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广东省深圳市2012届高三二模试题文科数学word版


绝密★启用前

试卷类型:A

2012 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学(文科)
本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟.

2012.4

注意事项:

1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码是否

正确;之后务 必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号,同时,将监考 教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区,请保持条形码整洁、不污损. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上.不按要求填涂的,答案无效. 3.非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答.漏涂、错涂、多涂的答 案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回.

参考公式:若锥体的底面积为 S ,高为 h ,则锥体的体积为 V ?

1 Sh . 3

若柱体的底面积为 S ,高为 h ,则柱体的体积为 V ? Sh . 若球的半径为 r ,则球的体积为 V ?

4 3 πr . 3

一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合 A ? {2 , 0} , B ? {1 , 2} ,则集合 A. ? B. {2} B. ?i
A? B

( A ? B) ?
D. {0 , 1 , 2} D. ?1

C. {0 , 1}

2. i 为虚数单位,则复数 i ? (1 ? i) 的虚部为 A. i C. 1
0.09 0.07 频率 组距

3. 为了了解某学校 2000 名高中男生的身体发育
0.04 0.02 0.01 54 58 62 66 70 74 78 重量(kg)

第 3 题图

情况,抽查了该校 100 名高中男生的体重情况. 根据所得数据画出样本的频率分布直方图,据 此估计该校高中男生体重在 70~78kg 的人数为 A.240 B.160 C.80 D.60 4. 在平面直角坐标系中, 落在一个圆内的曲线可以是 A. xy ? 1 B. x) ? ? d( y

?1, x为有理数 ?0, x为无理数
x

C. 3x ? 2 y ? 1 5. tan 2012?? A. (0,

D. 2 y ? sin 3 ?

3 ) 3

B. (

3 ,1) 3
2

C. (?1, ?

3 ) 3

D. (?

3 ,0) 3

6. 若对任意正数 x ,均有 a ? 1 ? x ,则实数 a 的取值范围是 A.

??1,1?
? ?

B.

(?1,1)

C. ? ? 1 ? x , 1 ? x ?

D. (? 1 ? x , 1 ? x )

7.曲线 y ? ( ) 在 x ? 0 点处的切线方程是
x

1 2

A. C.

x ? y l n 2 l n?2 ? x ? y ?1 ? 0

0

B. D.

xl n 2 y ? ? ? 1 x ? y ?1 ? 0

0

? 8.已知命题 p :“对任意 a , b ?N , 都有 lg(a ? b) ? lg a ? lg b ”;命题 q :“空间两条直线为异面直线的

充要条件是它们不同在任何一个平面内”.则 A. 命题“ p ? q ”为真命题 B. 命题“ p ? q ”为假命题 C. 命题“ (?p) ? q ”为真命题 D. 命题“ p ? (?q) ”为真命题

9. 某零件的正(主)视图与侧(左)视图均是如图所示的图形(实线组成半径为 2 cm 的半圆,虚线是等 腰三角形的两腰) ,俯视图是一个半径为 2 cm 的圆(包括 件的体积是 A.
1 cm

圆心) ,则该零

1 cm 2 cm 2 cm

8 π cm3 第 9 题图 3 20 π cm3 cm3 C. 4π D. 3 2 2 10. 线段 AB 是圆 C1 : x ? y ? 2x ? 6 y ? 0 的一条直径,离心率为 5 的双曲线 C2 以 A, B

4 π 3

cm3

B.

为焦点.若 P 是圆 C1 与双曲线 C2 的一个公共点,则 PA ? PB ? A. 2 2 B. 4 2 C. 4 3 D. 6 2

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题:第 11、12、13 题为必做题. 11. 按照右图的工序流程,从零件到成品最少 要经过______道加工和检验程序,导致废 品的产生有_____种不同的情形. 12. 已知递增的等比数列 ?an ? 中,

a2 ? a8 ? 3, a3 ? a7 ? 2, 则

a13 ? a10

.

第 11 题图

? 13. 无限循环小数可以化为有理数,如 0.1 ?

1 ? ? 13 ? ? 5 , 0.13 ? , 0.015 ? ,? , 9 99 333

?? 请你归纳出 0.017 ?

(表示成最简分数

m , n, m ? N ? ) . n

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能从中选做一题. 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线 l : ? cos ? ? t (常数 t ? 0) )与曲线 C : ? ? 2sin ? 相 切,则 t ? .
D C P A

15. (几何证明选讲选做题)如图, AB 是半圆的直径, 弦 AC 和弦 BD 相交于点 P ,且 AB ? 3DC ,则 sin ?APD ? .

第 15 题图

B

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A 为锐角,记角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c. 设向量

π m ? (cos A,sin A), n ? (cos A, ? sin A), 且 m 与 n 的夹角为 . 3
(1)求 m ? n 的值及角 A 的大小; (2)若 a ? 7, c ? 3 ,求 ?ABC 的面积 S .

17. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c ,其中 b, c 是某范围内的随机数,分别在下列条件下,求事件 A “ f (1) ? 5 且 f (0) ? 3 ”发生的概率. (1) 若随机数 b, c ?{1, 2,3, 4} ; (2) 已知随机函数 Rand () 产生的随机数的范围为 x 0 ? x ? 1 , b, c 是算法语句 b ? 4 ? Rand() 和

?

?

c ? 4 ? Rand() 的执行结果.(注: 符号“ ? ”表示“乘号”)

18. (本小题满分 14 分) 如 图 , 四 棱 柱 ABCD ? A B1C1D1 的 底 面 ABCD 是 平 行 四 边 形 , E , F 分 别 在 棱 BB1 , DD1 上 , 且 1

AF ? EC1 .
(1)求证: AE ? FC1 ; (2)若 AA1 ? 平面 ABCD ,四边形 AEC1F 是边长为 6 的正方形,且 BE ? 1 , DF ? 2 ,求线段 CC1 的长, 并证明: AC ? EC1.
C1 D1 B1 F A1 C D A E B

第 18 题图

19. (本小题满分 14 分) 已知二次函数 f ? x ? 的最小值为 ?4, 且关于 x 的不等式 f ? x ? ? 0 的解集为

? x ?1 ? x ? 3, x ? R? ,
(1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)求函数 g ( x) ?

f ? x? ? 4ln x 的零点个数. x

20. (本小题满分 14 分) 如图, M , N 是抛物线 C1 : x2 ? 4 y 上的两动点( M , N 异于原点 O ) ?OMN 的角平分线垂直于 y ,且 轴,直线 MN 与 x 轴, y 轴分别相交于 A, B . (1) 求实数 ? , ? 的值,使得 OB ? ?OM ? ?ON ; (2)若中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C2 经过 A, M . 求椭圆 C2 焦距的最大值及此时 C2 的方程.

??? ?

???? ?

????

C1

y N

B M A O C2 x

第 20 题图 21. (本小题满分 14 分) 定义数列 ?an ? : a1 ? 1, a2 ? 2 ,且对任意正整数 n ,有

an ? 2 ? ? 2 ? (?1) n ? an ? (?1) n ?1 ? 1 . ? ?
(1)求数列 ?an ? 的通项公式与前 n 项和 Sn ; (2)问是否存在正整数 m, n ,使得 S2n ? mS2n?1 ?若存在,则求出所有的正整数对

(m, n) ;若不存在,则加以证明.

2012 年深圳市高三年级第二次调研考试

数学(文科)参考答案及评分标准 2012-4-23
说明: 1. 本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内 容比照评分标准制订相应的评分细则. 2. 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可 视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较 严重的错误,就不再给分. 3. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4. 只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算。共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 C 2 C 3 A 4 D 5 B 6 A 7 B 8 C 9 C 10 D

二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中第 14、15 两小题是选作题,考生只能选做一题,如果两题都做,以第 14 题的得分为最后得分. 11. 4, 3 (第一空 3 分,第二空 2 分) 12. 2 13.

17 990

14.1

15.

2 2 3

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A 为锐角,记角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c. 设向量

π m ? (cos A,sin A), n ? (cos A, ? sin A), 且 m 与 n 的夹角为 . 3
(1)求 m ? n 的值及角 A 的大小; (2)若 a ? 7, c ? 3 ,求 ?ABC 的面积 S .

【说明】 本小题主要考查向量的数量积和夹角的概念,以及用正弦或余弦定理解三角形,三角形的面 积公式,考查了简单的数学运算能力.

解: (1)? m ?

cos 2 A ? sin 2 A ? 1, n ? cos 2 A ? (? sin A) 2 ? 1,

π 1 ?c ········································ ? m ? n = m? n o s ? ·.······································· 3 分 3 2

? m ? n= cos2 A ? sin2 A ? cos 2 A ,
1 ? cos 2 A ? . ··················································· 5 分 ··················································· 2 π ? 0 ? A ? , 0 ? 2 A ? π, 2 π π ? 2 A ? , A ? . ···············································7 分 ·············································· 3 6 π 2 2 2 (2)(法一) ? a ? 7, c ? 3 , A ? , 及 a ? b ? c ? 2bc cos A , 6

? 7 ? b2 ? 3 ? 3b , 即 b ? ?1 (舍去)或 b ? 4. ··················· 10 分 ···················
1 bc sin A ? 3. ······································12 分 ····································· 2 π a c ? (法二) ? a ? 7, c ? 3 , A ? , 及 , 6 sin A sin C
故S ?

?sin C ?

c sin A 3 . ···································· 7 分 ···································· ? a 2 7
π 5 2 , cos C ? 1 ? sin A ? 2 2 7

?a ? c ,
?0 ? C ?

π 1 3 2 ? sin B ? sin(π ? A ? C ) ? sin( ? C ) ? cos C ? sin C ? 6 2 2 7 a sin B ?b ? ? 4 . ·········································10 分 ········································ sin A 1 故 S ? bc sin A ? 3. ·····································12 分 ···································· 2
17. (本小题满分 12 分)
2 设函数 f ( x) ? x ? bx ? c ,其中 b, c 是某范围内的随机数,分别在下列条件下,求事件 A “ f (1) ? 5 且

f (0) ? 3 ”发生的概率. (1) 若随机数 b, c ?{1, 2,3, 4} ;

(2) 已知随机函数 Rand () 产生的随机数的范围为 x 0 ? x ? 1 , b, c 是算法语句 b ? 4 ? Rand() 和

?

?

c ? 4 ? Rand() 的执行结果.(注: 符号“ ? ”表示“乘号”)
【说明】本题主要考查随机数、随机函数的定义,古典概型,几何概型,线性规划等基础知识,考查学 生转换问题的能力,数据处理能力.

解:由 f ( x) ? x 2 ? bx ? c 知,事件 A “ f (1) ? 5 且 f (0) ? 3 ”,即 ?

?b ? c ? 4 ··· . ··· 1 分 ? c?3

(1) 因为随机数 b, c ?{1, 2,3, 4} ,所以共等可能地产生 16 个数对 (b, c ) , 列举如下:

(1,1),(1, 2),(1,3),(1, 4),(2,1),(2, 2),(2,3),(2, 4),(3,1),(3, 2),(3,3),(3, 4) , (4,1),(4, 2),(4,3),(4, 4).
事件 A : ? ········································ 4 分 ········································

?b ? c ? 4 包含了其中 6 个数对 (b, c ) ,即: ? c?3
·································6 分 ································

(1,1),(1, 2),(1,3),(2,1),(2, 2),(3,1).
所以 P ( A) ?

6 3 3 ? ,即事件 A 发生的概率为 . ······················7 分 ····················· 16 8 8

(2) 由题意, b, c 均是区间 [0, 4] 中的随机数,产生的点 (b, c ) 均匀地分布在边长为 4 的正方形区 域 ? 中(如图) ,其面积 S (?) ? 16 . ····························· 8 分 ·····························

事件 A : ?

?b ? c ? 4 所对应的区域为如图所示的梯形(阴影部分) , ? c?3
1 15 ? (1 ? 4) ? 3 ? . ·····························10 分 ···························· 2 2
c
4
(1,3)

其面积为: S ( A) ?

15 S ( A) 15 ? 2 ? 所以 P ( A) ? , S (?) 16 32

3

O

4

b

即事件 A 的发生概率为

15 . 32

·····································12 分 ····································

18. (本小题满分 14 分) 如图,四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 的底面 ABCD 是平行四边形, E , F 分别在棱 BB1 , 1

DD1 上,且 AF ? EC1 .
(1)求证: AE ? FC1 ; (2)若 AA1 ? 平面 ABCD ,四边形 AEC1F 是边长为 6 的正方形,且 BE ? 1 , DF ? 2 ,求线段 CC1

的长, 并证明: AC ? EC1.
C1 D1 B1 F A1 C D A E

C1 D1 B1 F A1 D
B

O1 C O E B

A

第 18 题图 【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系,考查线线、线面平行的性质和判定,线线垂直的性质和 判定,考查空间想象能力、运算能力、把空间问题转化为平面问题的意识以及推理论证能力. 证明: (1)? 四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 的底面 ABCD 是平行四边形, 1 ······································· ? AA1 ? DD1 , AB ? CD. ······································· 1 分

? DD1 , CD ? 平面 CDD1C1 , AA1 , AB ? 平面 CDD1C1 ,
······················ ? AA1 ? 平面 CDD1C1 , AB ? 平面 CDD1C1 , ······················ 3 分

? AA1 , AB ? 平面 ABB1 A1 , AA1 ? AB ? A ,
·································· ? 平面 ABB1 A1 ? 平面 CDD1C1. ·································· 4 分

? AF ? EC1 ,
········································ ? A, E, C1 , F 四点共面. ········································ 5 分

? 平面 AEC1F ? 平面 ABB1 A1 ? AE ,平面 AEC1F ? 平面 CDD1C1 ? FC1 ,
················································· ? AE ? FC1. ··················································7 分 (2) 设 AC ? BD ? O, AC1 ? EF ? O1 ,

? 四边形 ABCD ,四边形 AEC1F 都是平行四边形,
? O 为 AC , BD 的中点, O1 为 AC1 , EF 的中点. ·················8 分 ················
连结 OO1 , 由(1)知 BE ? DF ,从而 OO1 ?

1 1 CC1 ? ( BE ? DF ) . 2 2

? BE ? 1 , DF ? 2 ,

·················································· ?CC1 ? 3. ···················································10 分

? AA1 ? 平面 ABCD ,四边形 AEC1F 是正方形, ? ?ACC1 , ?ABE , ?ADF 均为直角三角形,得
AC 2 ? AC12 ? CC12 ? 2 AE2 ? CC12 ? 12 ? 9 ? 3 ,
AB2 ? AE 2 ? BE 2 ? 6 ?1 ? 5,
BC 2 ? AD2 ? AF 2 ? DF 2 ? 6 ? 4 ? 2. ? AC 2 ? BC 2 ? AB2 ? 5 ,即 AC ? BC . ························ 12 分 ························

? BB1 ? 平面 ABCD, AC ? 平面 ABCD, ? AC ? BB1 . ? BC, BB1 ? 平面 BB1C1C,
? AC ? 平面 BB1C1C. ········································· 13 分 ·········································

? EC1 ? 平面 BB1C1C, ? AC ? EC1.
19. (本小题满分 14 分) 已知二次函数 f ? x ? 的最小值为 ?4, 且关于 x 的不等式 f ? x ? ? 0 的解集为 ·················································14 分 ················································

? x ?1 ? x ? 3, x ? R? ,
(1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)求函数 g ( x) ?

f ? x? ? 4ln x 的零点个数. x

【说明】本题主要考查二次函数与一元二次不等式的关系,函数零点的概念,导数运算法则、用导数研 究函数图像的意识、考查数形结合思想,考查考生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力. 解: (1)? f ? x ? 是二次函数, 且关于 x 的不等式 f ? x ? ? 0 的解集为

? x ?1 ? x ? 3, x ? R? ,
·············· ? f ? x ? ? a( x ?1)( x ? 3) ? ax2 ? 2ax ? 3a , 且 a ? 0 . ·············· 4 分

? a ? 0, f ? x ? ? a ?( x ? 1) 2 ? 4 ? ? ?4 ,且 f ?1? ? ?4a , ? ?
? f ( x)min ? ?4a ? ?4, a ? 1.
································ 6 分 ································

故函数 f ? x ? 的解析式为 f ? x ? ? x2 ? 2x ? 3. (2) ? g ( x) ?

x2 ? 2 x ? 3 3 ? 4ln x ? x ? ? 4ln x ? 2 ( x ? 0) , x x
3 4 ( x ? 1)( x ? 3) ? ? . ······························ 8 分 ······························ x2 x x2

? g ?( x) ? 1 ?

? x, g ( x) , g ( x ) 的取值变化情况如下:

x
g ?( x )
g ( x)

(0, 1)

1

(1, 3)
?
单调减少

3

(3, ??)

?
单调增加

0
极大值

0
极小值

?
单调增加

····························································11 分 ··························································· 当 0 ? x ? 3 时, g ? x ? ? g ?1? ? ?4 ? 0 ; ··························· 12 分 ··························· 又g e

? ??e
5

5

?

3 ? 20 ? 2 ? 25 ? 1 ? 22 ? 9 ? 0 .·····················13 分 ···················· e5

故函数 g ( x) 只有 1 个零点,且零点 x0 ? (3,e5 ). ·······················14 分 ······················ 20. (本小题满分 14 分) 如图, M , N 是抛物线 C1 : x2 ? 4 y 上的两动点( M , N 异于原点 O ) ?OMN 的角平分线垂直于 y ,且 轴,直线 MN 与 x 轴, y 轴分别相交于 A, B . (1) 求实数 ? , ? 的值,使得 OB ? ?OM ? ?ON ; (2)若中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C2 经过 A, M . 求椭圆 C2 焦距的最大值及此时 C2 的方程.

??? ?

???? ?

????

C1

y N

B
【说明】本题主要考查直线的斜率、抛物线的切线、 两直线平行的位置关系,椭圆的基本性质,

M A O

C2 x

第 20 题图

考查学生运算能力、推理论证以及分析问 题、解决问题的能力,考查数形结合思想、 化归与转化思想.

x12 x2 2 ), N ( x2 , ), x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 . 解: (1) 设 M ( x1 , 4 4
由 ?OMN 的角平分线垂直于 y 轴知,直线 OM 与直线 MN 的倾斜角互补,从而斜率之和等

x12 x2 2 x12 ? 4 ? 0, 化简得 x ? ?2x . ····················· 3 分 于 0 ,即 4 ? 4 2 1 ····················· x1 x2 ? x1
x12 x12 x 2 ), N (?2 x1 , x1 ) 知直线 MN 的方程为 y ? ? ? 1 ( x ? x1 ) . 由点 M ( x1 , 4 4 4
分别在其中令 y ? 0 及 x ? 0 得 A(2 x1 , 0), B(0,

x12 ) . ··················· 5 分 ··················· 2

?0 ? ? x1 ? ? (?2 x1 ) ??? ? ???? ? ???? ? 将 B, M , N 的坐标代入 OB ? ?OM ? ?ON 中得 ? x 2 , x2 1 ? ? ? 1 ? ? ? x12 ? ?2 4
即?

?? ? 2 ? , ··················································7 分 ················································· ?? ? 4 ? ? 2
2 1 , ? ? . ··············································· 8 分 ··············································· 3 3

所以 ? ?

(2) 设椭圆 C2 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

将 A(2 x1 , 0) , M ( x1 ,

x12 4 x12 x2 x4 ) 代入,得 2 ? 1, 12 ? 1 2 ? 1 , ················9 分 ··············· a a 16b 4

x14 2 2 解得 a ? 4 x , b ? , 由 a ? b 得 0 ? x12 ? 48 . ················· 10 分 ················· 12
2 2 1 2

椭圆 C2 的焦距

2c ? 2 a 2 ? b2 ?

3 3 x12 ? (48 ? x12 ) x12 (48 ? x12 ) ? ? ?8 3 3 3 2

(或

3 3 3 x12 (48 ? x12 ) ? ?( x12 ? 24)2 ? 242 ? ? 24 ? 8 3 )·····12 分 ···· 3 3 3

当且仅当 x12 ? 48 ? x12 , x12 ? 24 ? 48 时,上式取等号, 故 (2c)max ? 8 3 , ··13 分 · 此时椭圆 C2 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. ·································14 分 ································ 96 48

21. (本小题满分 14 分) 定义数列 ?an ? : a1 ? 1, a2 ? 2 ,且对任意正整数 n ,有

an ? 2 ? ? 2 ? (?1) n ? an ? (?1) n ?1 ? 1 .记数列 ?an ? 前 n 项和为 Sn . ? ?
(1) 求数列 ?an ? 的通项公式与前 n 项和 Sn ; (2)问是否存在正整数 m, n ,使得 S2n ? mS2n?1 ?若存在,则求出所有的正整数对

(m, n) ;若不存在,则加以证明.
【说明】考查了等差、等比数列的通项公式、求和公式,数列的分组求和等知识,考查了学生变形的能 力,推理能力,探究问题的能力,分类讨论的数学思想、化归与转化的思想以及创新意识.
2 k ?1 ? a2 k ?1 ? (?1) 2 k ? 1 ? a2 k ?1 ? 2 , 解: (1)对任意正整数 k , a2 k ?1 ? ? 2 ? (?1) ? ?

a2 k ? 2 ? ? 2 ? (?1) 2 k ? a2 k ? (?1) 2 k ?1 ? 1 ? 3a2 k . ······················1 分 ····················· ? ?
所以数列 ?a2k ?1? 是首项 a1 ? 1 ,公差为 2 等差数列;数列 ?a2k ? 是首项 ·································· a2 ? 2 ,公比为 3 的等比数列. ···································2 分 对任意正整数 k , a2k ?1 ? 2k ?1 , a2k ? 2 ? 3k ?1 . ······················3 分 ····················· 所以数列 ?an ? 的通项公式 an ? ?

n ? 2k ? 1 ?2k ? 1, ? , k ? N? . k ?1 ? 2 ? 3 , n ? 2k ?

或 an ? ?

?n, ? ?2 ? 3 ?

n ? 2k ? 1
n ?1 2

, n ? 2k

, k ? N? . ····························· 4 分 ·····························

对任意正整数 k , S2k ? (a1 ? a3 ? ? ? a2k ?1 ) ? (a2 ? a4 ? ? ? a2k )

?

k (1 ? 2k ? 1) 2(1 ? 3k ) ? 3k ? k 2 ? 1 . ·························5 分 ? ························ 2 1? 3

·············· S2k ?1 ? S2k ? a2k ? k 2 ? 3k ?1 ? 2 ? 3k ?1 ? 3k ?1 ? k 2 ?1 ·············· 6 分

?3k ?1 ? k 2 ? 1, n ? 2k ? 1 ? , k ? N? . 所以数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? ? k 3 ? k 2 ? 1, n ? 2k ? ?
? ? n2 1 n 2 ? 2n ? 3 , n ? 2k ? 1 ?3 ? ? 4 或 Sn ? ? ···················· , k ? N? ·····················7 分 n 2 ?3 2 ? n ? 1, n ? 2k ? ? 4

(2) S2n ? mS2n?1 ? 3n ? n2 ?1 ? m(3n?1 ? n2 ?1)

? 3n?1 (3 ? m) ? (m ?1)(n2 ?1) ,
从而 m ? 3 ,由 m ? N 知 m ? 1, 2,3. ······························· 8 分 ······························· ①当 m ? 1 时, 3
n?1
?

····· (3 ? m) ? 0 ? (m ?1)(n2 ?1) ,即 S2n ? mS2n?1 ; ······9 分
2

②当 m ? 3 时, 2(n ? 1) ? 0, n ? 1 ,即 S2 ? 3S1 ; ···················10 分 ·················· ③当 m ? 2 时, 3
k
n?1

? n2 ?1 ? (n ?1)(n ? 1) ,则存在 k1 , k2 ? N, k1 ? k2 ,
k

使得 n ?1 ? 3 1 , n ? 1 ? 3 2 , k1 ? k2 ? n ?1, 从而 3 2 ? 3 1 ? 3 1 (3 2
k k k k ?k1

?1) ? 2 ,得 3k1 ? 1,3k2 ?k1 ?1 ? 2 ,

······················ k1 ? 0, k2 ? k1 ? 1 ,得 n ? 2 ,即 S4 ? 2S3 . ······················ 13 分 综上可知,符合条件的正整数对 (m, n) 只有两对: (2, 2) 与 (3,1). ····· 14 分 ·····


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