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《推理与证明》复习训练题(文科)


《推理与证明复习》复习训练题(文科)
一.选择题 1.下面几种推理过程是演绎推理的是 ( D )

1 1 A.在数列{an}中,a1=1,an= (an-1+ )(n≥2),由此归纳出{an}的通项公式 2 an-1 B.某校高三(1)班有 55 人,高三(2)班有 54 人,高三(3)班有 52 人,由此得出高三所有 班人数超过 50 人 C.由

平面三角形的性质,推测空间四面体的性质 D.两条直线平行,同旁内角互补,由此若∠A,∠B 是两条平行直线被第三条直线所 截得的同旁内角,则∠A+∠B=180° 2.观察下列事实:|x|+|y|=1 的不同整数解(x,y)的个数为 4,|x|+|y|=2 的不同整数 解(x,y)的个数为 8,|x|+|y|=3 的不同整数解(x,y)的个数为 12,?,则|x|+ |y|=20 的不同整数解(x,y)的个数为( A.76 C.86 B )

B.80 D.92

3.如图,一个质点在第一象限运动,在第一秒钟它由原点运动到点(0,1) ,而后再按图所 示与 x 轴、y 轴平行的方向运动,且每秒移动一个单位长度,那么经过 2000 秒后,这个质点所处的位置的坐标是( B ) A. (24,24) B. (24,44) C. (44,24) D. (44,44) 4.已知“整数对”按如下规律排成一列: (1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (2,2), (3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),?,则第 60 个数对是( A.(7,5)
*

B

)

B.(5,7)

C.(2,10)

D.(10,1)

5.把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表. 设 aij(i,j∈N )是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从小到大数第 j 个数,如 a42=8.若 aij=2009,则 i 与 j 的和为( C ) A.105 B.106 C.107 D.108 6.将正偶数集合{2,4,6,…}从小到大按第 n 组有 2n 个偶数进行 分组:{2,4},{6,8,10,12},{14,16,18,20,22,24},??,则 2120 位于第( A ) 组. A.33 B.32 C.31 D.30 7. 德国数学家洛萨?科拉茨 1937 年提出了一个猜想: 任给一个正整数 n, 如果它是偶数, 就将它减半;如果它是奇数,则将它乘 3 再加 1, 不断重复这样的运算, 经过有限步后, 一定可以得到 1。如初始正整数为 6,按照上述变换规则,得到一个数列:6,3,10, 5,16,8,4,2,1。现在请你研究:如果对正整数 n(首项) ,按照上述规则实施 变换(1 可以多次出现)后的第八项为 1,则 n 的所有可能的对值为( A )

A.2,3,16,20,21,128 B.2,3,16,21 C.2,16,21,128 D.3,16,20,21,64 8.函数 f(x)的定义域为 A,若存在非零实数 t,使得对于任意 x∈C(C?A)有 x+t∈A,使 得 f(x+t)≤f(x)恒成立,则称 f(x)为 C 上的 t 度低调函数.已知定义域为[0,+∞) 的函数 f(x)= ?(mx ? 3)2 ,且 f(x)为[0,+∞)上的 6 度低调函数,那么实数 m 的取 值范围是( A.?0,1? D ) B。?1, ??? C.? ??,0? D.? ??,0?

?1, ???

二.填空题 9. 观察下列等式: 1=1 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10 1+2+3+4+5=15 ? 1 =1 1 +2 =9 1 +2 +3 =36 1 +2 +3 +4 =100 1 +2 +3 +4 +5 =225 ?
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

1 2 3 3 3 3 2 * 可以推测:1 +2 +3 +?+n =___ n (n+1) _____(n∈N ,用含 n 的代数式表示) 4 10. 若定义在区间 D 上的函数 f(x)对 D 上的任意 n 个值 x1,x2,…,xn,总满足 [f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]≤f( ) ,则称 f(x)为 D 上的凸函数.已

知函数 y=sinx 在区间(0,π)上是“凸函数”,则在△ ABC 中,sinA+sinB+sinC 的最大值 是 .
2 3

11.观察下列等式: (1+1)=2×1; (2+1) (2+2)=2 ×1×3; (3+1) (3+2) (3+3)=2 ×1×3×5; n …;照此规律,第 n 个等式可为 (n+1) (n+2) (n+3)…(n+n)=2 ?1?3?5…?(2n﹣1) . x * 12.已知 f ( x) ? ,设 f1 ( x) ? f ( x) , f n ( x) ? f n ?1[ f n ?1 ( x)] (n>1,n∈N ) ,则 f3 ( x) 的表 1? x x x * 达式为 f3 ( x) ? ,猜想 f n ( x) (n∈N )的表达式为 fn ( x) ? . 2 1? 2 x 1 ? 2n?1 x 13.在技术工程上,常用到双曲线正弦函数 sinh x ?

ex ? e? x 和双曲线余弦函数 2

e x ? e? x ,而双曲线正弦函数和双曲线余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数 2 有许多类似的性质,比如关于正、余弦函数有 sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny 成立,而关于 双曲正、余弦函数满足 sh(x+y)=shxchy+chxshy.请你运用类比的思想,写出关于双曲正 弦、双曲余弦的一个新关系式 2 2 2 2 sinh x﹣cosh x=﹣1,cosh x﹣sinh x=1 . cosh x ?

14.已知点 A( x1 , 2x1 ), B( x2 , 2 x2 ) 是函数 y ? 2 x 的图象上任意不同两点,依据图象可知,线段

2 x1 ? 2 x2 ?2 AB 总是位于 A、B 两点之间函数图象的上方,因此有结论 2

x1 ? x2 2

成立.运用类

比思想方法可知,若点 A(x1,sin1) 、B(x2,sinx2)是函数 y=sinx(x∈(0,π) )的图象 sin x1 ? sin x2 x ?x 上的不同两点,则类似地有 ? sin 1 2 成立. 2 2 15.研究问题: “已知关于 x 的不等式 ax -bx+c>0 的解集为(1,2) ,解关于 x 的不等式 2 cx -bx+a>0” ,有如下解法:
2

1 1 1 1 2 解:由 ax -bx+c>0 a ? b( ) ? c( )2 ? 0 , a ? b( ) ? c( )2 ? 0 , x x x x
令y?

1 1 1 2 ,则 y ? ( ,1) ,所以不等式 cx -bx+a>0 的解集为 ( ,1) . 2 2 x

k x?b ? ? 0 的解集为(-2,-1)∪(2,3),则关于 x x?a x?c kx bx ? 1 1 1 1 的不等式 ? ? 0 的解集为 ( ,1) ? (? , ? ) . ax ? 1 cx ? 1 2 2 3
参考上述解法,已知关于 x 的不等式 16.有如下真命题:“若数列{an}是一个公差为 d 的等差数列,则数列{an+an+1+an+2}是公差 为 3d 的等差数列.”把上述命题类比到等比数列中,可得真命题是“ 若数列{bn}是公比为 q 的等比数列,则数列{bn?bn+1?bn+2}是公比为 q3 的等比数列;或填为:若数列{bn}是公比为 q 的等比数列,则数列{bn+bn+1+bn+2}是公比为 q 的等比数列 .” 17.若三角形的内切圆半径为 r,三边的长分别为 a,b,c,则三角形

1 的面积 S ? r (a ? b ? c) ,根据类比思想,若四面体的内切球半径为 R, 2
四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,则此四面体的体积 1 V ? R(S1 ? S2 ? S3 ? S4 ) . 3 18. 已知命题: 若数列{an}为等差数列, 且 am=a, an=b (m≠n, m、 n∈N ) , 则 am? n ?
* * *

bn ? am ; n?m

现已知等比数列{bn}(bn>0,n∈N ) ,bm=a,bn=b(m≠n,m、n∈N ) ,若类比上述结论, 则可得到 bm? n ?
n?m

bn . am

19.公比为 4 的等比数列{bn}中,若 Tn 是数列{bn}的前 n 项积,则有
100

T20 T T , 30 , 40 仍成 T10 T20 T30

等比数列,且公比为 4 ;类比上述结论,在公差为 3 的等差数列{an}中,若 Sn 是{an}的前 n 项和, 则有 S20﹣S10, S30﹣S20, S40﹣S30 也成等差数列, 该等差数列的公差为 300 .

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ? x ? x , g ( x) ? a ln x(a ? 0, a ? R ).
3 2

(1)求 f ( x) 的极值; 求实数 a 的取值范围;

(2)若对任意 x ? [1,??) ,使得 f ( x) ? g ( x) ? ? x3 ? (a ? 2) x 恒成立,

(3)证明:对 n ? N * ,不等式

1 1 1 2013 ? ??? ? 成立. ln(n ? 1) ln(n ? 2) ln(n ? 2013) n(n ? 2013)

解答: .(Ⅰ) f ?( x) ? ?3 x 2 ? 2 x ? 0 , x ? 0或

2 ( , ??) ? ,? f ( x)极小 3

2 2 , f ( x)在( ??, 0) ?, (0, ) ? 3 3 2 4 ? f (0) ? 0,f ( x)极大 ? f ( ) ? 3 27

(Ⅱ)法一: f ( x) ? g ( x) ? ? x 3 ? (a ? 2) x化为a (ln x ? x ) ? 2 x ? x 2 易知 ln x ? x ,? a ?

x2 ? 2x x2 ? 2x ,设 ? ( x ) ? x ? ln x x ? ln x

? ?( x) ?

( x ? 1)( x ? 2 ? 2 ln x) 2 ,设 h( x) ? x ? 2 ? 2 ln x , h?( x) ? 1 ? 2 ( x ? ln x) x

h( x)在(1, 2) ?, (2, ??) ? ,? h( x) min ? h(2) ? 4 ? 2 ln 2 ? 0
?? ?( x) ? 0 ,?? ( x)在[1, ??) 上是增函数, ? ( x) min ? ? (1) ? ?1

? a ? ?1
3 法二:构造函数 F(x)=f(x)+g(x)+x -(a+2)x,对 a 分类讨论。

(Ⅲ)由(Ⅱ) 知: a ln x ? (a ? 2) x ? x 2 ? 0对x ? 1 恒成立, 令 a ? ?1,则 ln x ? x 2 ? x ,?

1 1 1 1 ? ? ? ln x x( x ? 1) x ? 1 x

取 x ? n ? 1,n ? 2, , n ? 2013得

1 1 1 1 1 1 ? ? , ? ? , ln(n ? 1) n n ? 1 ln(n ? 2) n ? 1 n ? 2
相加得:

,

1 1 1 ? ? ln(n ? 2013) n ? 2012 n ? 2013

1 1 ? ? ln(n ? 1) ln(n ? 2)

?

1 1 1 1 1 ?( ? )?( ? ) ln(n ? 2013) n n ?1 n ?1 n ? 2

?

?(

1 1 1 1 2013 ? )? ? ? n ? 2012 n ? 2013 n n ? 2013 n(n ? 2013)

18.(本小题满分 12 分)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示) ,该扇环面是由以点 O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点 O 的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长 为 30 米, 其中大圆弧所在圆的半径为 10 米. 设小圆弧所在圆的半径为 x 米, 圆心角为 θ (弧 度) . (1)求 θ 关于 x 的函数关系式; (2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为 4 元/米,弧线部 分的装饰费用为 9 元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为 y,求 y 关于 x 的函数关系式, 并求出 x 为何值时,y 取得最大值?

解: (1)由题意,30=xθ+10θ+2(10﹣x) , ∴θ= (0<x<10) ; ﹣ = =(10﹣x) (5+x) ;

(2)花坛的面积为

装饰总费用为 xθ?9+10θ?9+2(10﹣x)?4=9xθ+90θ+8(10﹣x)=170+10x,

∴花坛的面积与装饰总费用的比为 y= 令 17+x=t, 则 y= ∴出 x=1 时,y 取得最大值 .



,当且仅当 t=18 时取等号,此时 x=1,θ=



19.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=|x﹣3|﹣|x+1|,x∈R. (Ⅰ)解不等式 f(x)<﹣1; (Ⅱ)设函数 g(x)=|x+a|﹣4,且 g(x)≤f(x)在 x∈[﹣2,2]上恒成立,求实数 a 的取值 范围.

解: (Ⅰ)∵函数 f(x)=|x﹣3|﹣|x+1|=



故由不等式 f(x)<﹣1 可得 x>3 或



解得 x> . (Ⅱ)∵函数 g(x)=|x+a|﹣4,且 g(x)≤f(x)在 x∈[﹣2,2]上恒成立, ∴|x+a|﹣4≤|x﹣3|﹣|x+1|在 x∈[﹣2,2]上恒成立, 在同一个坐标系中画出函数 y=f(x)和 y=g(x)的图象,如图所示: 故当 x∈[﹣2,2]时,若 0≤﹣a≤4 时, 则函数 g(x)在函数 f(x)的图象的下方,g(x)≤f(x)在 x∈[﹣2,2]上恒成立, 求得﹣4≤a≤0,故所求的实数 a 的取值范围为[﹣4,0].

20.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

px ? p ? ln x ( p ? 0) .
n

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 在定义域内为增函数,求实数 p 的取值范围;
? (Ⅱ)当 n ? N 时,试判断 ?

k ?1

2k ? 1 与 2ln(n ? 1) 的大小关系,并证明你的结论; k

解: (Ⅰ) p ? 0 ,函数 f ( x) ?

px ? p ? ln x 的定义域为 [1, ??) .

p 1 ? . 2 px ? p x p 1 4( x ? 1) ? 在 x ? (1, ??) 恒成立,? p ? 依题意, 在 x ? (1, ??) 恒成立. x2 2 px ? p x 4( x ? 1) 1 1 1 ? 4[?( ? ) 2 ? ] ? 1 , 2 x x 2 4 ? p ? 1 ,∴ p 的取值范围为 [1, ??) . ……………………………………………………… (6 分) f ?( x) ?
(Ⅱ)当 n ? N * 时, 证 明 : 当

?
k ?1

n

2k ? 1 ? 2ln(n ? 1) . k

n? N* 时 , 欲 证

?
k ?1

n

2k ? 1 k

? 2ln(n ? 1) , 只 需 证

2k ? 1 ? 2[ln(k ? 1) ? ln k ](k ? N * ) . k 由(Ⅰ)可知:取 p ? 1 ,则 f ( x) ? f (1) ( x ? 1) ,
x ?1 2 ) x

而 f ?1? ? 0 ,? x ?1 ? ln x (当 x ? 1 时,等号成立). 用

(





x





(

x ?1 2 x ?1 2 ) ? 1 ? ln( ) ( x ? 0) x x





2x ?1 ? 2[ln( x ? 1) ? ln x]( x ? 0) , x 2k ? 1 ∴ ? 2[ln(k ? 1) ? ln k ](k ? N * ) . k
在上式中分别取 k ? 1, 2,3, ∴当 n ? N 时,
*

, n ,并将同向不等式相加,得 ?
k ?1

n

2k ? 1 ? 2ln(n ? 1) . k

?
k ?1

n

2k ? 1 ? 2ln(n ? 1) . k

…………………………………………

21、 (本小题满分 14 分) 下面四个图案, 都是由小正三角形构成, 设第 n 个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为 f(n) .

(1)求出 f(2) ,f(3) ,f(4) ,f(5) ;

(2)找出 f(n)与 f(n+1)的关系,并求出 f(n)的表达式; (3)求证: (n∈N*) .

解: (1)由题意有 f(1)=3,f(2)=f(1)+3+3×2=12, f(3)=f(2)+3+3×4=27,f(4)=f(3)+3+3×6=48,f(5)=f(4) +3+3×8=75. …(2 分) (2)由题意及(1)知,f(n+1)=f(n)+3+3×2n=f(n)+6n+3,…(4 分) 即 f(n+1)﹣f(n)=6n+3, 所以 f(2)﹣f(1)=6×1+3, f(3)﹣f(2)=6×2+3, f(4)﹣f(3)=6×3+3, …f(n)﹣f(n﹣1)=6(n﹣1)+3,…(5 分) 将上面(n﹣1)个式子相加, 得:f(n)﹣f(1)=6[1+2+3+…+(n﹣1)]+3(n﹣1) = 又 f(1)=3,所以 f(n)=3n2. (3)∵f(n)=3n2 ∴ =3n2﹣3…(6 分) …(7 分)



…(9 分)

当 n=1 时,

,原不等式成立.

…(10 分)

当 n=2 时,

,原不等式成立. …(11 分)

当 n≥3 时,

=

=

,原不等式成立. 综上所述,对于任意 n∈N*,原不等式成立. 14.不等关系有下列基本性质: ① a ? b, b ? c ? a ? c ;② a ? b ? a ? c ? b ? c ;

…(13 分) …(14 分)

n n ③ a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ;④ a ? b ? 0 ? a ? b

我们用记号“|”表示两个正整数间的整除关系,如 3|12 表示 3 整除 12.试类比课本中不

等关系的基本性质,写出整除关系的两个性质.① ___________________________ ;② _________________________.

15. 已知函数 f ( x) ? a ( x ? ) ? 2 ln x( a ? R ) 函数 g ( x ) ? ? 使得 f(xo)>g(xo)成立, a 的取值范围是 a>0

1 x

a 若至少存在一个 x0∈[1, e], x


? 1 ? 2i 2 ? 1.已知 i 是虚数单位,复数 z ? ,则 z ? ( C ) 2?i 1? i
A. 1 B. 2 C.

5

D. 2 2

2.某人进行了如下的“三段论”推理:如果 f′(x0)=0,则 x=x0 是函数 f(x)的极值点 3 3 中,因为函数 f(x)=x 在 x=0 处的导数值 f′(0)=0,所以 x=0 是函数 f(x)=x 的极值 点.你认为以上推理的( B ) A. 小前提错误 B. 大前提错误 C. 推理形式错误 D. 结论正确 2 3.不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a ﹣3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为( A ) A.(﹣∞,﹣1]∪[4,+∞) B.(﹣∞,﹣2]∪[5,+∞) C. [1,2] ∞) 4.设 b ? a ? 0,   则 2b ? A. 2 B. 3 D.(﹣∞,1]∪[2,+

2 的最小值为 ( C ) ab ? a 2
C. 6 D.无最小值


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