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数学高三复习教案教案第六章


第五章
高考考纲 (1) 数列的概念和简单表示法





① 了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式) . ② 了解数列是自变量为正整数的一类函数. (2) 等差数列、等比数列 ① 理解等差数列、等比数列的概念. ② 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式. ③ 能在具体的问

题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应 的问题. ④ 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.

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第一节数列的概念与简单表示法
1.数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义: ①数列:按照一定顺序排列的一列数. ②数列的项:数列中的每一个数. (2)数列的分类: 分类标准 项数 项与项间的 大小关系 类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 常数列 满足条件 项数有限 项数无限 an+1>an an+1<an an+1=an 其中 n∈N*

(3)数列的通项公式: 如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示, 那么这个公式叫做 这个数列的通项公式. 2.数列的递推公式 如果已知数列{an}的首项(或前几项),且任一项 an 与它的前一项 an-1(n≥2)(或前几项) 间的关系可用一个公式来表示,那么这个公式叫数列的递推公式. 1.对数列概念的理解 (1)数列是按一定“顺序”排列的一列数,一个数列不仅与构成它的“数”有关,而且 还与这些“数”的排列顺序有关,这有别于集合中元素的无序性.因此,若组成两个数列的 数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的两个数列. (2)数列中的数可以重复出现,而集合中的元素不能重复出现,这也是数列与数集的区 别. 2.数列的函数特征 数列是一个定义域为正整数集 N*(或它的有限子集{1,2,3,?,n})的特殊函数,数列的 通项公式也就是相应的函数解析式,即 f(n)=an(n∈N*). 由数列的前几项求数列的通项公式 [例 1] 下列公式可作为数列{an}:1,2,1,2,1,2,?的通项公式的是( ) - n ?-1? +1 nπ? ?-1?n 1+3 ? A.an=1 B.an= C.an=2-?sin 2 ? D.an= 2 2 [自主解答] 若本例中数列变为:0,1,0,1,?,则{an}的一个通项公式为________. 1.根据数列的前几项求它的一个通项公式,要注意观察每一项的特点,观察出项与 n 之间的关系、 规律, 可使用添项、 通分、 分割等办法, 转化为一些常见数列的通项公式来求. 对 于正负符号变化,可用(-1)n 或(-1)n
+1

来调整.
2

2.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴含着“从特殊到 一般”的思想. 1.写出下面数列的一个通项公式. (1)3,5,7,9,?; 1 3 7 15 31 (2) , , , , ,?; 2 4 8 16 32 (3)3,33,333,3 333,?; 3 1 3 1 3 (4)-1, ,- , ,- , ,?. 2 3 4 5 6

由 an 与 Sn 的关系求通项 an [例 2] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn,根据下列条件分别求它们的通项 an. (1)Sn=2n2+3n;(2)Sn=3n+1. [自主解答] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn,求数列的通项公式,其求解过程分为三步: (1)先利用 a1=S1 求出 a1; (2)用 n-1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系,利用 an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当 n≥2 时 an 的表达式; (3)对 n=1 时的结果进行检验,看是否符合 n≥2 时 an 的表达式,如果符合,则可以把 数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分 n=1 与 n≥2 两段来写. n 1 2.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= ,则 =( a5 n+1 5 6 1 A. B. C. D.30 6 5 30 )

数列的性质 [例 3] 已知数列{an}的通项公式为 an=n2-21n+20. (1)n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值; (2)n 为何值时,该数列的前 n 项和最小? [自主解答] an 在本例条件下,设 bn= ,则 n 为何值时,bn 取得最小值?并求出最小值. n 1.数列中项的最值的求法 根据数列与函数之间的对应关系,构造相应的函数 an=f(n),利用求解函数最值的方法 求解,但要注意自变量的取值. 2.前 n 项和最值的求法 (1)先求出数列的前 n 项和 Sn,根据 Sn 的表达式求解最值; (2)根据数列的通项公式,若 am≥0,且 am+1<0,则 Sm 最大;若 am≤0,且 am+1>0,则
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Sm 最小,这样便可直接利用各项的符号确定最值. n 3.数列{an}的通项 an= 2 ,则数列{an}中的最大值是( n +90 1 10 A.3 10 B.19 C. D. 19 60 )

三法破解由递推公式求通项公式问题 递推公式和通项公式是数列的两种表示方法,它们都可以确定数列中的任意一 项,只是由递推公式确定数列中的项时,不如通项公式直接,下面介绍由递推公式求通项公 式的几种方法. 1.累加法 [典例 1] 数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列且 bn=an+1-an(n∈N*).若 b3=-2, b10=12,则 a8=( A.0 [解析] [题后悟道] 对形如 an+1=an+f(n)(f(n)是可以求和的)的递推公式求通项公式时, 常用累 加法,巧妙求出 an-a1 与 n 的关系式. 2.累乘法 n+2 [典例 2] 已知数列{an}中,a1=1,前 n 项和 Sn= a. 3 n (1)求 a2,a3; (2)求{an}的通项公式. [解] [题后悟道] 对形如 an+1=anf(n)(f(n)是可以求积的)的递推公式求通项公式时, 常用累乘 an 法,巧妙求出 与 n 的关系式. a1 3.构造新数列 [典例 3] 已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+2;则 an=________. [解析] [题后悟道] 对于形如“an+1=Aan+B(A≠0 且 A≠1)”的递推公式求通项公式,可用迭 代法或构造等比数列法. 上面是三种常见的由递推公式求通项公式的题型和对应解法, 从这些题型及解法中可以 发现,很多题型及方法都是相通的,如果能够真正理解其内在的联系及区别,也就真正做到 了举一反三、触类旁通,使自己的学习游刃有余,真正成为学习的主人. ) B.3 C.8 D.11

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第二节
一、等差数列的有关概念

等差数列及其前 n 项和

1.定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那 么这个数列就叫做等差数列.符号表示为 an+1-an=d(n∈N*,d 为常数). a+b 2.等差中项:数列 a,A,b 成等差数列的充要条件是 A= ,其中 A 叫做 a,b 的 2 等差中项. 二、等差数列的有关公式 1.通项公式:an=a1+(n-1)d. n?n-1? ?a1+an?n 2.前 n 项和公式:Sn=na1+ d= . 2 2 三、等差数列的性质 1.若 m,n,p,q∈N*,且 m+n=p+q,{an}为等差数列,则 am+an=ap+aq. 2.在等差数列{an}中,ak,a2k,a3k,a4k,?仍为等差数列,公差为 kd. 3.若{an}为等差数列,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,?仍为等差数列,公差为 n2d. 4.等差数列的增减性:d>0 时为递增数列,且当 a1<0 时前 n 项和 Sn 有最小值.d<0 时 为递减数列,且当 a1>0 时前 n 项和 Sn 有最大值. 5.等差数列{an}的首项是 a1,公差为 d.若其前 n 项之和可以写成 Sn=An2+Bn,则 A d d = ,B=a1- ,当 d≠0 时它表示二次函数,数列{an}的前 n 项和 Sn=An2+Bn 是{an}成等 2 2 差数列的充要条件. 1.与前 n 项和有关的三类问题 (1)知三求二:已知 a1、d、n、an、Sn 中的任意三个,即可求得其余两个,这体现了方 程思想. d? d 2 (2)Sn= n2+? ?a1-2?n=An +Bn?d=2A. 2 (3)利用二次函数的图象确定 Sn 的最值时,最高点的纵坐标不一定是最大值,最低点的 纵坐标不一定是最小值. 2.设元与解题的技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题, 要善于设元, 若奇数个数成等差数列且和 为定值时,可设为?,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,?; 若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设为?,a-3d,a-d,a+d,a+3d,?,其 余各项再依据等差数列的定义进行对称设元. 等差数列的判断与证明 [例 1] 在数列{an}中,a1=-3,an=2an-1+2n+3(n≥2,且 n∈N*). (1)求 a2,a3 的值; an+3 (2)设 bn= n (n∈N*),证明:{bn}是等差数列. 2 [自主解答] 1.证明{an}为等差数列的方法: (1)用定义证明:an-an-1=d(d 为常数,n≥2)?{an}为等差数列;
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(2)用等差中项证明:2an+1=an+an+2?{an}为等差数列; (3)通项法:an 为 n 的一次函数?{an}为等差数列; n?a1+an? (4)前 n 项和法:Sn=An2+Bn 或 Sn= . 2 2.用定义证明等差数列时,常采用的两个式子 an+1-an=d 和 an-an-1=d,但它们的 意义不同,后者必须加上“n≥2”,否则 n=1 时,a0 无定义. 1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 是 n 的二次函数,且 a1=-2,a2=2,S3=6. (1)求 Sn; (2)证明:数列{an}是等差数列.

等差数列的基本运算 [例 2] 已知{an}为等差数列,且 a1+a3=8,a2+a4=12. (1)求{an}的通项公式; (2)记{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1,ak,Sk+2 成等比数列,求正整数 k 的值. [自主解答] n?a1+an? n?n-1? 1. 等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d 及前 n 项和公式 Sn= =na1+ d, 2 2 共涉及五个量 a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想. 2.数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而 a1 和 d 是等差数列 的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法. 2.(1)在等差数列中,已知 a6=10,S5=5,则 S8=________. S4 S3 (2)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 - =1,则公差为________. 12 9 等差数列的性质 [例 3] (1)等差数列{an}中, 若 a1+a4+a7=39, a3+a6+a9=27, 则前 9 项和 S9 等于( A.66 A.18 [自主解答] 1.等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前 n 项和公式等基础知识的推广 与变形,熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题. 2.应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系. 3.(1)设数列{an},{bn}都是等差数列,若 a1+b1=7,a3+b3=21,则 a5+b5=________. (2)若数列{an}满足:a1=19,an+1=an-3(n∈N*),则数列{an}的前 n 项和数值最大时, n 的值为( A.6 ) B.7 C.8 D.9 B.99 B.17 C.144 C.16 D.297 ) D.15 (2)设等差数列{an}的前 n 项和 Sn,若 S4=8,S8=20,则 a11+a12+a13+a14=( )

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特值法解等差数列问题 S2n 4n+2 [典例] 在等差数列{an}中,a1=1,前 n 项和 Sn 满足条件 = ,n=1,2,?则 Sn n+1 an=________. [常规解法] ——————[高手支招]—————————————————————————— 1.上述解法计算量较大,很容易出错,若采用特殊值计算很简单,因{an}为等差数列 S2 且 a1=1,只要求出公差 d,便可得出 an,若令 n=1,则有 =3,即可求出公差 d. S1 2.特殊值法在解一些选择题和填空题中经常用到,就是通过取一些特殊值、特殊点、 特殊函数、特殊数列、特殊图形等来求解或否定问题的目的;用特殊值法解题时要注意,所 选取的特例一定要简单,且符合题设条件. ————————————————————————————————————— — [巧思妙解] 1.已知正数数列{an}对任意 p,q∈N*,都有 ap+q=ap+aq,若 a2=4,则 a9=( A.6 D.20 Sn 2n an 2.等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,若 = ,则 =( Tn 3n+1 bn 2n-1 2n+1 2n-1 2 A. B. C. D. 3 3n-1 3n+1 3n+4 B.9 C.18 ) )

第三节

等比数列及其前 n 项和
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1.等比数列的有关概念 (1)定义: 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零),那么这 个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母 q 表示,定义的表达式 an+1 为 =q(n∈N*,q 为非零常数). an (2)等比中项: 如果 a、G、b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项.即:G 是 a 与 b 的等比中 项?a,G,b 成等比数列?G2=ab. 2.等比数列的有关公式 (1)通项公式:an=a1qn 1.


na ,q=1, ? ? 1 (2)前 n 项和公式:Sn=?a1?1-qn? a1-anq = ,q≠1. ? 1-q ? 1-q 3.等比数列{an}的常用性质 (1)在等比数列{an}中,若 m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N*),则 am· an=ap· aq=a2 r. 特别地,a1an=a2an-1=a3an-2=?. (2)在公比为 q 的等比数列{an}中,数列 am,am+k,am+2k,am+3k,?仍是等比数列,公 比为 qk; 数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?仍是等比数列(此时 q≠-1); an=amqn
-m

.

1.等比数列的特征 (1)从等比数列的定义看,等比数列的任意项都是非零的,公比 q 也是非零常数. (2)由 an+1=qan,q≠0 并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证 a1≠0. 2.等比数列的前 n 项和 Sn (1)等比数列的前 n 项和 Sn 是用错位相减法求得的,注意这种思想方法在数列求和中的 运用. (2)在运用等比数列的前 n 项和公式时,必须注意对 q=1 与 q≠1 分类讨论,防止因忽 略 q=1 这一特殊情形导致解题失误. 等比数列的判定与证明 [例 1] 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an+Sn=n. (1)设 cn=an-1,求证:{cn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. [自主解答] 在本例条件下,若数列{bn}满足 b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),证明{bn}是等比数列. 等比数列的判定方法 an+1 an (1)定义法:若 =q(q 为非零常数,n∈N*)或 =q(q 为非零常数且 n≥2,n∈N*), an an-1 则{an}是等比数列.
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(2)等比中项法:若数列{an}中,an≠0 且 a2 an+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列. n+1=an· (3)通项公式法:若数列通项公式可写成 an=c· qn(c,q 均是不为 0 的常数,n∈N*),则 {an}是等比数列. 1.已知函数 f(x)=logax,且所有项为正数的无穷数列{an}满足 logaan+1-logaan=2,则 数列{an}( ) B.一定是等差数列 D.既不是等差数列又不是等比数列 A.一定是等比数列 C.既是等差数列又是等比数列 等比数列的基本运算 [例 2] 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a2=6,6a1+a3=30,求 an 和 Sn. [自主解答] 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量 a1,n,q, an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解. 2.在使用等比数列的前 n 项和公式时,应根据公比 q 的情况进行分类讨论,切不可忽 视 q 的取值而盲目用求和公式. 2.已知数列{an}是公差不为零的等差数列,a1=2,且 a2,a4,a8 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{3an}的前 n 项和. 等比数列的性质 [例 3] (1)在由正数组成的等比数列{an}中,若 a3a4a5=3π,则 sin(log3a1+log3a2+? +log3a7)的值为( 1 A. 2 A.1∶2 [自主解答] 等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”, 它们的通项公式和性质有许多相似之 处, 其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比. 关注它们 之间的异同有助于我们从整体上把握, 同时也有利于类比思想的推广. 对于等差数列项的和 或等比数列项的积的运算,若能关注通项公式 an=f(n)的下标 n 的大小关系,可简化题目的 运算. 3.(1)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a10=( A.7 C.-5 D.-7 1 (2)已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则 a1a2+a2a3+?+anan+1=( 4 32 32 -n -n - - A.16(1-4 ) B.16(1-2 ) C. (1-4 n) D. (1-2 n) 3 3 B.5 ) ) ) B. 3 2 C.1 D.- 3 2 )

(2)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S6∶S3=1∶2,则 S9∶S3 等于( B.2∶3 C.3∶4 D.1∶3

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分类讨论思想在等比数列前 n 项和中的应用 [典例] 设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和 Sn>0(n=1,2,3,?).则 q 的取值 范围为________. [解析] [题后悟道] 解答本题利用了分类讨论思想, 由于等比数列求和公式中分两种情况 q=1 a1?1-qn? 和 q≠1,而本题未说明 q 的范围,求解时应分类讨论,而不能直接利用公式 Sn= . 1-q ? 3 9 等比数列{an}中,a3= ,S3= ,求 an 及前 n 项和 Sn. 2 2

第四节

数列求和

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一、公式法 1.如果一个数列是等差数列或等比数列,则求和时直接利用等差、等比数列的前 n 项 和公式,注意等比数列公比 q 的取值情况要分 q=1 或 q≠1. 2.一些常见数列的前 n 项和公式: n?n+1? (1)1+2+3+4+?+n= ; 2 (2)1+3+5+7+?+2n-1=n2; (3)2+4+6+8+?+2n=n2+n. 二、非等差、等比数列求和的常用方法 1.倒序相加法 如果一个数列{an},首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数,那么求这个 数列的前 n 项和即可用倒序相加法,等差数列的前 n 项和即是用此法推导的. 2.分组转化求和法 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成, 则求和时 可用分组转化法,分别求和而后相加减. 3.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的, 那么这个 数列的前 n 项和即可用此法来求,等比数列的前 n 项和就是用此法推导的. 4.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和. 数列求和的方法 (1)一般的数列求和,应从通项入手,若无通项,先求通项,然后通过对通项变形,转 化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式,从而选择合适的方法求和. (2)解决非等差、等比数列的求和,主要有两种思路: ①转化的思想, 即将一般数列设法转化为等差或等比数列, 这一思想方法往往通过通项 分解或错位相减来完成. ②不能转化为等差或等比数列的数列,往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法 等来求和. 分组转化法求和 [例 1] 等比数列{an}中,a1,a2,a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1, a2,a3 中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足:bn=an+(-1)nln an,求数列{bn}的前 2n 项和 S2n. [自主解答] 分组转化法求和的常见类型 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

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(1)若 an=bn± cn, 且{bn}, {cn}为等差或等比数列, 可采用分组求和法求{an}的前 n 项和. ? ?bn,n为奇数, (2)通项公式为 an=? 的数列,其中数列{bn},{cn}是等比数列或等差数 ?cn,n为偶数 ? 列,可采用分组求和法求和. 以题试法 1.已知数列{xn}的首项 x1=3,通项 xn=2np+nq(n∈N*,p,q 为常数),且 x1,x4,x5 成等差数列.求: (1)p,q 的值; (2)数列{xn}前 n 项和 Sn 的公式.

错位相减法求和 [例 2] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=kcn-k(其中 c,k 为常数),且 a2=4,a6=8a3. (1)求 an; (2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn. [自主解答] 用错位相减法求和应注意: (1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形; (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出 “Sn-qSn”的表达式. (3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解. 2.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn=3n+k. (1)求 k 的值及数列{an}的通项公式; an+1 (2)若数列{bn}满足 =(4+k)anbn,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 2 裂项相消法求和 [例 3] 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=nan-n(n-1)(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; 2 (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. anan+1 [自主解答] 1 本例条件不变,若数列{bn}满足 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. Sn+n 利用裂项相消法求和应注意 (1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项; (2)将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项 1 ? 1 ? 1 1 1 1 1 1 相等.如:若{an}是等差数列,则 = ? - , = ? - . anan+1 d?an an+1? anan+2 2d?an an+2?

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3.在等比数列{an}中,a1>0,n∈N*,且 a3-a2=8,又 a1、a5 的等比中项为 16. (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 (2)设 bn=log4an,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,是否存在正整数 k,使得 + + +?+ S1 S2 S3 1 <k 对任意 n∈N*恒成立.若存在,求出正整数 k 的最小值;不存在,请说明理由. Sn 数列求和是高考的重点,题型以解答题为主,主要考查等差、等比数列的求和公式,错 位相减法及裂项相消求和;数列求和常与函数、方程、不等式联系在一起,考查内容较为全 面,在考查基本运算、基本能力的基础上又注重考查学生分析问题、解决问题的能力. “大题规范解答——得全分”利用错位相减法解决数列求和的答题模板 1 [典例] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=- n2+kn,k∈N*,且 Sn 的最大值为 8. 2 (1)确定常数 k,求 an; ?9-2an? (2)求数列? n ?的前 n 项和 Tn. ? 2 ? [教你快速规范审题] 1.审条件,挖解题信息 观察 1 → Sn=- n2+kn及Sn的最大值为8 条件 ― 2 当n=k时,Sn取得最大值 2.审结论,明解题方向 观察所 应建立关 Sn的最大值为8, 可求Sn的表达式 ― → 求k的值及an ― ― ― ― → ????? ? 于k的方程 即Sk=8,k=4 求结论 1 Sn=- n2+4n 2 3.建联系,找解题突破口 根据已知条件,可利用an 与Sn的关系求通项公式 9 验证n=1时, ― ― ― ― ― → an= -n an是否成立 2 1.审条件,挖解题信息 观察 ?9-2an? 9 ― → an= -n及数列? n ? 条件 2 ? 2 ? ― ― ― ― ― → 使用条件
注意公式的
Sn 是关于n的二次函数 ??????? ?

9 7 an=Sn-Sn-1= -n?n≥2?,a1=S1= 2 2

?????? ? ?
9-2an n = n-1 2n 2 2.审结论,明解题方向
分析通项 n-1 的特点 观察所 ?9-2an? 2 ? → 求数列? n ?的前n项和Tn ??????? 求结论 ― ? 2 ? n

? 9-2an ? 可化简数列? ? ? 2n ?

可利用错位相减法求和
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3.建联系,找解题突破口 条件具备,代入求和: Tn = 1 +

2 3 n-1 + 2 + ? + n-2 + 2 2 2

n 2
n-1



― ― ― ― → 同乘以2 2Tn=2+2+ +

等式两边

n-1 + ② 2 n-3 2 n-2

3 +? 2 n

― ― ― ― → ②-①:2Tn-Tn=2+1+

错位相减

1 +?+ 2 1 n 1 n n+2 - n-2 =4- n-2 - n-2 =4- n- 2 n- 2 2 2 2 2 2
,,[常见失分探因]

7 9 利用an=Sn-Sn-1时,易忽视条件n≥2,即不验证a1= ,是否适合an= -n. 2 2 错位相减时,易漏项或求错项数. —————————————————[ 板]———————————— 第一步 将数列{cn}写成两个数列的积的形式 cn=anbn,其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列 ― → 第二步 写出数列{cn}的前 n 项和 Sn=a1b1+a2b2+?+anbn ― → 第三步 Sn=a1b1+a2b2+?+anbn 的两边同乘以公比 q,得 qSn=qa1b1+qa2b2+?+qanbn ― → 第四步 两式错位相减得(q-1)Sn ― →
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第五步 等式两边同时除以 q-1,得 Sn ― → 第六步 反思回顾,查看关键点,易错点及解题规范.如本题错位相减时,是否有漏项

第五节 数列的综合应用
1.数列在实际生活中有着广泛的应用,其解题的基本步骤,可用图表示如下:

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2.数列应用题常见模型 (1)等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定量时,该模型是等差模型,增加(或减 少)的量就是公差. (2)等比模型:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时,该模型是等比模型, 这个固定的数就是公比. (3)递推数列模型:如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定,随项的变化而变化 时,应考虑是 an 与 an+1 的递推关系,还是前 n 项和 Sn 与 Sn+1 之间的递推关系. 1.对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解,有些数列题目条件已指明是等差(或 等比)数列,有的数列并没有指明,但可以通过分析构造,转化为等差数列或等比数列,然 后应用等差、等比数列的相关知识解决问题. 2.数列是一种特殊的函数,故数列有着许多函数的性质.等差数列和等比数列是两种 最基本、最常见的数列,它们是研究数列性质的基础,与函数、方程、不等式、三角等内容 有着广泛的联系,在实际生活中也有着广泛的应用,随着高考对能力要求的进一步提高,这 一部分内容也将受到越来越多的关注.

等差数列与等比数列的综合问题 [例 1] 在等比数列{an}(n∈N*)中,a1>1,公比 q>0,设 bn=log2an,且 b1+b3+b5=6, b1b3b5=0. (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求{bn}的前 n 项和 Sn 及{an}的通项 an. [自主解答] 试比较(2)求出的 Sn 与 an 的大小. 解决等差数列与等比数列的综合问题, 关键是理清两个数列的关系. 如果同一数列中部 分项成等差数列,部分项成等比数列,要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究;如 果两个数列通过运算综合在一起,要从分析运算入手,把两个数列分割开,弄清两个数列各 自的特征,再进行求解. 1.已知{an}是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a6=55,a2+a7=16. (1)求数列{an}的通项公式; b1 b2 b3 bn (2)若数列{an}和数列{bn}满足等式 an= + 2+ 3+?+ n(n 为正整数),求数列{bn}的 2 2 2 2 前 n 项和 Sn.

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等差数列与等比数列的实际应用 [例 2] 某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M,M 的价值在使用过程 中逐年减少.从第 2 年到第 6 年,每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元;从第 7 年开始, 每年初 M 的价值为上年初的 75%.则第 n 年初 M 的价值 an=________. [自主解答] 1.数列实际应用题的解题策略 解等差、等比数列应用题时,首先要认真审题,深刻理解问题的实际背景,理清蕴含在 语言中的数学关系,把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题,然后求解. 2.处理分期付款问题的注意事项 (1)准确计算出在贷款全部付清时,各期所付款额及利息(注:最后一次付款没有利息). (2)明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款时所生的利息之和等于商品售价 及从购买到最后一次付款时的利息之和,只有掌握了这一点,才可以顺利建立等量关系. 2.从经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规 1 划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少 ,本年度当地旅游业估计收入 400 5 1 万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 . 4 (1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万元,写出表达式; (2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?

数列与函数、不等式的综合应用 x [例 3] 设函数 f(x)= +sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{xn}. 2 (1)求数列{xn}的通项公式; (2)设{xn}的前 n 项和为 Sn,求 sin Sn. [自主解答] 数列与函数的综合问题主要有以下两类: (1)已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题; (2)已知数列条件,解决函数问题,解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、 求和方法对式子化简变形.另外,解题时要注意数列与函数的内在联系,灵活运用函数的思 想方法求解, 在问题的求解过程中往往会遇到递推数列, 因此掌握递推数列的常见解法有助 于该类问题的解决. 3.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=2+t,S5-S2=24+3t(t>0). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=aqn+n,若 b1=a1,b5=a5,试比较 a3 与 b3 的大小. 热点难点突破----由题定法,揭开数列中探究性问题的神秘面纱
探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题,此类题目的条件或结论不完备,要求考生自己 去探索,结合已知条件,进行观察、分析、比较和概括.它对考生的数学思想、数学意识及综合运用数学

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方法解决问题的能力提出了较高的要求.这类问题不仅考查考生的探索能力,而且给考生提供了创新思维 的空间,所以备受高考的青睐,是高考重点考查的内容.探索性问题一般可以分为:条件探索性问题、规 律探索性问题、结论探索性问题、存在探索性问题等.

3 3an [典例] 已知数列{an}的首项 a1= ,an+1= ,n∈N*. 5 2an+1 ?1 ? (1)求证:数列?a -1?为等比数列; ? n ? 1 1 1 (2)记 Sn= + +?+ ,若 Sn<100,求最大正整数 n; a1 a2 an (3)是否存在互不相等的正整数 m,s,n,使 m,s,n 成等差数列,且 am-1,as-1, an-1 成等比数列?如果存在,请给以证明;如果不存在,请说明理由. [解] [题后悟道] 本题属于存在探索性问题,处理这种问题的一般方法是:假定题中的数学 对象存在或结论成立或暂且认可其中的一部分结论, 然后在这个前提下进行逻辑推理. 若由 此导出矛盾,则否定假设,否则,给出肯定结论,其中反证法在解题中起着重要的作用. 解决数列探索性问题基本方法: (1)对于条件开放的探索性问题,往往采用分析法,从结论和部分已知条件入手,执果 索因,导出所需的条件. (2)对于结论探索性问题,需要先得出一个结论,再进行证明.注意含有两个变量的问 题, 变量归一是常用的解题思想, 一般把其中的一个变量转化为另一个变量, 根据题目条件, 确定变量的值. 数列中大小关系的探索问题可以采用构造函数, 根据函数的单调性进行证明, 这是解决复杂问题常用的方法. (3)处理规律探索性问题,应充分利用已知条件,先求出数列的前几项,根据前几项的 特点透彻分析,发现规律、猜想结论. ? 已知数列{an}中,a1=1,且点 P(an,an+1)(n∈N*)在直线 x-y+1=0 上. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设 bn= ,Sn 表示数列{bn}的前 n 项和,试问:是否存在关于 n 的关系式 g(n),使得 an S1+S2+S3+?+Sn-1=(Sn-1)· g(n)对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立?若存在, 写出 g(n) 的解析式,并加以证明;若不存在,试说明理由.

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