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2016届高考数学二轮复习 第二部分 思想方法专题部分 第二讲 数形结合思想课件 文


第 二 部 分

思想方法专题部分

第二讲

数形结合思想

——————————思想方法概述————————— 1.数形结合的含义 (1)数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与 形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.数形结合 思想通过“以形助数,以数辅形”,使复杂问题简单化,

抽象 问题具体化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问 题的本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合.

(2)数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面, 其应用大致可以分为两种情形:一是借助形的生动性和直观性 来阐明数形之间的联系,即以形作为手段,数作为目的,比如 应用函数的图象来直观地说明函数的性质;二是借助于数的精 确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形 作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.

2.运用数形结合思想遵循的原则 (1)等价性原则.在数形结合时,代数性质和几何性质的转 换必须是等价的,否则解题将会出现漏洞.有时,由于图形的 局限性,不能完整的表现数的一般性,这时图形的性质只能是 一种直观而浅显的说明,要注意其带来的负面效应. (2)双方性原则.既要进行几何直观分析,又要进行相应的 代数抽象探求,仅对代数问题进行几何分析容易出错.

(3)简单性原则.不要为了“数形结合”而数形结合.具体 运用时,一要考虑是否可行和是否有利;二要选择好突破口, 恰当设参、用参、建立关系、做好转化;三要挖掘隐含条件, 准确界定参变量的取值范围,特别是运用函数图象时应设法选 择动直线与定二次曲线.

——————————应用类型例析————————— 类型一 解决方程根的问题 用函数的图象讨论方程根的基本思想是先把方程两边的代 数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时, 需要作适当变形 转化为两个熟悉的函数), 然后在同一坐标系中作出两个函数的 图象,图象的交点个数即为方程解的个数.

(2015· 湖北卷)函数 f(x)=2sin x2 的零点个数为________. [思路引导] 转化为函数 y=2sin 交点问题.

? π? xsin?x+2?- ? ?

? π? xsin?x+2?与 y=x2 的图象 ? ?

[解析] f(x)=2sin x cos x-x2=sin 2x-x2,则函数的零点即 为函数 y=sin 2x 与函数 y=x2 图象的交点,由图可知,两图象有 2 个交点,则函数有 2 个零点.
[答案] 2

利用数形结合求方程解应注意两点 (1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数,使问题转 化为讨论两曲线的交点问题,但用此法讨论方程的解一定要注意 图象的准确性、全面性,否则会得到错解. (2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键, 数形结 合应以快和准为原则而采用,不要刻意去数形结合.

[举一反三] 1.(2014· 河北石家庄质检(二))已知函数f(x)
? ex,x≤0, ?a· =? ? ?-ln x,x>0

其中e为自然对数的底数,若关

于x的方程f(f(x))=0有且只有一个实数解,则实 数a的取值范围为( A.(-∞,0) C.(0,1) ) B.(-∞,0)∪(0,1) D.(0,1)∪(1,+∞)

[解析]

由f(f(x))=0得f(x)=1,作出函数f(x)的图象,如图所

示,当a<0,0<a<1时直线y=1与函数f(x)的图象有且只有一个交 点,所以实数a的取值范围是(-∞,0)∪(0,1),故选B.

[答案]

B

?1? 3 ? ?? ?x+ ,x≥2, 2.已知函数f(x)= ??2? 4 ? ?log2x,0<x<2.

若函数g(x)=f(x)-k有

两个不同的零点,则实数k的取值范围是________.

[解析]

画出函数f(x)的图象如图.

要使函数g(x)=f(x)-k有两个不同零点,只需y=f(x)与y=k
?3 ? 的图象有两个不同的交点,由图象易知k∈?4,1?. ? ?

[答案]

?3 ? ? ,1? ?4 ?

类型二 解不等式或求参数范围问题 求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象,根据 不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数,利用两个函 数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题,往往可以 避免烦琐的运算,获得简捷的解答.

(1)已知奇函数f(x)的定义域是{x|x≠0,x∈ R},且在(0,+∞)上单调递增,若f(1)=0,则满足x· f(x)<0的x 的取值范围是________. 1 (2)若不等式|x-2a|≥ x+a-1对x∈R恒成立,则a的取值范 2 围是________. [思路引导] (1)借助函数的性质,作出草图求解;(2)通过

1 函数y=|x-2a|和y= x+a-1的图象间的位置关系求解. 2

[解析]

(1)作出符合条件的一个函数图象草图即可,由图可

知x· f(x)<0的x的取值范围是(-1,0)∪(0,1).

(2)作出y=|x-2a|和y= 1 2a≤2-2a,故a≤ . 2
[答案] (1)(-1,0)∪(0,1)
? 1? (2)?-∞,2? ? ?

1 2

x+a-1的简图,依题意知应有

利用数形结合解决这类问题的关键是合理转 化为两个函数图象问题.

[举一反三] 1.使log2(-x)<x+1成立的x的取值范围是________.

[解析]

在同一坐标系中,分别作出y=log2(-x),y=x+1

的图象,由图可知,x的取值范围是(-1,0).
[答案] (-1,0)

2.(2015· 银川模拟)当x∈(1,2)时,(x-1)2<logax恒成立,则 实数a的取值范围是________.

[解析]

由题意可知a>1,在同一坐标系内作出y=(x-1)2,

x∈(1,2)及y=logax的图象,若y=logax过点(2,1)时,得loga2=1, ∴a=2.根据题意,函数y=logax,x∈(1,2)的图象恒在y=(x- 1)2,x∈(1,2)的上方,∴1<a≤2.
[答案] 1<a≤2

类型三 求最值问题 几种常见代数式的几何意义 y-b (1) 表示连接(x,y)和(a,b)两点直线的斜率; x-a (2) ?x-a?2+?y-b?2表示两点(x,y)和(a,b)之间的距离; (3)导数f′(x0)表示曲线在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.

(1)过点( 2 ,0)引直线l与曲线y= 1-x2 相交 于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线 l的斜率等于( ) 3 C.± D.- 3 3

3 3 A. B.- 3 3

(2)抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值 是________. [思路引导] (1)由图可知,∠AOB=90° 时△AOB的面积最

大;(2)借助平行于直线4x+3y-8=0的切线求解.

[解析]
2

(1)由于y= 1-x2,即x2+y2=1(y≥0),直线l与x2+

1 1 y =1(y≥0)交于A,B两点,如图所示,S△AOB= 2 · sin∠AOB≤ 2 , 且当∠AOB=90° 时,S△AOB取得最大值,此时AB= 2 ,点O到直 2 线l的距离为 ,则∠OCB=30° ,所以直线l的倾斜角为150° , 2 3 则斜率为- ,故选B. 3

(2)对y=-x2,有y′=-2x. 如图所示,设与直线4x+3y-8=0平行且与抛物线y=-x2 相切的直线与抛物线的切点是T(m,-m2),则切线斜率k=y′|x=
?2 4? 4 2 m=-2m=- ,所以m= ,即切点T? ,- ?,点T到直线4x+ 9? 3 3 ?3

3y-8=0的距离d=

?8 4 ? ? - -8? ?3 3 ?

4 = ,由图知抛物线y=-x2上的点 3 16+9

4 到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是d=3.
[答案] 4 (1)B (2)3

(1)在几何的一些最值问题中,可以根据图 形的性质结合图形上点的条件进行转换,快速求得最值. (2)如果(不)等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征,就 要考虑用数形结合的思想方法来解题,即所谓的几何法求解.

[举一反三] 1.设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3 上的动点,则|PQ|的最小值为( A.6 B.4 C.3 D.2 )

[解析]

由题意,知圆的圆心坐标为(3,-1),圆的半径长

为2,|PQ|的最小值为圆心到直线x=-3的距离减去圆的半径 长,所以|PQ|min=3-(-3)-2=4.故选B.
[答案] B

2.(2015· 郑州模拟)若实数x,y满足等式x2+y2=1,那么 y 的最大值为( x-2 )

1 3 3 A.2 B. 3 C. 2 D. 3 y [解析] 设k= ,如图所示, x-2

1 3 kPB=tan∠OPB= 2 2= 3 , 2 -1 3 kPA=-tan∠OPA=- 3 , 3 且kPA≤k≤kPB,∴kmax= ,故选B. 3

[答案]

B

—————————通法领悟归纳———————— 1.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平 面区域、向量的几何意义等都实现以形助数的途径,当试题中 涉及这些问题的数量关系时,我们可以通过图形分析这些数量 关系,达到解题的目的. 2.有些图形问题,单纯从图形上无法看出问题的结论,这 就要对图形进行数量上的分析,通过数的帮助达到解题的目 的.

3.利用数形结合解题,有时只需把图象大致形状画出即 可,不需要精确图象. 4.数形结合思想常用模型:一次、二次函数图象;斜率 公式;两点间的距离公式;点到直线的距离公式等.


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