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高中数学课时作业必修1


目录 第一章 集合与函数概念 1.1 集合……………………1 课时 1 集合的含义与表示……………………1 课时 2 集合间的基本关系……………………3 课时 3 集合的基本运算………………………5 课时 4 集合习题课……………………………7 1.2 函数及其表示…………………………9 课时 5 函数的概念……………………………9 课时 6 函数的定义域…………………………………………………11 课时 7 函数的值域……………………………………………………13 课时 8 函数的表示法…………………………………………………15 1.3 函数的基本性质…………………………………………………17 课时 9 单调性与最大(小)值(1)……………………………………17 课时 10 单调性与最大(小)值(2)……………………………………19 课时 11 奇偶性(1)………………………………………………………21 课时 12 奇偶性(2)………………………………………………………23 课时 13 单调性与奇偶性………………………………………………25 第二章 基本初等函数(I) 2.1 指数函数…………………………………………………………27 课时 1 指数与指数幂的运算…………………………………………27 课时 2 指数函数及其性质(1)…………………………………………29 课时 3 指数函数及其性质(2)…………………………………………31 2.2 对数函数…………………………………………………………33 课时 4 对数与对数运算………………………………………………33 课时 5 对数函数及其性质(1)…………………………………………35 课时 6 对数函数及其性质(2)…………………………………………37 2.3 幂函数……………………………………………………………39 课时 7 幂函数…………………………………………………………39 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程………………………………………………………41 课时 1 方程的根与函数的零点………………………………………41 课时 2 用二分法求方程的近似解……………………………………43 3.2 函数模型及其应用………………………………………………45 课时 3 几类不同增长的函数模型……………………………………45 课时 4 函数模型的应用实例…………………………………………47 附:第一章检测卷 第二章检测卷 第三章检测卷 模块测试卷(I) 模块测试卷( II ) 参考答案与点拨

第一章 集合与函数概念
1.1 集合
课时 1 集合的含义与表示
【例】若以集合{a,b,c,d}中的四元素为边长构成一个四边形,那么这个四边形可能是( A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形 思路突破 对于一个给定的集合,集合中的元素具有确定性、互异性、无序性,本题应侧重考虑集合中元素 的互异性. )

1.下列所指对象能构成集合的是 A.与 0 接近的数 B.我班喜欢唱歌的同学 C.我校参加奥林匹克竞赛的同学 D.我班的高个子学生

( )

2.给出下列关系:① 1 ∈N;② 2 ? Q;③ ? 3 ? N*;④ ? 3 ∈Q,其中正确的个数为 ( 2 A.1 个 B.2 个 C.3 个

)

D.4 个

3.直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为 A.{(x,y)|x=0,y≠0 或 x≠0,y=0} B.{(x,y)|x=0 且 y=0} C.{(x,y)|xy=0} D.{(x,y)|x,y 不同时为 0}

( )

4.下列集合中表示同一集合的是 A.M={(3,2)} N={(2,3)} B.M={1,2} D.M={3,2} N={(1,2)} C.M={(x,y)|x+y=1}

( )

N={y|x+y=1}

N={2,3}

5.由实数 x,-x,|x|, x2 ,- 3 x3 所组成的集合中,最多含有元素个数为 A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个

( )

6.若集合 A={1,x,x -x},则实数 x 的集合为____.

2

7.用列举法表示集合 A={x| 12 ∈N,x∈Z},正确的是 5? x A.{1,2,3,4} B.{0,1,2,3,4}

( )

C.{-1,0,1,2,3,4} D.{-7,-1,1,2,3,4}

8.集合 A={1,3,5,7,…}用描述法可表示为 A.{x|x=n,n∈N+} C.{x|x=2n+1,n∈N+} D.{x|x=n+2,n∈N}

( )

B.{x|x=2n-1,x∈N+}

9.设 x、y 是非零实数,试用列举法表示集合 ?a | a ? x ? y ? xy ? 为____. ? ? | x | | y | | xy | ? ?

10. (教材变式题)用适当的方法表示下列集合. (1)被 3 除余 1 的数的集合; (3)方程 2x -3x-2=0 的解集;
2

(2)小于 18 的质数的集合; (4)方程组 ?

? x ? y ? 1 的解集 ? x ? y ? ?1

11.集合{x|x>3}与集合{t|t>3}是否表示同一集合?

12.已知集合 A={a-2,2a +5a,12},且-3∈A,求 a.

2

13.若集合 M={x|mx +x+1=0}只有一个元素,求实数 m 的取值范围.

2

14.已知三元素集合 A={x,xy,x-y},B={0,|x|,y},且 A=B.求 x 与 y 的值

15.由实数构成的集合 A 满足条件:①1 (1)若 2∈A,试求集合 A; (2)若 x∈A,试求集合 A;

? A;②若 a∈A,则

1 ∈A. 1? a

(3)试讨论该集合能否是单元素集合.

课时 2

集合间的基本关系
2

【例】已知集合 A={x|x -2x-3=0},B={x|ax-1=0},若 B ? A.试求 a 的值. 思路突破 首先将集合 A、B 具体化,对集合 B 具体化时,要注意对参数 a 进行讨论,然后由 B ? A,求 a 的值. 1.用适当的符号填空.

(l)a____{a,b,c};
2 2

(2)0____{x|x =0} (4){x|x 是正方形}____{x|x 是菱形};
2

2

(3) ? ____{x|x +1=0};

(5){0}____{x|x =x}; (6){2,1}____{x|x -3x+2=0}. 2.下列结论: ①空集没有子集; ②空集是任何一个集合的真子集; ③任何一个集合必有两个或两个以上的子集; ④如果 M ? N.则不属于集合 M 的元素必不属于集合 N 其中,正确的个数是( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 ( )

3.若集合 A={正方形},B={菱形},C={矩形},D={平行四边形},则下列关系中正确的是 A.A ? B ? D C.B ? C ? D B.A ? B ? C D. A ? C ? B ( )

4. (高考改编题)已知{1,2} ? A ? {1,2,3,4},则满足条件的 A 的个数是 A.1 个 B.2 个 C.3 个 5.集合 M ? ? ? x|x ? D.4 个

?

k? ? k? ? ? ? ? ? , k ? Z ?, N ? ?x | x ? ? , k ? Z ? ,则 M、N 关系是 ( ) 2 4 4 2 ? ? ?
C.M ? N D.M ? N= ?

A.M=N

B.M ? N

y ? 6. (高考变式题)设 x、y∈R,集合 A={(x,y)|y=x},集合 B ? ? ?( x, y) | ? 1? ,则集合 A.B 关系是
A.A ? B B.A ? B C.A=B D.A ? B

?

x

?

( )

7. (新颖题)定义集合 A*B={x|x∈A 且 x ? B}, 若 A={1, 3, 5, 7}, B={2, 3, 5}, 则 A*B 的子集个数为 A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个

( )

8. (2006·上海理)已知 A={-1,3,m},集合 B={3,4},若 B ? A.则实数 m 的取值为____. 9.已知集合 A={x|-1<x<3},B={x|x>a}且 A ? B,则实数 a 的范围为____.

10.已知集合 P={x|x =1},Q={x|ax=1},Q ? P,求实数 a 的集合____.
2

11.设集合 A={1,3,a},B={1,a -a+1},且 A ? B,求 a 的值.
2

12.设集合 A={x|x +4x=0},B={x|x +2(a+1)x+a -1=0,a∈R},且 B ? A,求实数 a 的值.
2 2 2

13.集合 A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},且 A ? B,求所有实数 a 组成的集合.

课时 3 集合的基本运算

【例】已知集合 A={a ,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a +1},若 A ? B={-3},求实数 a 的值.
2 2

思路突破 由 A ? B={-3}知-3∈B.由此展开讨论,求出 a 后要注意检验是否符合题意. 1.已知集合 M、P 满足 M ? P=M,则一定有 A.M=P B.M ? P
2

( )

C.M ? P=P

D.M ? P ( )

2.已知集合 A={x| x -x-2=0},集合 B={x|-1<x≤2},则集合 A ? B 等于 A.{x|-1≤x≤2} B.{-1} C.{2} D.{-1,2}

3.(2008.安徽文)若 A 为全体正实数的集合,B={-2,-1,1,2},则下列结论中正确的是 A.A ? B={-2,-1} C.A ? B=(0,+ ? ) B.( C R A) ? B=(- ? ,0) D.( C R A) ? B={-2,-1}

(

)

4.满足{1,3} ? A={1,3,5}的集台 A 的个数是 A.1 个 B.2 个 C.3 个
2

( )

D.4 个
2

5.已知集合 M={y|y=x +1,x∈R},N={y|y=-x +1,x∈R},则 M ? N= ( A.{0,1} B.{(0,1)} C.{1} D.R

)

6.(2007.江苏)已知全集 U=Z,A={-1,0,1,2},B={x|x =x}则 A ? CU B=
2

( )

A.{-1,2}

B.{-1,0}

C.{0,1}
2

D.{1,2}

7.已知集合 A={1,2,3,x},B={3,x },且 A ? B={1,2,3,x},则 x=____.

8.设 A、B 是全集 U 的两个子集且 A ? B,则集合 CU A 与 CU B 的关系是____.

9.在下列各图形中,分别用集合表示相应的阴影部分.

(1)____
2

(2)____

(3)____

(4)____

10.设 M={1,2,m -3m-1},P={-1,3},且 M ? P={3},求实数 m

11.设全集 U={2,4,a -a+1},A={a+1,2}, CU A={7},求实数 a 的值.
2

12.(变式题)已知 U=R,A={x|x +px+12=0},B={x|x -5x+q=0},若( CU A) ? B={2},( CU B) ? A={4},求
2 2

A ? B. 13.已知 A={x|a≤x≤a+3}.B={x|x>1 或 x<-6} (1)若 A ? B= ? ,求实数 a 的取值范围; (2)若 A ? B=B,求实数 a 的取值范围.

14.某班共有学生 50 名,其中参加数学课外小组的学生有 22 人,参加物理课外小组的学生有 18 人,同时 参加数学、物理两个课外小组的有 13 人,问: (1)数学和物理两个小组至少参加一个的学生有多少人? (2)数学和物理两个课外小组都不参加的学生有多少人?

课时 4 集合习题课
1.下列各式中正确的是 A.0= ? B. ? ( ) C. ? ={0} D.0 ? ? ( )

? {0}

2.设 A、B 是非空集合,存在元素 a∈A,且 a ? B,则 A.B ? A B.A ? B ? B D.A ? B C.A ? B ? A

3.已知集合 M={(x,y)|x+y<0,xy>0}和 P={(x,y)|x<0,y<0},那么 ( A.P ? M C.M=P B.M ? P D.M ? P

)

4.集台 A={x|x=3k-2},B={x|x=3k+1},C={x|x=6k+1},以上 k∈Z,则 ( A. ?

)

?C?B ?A

B.C=B ? A

C.C ? B=A D.C ? B=A 5.(2008·山东理)满足 M ? {a1,a2,a3,a4},且 M ? { a1,a2,a3}= { a1,a2}的集合 M 的个数是 ( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 )

6.方程组 ?

? x ? y ? ?3 的解集的正确表示方法为 ( ) ?2 x ? y ? 6

A.{1,4} B.{4,1} C.{(1,4)} D.{x=1,y=4}

b ? 7.(2007·全国 I 理)设 a,b∈R,集合{1,a+b,a}= ? ?0, ,b ? ,则 b-a= ( ? a ?
A.1 B.-1 C.2 D.-2
2 2

)

8.已知 M={x|y=x -1},N={y|y=x -1},那么 M ? N= ( A. ? B.M C.N D.R

)

9.设集合 M={x|-1≤x<2},N={x|x-k≤0},若 M ? N≠ ? ,则 k 的取值范围是 A.(- ? ,2] B.[-1,+∞) C.(-1,+ ? ) D.[-1,2]

( )

10.(2008·天津理)设集合 S={x||x-2|>3},T={x|a<x<a+8),S ? T=R,a 的取值范围是 A.-3<a<-1 B.-3≤a≤-1 D.a<-3 或 a>-1 C.a≤-3 或 a≥-1

( )

11.设 A={x|-2≤x≤4) ,B={x|x<a},且 A ? B≠ ? ,则 a 的取值范围是____. 12.设 A={x|x -8x+15=0}.B={x|ax-1=0},若 A ? B=B,则实数 a 组成的集合为____.
2

13.已知方程 x -px+15=0 与方程 x -5x+q=0 的解集分别为 A 与 B 且 A ? B={3},则 p+q 的值为____.
2 2

14.集合 A={x|x -3x+2=0},集合 B={x|x -mx+2=0},A ? B=A,求实数 m.
2 2

1.2
课时 5

函数及其表示
函数的概念

【例】判断下列对应关系是否为函数关系. (1)x ?y=|x|,x ? R,y ? R; (2)x ?y=

1 x

1? ,x∈{-1,0,2},y∈ ? 0, ? ; ??1, ? 2?

(3)x ?y 为 x 的平方根,x∈(0,+ ? ),y∈R. 思路突破 欲判断一个对应 A ?B 是否为函数,必须抓住函数概念的实质,即 A 中元素的任意性,B 中元素 的唯一性. 1.函数符号 y=f(x)表示 A.y 等于 f 与 x 的乘积 B.f(x)一定是一个式子 C.y 是 x 的函数 D.对于不同的 x,y 也不同 2.下列说法中正确的有 ①y=f(x)与 y=f(t)表示同一个函数; ②y=f(x)与 y=f(x+1)不可能是同一函数; ③f(x)=1 与 g(x)=x 是同一函数; ④定义域和值域都相同的两函数是同一个函数. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 )
0

3.下列图象中不能作为函数 y=f(x)的图象的是(

4.下列各组函数中,表示同一函数的序号是____. ①f(x)=|x|,g(x)=
x2


2

②f(x)= x2 ,g(x)=( x ) ;
2 ③f(x)= x ? 1 ,g(x)=x+1; x ?1

④f(x)= x ? 1 ·

x ? 1 ,g(x)=

x2 ? 1 .

5.已知 A=N,B={b|b=2a-1.a∈N},f(x)是集合 A 到 B 的函数,则 f(9)的值为____;若 f(m)=9,则 m 的值为____. 6.已知集合 P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},下列对应能表示从 P 到 Q 的函数的是____. (请用题号表示) ①f:x ?y=

1 x;②f:x y= 1 x;③f:x y= 2 x;④f:x y= ? ? ? x. 2 3 3

7.(创新题)如图 1-5-1 是一个数值转换机,若输入 a 的值为 输出的结果为 f(x),则,f(x)=____. x f(x) g(x) 0 3 1 1 2 0 2 1 3 3 0 2

2 ,则输出的结果为____;若输入实数

x

8.(1)已知函数 f(x)=2x-1,g(x)= (2) 已 知 , f(x) 与

1 ,则 f(g(0))=____,g(f(0))=____; 3x ? 1

g(x) 分 别 由 上 面 的 表 格 给 出 , 则

f(f(1))=____ ,

g(g(1))=____.f(g(____))=0.g(f(____))=3. 9.将长为 a 的铁丝折成矩形,面积 y 关于边长 x 的函数关系式为____.其定义域为____. 10.已知函数 f(x)=ax+b,且 f(0)=0,f(2)=4,求 f(1),f(-1)的值.

11.已知函数 f(x)=x +x-1,(1)求 f(2),f(

2

1 x

);(2)若 f(x)=5,求 x.

12.已知函数 f(x)=

x (a、b 为常数,且 a ? 0)满足 f(2)=1,f(x)=x 有唯一解,求函数 y=f(x)的解 ax ? b

析式和 f[f(-3)]的值. 13.已知函数 f(x)=x +ax+b,集合 A={x|f(x)=x},集合 B={x|f[f(x)]=x,x∈R},当 A={-1,3}时,求 集合 B.
2

课时 6

函数的定义域

【例】求下列函数的定义域 (1)y= x ? 1 - 1 ? x ; (2)y= 4 x ? 1 ;

2 ? 3x

(3)y= x ? 1 +

1 ; (4)y= ( x ? 2)0 . 2? x 1
1? x

思路突破 求函数定义域首先是判定自变量的全部限制要求,即应使函数式各部分同时有意义,其次求各约 束条件的交集.

1.(2008.全国Ⅱ)函数 y= x( x ?1) + x 的定义域为 A.{x|x≥0} B.{x|x≥1} C.{x|x≥1} ? {0} D.{x|0≤x≤1}

( )

2.求函数 f(x)= ? x2 ? 2x ? 3 (x ? Z)的定义域____.

(?1 ? x ? 0) ?2 x ? 2    3.函数 f(x)= ? 的定义域为____. (0 ? x ? 2) ?? x   ?3   ( x ? 2) ?

4.函数 f(x)= 4 ? x2 +

1 的定义域为____. | x | ?1

5.f(x)的定义域为[1,4],则 f(x+2)的定义域为____.

6.(x)的定义域为[-1,1],则 g(x)=f(x+

1 2

)+f(x-

1 2

)的定义域为____.

7.f(x)的定义域是[a,b],其中 a<0<b,且|a|>b.则 g(x)=f(x)+f(-x)的定义域为____. 8.函数 f( x ? 1 )的定义域为[0,3],则 f(x)的定义域为____. 9.函数 f(x+3)的定义域为[-4,5],则 f(2x-3)的定义域为____.

10.已知 f(x)=

1 的定义域是全体实数,求实数 a 的取值范围. ax 2 ? ax ? 2

11.如图 1-6-1,用长为 l 的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架,若矩形底边长为 2x.求此框架 围成的面积 y 与 x 的函数关系 y=f(x),并求其定义域.

12.若 f(x)= 2 ? x ? 3 的定义域为 A,g(x)=

x ?1

1 (a<1)的定义 ( x ? a ? 1)(2a ? x)

域为 B. (1)求 A. (2)若 B ? A,求实数 a 的取值范围.

课时 7

函数的值域

【例】 求下列函数的值域. (1)y=-x +4x+2; (2)y= 1 ? x ; 2x ? 5 (3)y=2x+
2

1 ? 2x ;

(4)y=|x+3|+|x-5|. 思路突破 利用配方法、换元法、分离常数法及数形结合法解决 1.当 1≤x≤3 时,函数 f(x)=x +6x 的值域为____. 2. y ? 2 x ? 1 的值域为____. x?3
2

3.函数 y=6x-

3x ?1 的值域是____.

4.函数 y=|x-2|+|x+1|的值域是____.

5.函数 y=

1 ? x2 ? x2 ?1 的值域是____.
2

6.求函数 y=-x -2x+3 的定义域分别为以下几种情况时的值域. (1)x∈R (2)x∈[-5,-2) (3)x∈(-2,1) (4)x∈(0.3] 7.求函数 y=-x -2|x|+3 的值域,
2

8.设函数 f(x)=-x +1 的值域为 A,函数 g(x)=|x|+5 的值域为 B,求 C R (A ? B)
2

9.已知函数 y=x -3x-4 的定义域为[0,m],值域为[ ? 25 ,-4],试求 m 的取值范围.
2

4

10.若实数 x,y 满足 x +4y =4x,求 S=x +y 的取值范围.

2

2

2

2

课时 8

函数的表示法

【例】(1)已知一次函数 f(x)=ax+b,af(x)+b=9x+8.求 f(x); (2)已知二次函数 f(x)图象的顶点是(-2,-3) ,与 x 轴的两个交点间的距离为 6.求该二次函数的解 析式 思路突破 (1)中只需把 f(x)=ax+b 代人 af(x)+b=9x+8 即可得关于 a、b 的方程组;(2)中可用待定系数法, 利用顶点式或两点式求解. 1.下列说法正确的是 ( )

A.函数图象必须是光滑的,连续不断的曲线 B.分段函数是由几个不同的函数组成的,它不是一个函数 C.函数都可以用解析式来表示 D.函数图象与垂直于 x 轴的任意一条直线最多只有一个公共点 2.(1)已知 f(x+1)=2x -4x,则 f(1- 2 )=____;
2

( x ? 0) ,则 f[f(-7)]=____. (2)已知 f(x)= ?10   ? ( x ? 0) ?10 x  

3.已知 f(x)=x +x+1,g(x-1)=f(x+1),则 g(x)=____. 4.已知 f(x)=x -1,g(x)=3x+1.则 g[f(0)]=____,f[g(x)]=____.
2 5.已知 f ? 1 ? x ? ? 1 ? x ,则 f(x)的解析式是____. ? ? 2 ? 1? x ? 1? x
2

2

6.已知 2f(x)+f(

1 x

)=3x,x≠0,则 f(x)的解析式是____.

7.为庆祝学校建立 50 周年,某校组织合唱汇演,高一年级排列队形为 10 排,第一排 20 人,后面每排比 前排多 1 人,写出每排人数 m 与这排的排数 n 之间的函数关系式为____.自变量 n 的取值范围是____. 8.作出下列各函数的图象. (1)y=1-x,0≤x≤2,且 x∈Z; (2)y=2x -4x-3,0≤x≤3;
2

(3)y=|1-x|; (4)
2 ? (0 ? x ? 1) ? x    . y?? (?1 ? x ? 0). ? ? x ? 1  

9.如图 1-8-1,根据 y=f(x),x∈R 的图象,写出 y=f(x)的解析式.

图 1-8-1

10.已知函数,f(x)= ? x 2    (?1 ? x ? 2) ,若 f(a)=3,求 a 的值. ?

( x ? ?1) ? x ? 2   ?2 x   ( x ? 2) ?

11.已知二次函数 f(x)满足 f(1+

1 x

)=

1 x2 ? 1 + ,求 f(x)的解析式. x x2

12.如图 1-8-2,直线 l

? x 轴,从原点开始向右平移直线 l ,在 x=10 处停止,它扫过 ? AOB 所得图形的

面积为 S,它与 x 轴的交点为(x,0) (1)求函数 S=f(x)的解析式;

(2)求函数 S=f(x)的值域; (3)l 在何处时,S=10?

图 1-8-2

1.3
课时 9

函数的基本性质
单调性与最大(小)值(1)

【例】证明下列函数在所定义的区间上是单调函数 (1)y=1-x ,x∈R;(2)y= 1 ,x∈(0,+ ? );(3)y= x
3

x2 ?1 ,x∈[1,+ ? )

思路突破 利用单调性的定义,根据取值、作差、变形、定号四个步骤证明函数的单调性,变形其中部分注 意技巧,通常考虑配方、因式分解、通分、有理化等方法. 1.下列判断正确的是 ( )

A.对于函数 y=f(x)定义域内的一个区间 D,存在两个数 x1、x2∈D,当 x1<x2 时,有 f(x1)>f(x2) ,则 函数 f(x)在区间 D 上是增函数 B.对于函数 y=f(x)定义域内的一个区间 D,存在两个数 x1、x2∈D,当 x1<x2 时,有 f(x1)<f(x2) ,则 函数,f(x)在区间 D 上是增函数 C.如果函数 y=f(x)在定义域内的某个区间 D 上是增函数或减函数,则称函数 f(x)在它的定义域上具 有单调性 D.如果函数 y=f(x)在定义域内的某个区间 D 上是增函数或减函数,则称函数 y=f(x)在 D 上区间具有 单调性 2.下列函数中,在区间(0,+ ? )上为增函数的是 A.y=3-x B.y=x +1 C.y=-x
2 2

( )

D.y=x -2x+3
2

2

3.已知函数:①y=|x|;②y= | x | ;③y= ? x ;④y=x+

x

| x|
D.①④

x ,其中在(-∞,0)上为增函数的有 ( ) |x|

A.①② B.②③

C.③④

4.函数 y= x2 ? 2 x ? 3 的单调递减区间为

(

)

A.(- ∞,-3] B.(-∞,-1] C.[1,+ ∞) D.[-3,-1] 5.若 f(x)在 R 上是增函数且 f(x1)>f(x2),则 x1,x2 的大小关系为____.

2 6.函数 y= ? a 在(0,+∞)上是减函数,则 y=-2x +ax 在(0,+∞)上的单调性为____. x

7.如图 1-9-1 所示为 y=f(x)的图象,则它的单调减区间为____.

图 1-9-1 8. 函数 f(x)=2x -mx+3 在区间[-2, +∞) 上是增函数, 在区间 (-∞, -2]上是减函数, 则实数 m 的值为____.
2

9.已知 y=f(x)在 R 上是增函数,则 f(a -a+1)与 f ? 3 ? 的大小关系是____. ? ? ?4?
2

10.作出函数 f(x)= x2 ? 6x ? 9 ? x2 ? 6x ? 9 的图象,并指出函数 f(x)的单调区间.

11.已知 y=f(x)是定义在(-1,1)上的增函数,且 f(a-2)-f(4-a )<0,求 a 的取值范围. 12.已知函数 f(x)是 R 上的减函数,且 a+b>0 求证:f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b).

2

2 13.已知 f(x)=x ? 1 ,求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数. x

课时 10

单调性与最大(小)值(2)

【例】(1)试讨论 f(x)=x+

1 x

在(0,+∞)上的单调性,并画出函数的大致图象;

(2)分别求出函数 f(x)=x+

1 x

在[

1 2

,2]和[

1 ,4]上的最大值、最小值; 3

2 ? (3)求函数 g(x)= x ? 1 在 ? 1 , 4 上的最大值、最小值 ? ?x ?5 ? ?

思路突破

讨论函数单调性的基本方法是用定义进行判断.关键就是要找出增区间和减区间的交界点,找

寻此点的方法是:当 x1,x2 在某点的两侧任意各取一点且规定 x1,x2 大小时,f(x1)-f(x2)没有确定的符 号:当 x1,x2 在某点的同侧任意各取一点且规定 x1,x2 大小时,f(x1)-f(x2)有确定的符号,此时我们断定 该点就是要找的点.通过函数的单调性研究函数的最值是求最值的基本而又重要的方法. 1.若函数 y=mx+b 在(-∞,+∞)上是增函数,则有 A.b>0 C.m>0 B.b<0 D.m<0 ( )

2.若一次函数 y=kx+b(k≠0)在(-∞,+∞)上是单调递减函数,则点(k,b)在直角坐标平面的 A.上半平面 B.下半平面 C.左半平面 D.右半平面 3.设 f(x),g(x)都是单调函数,有如下四个命题: ①若 f(x)单调递增,g(x)单调递增,则 f(x)-g(x)单调递增; ②若 f(x)单调递增,g(x)单调递减.则 f(x)-g(x)单调递增; ③若 f(x)单调递减,g(x)单调递增,则 f(x)-g(x)单调递减; ④若 f(x)单调递减,g(x)单调递减,则 f(x)-g(x)单调递减 其中,真命题是 A.①② B.①④ ( ) C.②③ D.②④

( )

4.定义函数 -3]上 ( )

? f ( x)    (x>0) 且函数 y 在区间[3,7]上是增函数,最小值为 5,那么函数 y 在区间[-7, y?? ? ? f (? x)   (x<0)

A.为增函数,且最小值为-5 B.为增函数,且最大值为-5 C.为减函数,且最小值为-5 D.为减函数,且最大值为-5

5.如图 1-10-1 为函数 y=f(x),x∈[-4,7]的图象,指出它的最大值、最小值及单调区间____.

图 1-10-1 6.若 f(x)=x +2(a-1)x+4 是区间(-∞,4]上的减函数,则实数 a 的取值范围是____. 7.函数 f(x)=mx -(5m-2)x+m -4 在[2,+∞)上是增函数,则实数 m 的取值范围为____. 8.函数 f(x)= (a-1)x 在[1,3]上的最大值为 2,则 a 的值为____. 9.求函数 f(x)=x+
2 2 2

x ? 1 的最小值.

2 10.已知 f(x)= 1 x -x+ 3 的定义域和值域均为[1,b](b>1),试求 b 的值. 2 2

11.已知 f(x)=x -4ax+2a+6(a∈R),若 f(x)的值域为非负数,求 a 的取值范围.

2

12.求 f(x)=x -2ax-1 在[0,2]上的最大值和最小值. 13.在矩形 ABCD 中,AD=15,AB=a(a>15),E、F、G、H 分别是边 AD、AB、BC、CD 上的点,若 AE=AF=CG=CH, 问 AE 取何值时,四边形 EFGH 的面积最大?并求最大面积.

2

课时 11

奇偶性(1)

【例】判断下列函数是否具有奇偶性: (1) f ( x) ?

( x ? 0) ? x(1 ? x)    1 ? x 2 ; (2) f ( x) ? ? x (1 ? x )    ( x ? 0) 2? | x ? 2 | ?

思路突破 含绝对值的函数如何处理绝对值是关键,基本方法是考查绝对值内的符号,本题先考虑 x 的基本 范围即定义域,可简化问题;由于分段函数的自变量 x 所在的范围不同,其对应的表达式有所区别,因此 对于分段函数奇偶性的处理要采取分类讨论的数学思想. 1.下列函数是偶函数的是
2

(

)
2 3

A.y=x ,x∈[-1,2] B.y=x +x,x∈R C.y=2|x|-1,x∈R D.y=x ,x∈R 2.下列说法中不正确的是 ( )

A.图象关于原点成中心对称的函数一定是奇函数 B.奇函数的图象一定经过原点 C.若偶函数的图象不经过原点,则它与 x 轴交点的个数一定是偶数 D.图象关于 y 轴对称的函数一定是偶函数 3.边长为 x 的正方形的面积为 f(x),则 f(x)是 ( A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 ( ) )

4.奇函数 y=f(x),x∈R 的图象必定经过点 A. (a,f(-a) )

B.(-a,f(a)) C.(-a,-f(a)) D.(a,f

?1? ? ?) ?a?

5.对于定义域是 R 的任意奇函数 f(x),都有( A.f(x)-f(-x)>0 B.f(x)-f(-x)≤0 C.f(x)·f(-x)≤0 D.f(x)·f(-x)>0

)

6.已知 y=f(x)是偶函数且其图象与 x 轴有 4 个交点,则方程 f(x)=0 的所有实根之和是 ( A.1 B.0 C.2 D.4

)

7.如果定义域为[3-a,5]的函数 f(x)为奇函数,那么实数 a 的值为____. 8.若函数 f(x)=(m-2)x +(m-1)x+3 是偶函数,则实数 m 的值为____. 9.已知 f(x)=ax +bx +cx+5(a,b,c 是常数),且 f(5)=9,求 f(-5)的值为____. 10.偶函数 f(x)在 y 轴右侧的图象如图 1-11-1 所示,试画出 f(x)在 y 轴左侧的图象.
5 3 2

图 1-11-1 11.判断下列函数是否具有奇偶性. (1)f(x)= x - |x|+1,x∈[-1,4];
2

(2)f(x)= 1 ? x ? x ?1 ;

+x ; (3)f(x)=(x-1) · 1 1? x

(4)f(x)=x+

1 x



12.(2008 湖北文高考改编题)已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=(x),当 x∈(0,2)时 f(x)=2x , 求 f(7). 13.设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5],若当 x∈[0.5]时,f(x)的图象如图 1-11-2 所示,则不等式 f(x)<0 的解是?

2

课时 12

奇偶性(2)

【例】已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x +3x-1,求 f(x)的解析式 思路突破根据偶函数的对称性求解对称区间的解析式是基本而重要的题型.关键是利用偶函数的定义及 x ≥O 的函数表达式求出 x<0 的函数表达式.注意“求什么设什么”即设 x<0,则-x>0 可以沟通已知条件 1.给出下列四个命题,其中正确的命题是 ①偶函数的图象一定与纵轴相交; ②奇函数的图象一定通过原点; ③既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R); ④若奇函数 f(x)在 x=0 有定义,则恒有 f(0)=0; ⑤若 f(x)为偶函数,则有 f(x)=f(-x)=f(|x|). A.①② B.②⑤ C.④⑤ D.③④ ( ) ( )

2

2.下列函数既是奇函数又是偶函数的是 A . f ( x) ?

x2 ?1 ? 1 ? x2

B. f ( x) ? 1 ? x ? x ?1 D. f ( x) ? ?1  x ? 0 ?

C.

? x  x ? 0 f ( x) ? ? ?? x  x ? 0

??1  x ? 0

3.若函数 f (x)是偶函数,当-1≤x<0 时,f(x)=x+1,则 0<x≤1 时,f(x)的解析式为 A.f(x)=x-1 B.f(x)=1-x C.f(x)=-x-1 D.f(x)=x+1

( )

4.若函数 g(x),f(x)都是奇函数,F(x)=a·g(x)+b·f(x)+2 在(0,+ ? )上有最大值 5,则在(- ? ,0) 上 F(x)有 ( ) C.最大值-1 D.最小值-1 A.最大值-5 B.最小值-5

5.已知定义在[-5,5]上的偶函数 f(x)满足 f(3)=2,则 f(-3)+1=____.

6.设 F(x)= [f(x)-f(-x)]

1 2

(f(x)为定义在 R 上的任意函数) ,则 F(x)为____函数(试判断奇偶性) ;

若 F(x)=

1 [f(x)+f(-x)],F(x)为____函数. 2
2

7.已知 f(x)=ax +bx+3a+b 是偶函数,且其定义域为[a-1,2a],则 a=____.b=____.

8.设 f(x)是定义在(- ? ,+ ? )上的奇函数,且 x>0 时有 f(x)=x +1,则 f(-2)=____.
2

9.若 f(x)=(m-1)x +6mx+2 是偶函数,则 f(0),f(1),f(-2)从小到大的顺序为____. 10. 已知奇函数 f(x)的定义域为[-5, 5], 若当 x∈[0, 5]时 f(x)的图象如图 1-12-1 所示, 则不等式 x· f(x)<0 的解集是____.

2

11(教材改编题)已知函数 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x>0 时.f(x)=-x +2x+2.求 f(x)表达式. 12.已知函数 f(x)对任意非零实数 x、y,总有 f(x+y)=f(x)+f(y)恒成立.求证:y=f(x)为奇函数.

2

课时 13

单调性与奇偶性

【例】已知 f(x)是偶函数,它在区间[a,b]上是减函数(0<a<b).试证 f(x)在区间[-b,-a]上是增函数. 思路突破 解答本题关键是如何把 f(x)在[a,b]上递减转化为 f(x)在[-b,-a]上递增,这时转化的必备 条件是 f(x)是偶函数,即 f(-x)=f(x). 1.若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(- ? ,0)上是减函数,且 f(2)=0,则使得 f(x)<0 的 x 的取 值范围是 C.(( ) A.(- ? ,2) B.(2,+ ? )

? ,-2) ? (2,+ ? )

D.(-2,2)

2.定义在区间(- ? ,+ ? )上的奇函数 f(x)为单调增函数,偶函数 g(x)在区间[0,+∞)上的图象与 f(x) 图象重合.设 a>b>0,给出下列不等式,其中成立的是 ①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b); ②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b); ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a); ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a). A.①与④ B.②与③ C.①与③
3

( )

D.②与④ ( )

3.(2007·广东高考)若函数 f(x)=x (x∈R),则函数 y=f(-x)在其定义域上是 A.单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数 C.单调递增的偶函数 D.单调递增的奇函数

4.已知 f(x)是奇函数且对任意的数 x1,x2(x1≠x2)恒有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) >0,则一定正确的是 x1 ? x 2 A.f(3)>f(-5) B.f(-3)<f(-5) C.f(-5)>f(3) D.f(-3)>f(5)

( )

5.如果奇函数 f(x)在区间[1,2]上是减函数,且最大值为 3.那么 f(x)在区间[-2,-1]上有最____值, 其最值为____. 6.若 h(x) 、g(x)均为奇函数,f(x)=ah(x)+bg(x)+2 在(0,+ ? )上有最大值 5,则在(- ? ,0)上,f(x) 有最小值____.

3 3 7.给出下列四个函数:①f(x)=-x-x ;②f(x)=1-x;③f(x)= 3 ;④f(x)= x ? x .其中既是奇函数又是 x x ?1

定义域上的减函数的函数是____. 8.奇函数 f(x)的定义域为(-1,1) ,且在(-1,1)上是增函数,若 f(1-a)+f(1-2a)<0.则实数 a 的取值 范围是____. 9.(2007·上海春)设函数 y=f(x)是奇函数,若 f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3,则 f(1)+f(2)= 10.给出一个函数 y=f(x),四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质: 甲:对于 x∈R,都有 f(1+x)=f(1-x) ;乙:在(- ? ,0]上函数递减;丙:在(0,+∞)上函数递增; 丁:f(0)不是函数的最小值. 如果其中恰有三人说得正确,请写出一这样的函数:____. 11.定义在(-1,1)上的奇函数 f(x)= ax ? b ,若 f ? 1 ? = 2 ,且 f(t-1)+f(t)<0,求 t 的取值范围. ? ? 1 ? x2 5 ?2? 12.设函数 f(x)对任意 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y),且 x>0 时,f(x)<0,f(1)=-2. (1)证明 f(x)为奇函数; (2)证明 f(x)在 R 上为减函数; (3)若 f(2x+5)+f(6-7x)>4.求 x 的取值范围.

第二章
2.1
课时 1

基本初等函数(I)

指数函数
指数与指数幂的运算

【例】化简下列各式: (1)
4

(4a 2 ? 12ab ? 9b 2 ) 2
2 ? 1 2

3 (a ? b) ; 2

(2) (a 3 b ?1 )
6

? a

?

1 2

1

b3

ab5

思路突破 熟练运用分数指数幂与根式的互化关系.正确运用分数指数幂的运算性质是正确计算的保证. 1.下列运算结果中,正确的是 A.a ·a =a C.(
2 3 6 2 3

( )
3 2

B.(-a ) =(-a )
0 2 3

a -1) =0

D.(-a ) =-a

6

2.a∈R,n∈N+,则下列结论中恒成立的是

( )

A.

n

an ? a
n

B.

? a ? =a
n n
0

C.

| a |n

=|a|

D.(π -3.14) =0

3.当 1<x<3 时,化简 ( x ? 3) 2 ? (1 ? x) 2 结果是 A.4-2x B.2 ( C.2x-4 ) B. D.4

(

)

4.以下计算正确的是 A. (a ? b) 2 =a-b

(a ? b) 2 =|a-b|
D.

C.

a2 ? b2 ? a ? b· a ? b

a a ? b b

5.下列各式中,错误的是 A. 27a3

(

)
2

?

?

1 3

÷0.3a =10a

-1

B. ? a 3 ? b 3 ? ? ? a 3 ? b 3 ? ? a 3 ? b 3

? ?

2

2

? ? ? ?

1

1

? ?

1

1

C. ? (2 2 ? 3) 2 (2 2 ? 3) 2 ? 2 ? ?1 ? ?
-(2k+1) -(2k-1) -2k

1

D.

4

3 a· a 2· a ?

24

a11

6.2

-2

+2 等于 ( )
-(2k-1)

A.2

-2k

B.2

C.-2

-(2k+1)

D.2

7.化简 (1 ? 2 A. 1 ?

?

1 32

)(1 ? 2
? ? ?
?1

?

1 16

)(1 ? 2

?

1 8

)(1 ? 2
? ? ?
?1

?

1 4

)(1 ? 2

?

1 2

) 的结果是 ( )

?1 ? 2 2?
? 1 32

?

1 32

B. ?

?1 ? 2 ?

?

1 32

C. 1 ? 2

D.

1 ? ? 3? 32 1 ? 2 ? ? 2? ?

8.若 10 =2,10 =3,则 10

x

y

3x? y 2

=____.

9.

? x ? 1?

?

1 2 有意义,则

x 的取值范围____.

1 1 10.已知 y= ? 3x ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 3x ? 2 ? 6 ,则实数 x、y 依次是____.

2

11.(1)把根式化为幂的形式:

4

a2b3 =____;

? ? ? ?

4

b

?

2 3

? ? ? ?

?

2 3

=____.

(2)用最简根式表示: x

?

1 2

=____;

3 a· b ? b ?1· a3

=____.

12.已知 a 2 ? a

1

?

1 2

? 2,
(2)求

1 (1)求 a+ a
α

的值;

a

3 2

?a

?

3 2

的值.

13.已知 10 =2,10 =3 把下面的数写成底数是 10 的幂的形式. (1) 4 9 (2) ? 27 4

β

课时 2

指数函数及其性质(1)
2 x

【例】若函数 y=(a -3a+3)a 是指数函数.求 a. 思路突破 指数函数的定义是 y=a (a>0 且 a≠1)叫做指数函数. 1.某种细菌在培养过程中,每 20min 分裂一次(一个分裂为 2 个) ,则经过 3 个小时,该细菌由 1 个可繁 殖成____个. 2.已知指数函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1)的图象经过点(3,π ),则 f(-3)的值为 ( A.π B. 3 ? C.1 D. 1
x x

)

?

3.a=0.8

0.7

,b=0.8 ,c=1.2
B.d>c>b>a D.d>c>a>b

0.9

0.3

,d=1.5

0.8

,则 a,b,c,d 的大小关系是 (

)

A.a>b>c>d C.a>b>d>c

4.二次函数 y=ax +bx 与指数函数 y= ? b ? 的图象只可能是
2

x

? ? ?a?

(

)

5.f(x)=(a -1) 在(- ? ,+ ? )上是减函数.则 a 满足的条件为
2 x

( )

A.|a|>1

B.|a|<

2

C.1<|a|<

2

D.|a|>

2

6.函数 y= ? 1 ?
? ? ?2?

3 x ?1

? 1 的定义域是____.

7.(2007·山东改编)已知集合 M={-1,1},N={x∈Z|

1 2

<2 <4},则 M ? N=____.
x+1

8.f(x)=a (a>o 且 a≠1) ,在[1,2]上最大值比最小值大

x

a 2

,则 a=____.

9.已知函数 f(x)满足:①对任意 x1<x2,都有 f(x1)<f(x2);②f(x1+x2)=f(x1)·f(x2).写出一个同时满足 这些条件的函数解析式____.

10.(2007·重庆)若函数 f(x)=

2x

2

?2ax?a

?1 的定义域为 R,则实数 a 的取值范围____.

11.已知 y1=

a2 x

2

?3 x ?1

, y 2=

ax

2

? 2 x ?5

(a>0 且 a≠1)求 x 的范围,使(1) y1 ? y2 ;(2) y1 ? y2 .

12.若函数 f(x)定义域是(0,2),求 f(3-3 )的定义域. 13.当-1≤x≤0 时,求函数 y=2 -3·4 的最大值及最小值.
x+2 x

x

课时 3

指数函数及其性质(2)
x

【例】画出函数 y=|3 -1|的图象,并利用图象回答: (1)根据图象,写出函数的单调区间; (2)k 为何值时,方程|3 -1|=k 无解?有一解?有两解? 思路突破 (1)清楚有关绝对值函数|f(x)|图象的翻折变换:保留 x 轴及其上方的图象,将 x 轴下方的图象 沿 x 轴翻折到上方 (2)用数形结合的方法,将方程|3 点个数问题. 1.已知函数 f(x)=4+a
x-1 x x

-1|=k 的解的个数问题等价转化为直线 y=k 与 y=|3

x

-1|图象的交

(a>0,且 a≠1)的图象恒过定点 P,则 P 的坐标是 C.(0,4)
x

( )

A.(1.5) B.(1,4)

D.(4,0) )

2.若 0<a<1,b<-1,则函数 f(x)=a A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.函数 y=a (a>1)的图象是 (
|x|

+b 的图象不经过 (

)

4.函数 y=

ax

2

?3 x ?1

(0<a<1)的单调增区间是

( ) D.(- ? ,+ ? )

A.[0,+ ? )

B.(- ? ,

3 2

]

C.[

3 2

,+ ? )

5.函数 y=

4 ? 4x 的值域为____.
x2 ? 2 x

6.函数 y= ? 1 ? ? ? ?3?

的值域为____.

7.判断函数 f(x)= ?

1 1? ? ? ·x 的奇偶性____. ? x ? 2 ?1 2 ?
x

8.(全国卷 I 改编)已知函数 y=e 的图象与函数 y=f(x)的图象关于原点对称,则 f(2x)=____.

9.若函数 f(x)=

?2

x

? a? x
x

2 ?a

的图象关于 y 轴对称,则实数 a 的取值为____.

10.函数 y ?

3x 的值域是____. 3x ? 1
x

11.关于 x 的方程( 1 ) = 2a ? 3 有负根,则 a 的取值范围为____. 5?a 3

12.(2006·全国卷 I)设 a 是实数,f(x)=a-

2 (x∈R). 2 ?1
x

(1)试证明对任意实数 a,f(x)为增函数; (2)试确定 a 的值使 f(x)为奇函数. 13.函数 y=a +2a -1(a>0 且 a≠1)在[-1.1]上最大值为 14,求实数 a 的值.
2x x

2.2 对数函数
课时 4 对数与对数运算

【例】将下列指数式化成对数式,将对数式化成指数式

(1) 2 ?6 ? 1 ; 64
1

(2)10 =1000;

3

(3)e =a(a>0);

t

(4)

81 =-4; log 3

(5)lg0.01=-2;

(6)ln10=2.303.

思路突破 指数式与对数式的相互关系如图 2-4-1,通常将以 10 为底数的对数称为常用对数 log10N 简记为 lgN;以 e 为底的对数称为自然对数 logeN 简记为 lnN.

1.若 log7[log3( log 1 )]=0,则 x=
2

x

____.

x 2.若 f( log 1 )=x,则 f ? 1 ? ? ? ? ?2? 2

____.

3.已知 loga2=x,loga3=y,则 a

2x+y

=

___.

4.

271?log3 =
2

2

____.

5.若 lga,lgb 是方程 2x -4x+1=0 的两个实根,则 lg(ab)·(lg a ) = b
2

____.

6.化简 2lg(lg a

) 的结果是 ( ) 2 ? lg(lg a)
B.1 C.2 D.4

100

A.

1 2

7.若 log37·log29·log49a=log4

1 2

,则 a=

____.

8.若 logax=2,logbx=4,logcx=1,则 logabcx=

____. ____.

9.已知 lg2=0.3010,lg3=0.4771,lgx=-2+0.7781,则 x=

10.如果方程 lg x+(lg2+lg3) lgx+lg2·lg3=0 的两根为 x1 , x2 ,则 x1 ? x2 的值为
2

( )

A.lg2·lg3 B.lg2+lg3

C.

1 6

D.-6

11.求值 (l)lg 5+lg2·lg5+lg20:


(2)lg4+lg9+2

(lg 6) 2 ? 2 lg 6 ? 1

12.(1)已知 log189=a,18 =5,试用 a、b 表示 log3645; (2)设 log89=a,log35=b,试用 a、b 表示 lg2 13.设 x、y、z 均为正实数,且 3 =4 =6 . (1)若 z=1,求(x-1)·(2y-1)的值; (2)求证: 1 ? 1 ? 1
z x 2y
x y z

b

14.甲、乙两人解关于 x 的方程:log2x+b+clogx2=0,甲写错了常数 b,得到根 得到根

1 4



1 ;乙写错了常数 c, 8

1 2

、64,求这个方程真正的根.

课时 5

对数函数及其性质(1)

【例】比较下列各组数的大小: (1)log23.4,log28.5; (2)log23.4,1; (4) log3.4 ,log3.4 ; 1 1
2 3

(3)log20.5,0;
4 2

(5)log67,log76;

(6)

log 4 3 , log 2 3 .

思路突破比较两个对数的大小时,一看底数,底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性进行比较; 二看真数,底数不同而真数相同的两个对数可用换底公式变为倒数;三找中介值,底数、真数均不同的两 个对数可选择适当的中介值进行比较. 1.在同一直角坐标系内,函数 y=a 与 y=logax(a>1)的图象只可能是
-x

( )

2.若 a>0 且 a≠1,函数 y=loga(x-1)-1 的图象必过定点____.
x

3.函数 y=log2x 与 y= log 1 的图象
2

(

)

A.关于 x 轴对称 B.关于 y 轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线 y=x 对称

4.已知 f( x )= log2 ,那么 f(8)的值为

6

x

( )

A.

4 3

B.8 C.18

D.

1 2

5.(2007·上海文)方程 3 =

x-1

1 的解是____. 9

6.(2007·重庆理)

a3 ?

2

4 (a ? 0) ,则 log a 2 =____. 9 3
( x?3) logb

7.已知 0<a<l,0<b<1,则关于 x 的不等式 a

<1 的解集为____.

8.若对数 log(x-1)(4x-5)有意义,则 x 的取值范围是 A.

( ) D.2≤x≤3

5 4

≤x<2

B.

5 4

<x≤2

C.

5 4

<x<2 或 x>2

9.已知函数 y=f(2 )的定义域是[-1,1],则函数 f(log2x)的定义域是 A.[-1,1] B.[

x

( )

1 2

,2]

C.[1,2]

D.[

2 ,4]

10.(2007·安徽改编)A={x∈N+|2≤2 <8},B={x∈R||log2x|>1},则 A ? ( CR B)的元素的个数为____.
2-x

11.已知函数 f(x)=3+ log 1 (x≥1).则 f(x)的值域为____.
2

x

12.求函数 y= log 1 (7-2x-x ),x∈[0,1]时最大值与最小值.
2

2

13.求定义域. (1)

y ? log0.2 ( x ? 1) ;
? ?

(2)y=loga(1-a )(a>0,a≠1).

x

14.求函数 y= ? log 2

1 x ?? x? x ?? log 2 ? 的值域,其中 x 满足-3≤ log 1 ≤ ? 2 . 2 ?? 4? 2

课时 6 对数函数及其性质(2)
【例】画出函数草图并指出其单调区间. (1)y=|log2x|; (2)y= log 1 .
2 x

思路突破

区分|f(x)|与 f(|x|)对于 f(x)的图象变换:前者保留 x 轴上方的图象,将 x 轴下方的图象关

于 x 轴对称上去;后者为偶函数,先保留 f(x)图象的右半部分,再关于 y 轴对称得到左半部分的图象.
x

1.已知函数 y= log 1 与 y=kx 的图象有公共点 A.且 A 的横坐标为 2,则 k=____.
4

2.(2008·安徽) f ( x) ? | x ? 2 | ?1 的定义域____.

log 2 ( x ? 1)

3.没 a>0 且 a≠1.若 P= log a A.P>Q B.P<Q C.P=Q

? a ?1? ,Q= ? a ?1? ,则 P、Q 的大小关系是 ( ) log a
3
2

D.不确定 ( )
? 3?

4.设 0<a<1,且函数 f(x)=|logax|,则下列各式成立的是
? 3? ?4?
?4?

A. f 2 ? f ? 1 ? ? f ? 1 ? B. ?1? ?1? ? ? f ? ? ? f ? 2? ? f ? ? ? ? ? ? C.
?1? f ? ?? f ? 3?

? 2? ?

? 1 ? D. f ? ? ?4?

?1? ?1? f ? ?? f ? ?? f ?4? ? 3?

? 2?

5.已知函数 f ( x) ? ?

?log 2 x, ( x ? 0) ,则
x ?3 , ( x ? 0)

? ? 1 ? ? ____. f ? f ? ?? ? ? ? 4 ??

6.(2007·全国卷改编)函数 f(x)=logax(a>1)在[a,2a]上最大值与最小值差为 1 ,则 a=____. 2
-1 3

7.(2008·全国卷)若 x∈(e ,1),a=1nx,b=21nx,c=1n x,则 A.a<b<c B.c<a<b C.b<a<c D.b<c<a

( )

8.已知 f(x)=x +lg(x+

2

x2 ?1 ),且 f(2)=4.627,则 f(-2)=____.

9.(2008·上海高考)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x∈(0,+∞)时,f(x)=lgx,则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围____.
x?2

10.函数 y= log 1

在区间____内为增函数.

3

11.函数 y=lg(4+3x-x )单调减区间足 A. ? 3 , 4
? ?2
? 2?
?2

2

( )

3 ? C. ? 3 D.(-1,4) ?? ? ? B. ? ? ?1, ? ? ,

12.函数 y=loga(2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围为 A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D(2,+ ? )

( )

13.已知 f(x)= log x ? b (a>0,b>0 且 a≠1) a x?b (1)求 f(x)的定义域并判断其奇偶性; (2)讨论 f(x)的单调性. 14.已知函数 f(x)= log 1 ? x 2 1? x (1)求证:f(x1)+f(x2)= f ? x1 ? x2 ? ; ? ? ? 1 ? x1 x2 ? (2)若 f ? a ? b ? ? 1 , f ( ?b ) ? 1 ,求 f(a)的值. ? ? 2 ? 1 ? ab ?

2.3 幂函数
课时 7 幂函数

【例】求下列幂函数的定义域与值域,并判断函数的奇偶性
5 3 8

(1)y= x 6 ; (4)y=

(2)y= x 5 ; ; (5)y=

(3)y= x 5 ;
? 5 3

x

?

5 4

x



(6)y=

x

?

2 3



思路突破 注意幂函数与指数函数的本质差异, 结合几个常见幂函数的图象, 了解幂函数的变化规律和性质. 1.若函数 y=(k -k-5)x 为幂函数,则实数 k 的值为____.
2 2

2.已知幂函数 f(x)的图象过点(2,

2 2

) ,则 f(4)=____.

3.已知 a= 1.1 ,b= 1.4 ,c= 1.1 ,试比较 a,b,c 三个数的大小____.

3 4

3 4

2 3

4.图 2-7-1 中的曲线是幂函数 y=x 在第一象限内的图象,已知 n 取±2,± C2,C3,C4 的 n 依次是 A.-2,C.( ) ,2 B.2, D.2,

n

1 2

四个值.则相应于曲线 C1,

1 2



1 2

1 2

,-

1 2

,-2

1 2

,-2,2,

1 2

1 2

,-2,-

1 2

5.若关于 x 的函数 y=(m-2) x

m2 ? m ?1

是正比例函数,则 m=____;

若是反比例函数,则 m=____; 若是二次函数,则 m=____; 若是幂函数,则 m=____. 6.函数 y=x 在区间[-4,-2]上的最小值是____. 7.下列函数中,是偶函数,且在(-∞,0]上是增函数的是 A.y= ( )
-3

x

?

2 3

B.y=-(x+1)

2

( x ? 0) C. y ? ?? x   ? ( x ? 0) ? x  

4

D.y= x 3

8.当 x∈(1,+∞)时,函数 y=x 的图象恒在直线 y=x 的下方,则 a 的取值范围是 A.0<a<1 B.a<0 C.a<1 D.a>1

a

( )

9. (2007· 山东启东模拟)设 a∈ ??1,1, 1 ,3? , 则使函数 y=x 的定义域为 R 且都为奇函数的所有 a 的值为 (

? ?

? 2 ?

a

)

A.1,3 B.-1,1 C.-1,3

D.-1,1,3

10.若函数 y= x

m2 ? m ? 2

在第一象限的值随 x 的增大而减小,则

( )

A.m<-2 或 m>1 B.-2<m<1 C.m 可取任意值 D.m 的值不存在

11.幂函数 y= x

m2 ?2 m?3

(m∈Z)的图象与 x 轴、y 轴都无公共点,且关于 y 轴对称.则其解析式为____.

1

12.已知函数 f(x)=-2 x 2 ,求 f(x)的定义域,判断并证明 f(x)的单调性.

13.已知幂函数 f(x)= x

m2 ?2 m?3

(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上为减函数,求 f(x)表达式,并

讨论 ? (x)= a f ( x) ?

b 的奇偶性(a,b∈R). xf ( x)

第三章
3.1
课时 1

函数的应用

函数与方程
方程的根与函数的零点
2

【例】求函数 f(x)=ax -x-1 仅有一个零点,求实数 a 的取值范围 思路突破 根据字母 a 对函数零点的影响入手进行求解. 1.若函数 f(x)唯一的零点在区间 (1,5)内,则下列说法中错误的是 A.函数 f(x)在(1,2)或[2,3)内有零点 B.函数 f(x)在(3,5)内无零点 C.函数 f(x)在(2,5)内有零点 D.函数 f(x)在(2,4)内不一定有零点 2.函数 f(x)=-x +5x-6 的零点是 A.-2,3
2

( )

( ) D.-2,-3

B.2,3 C.2,-3

3.函数 f(x)=2x -mx+3 有一个零点为 3 ,则 f(1)= 2
2

( )

A.0

B. 10

C.-3 D.由 m 而定的其他常数 ( )
3

4.在区间[3,5]上有零点的函数是

A.f(x)=2xln(x-2)-3 B.f(x)=-x -3x+5 C.f(x)=2 -4
x

D.f(x)= ?

1 +2 x

5.(2007·湖南)函数 f ( x) ? ? ? A.4 B.3 C.2 D.1

4 x ? 4     ( x ? 1)

2 ( x ? 1) ? x ? 4 x ? 3  

的图象和函数 g(x)=log2x 的图象的交点个数是(

)

6.二次函数 y=f(x)满足,f(3+x)=f(3-x),且 f(x)=0 有两实根 x1、x2,则 x1 ? x2 A.0 B.3 C.6 D.不能确定

?

( )

7. 实数 a、 b、 c 是图象连续不断的函数 y=f(x)定义域中的三个数, 且满足 a<b<c, f(a)· f(b)<0, f(b)· f(c)<0, 则函数 g=f(x)在区间(a、c)上的零点个数为 ( )

A.2 个 B.奇数个
2

C.偶数个

D.至少 2 个

8.若方程 2ax -x-1=0 在(0,1)内恰有一解,则 a 的取值范围为____. 9,(高考改编题)二次函数 y=ax +bx+c(x∈R)的部分对应值如下表: x y -3 6 -2 0
2 2

-1 -4

0 -6

1 -6

2 -4

3 0

4 6

则使 ax +bx+c<0 的自变量 x 的取值范围是____. 10.求函数 f(x)=x +2x -3x 的零点. 11.(变式题)若函数 f(x)=x +ax+b 的两个零点是 2,-4,求 a、b 的值. 12.已知函数 f(x)=2(m+1)x +4mx+2m-1. (1)m 为何值时,函数的图象与 x 轴有两个交点? (2)若函数的一个零点在原点,求 m 的值. 13.关于 x 的方程 x +2(m+3)x+2m+14=0 有两实根,并且一根小于 1,另一个根大于 3,求 m 的取值范围.
2 2 2 3 2

课时 2

用二分法求方程的近似解

【例】求

3

. 2 的近似值(精确度 0.01)

思路突破 可将该无理数看成某个方程的根,用二分法逼近. 1.下列图象与 x 轴均有交点.其中不能用二分法求函数零点的是 ( )

2.下列关于二分法叙述正确的是

( )

A.用二分法可求所有函数零点的近似值 B.用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的任一位 C.二分法无规律可循,无法在计算机上完成 D.只有在求函数零点时才用二分法 3.下列函数不能用二分法求零点的是 A.f(x)=2x+3
2

( )
2

B.f(x)=lnx+2x-6 C.f(x)=x -2x+1

D.f(x)=2 -1 )

x

4.函数 f(x)=5-x 的负数零点的近似值(精确到 0.1)是 ( A.-2.0 B.-2.1 C.-2.2 D-2.3
3

5.用二分法研究函数 f(x)=x +3x-1 的零点时,第一次经计算 f(0)<0,f(0.5)>0,可使其中一个零点 x∈

____,第二次应计算____,以上横线应填的内容为 A.(0,0.5) C.(0.5,1) f(0.25) f(0.75) B.(0,1)

( )

f(0.25)

D.(0,0.5) f(0.125)

6. f(x)是定义在区间[-c, c]上的奇函数, 其图象如图 3-2-1 所示. 令 g(x)=af(x)+b, 则下列关于函数 g(x) 的叙述正确的是 ( ) A.若 a<0,则函数 g(x)的图象关于原点对称 B.若 a=1,0<b<2,则方程 g(x)=0 有大于 2 的实根 C.若 a=-2,b=0,则函数 g(x)的图象关于 y 轴对称 D.若 a≠0,b=2,则方程 g(x)=0 有三个实根

7.(2007·常州模拟)根据表中的数据,可以判定方程 e -x-2=0 的一个根所在的区间是 x e
x

x

( )

-1 0.37 1

0 1 2

1 2.72 3

2 7.39 4

3 20.09 5

x+2

A.(-1,0)

B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)

8.某方程有一无理根在区间 D=(1,2)内,若用二分法求此根的近似值,则将 D 至少等分____次后,所得 近似值可精确到 0.01. 9.求方程 x -2x-1=0 的一个近似解(精确到 0.1) .
2

10.方程 x

2

?

1 ? 0 在(-∞,0)内是否存在实数根?并说明理由. x

11, 在一个风雨交加的夜里, 从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障, 这是一条 10km 长的线路, 如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段查找, 困难很多, 每查一个点要爬一次电线杆子, 10km 长,大约有 200 多根电线杆子呢!想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理?

3.2
课时 3

函数模型及其应用
几类不同增长的函数模型

【例】(教材变式题)某地西红柿从 2 月 1 日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本 Q(单位:元 /10 kg)与上市时间 t(单位:天)的数据如下表: 时间 t 50 110 250
2

成本 Q

150

108
2

150
t

①根据表中数据,从下列函数中选取一个函数,描述西红柿种植成本与上市时间 t 的变化关系. Q=at+b Q=at +bt+c Q=a·b Q=a·logbt ②利用你所选函数求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本 思路突破 结合题中数据,由函数单调性选出恰当函数,然后求出相应函数.

1.高为 H,满缸水量为 V 的鱼缸的轴截面模如图

,其底部碰了一个小洞,满缸水从洞中流出, ( )

若鱼缸水深为 h 时,水的体积为 V',则函数 V'=f(h)的大致图象是

2.甲、乙两人在一次赛跑中,路程 s 与时间 t 的函数关系如图 3-3-1 所示,则下列说法正确的是 A.甲比乙先出发 B.乙比甲跑的路程多 C.甲、乙两人速度相同 D.甲先到达终点

( )

3.某商店出售两种价格不同的商品,由于 A 商品连续两次提价 20%,同时 B 商品连续两次降价 20%,结果 都以每件 23 元售出,若商店同时售出这两种商品各一件,则与价格不升不降时的情况相比,商店的盈利情 况是 ( ) A.多赚约 6 元 B.少赚约 6 元 C.多赚约 2 元 D.盈利相同

4.计算机成本不断降低,若每隔 3 年计算机价格降低 1 ,则目前价格为 8100 元的计算机,9 年后价格会

3
降为 ( ) A.2400 元 B.900 元 C.300 元 D.3600 元

5.已知镭经过 100 年剩余质量是原来质量的 0.9576,设质量为 1 的镭经过 x 年后剩余量为 y,则 y 关于 x 的函数关系是( )
x

A.y= 0.9576100

B.y= ? 0.9576 ?
? ? ? 100 ?

x

x

C.y=0.9576

100x

D.y=1- 0.0424100

6.某银行储蓄利率为年息 8%(复利计算)小明想:存入银行 2 万元,5 年后支取,问五年后提取时所得利

息为

( ) A.2(1+0.8)
5

B.(2+0.08)

5

C.2(1+0.08) -2

5

D.2(1+0.08) -2

4

7.某商店将进货单价为 8 元的商品按 10 元一个销售时,每天卖出 100 个,若这种商品销售价每涨 1 元, 则日销售量就减小 10 个,为获得最大利润,此商品的销售价格应定为( A.12 B.13 C.14 D.15
3

)

8.某物体一天中的温度 T 是时间 t 的函数:T(t)=t -3t+6,时间单位是 h,温度单位为℃.t=0 表示中午 12:00,其后 t 值为正,则下午 3 时的温度是____℃. 9.十六大上提出全面奔小康.1982 年我国人均收入为 255 美元,要求到 2000 年人民生活达到小康水平, 即人均收入为 817 美元,则年平均增长率为 入至少达到 ____美元. ____.若不低于此增长率递增,则到 2020 年人均收

10. (变式题) 某公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系, 其图象如图 3-3-2 所示, 由图中给出的信息可知,营销人员没有销售时的收入是多少元?

图 3-3-2 11.为了发展电信事业方便用户,电信公司对移动电话采用不同的收费方式,其中使用的“便民卡”与“如 意卡”在某市范围内每月(30 天)的通话时间 x(分)与通话费 y(元)的关系如图 3-3-3 所示. (1)分别求出通话费 y1,y2 与通话时间 x 之间的函数关系式; (2)请帮助用户计算,在一个月内使用哪种卡便宜.

12.某地上年度电价为 0.8 元,年用电量为 1 亿度,本年度计划将电价调至 0.55~0.75 元之间,经测 算,若电价调至 x 元,则本年度新增用电量 y(亿度)与(x-0.4)(元)成反比例,又当 x=0.65 元时, y=0.8. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)若每度电的成本价为 0. 3 元, 则电价调至多少时, 本年度电力部门的收益将比上年度增加 20%? (收 益=用电量×(实际电价-成本价) ) .

课时 4

函数模型的应用实例

【例】为了尽快改善职工住房困难的局面,鼓励个人购房和积累住房公积金,决定住公房的职工必须按基

本工资高低交纳住房公积金,办法如下表: 每月工资 100 元以下 不交纳 公积金

100 元至 200 元 交纳超过 100 元部分的 5% 200 元至 300 元 100 元至 200 元的部分交纳 5%,超过 200 元的部分交纳 10% 100 元至 200 元的部分交纳 5%.200 元至 300 元以上 300 元的部分交纳 10%,300 元以上的部分 交纳 15% 设职工每月工资为 x 元,交纳公积金后实得数为 y 元,求 y 与 x 间的函数关系式. 思路突破 由于交纳公积金数目随工资变化而变化,故 y 与 x 的关系应为一分段函数. 1.用固定的速度向如图 3-4-1 形状的瓶子中注水,则水面的高度 h 和时间 t 之间的关系是( )

图 3-4-1 2.一天,亮亮发烧了,早晨他烧得很厉害,吃过药后感觉好多了,中午时亮亮的体温基本正常,但是下午 他的体温又开始上升,直到半夜亮亮才感觉身上不那么烫了. 下列各图能基本上反映出亮亮这一天(0~24 时)体温的变化情况的是( )

3.某人 1998 年 7 月 1 日到银行存入一年期款 a,若年利率为 x,按复利计算,到 2008 年 7 月 1 日可提取 款为( )
10

A.a(1+x) 元

B.a(1+x) x C.a+a(1+x) 元 D.a(1+x )元

11

10

10

4.据调查,某地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为 4000 辆次,其中变速车存车费是每辆一次 0.3 元,普通车存车费是每辆一次 0.2 元,若普通车存车数为 x 辆次,存车费总收入为 y 元,则 y 关于 x 的函 数关系式是 ( ) B.y=0.1x+1200(0≤x≤4000) A.y=0.1x+800(0≤x≤4000)

C.y=-0.1x+800(0≤x≤4000) D.y=-0.1x+1200(0≤x≤4000) 5.某单位为鼓励职工节约用水,做出如下规定:每月用水不超过 10m ,按每立方米 x 元收取水费,每月用 水超过 10m ,超过部分加倍收费,某职工某月缴水费 16x 元,则该职工这个月实际用水量为 A.13m
3 3 3

( )

B.14m

3

C.18m

3

D.26m

3

6.某商厦为吸引顾客,采取“买一百送二十,连环送”的酬宾方式,即顾客在店内花钱满 100 元(可是现 金,可是奖券,或两者合计)就送 20 元奖励券,满 200 元送 40 元……,当日一位顾客共花出现金 580 元, 若按酬宾促销方式,他最多可得到优惠( A.120 元 B.140 元 C.160 元 ) D.100 元

7.某商人购货,进价按原价 a 扣去 25%,他希望对货物订一新价 b,以便按新价让利 20%销售后仍可获得 售价 25%的纯利,求此商人经营这种货物的件数 x 与按新价让利总额 y 之间的函数关系. 8.建造一个容积为 8000 米 ,深 6 米的长方体蓄水池(无盖) ,池壁造价为 a 元/米 .池底造价为 2a 元 /米 .把总造价 y 元表示为底的一边长 x 米的函数,求其函数解析式及定义域. 9.某网民用电脑上因特网有两种方案可选:一是在家里上网,费用分为通讯费(即电话费)与网络维护费 两部分,现有政策规定:通讯费为 0.02 元/分钟,但每月 30 元封顶(即超过 30 元只需交 30 元) ,网络 维护费 1 元/小时,但每月上网不超过 10 小时要交 10 元;二是到附近网吧上网,价格为 1.5 元/小时. (1)将该网民某月内在家上网的费用 y(元)表示为时间 t(小时)的函数; (2)试确定在何种情况下.该网民在家上网更便宜? 10. (教材变式题)如图 3-4-2,在梯形 ABCD 中.AB=10,CD=6,AD=BC=4,动点 P 从 B 点开始沿着折线 BC、 CD、DA 前进至 A,若 P 运动路程为 x,△PAB 的面积为 y. (1)写出 y=f(x)的解析表达式及 f(x)的定义域、值域; (2)画出 f(x)的草图.
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11.通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生的接受能力 f(x)与老师提出和讲授概念讲课的时间 x 近似地满足关系式为
??0.1x 2 ? 2.6 x ? 43, (0 ? x ? 10) . ? f ( x) ? ?59, (10 ? x ? 16) ??3 x ? 107, (16 ? x ? 30) ?

(1)开课后多少分钟学生接受能力最强?能维持多久? (2)一个数学难题,需要 55 的接受能力以及 13 分钟的讲课时间,教师能否及时在学生一直达到所需接 受能力的状态下讲授完这个难题?


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