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2013-2014学年江西省吉安市安福中学高二(上)第一次月考数学试卷(理科)


2013-2014 学年江西省吉安市安福中学高二(上) 第一次月考数学试卷(理科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. 分)过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( (5 ) A.x+2y﹣5=0 B.2x+y﹣4=0 C.x+3y﹣7=0 D.3x+y﹣5=0

2. 分) (5 (2012?香洲区模拟)已知方程

A. B.(1,+∞) C.(1,2)

表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围是( D.



3. 分)方程(x +y ﹣4) (5 A. B.

2

2

=0 的曲线形状是( C.

) D.

4. 分)已知圆(x+2) +y =36 的圆心为 M,设 A 为圆上任一点,N(2,0) (5 ,线段 AN 的垂直平分线交 MA 于 点 P,则动点 P 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 5. 分)经过点 P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,且截距之和最小,则直线的方程为( (5 A.x+2y﹣6=0 B.2x+y﹣6=0 C.x﹣2y+7=0 D.x﹣2y﹣7=0 6. 分)抛物线 y=﹣4x 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( (5 A. B. C. D. ﹣ ﹣
2

2

2





7. 分)已知圆 C1:x +y ﹣2mx+m =4,圆 C2:x +y +2x﹣2my=8﹣m (m>3) (5 ,则两圆的位置关系是( A.相交 B.内切 C.外切 D.相离 8. 分) (5 (2002?北京)若直线 范围( ) A. B.

2

2

2

2

2

2



与直线 2x+3y﹣6=0 的交点位于第一象限,则直线 l 的倾斜角的取值 C. D.

9. 分)已知点 P(a,b) (5 (ab≠0)是圆 x +y =r 内的一点,直线 m 是以 P 为中点的弦所在直线,直线 l 的方程为 2 ax+by=r ,那么( ) A. m∥l,且 l 与圆相交 B. m⊥l,且 l 与圆相切 C. m∥l,且 l 与圆相离 D. m⊥l,且 l 与圆相离

2

2

2

1

10. 分) (5 (2010?台州一模)设 F1,F2 分别是椭圆

的左、右焦点,已知点 P( )



(其中 c 为椭圆的半焦距) ,若线段 PF1 的中垂线恰好过点 F2,则椭圆离心率的值为( A. B. C. D.

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 2 11. 分)抛物线 y=mx 的焦点坐标为_________. (5 12. 分)过点(﹣1,﹣2)的直线 l 被圆 x +y ﹣2x﹣2y+1=0 截得的弦长为 (5
2 2

,则直线 l 的斜率为 _________.

13.5 分) ( 当以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积的最大值为 1 时, 椭圆长轴的最小值为 _________.

14. 分)若两平行直线 3x﹣2y﹣1=0,6x+ay+c=0 之间的距离为 (5 _________.

,则

的值为

15. 分)若点 O 和点 F 分别为椭圆 (5 为_________.

+

=1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上点的任意一点,则

?

的最大值

三、解答题(共 6 小题) 16. (12 分) (1)求点 A(3,2)关于点 B(﹣3,4)的对称点 C 的坐标; (2)求直线 3x﹣y﹣4=0 关于点 P(2,﹣1)对称的直线 l 的方程; (3)求点 A(2,2)关于直线 2x﹣4y+9=0 的对称点的坐标.

17. (12 分)过抛物线 C:y =4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,O 为坐标原点. (1)若直线 l 被抛物线 C 截得的弦以 M(1,1)为中点,求直线 l 的方程. (2)若|AF|=3,求△ AOB 的面积.

2

2

18. (12 分) (2007?惠州模拟)已知圆 C:x +y ﹣2x+4y﹣4=0,是否存在斜率为 1 的直线 l,使 l 被圆 C 截得的弦 长 AB 为直径的圆过原点,若存在求出直线的方程,若不存在说明理由.

2

2

19. (12 分)已知 F1、F2 是椭圆

+

=1(a>b>0)的左、右焦点,A 是椭圆上位于第一象限的一点,B 也在椭

圆上,且满足

+

= (O 为坐标原点) ,

?

=0,且椭圆的离心率为



(1)求直线 AB 的方程; (2)若△ ABF2 的面积为 4

,求椭圆的方程.

20. (13 分) (2012?孝感模拟)已知椭圆的方程为

=1(a>b>0) ,它的一个焦点与抛物线 y =8x 的焦点重合,

2

离心率 e=

,过椭圆的右焦点 F 作与坐标轴不垂直的直线 l,交椭圆于 A、B 两点.

(1)求椭圆的标准方程; (2)设点 M(1,0) ,且 ,求直线 l 的方程.

3

21. (14 分)如图,椭圆 C:

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,上顶点为 A,在 x 轴负半轴上有

一点 B,满足 AB⊥AF2.且 F1 为 BF2 的中点. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)D 是过 A,B,F2 三点的圆上的点,D 到直线 l:x﹣ 程.

y﹣3=0 的最大距离等于椭圆长轴的长,求椭圆 C 的方

4

2013-2014 学年江西省吉安市安福中学高二(上) 第一次月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. 分)过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( (5 ) A.x+2y﹣5=0 B.2x+y﹣4=0 C.x+3y﹣7=0 D.3x+y﹣5=0 考点: 专题: 分析: 解答: 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系. 计算题. 先根据垂直关系求出所求直线的斜率,由点斜式求直线方程,并化为一般式.
4355290

解:设 A(1,2) ,则 OA 的斜率等于 2,故所求直线的斜率等于﹣ ,由点斜式求得所求直线的方程 为 y﹣2=﹣ (x﹣1) ,化简可得 x+2y﹣5=0,故选 A.

点评:

本题考查用点斜式求直线方程的方法,求出所求直线的斜率,是解题的关键.

2. 分) (5 (2012?香洲区模拟)已知方程 A. B.(1,+∞) C.(1,2)

表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围是( D.



考点: 专题: 分析: 解答:

椭圆的简单性质. 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
4355290

根据椭圆的标准方程,得焦点在 y 轴上的椭圆方程中,x 、y 的分母均为正数,且 y 的分母较大,由此 建立关于 k 的不等式组,解之即得实数 k 的取值范围. 解:∵方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆,

2

2

2



,解之得 1<k<2

点评:

实数 k 的取值范围是(1,2) 故选:C 本题给出标准方程表示焦点在 y 轴上的椭圆,求参数 k 的取值范围,着重考查了椭圆的标准方程的概念, 属于基础题.
2 2

3. 分)方程(x +y ﹣4) (5

=0 的曲线形状是(



5

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析:

轨迹方程. 综合题.

4355290

由已知的方程得到 解答: 解:由(x +y ﹣4)
2 2 2

,或 x+y+1=0,则由线性规划知识可得答案.

=0,得
2

,或 x+y+1=0.

点评:

它表示直线 x+y+1=0 和圆 x +y =4 在直线 x+y+1=0 右上方的部分. 故选 C. 本题考查了轨迹方程,考查了学生的理解能力,是中档题.
2 2

4. 分)已知圆(x+2) +y =36 的圆心为 M,设 A 为圆上任一点,N(2,0) (5 ,线段 AN 的垂直平分线交 MA 于 点 P,则动点 P 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 考点: 专题: 分析: 解答: 轨迹方程. 计算题. 根据线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P 可知|PA|=|PN|,进而可知 PM|+|PA|=6,根据椭圆的定义可知 点 P 的轨迹为椭圆. 解:∵|PA|=|PN|,∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|MA|=6>|MN|. 故动点 P 的轨迹是椭圆. 故选 B 本题主要考查了用定义法求轨迹方程的问题.属基础题.
4355290

点评:

5. 分)经过点 P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,且截距之和最小,则直线的方程为( (5 A.x+2y﹣6=0 B.2x+y﹣6=0 C.x﹣2y+7=0 D.x﹣2y﹣7=0 考点: 专题: 分析: 解答:



直线的斜截式方程. 计算题. 设出直线方程的截距式,把经过的点 P(1,4)的坐标代入得 a 与 b 的等式关系,把截距的和 a+b 变 形后使用基本不等式求出它的最小值.
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解:设直线的方程为 + =1(a>0,b>0) ,则有 + =1, ∴a+b=(a+b)×1=(a+b)×( + )=5+ + 当且仅当 = ,即 a=3,b=6 时取“=”. ≥5+4=9,

点评:

∴直线方程为 2x+y﹣6=0. 故选 B. 本题考查直线方程的截距式,利用基本不等式求截距和的最小值,注意等号成立的条件需检验.
2

6. 分)抛物线 y=﹣4x 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( (5
6



A. ﹣

B. ﹣

C.

D.

考点: 专题: 分析: 解答:

抛物线的简单性质;抛物线的标准方程. 圆锥曲线的定义、性质与方程. 先根据抛物线的方程求得准线的方程,进而根据抛物线的定义,利用点 M 到准线的距离求得点 M 的纵坐标,求得答案.
4355290

解:抛物线的标准方程为

,准线方程为 y=



根据抛物线的定义可知点 M 与抛物线焦点的距离就是点 M 与抛物线准线的距离, 依题意可知抛物线的准线方程为 y= ∵点 M 与抛物线焦点的距离为 1, ∴点 M 到准线的距离为 ∴点 M 的纵坐标 . , ,

点评:

故答案为:B 本题主要考查了抛物线的简单性质有意见抛物线的定义的运用.学生对抛物线基础知识的掌握.属 基础题.
2 2 2 2 2 2

7. 分)已知圆 C1:x +y ﹣2mx+m =4,圆 C2:x +y +2x﹣2my=8﹣m (m>3) (5 ,则两圆的位置关系是( A.相交 B.内切 C.外切 D.相离 考点: 专题: 分析: 解答: 圆与圆的位置关系及其判定. 直线与圆.



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根据两圆的标准方程求出这两个圆的圆心和半径,求出圆心距,再根据两圆的圆心距 C1C2 大于半径之 和,得出结论. 2 2 2 2 解:将两圆方程分别化为标准式得到圆 C1: (x﹣m) +y =4;圆 C2: (x+1) +(y﹣m) =9, 则圆心 C1(m,0) 2(﹣1,m) ,C ,半径 r1=2,r2=3, 两圆的圆心距 C1C2= 则圆心距大于半径之和, 故两圆相离. 故答案为:D. 本题主要考查圆的标准方程,两圆的位置关系的判定方法,属于中档题. 与直线 2x+3y﹣6=0 的交点位于第一象限,则直线 l 的倾斜角的取值 C. D. ,

点评:

8. 分) (5 (2002?北京)若直线 范围( ) A. B.

考点: 专题: 分析:

直线的斜率;两条直线的交点坐标. 计算题. 联立两直线方程到底一个二元一次方程组,求出方程组的解集即可得到交点的坐标,根据交点在第 一象限得到横纵坐标都大于 0, 联立得到关于 k 的不等式组, 求出不等式组的解集即可得到 k 的范围, 然后根据直线的倾斜角的正切值等于斜率 k,根据正切函数图象得到倾斜角的范围.
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7

解答: 解:联立两直线方程得: ,

将①代入②得:x=

③,把③代入①,求得 y= , ) ,



所以两直线的交点坐标为(

因为两直线的交点在第一象限,所以得到



由①解得:k>﹣ ;由②解得 k> 设直线 l 的倾斜角为 θ,则 tanθ>

或 k<﹣ ,所以不等式的解集为:k> ,所以 θ∈( , ) .



点评:

故选 B. 此题考查学生会根据两直线的方程求出交点的坐标,掌握象限点坐标的特点,掌握直线倾斜角与直 线斜率的关系,是一道综合题.
2 2 2

9. 分)已知点 P(a,b) (5 (ab≠0)是圆 x +y =r 内的一点,直线 m 是以 P 为中点的弦所在直线,直线 l 的方程为 2 ax+by=r ,那么( ) A.m∥l,且 l 与圆B.m⊥l,且 l 与圆C.m∥l,且 l 与圆D.m⊥l,且 l 与圆 相交 相切 相离 相离 考点: 专题: 分析: 直线与圆的位置关系. 直线与圆.

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解答:

由 P 在圆内,得到 P 到圆心距离小于半径,利用两点间的距离公式列出不等式 a +b <r ,由直线 m 是以 P 为中点的弦所在直线,利用垂径定理得到直线 OP 与直线 m 垂直,根据直线 OP 的斜率求出直 线 m 的斜率,再表示出直线 l 的斜率,发现直线 m 与 l 斜率相同,可得出两直线平行,利用点到直线 的距离公式表示出圆心到直线 l 的距离,利用得出的不等式变形判断出 d 大于 r,即可确定出直线 l 与圆相离. 解:∵点 P(a,b) (ab≠0)在圆内, 2 2 2 ∴a +b <r , ∵kOP= ,直线 OP⊥直线 m, ∴km=﹣ , ∵直线 l 的斜率 kl=﹣ =km, ∴m∥l, ∵圆心 O 到直线 l 的距离 d= > =r,

2

2

2

点评:

∴l 与圆相离. 故选 C. 此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:两点间的距离公式,点到直线的距离公式,两直线 垂直、平行时直线斜率满足的关系,直线与圆的位置关系由 d 与 r 的大小来判断,当 d>r 时,直线与 圆相离;当 d<r 时,直线与圆相交;当 d=r 时,直线与圆相切(其中 d 为圆心到直线的距离,r 为圆 的半径) .
8

10. 分) (5 (2010?台州一模)设 F1,F2 分别是椭圆

的左、右焦点,已知点 P( )



(其中 c 为椭圆的半焦距) ,若线段 PF1 的中垂线恰好过点 F2,则椭圆离心率的值为( A. B. C. D.

考点: 专题: 分析: 解答:

椭圆的简单性质. 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 设 P 在 x 轴上的射影点为 D,根据题意可得|PF2|=|F1F2|=2c,由此建立关于 a、b、c 的关系式,化简可 得 a= ,即可得到该椭圆的离心率.
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解:设 D (

,0) ,可得

∵线段 PF1 的中垂线恰好过点 F2, ∴|PF2|=|F1F2|=2c 即( ﹣c) +(
2

) =4c ,解之得 a=

2

2

∴该椭圆的离心率 e= = 故选:D

点评:

本题给出椭圆满足的条件,求椭圆的离心率.着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质等知识,属 于中档题.

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11. 分)抛物线 y=mx 的焦点坐标为 (0, (5
2

) .

考点: 专题: 分析: 解答:

抛物线的简单性质. 圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 该抛物线的方程是 x =2py(p>0)的形式,由此不难得到已知的抛物线焦点在 y 轴上,接下来分当 m 2 >0 时和当 m<0 时两种情况加以讨论,即可得到抛物线 y=mx 的焦点坐标.
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解:∵抛物线 y=mx 的标准形式是 x = y, ∴抛物线焦点在 y 轴上, ①当 m>0 时,抛物线开口向上,可得 2p= , ∵抛物线 x =2py 的焦点坐标为(0, ) , ∴抛物线 x = y 的焦点坐标为: (0,
2 2

2

2



) ;

9

②当 m<0 时,抛物线开口向下,可得﹣2p= ,﹣ ∵抛物线 x =﹣2py 的焦点坐标为(0,﹣ ) , ∴抛物线 x = y 的焦点坐标为: (0,
2 2 2



) ; ) .

综上所述,可得抛物线 y=mx 的焦点坐标为(0, 故答案为: (0, 点评: )

本题给出抛物线的标准方程, 求它的焦点坐标, 着重考查了抛物线的标准方程与简单性质, 属于基础题.
2 2

12. 分)过点(﹣1,﹣2)的直线 l 被圆 x +y ﹣2x﹣2y+1=0 截得的弦长为 (5

,则直线 l 的斜率为 1 或



考点: 专题: 分析:

直线与圆的位置关系;直线的斜率. 计算题. 将圆的方程化为标准方程,找出圆心坐标和圆的半径 r,由弦长及半径,利用垂径定理及勾股定理求出 圆心到直线 l 的距离 d,设出直线 l 的斜率,由直线 l 过(﹣1,﹣2) ,表示出直线 l 的方程,利用点到直 线的距离公式列出关于 k 的方程,求出方程的解得到 k 的值,即为直线 l 的斜率.
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解答:

解:将圆的方程化为标准方程得: (x﹣1) +(y﹣1)2=1, ∴圆心坐标为(1,1) ,半径 r=1, 又弦长为 , ∴圆心到直线 l 的距离 d= = ,

2

设直线 l 的斜率为 k,又直线 l 过(﹣1,﹣2) , ∴直线 l 的方程为 y+2=k(x+1) ,即 kx﹣y+k﹣2=0, ∴ = ,即(k﹣1) (7k﹣17)=0,

解得:k=1 或 k=

, .

则直线 l 的斜率为 1 或 故答案为:1 或 点评:

此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:垂径定理,勾股定理,点到直线的距离公式,以及直 线的点斜式方程,当直线与圆相交时,常常根据垂径定理由垂直得中点,进而由弦长的一半,圆的半径 及弦心距构造至直角三角形,利用勾股定理来解决问题. .

13. 分)当以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积的最大值为 1 时,椭圆长轴的最小值为 (5 考点: 专题: 分析: 解答: 椭圆的简单性质. 计算题.

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由题设条件可知 bc=1.推出 解:由题意知 bc=1.

,由此可以求出椭圆长轴的最小值.

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点评:

∴ . ∴ , 故答案为: . 本题考查椭圆的性质及其应用,解题时要熟练掌握公式的灵活运用.注意字母的转化.

14. 分)若两平行直线 3x﹣2y﹣1=0,6x+ay+c=0 之间的距离为 (5 ±1 . 考点: 专题: 分析:

,则

的值为

两条平行直线间的距离. 计算题. 由两直线平行得到 x 的系数之比等于 y 的系数之比不等于常数项之比求出 a 的值, 然后把第二个方程等 号两边都除以 2 后,利用两平行线间的距离公式表示出关于 c 的方程,求出方程的解即可得到 c 的值, 把 a 和 c 的值代入即可求出所求式子的值.
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解答:

解:由题意得, =



,∴a=﹣4,c≠﹣2,

则 6x+ay+c=0 可化为 3x﹣2y+ =0,

由两平行线间的距离公式,得 解得 c=2 或﹣6, 所以 =±1.

=

,即| +1|=2

点评:

故答案为:±1 此题考查学生掌握两直线平行的条件,灵活运用两平行线间的距离公式化简求值,是一道中档题.

15. 分)若点 O 和点 F 分别为椭圆 (5 为 6 .

+

=1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上点的任意一点,则

?

的最大值

考点: 专题: 分析:

平面向量数量积的运算;椭圆的简单性质. 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

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设 P(x,y) ,由数量积运算及点 P 在椭圆上可把 求其最大值. 解:设 P(x,y) , 则 ? =(x,y)?(x+1,y)=x +x+y ,
2 2

?

表示为 x 的二次函数,根据二次函数性质可

解答:

又点 P 在椭圆上,故 所以 x +x+(3﹣ 又﹣2≤x≤2,
2

+ )=

=1,

+x+3=

+2,

11

所以当 x=2 时,

+2 取得最大值为 6,即

?

的最大值为 6,

点评:

故答案为:6. 本题考查平面向量的数量积运算、椭圆的简单性质,属中档题.

三、解答题(共 6 小题) 16. (12 分) (1)求点 A(3,2)关于点 B(﹣3,4)的对称点 C 的坐标; (2)求直线 3x﹣y﹣4=0 关于点 P(2,﹣1)对称的直线 l 的方程; (3)求点 A(2,2)关于直线 2x﹣4y+9=0 的对称点的坐标. 考点: 专题: 分析: 与直线关于点、直线对称的直线方程. 计算题;直线与圆. (1)设出点 C 的坐标为(m,n) ,利用中点坐标公式建立关于 m、n 的方程,解之即可得到所求对 称点 C 的坐标; (2)设直线 3x﹣y﹣4=0 上点 M(a,b)关于 P(2,﹣1)对称的点为 N(x,y) ,利用中心对称的 公式算出用 x、 表示 a、 的坐标式, y b 结合 M 在 3x﹣y﹣4=0 上代入化简, 即可得到直线 3x﹣y﹣4=0 关于点 P(2,﹣1)对称的直线 l 的方程; (3)设 B(s,t)为点 A(2,2)关于直线 2x﹣4y+9=0 的对称点,利用轴对称的性质建立关于 s、 t 的方程组,解之即可得到点 A(2,2)关于直线 2x﹣4y+9=0 的对称点的坐标. 解: (1)设点 A(3,2)关于点 B(﹣3,4)的对称点 C 坐标为(m,n) ,
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解答:

可得 B 为线段 AC 的中点,得﹣3= (3+m) ,4= (2+n) , 解之得 m=﹣9,n=6,得 C 的坐标为(﹣9,6) . (2)设直线 3x﹣y﹣4=0 上点 M(a,b)关于点 P(2,﹣1)对称的点为 N(x,y) , 可得 2= (a+x) ,﹣1= (b+y) ,解之得 ,

∵M(4﹣x,﹣2﹣y)在直线 3x﹣y﹣4=0 上, ∴3(4﹣x)﹣(﹣2﹣y)﹣4=0, 化简得 3x﹣y﹣10=0,即为直线 3x﹣y﹣4=0 关于点 P(2,﹣1)对称的直线 l 的方程. (3)设 B(s,t)为点 A(2,2)关于直线 2x﹣4y+9=0 的对称点,



,解得 s=1 且 t=4,

点评:

∴点 A(2,2)关于直线 2x﹣4y+9=0 的对称点的坐标为 B(1,4) . 本题给出已知点,求点关于直线的对称的和点关于点的对称点,着重考查了直线的基本量与基本形 式、直线的位置关系等知识,属于中档题.
2

17. (12 分)过抛物线 C:y =4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,O 为坐标原点. (1)若直线 l 被抛物线 C 截得的弦以 M(1,1)为中点,求直线 l 的方程. (2)若|AF|=3,求△ AOB 的面积. 考点: 专题: 分析: 直线与圆锥曲线的关系;直线的一般式方程. 圆锥曲线的定义、性质与方程. (1)分别设出 A,B 的坐标,利用点差法求出 AB 所在直线的斜率,由点斜式写出直线方程; (2) 由焦半径公式求出 A 点坐标, 利用两点式求出直线 AF 的方程, 和抛物线联立求出 B 点的坐标, 然后代入面积公式求解△ AOB 的面积. 解: (1)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .
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解答:

12

∵M(1,1)为 AB 中点,∴x1+x2=2 2 又∵A,B 在抛物线 y =4x 上, ∴ , .

两式相减得: 1﹣y2) 1+y2)=4(x1﹣x2) (y (y . ∴ .

∴kAB=2,则直线 l 的方程为 y﹣1=2(x﹣1) ,即 2x﹣y﹣1=0; (2)由|AF|=3,得 x1+1=3,∴x1=2, 不妨设 A 在第一象限,则 .

∴AF 所在直线方程为

,整理得:



代入 y =4x 得: ∴ 点评:

2



. .

本题考查了直线的一般式方程,考查了直线与圆锥曲线的关系,训练了“点差法”求直线的斜率,涉及 中点弦问题,利用点差法能起到事半功倍的效果, (2)中求三角形的面积采用了数学转化思想方法, 把△ AOB 的面积转化为两个小三角形面积的和,此题是中高档题.
2 2

18. (12 分) (2007?惠州模拟)已知圆 C:x +y ﹣2x+4y﹣4=0,是否存在斜率为 1 的直线 l,使 l 被圆 C 截得的弦 长 AB 为直径的圆过原点,若存在求出直线的方程,若不存在说明理由. 考点: 专题: 分析: 直线与圆相交的性质. 计算题;数形结合. 将圆 C 化成标准方程,假设存在以 AB 为直径的圆 M,圆心 M 的坐标为(a,b) .因为 CM⊥l,则有
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kCM?kl=﹣1,表示出直线 l 的方程,从而求得圆心到直线的距离,再由: 解答:
2 2

求解.

解:圆 C 化成标准方程为(x﹣1) +(y+2) =9,假设存在以 AB 为直径的圆 M,圆心 M 的坐标为 (a,b) . ∵CM⊥l,即 kCM?kl= ×1=﹣1

∴b=﹣a﹣1 ∴直线 l 的方程为 y﹣b=x﹣a,即 x﹣y﹣2a﹣1=0 ∴|CM| =(
2 2 2 2

) =2(1﹣a)
2

2

2

∴|MB| =|CB| ﹣|CM| =﹣2a +4a+7 ∵|MB|=|OM| ∴﹣2a +4a+7=a +b ,得 a=﹣1 或 , 当 a= 时,b=﹣ ,此时直线 l 的方程为 x﹣y﹣4=0 当 a=﹣1 时,b=0,此时直线 l 的方程为 x﹣y+1=0 故这样的直线 l 是存在的,方程为 x﹣y﹣4=0 或 x﹣y+1=0.
2 2 2

13

点评:

本题主要考查直线与圆的位置关系其其方程的应用,本题是一道探究题,出题新颖,体现知识的灵活 运用.

19. (12 分)已知 F1、F2 是椭圆

+

=1(a>b>0)的左、右焦点,A 是椭圆上位于第一象限的一点,B 也在椭

圆上,且满足

+

= (O 为坐标原点) ,

?

=0,且椭圆的离心率为



(1)求直线 AB 的方程; (2)若△ ABF2 的面积为 4 考点: 专题: 分析: ,求椭圆的方程.

椭圆的简单性质;椭圆的标准方程. 计算题. (1)由 +

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=0 知直线 AB 过原点,且 A、B 关于原点对称,由

?

=0,可得 A 点的横坐

标为 x=c,再利用椭圆的离心率为

,即可求得 A 点的坐标,从而利用点斜式写出直线 AB 的方程

即可; (2)将△ ABF2 的面积分成两份,以 OF2 为公共底边,则高即为 A、B 纵坐标之差,列方程即 2 2 可解得 c 值,进而求得 a ,b ,确定椭圆方程 解答: 解: (1)由 又 ? + =0 知直线 AB 过原点, ⊥

=0,∴

∴A 点的横坐标为 x=c,代入椭圆方程得 A 点纵坐标为 y=

又∵椭圆的离心率为

,即 =

∴y=

=

=

=

c

即 A(c,

c) ,∴直线 AB 的斜率为 x

=

∴直线 AB 的方程为 y=

(2)由对称性知 S△ ABF2= ×|OF2|×|yA﹣yB| = ×c×
2

c=4
2 2 2 2

解得 c =8,∴a =16,b =a ﹣c =8

14

∴椭圆方程为 点评:

+

=1

本题主要考查了椭圆标准方程及其应用和求法,椭圆的几何性质如离心率、对称性等的应用,向量在 解析几何中的应用,直线方程的求法,由一定难度

20. (13 分) (2012?孝感模拟)已知椭圆的方程为

=1(a>b>0) ,它的一个焦点与抛物线 y =8x 的焦点重合,

2

离心率 e=

,过椭圆的右焦点 F 作与坐标轴不垂直的直线 l,交椭圆于 A、B 两点.

(1)求椭圆的标准方程; (2)设点 M(1,0) ,且 ,求直线 l 的方程.

考点: 专题: 分析:

圆锥曲线的综合. 计算题;综合题;压轴题;数形结合;方程思想;待定系数法.
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(1)由椭圆和 y =8x 抛物线有共同的焦点,求出抛物线的焦点坐标,离心率 即可求得椭圆 C 的方程; (2)设出直线 l 的方程和点 A,B 的坐标,并代入 的一元二次方程,△ >0,利用韦达定理即可求得. 解: (1)设椭圆的右焦点为(c,0) , 2 因为 y =8x 的焦点坐标为(2,0) ,所以 c=2 因为 ,则 a =5,b =1
2 2

2

,根据 a =b +c ,

2

2

2

,联立联立消去 y,得到关于 x

解答:

故椭圆方程为: (2)由(I)得 F(2,0) , 设 l 的方程为 y=k(x﹣2) (k≠0) 代入 ,得(5k +1)x ﹣20k x+20k ﹣5=0,
2 2 2 2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 ,

∴y1+y2=k(x1+x2﹣4) 1﹣y2=k(x1﹣x2) ,y ∴



,∴(x1+x2﹣2) 2﹣x1)+(y2﹣y1) 1+y2)=0∴ (x (y



∴ 所以直线 l 的方程为 点评: .

此题是个难题.考查抛物线的定义和简单的几何性质,待定系数法求椭圆的标准方程,以及直线和椭圆 相交中的有关中点弦的问题,综合性强,特别是问题(2)的设问形式,增加了题目的难度,注意直线
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与圆锥曲线相交,△ >0.体现了数形结合和转化的思想方法.

21. (14 分)如图,椭圆 C:

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,上顶点为 A,在 x 轴负半轴上有

一点 B,满足 AB⊥AF2.且 F1 为 BF2 的中点. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)D 是过 A,B,F2 三点的圆上的点,D 到直线 l:x﹣ 程. y﹣3=0 的最大距离等于椭圆长轴的长,求椭圆 C 的方

考点: 专题: 分析:

椭圆的简单性质;椭圆的标准方程. 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
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(1)由题意求出 F2(c,0) ,A(0,b) ,设 B(x0,0) ,根据向量 算出 x0=﹣
2 2



利用数量积建立关系式,

,再由 F1 为 BF2 中点化简得 a =4c ,从而求出椭圆 C 的离心率;

(2)由(1)的结论得到 F2、B 的坐标,从而得到△ ABF2 的外接圆圆心为 F1(﹣ a,0) ,半径 r=a.利 用点到直线的距离公式,结合题意建立关于 a 的方程,解之得 a=2,进而得到 c=1 且 b= 圆 C 的方程. 解答: 解: (1)设 B(x0,0) ,由 F2(c,0) ,A(0,b) , 得 ∵ =(c,﹣b) , ⊥
2

,可得椭

=(x0,﹣b) ,
2 2 2 2 2 2

,∴cx0+b =0,解之得 x0=﹣

∵F1 为 BF2 中点,∴﹣

+c=﹣2c,化简得 b =3c =a ﹣c ,即 a =4c ,

故 a=2c,可得椭圆 C 的离心率 e= = ; (2)由(1)知 c= a,于是 F2( a,0) ,B(﹣ a,0) , △ ABF2 的外接圆圆心为 F1(﹣ a,0) ,半径 r=a, ∵D 到直线 l:x﹣ 可得 y﹣3=0 的最大距离等于 2a,∴圆心到直线的距离为 a, ,解之得 a=2,得到 c=1 且 b= ,

∴椭圆 C 的方程为 点评:

+

=1.

本题给出椭圆满足的条件,求椭圆的离心率和方程.着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和直 线与圆的位置关系等知识,属于中档题.
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