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【优化指导】2016-2017学年高中数学 第三章 三角恒等变形 3.3 二倍角的三角函数练习 北师大版必修4


§3
1.若 tan α =3,则的值等于( A.2 解析:=2tan α =6. 答案:D 2.等于( ) B.2cos 5° D.2sin 5° A.-2cos 5° C.-2sin 5° 解析:原式= B.3 ) C.4

二倍角的三角函数
A组

D.6

=(cos 50°-sin 50°)

=2 =2sin(45°-50°) =-2sin 5°.
答案:C 3.cos?cos?cos?cos 的值为( A. 答案:D 4.(2016 山东济南高三月考)已知 π <α <2π ,化简的结果为( A.sin C.cos B.-sin D.-cos ) B. 解析:乘以,利用倍角公式化简得. ) C. D.

解析:∵<α <2π ,∴<π ,

∴cos α >0,cos<0, ∴原式==-cos.
答案:D 5.若 sin 2α =,0<α <,则 cos 的值为( A. B.2

) D.

C.±

解析:(sin α +cos α ) =1+sin 2α =, 因为 0<α <,所以 sin α +cos α =, 则 cos(cos α +sin α )=. 答案:D 6. 导学号 03070140 已知 θ 是第三象限角,若 sin θ +cos θ =,则 sin 2θ 等于( A.
4 4 4 4

)
2

B.2 2

C.
2 2 2

D.2

解析:∵sin θ +cos θ =(sin θ +cos θ ) -2sin θ cos θ =1-2(sin θ cos θ ) =,∴(sin θ cos θ ) =.

∵θ 为第三象限角,∴sin θ <0,cos θ <0,

1

∴sin θ cos θ >0,∴sin θ cos θ =. ∴sin 2θ =2sin θ cos θ =.
答案:A 7.函数 f(x)=2cos +sin x 的最小正周期是 解析:∵f(x)=2cos +sin x=1+sin,
2 2

.

∴T==2π .
答案:2π 8.定义运算 ab=a -ab-b ,则 sincos= 解析:原式=sin -sin?cos-cos =-cossin=-. 答案:9.已知 π <α <,化简:. 解:原式=,
2 2 2 2

.

∵π <α <,∴, ∴cos<0,sin>0. ∴原式==-=-cos.
10. 导学号 03070141 已知函数 f(x)=2cos x(sin x-cos x),x∈R. (1)求函数 f(x)图像的对称中心; (2)求函数 f(x)在区间上的最小值和最大值. 解:(1)f(x)=2cos x(sin x-cos x)=sin 2x-cos 2x-1=sin-1. 令 2x-=kπ ,k∈Z,得 x=,k∈Z, 因此,函数 f(x)的图像的对称中心为,k∈Z. (2)因为 f(x)=sin-1 在区间上为增函数,在区间上为减函数, 又 f=-1,f-1,fsin-1=-cos-1=-2, 故函数 f(x)在区间上的最大值为-1,最小值为-2. B组 1.可化简为( A.1 解析:原式= ) B.-1 C.cos x D.-sin x

= = ==1.
答案:A 2.若 cos θ =-,θ 是第三象限的角,则=( A. 解析: B.C. ) D.-2

=,
因为 cos θ =-,且 θ 是第三象限的角, 所以 sin θ =-,故=-2.

2

答案:D 3.若=-,则 cos α +sin α 的值为 解析:∵

.

= =-(cos α +sin α )=-, ∴cos α +sin α =.
答案: 4.已知角 α 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合,角 α 的终边与圆心在原点的单位圆(半 径为 1 的圆)交于第二象限内的点 A,则 sin 2α = α =2?=-. 答案:5.若<β <α <π ,cos(α -β )=,sin(α +β )=-,则 sin α +cos α 的值为 解析:由题意得 0<α -β <,π <α +β <π ,则 sin(α -β )=,cos(α +β )=-,

.(用数值表示)

解析:由已知得 xA=-,从而由三角函数的定义可知 sin α =,cos α =-,所以 sin 2α =2sin α cos

.

∴sin 2α =sin[(α +β )+(α -β )]=sin(α +β )?cos(α -β )+cos(α +β )sin(α -β )=-, ∴(sin α +cos α )2=1+2sin α cos α =1+sin 2α =.
又 sin α +cos α =sin>0,

∴sin α +cos α =.
答案: 6. 导学号 03070142 若 f(x)=cos 2x-2a(1+cos x)的最小值为-,则 a=
2

.

解析:f(x)=cos 2x-2acos x-2a=2cos x-2acos x-2a-1,令 t=cos x,则-1≤t≤1,函数 f(x)可转化为

y=2t2-2at-2a-1=2-2a-1,当>1,即 a>2 时,当 t=1 时,ymin=2-2a-2a-1=-,解得 a=,不符合 a>2,舍去;当 <-1,即 a<-2 时,当 t=-1 时,ymin=2+2a-2a-1=1≠-,不符合题意,舍去;当-1≤≤1,即-2≤a≤2 时,当 t=时,ymin=--2a-1=-,解得 a=-2±,因为-2≤a≤2,
所以 a=-2+.综上所述,a=-2+. 答案:-2+ 7.已知 sin α =,sin(α +β )=,α ,β 均为锐角,求 cos 的值. 解:∵0<α <,∴cos α =,

∵0<α <,0<β <,∴0<α +β <π .
若 0<α +β <,∵sin(α +β )<sin α ,

∴α +β <α ,∴β <0,与已知矛盾, ∴<α +β <π ,∴cos(α +β )=-, ∴cos β =cos[(α +β )-α ]=cos(α +β )cos α +sin(α +β )sin α =-.
又,

∴cos.
8. 导学号 03070143 已知向量 a=,b=(cos x,-1). (1)当 a∥b 时,求 2cos x-sin 2x 的值; (2)求 f(x)=(a+b)?b 在上的值域.
2

3

解:(1)∵a∥b,∴cos x+sin x=0,

∴tan x=-, ∴2cos2x-sin 2x=.
(2)由题意知 a+b=,

∴f(x)=(a+b)?b=(sin x+cos x)?cos x+?(-1)=sin xcos x+cos2x=sin 2x+cos 2x =sin, ∵-≤x≤0,∴-≤2x+, ∴-1≤sin,∴-≤f(x)≤, ∴函数 f(x)在上的值域为.

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