吨时,超过部分每顿 3.00 元,某月甲、乙两户共交水费 y 元.已知甲、乙两用户该月用 水量分别为 5x,3x 吨. (1)求 y 关于 x 的函数;

(2)如甲、乙两户该月共交水费 40.8 元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费. 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题;函数的性质及应用. 分析: (1)由题意知,将 x 取值范围分三段,求对应函数解析式可得答案. (2)在分段函数各定义域上讨论函数值对应的 x 的值. 解答: 解: (1) 当甲的用水量不超过 4 吨时, 即 5x≤4, 乙的用水量也不超过 4 吨, y= (5x+3x) ×2.1=16.8x;? 当甲的用水量超过 4 吨,乙的用水量不超过 4 吨时,即 3x≤4 且 5x>4,? y=4×2.1+3x×2.1+3×(5x﹣4)=21.3x﹣3.6.? 当乙的用水量超过 4 吨时,? 即 3x>4,y=8×2.1+3(8x﹣8)=24x﹣7.2,?

所以 y=

…(6 分)

(2)由于 y=f(x)在各段区间上均为单调递增,? 当 x∈[0, ]时,y≤f( )<40.8;? 当 x∈( , ]时,y≤f( )<40.8;? 当 x∈( ,+∞)时,令 24x﹣7.2=40.8,解得 x=2 ? 所以甲户用水量为 5x=10 吨,付费 S1=4×2.1+6×3=26.40(元) ;? 乙户用水量为 3x=6 吨,付费 S2=4×2.1+2×3=14.40(元) .…(12 分) 点评: 本题是分段函数的简单应用题,关键是列出函数解析式,找对自变量的分段区间.
x

22.已知:集合 A={x|2 ≤256},集合 B={x|log2x≥ }. (1)求 A∩B; (2)若函数 f(x)=log2( ) ? log 数 m 的取值范围. 考点: 函数的零点;交集及其运算. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)解不等式得出解集, (2)配方为 f(x)=(log2x﹣ ) ﹣ ﹣m, ≤log2x≤3, 根据函数单调性,求出最大值,最小值,列出不等式组即可. 解答: 解: (1)∵A={x|2 ≤256}={x|x≤8}, B={x|log2x≥ }={x|x≥ }.
x 2



)﹣m(x∈A∩B)的图象与 x 轴有交点,求实

∴A∩B={x|

x≤8} ≤x≤8∴ ≤log2x≤3 ( ﹣log )﹣m 2)﹣m
2

(2)由(1)知:

f(x)=log2( ) ? log =(log2x﹣1) (log

=(log2x﹣1) (log2x﹣2)﹣m=(log2x﹣ ) ﹣ ﹣m ∴当 log2x= 时,f(x)min=﹣ ﹣m, 当 log2x=3 时,f(x)max=2﹣m 由题意可知:

∴﹣ ≤m≤2 所以,实数 m 的取值范围是:[﹣ ,2], 点评: 本题考查了函数的性质,不等式的解法,整体运用二次函数求解,属于中档题,难度 较大.


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