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2017届四川省成都外国语学校高三(上)11月月考数学试卷(理科)(解析版)


2017 届四川省成都外国语学校高三 (上) 11 月月考数学试卷 (理 科)
一.选择题(12 小题,每题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A={x∈N|1<x<log2k},集合 A 中至少有 3 个元素,则( A.k>8 2.复数 A. B.k≥8 C.k>16 D.k≥16 ) )

的共轭复数的虚部是( B. C.﹣1 D.1

3.已知 f(x)=x﹣sinx,命题 p:? x∈(0, A.p 是假命题,¬p:? x∈(0, B.p 是假命题,¬p:? x∈(0, C.p 是真命题,¬p:? x∈(0, D.p 是真命题,¬p:? x∈(0,

) ,f(x)<0,则(



) ,f(x)≥0 ) ,f(x)≥0 ) ,f(x)≥0 ) ,f(x)≥0

4. 《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书,书中有如下问题:“远望巍巍 塔七层,红灯向下倍加增,共灯三百八十一,请问塔顶几盏灯?”其意思为“一座 塔共七层,从塔顶至塔底,每层灯的数目都是上一层的 2 倍,已知这座塔共有 381 盏灯,请问塔顶有几盏灯?” A.3 B.4 C.5 D.6 )的图象为 C,下面结论中正确的是( )

5.设函数 f(x)=sin(2x﹣

A.函数 f(x)的最小正周期是 2π B.函数 f(x)在区间(﹣ , )上是增函数 个单位得到

C.图象 C 可由函数 g(x)=sin2x 的图象向右平移 D.图象 C 关于点( ,0)对称

6.程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”, 执行该程序框图,若输入的 a,b 分别为 14,18,则输出的 a=(
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A.0

B.2

C.4

D.14

7.若不等式组

表示的区域 Ω,不等式(x﹣ )2+y2

表示的区域

为 Γ,向 Ω 区域均匀随机撒 360 颗芝麻,则落在区域 Γ 中芝麻数约为( A.114 B.10 C.150 D.50



8.2015 年 4 月 22 日,亚非领导人会议在印尼雅加达举行,某五国领导人 A,B, C,D,E,除 B 与 E、D 与 E 不单独会晤外,其他领导人两两之间都要单独会晤, 现安排他们在两天的上午、 下午单独会晤(每人每个半天最多只进行一次会晤) , 那么安排他们单独会晤的不同方法共有( A.48 种 B.36 种 C.24 种 D.8 种 ,则 xy 的最小值为 )

9.实数 x,y 满足 ( A.2 ) B. C. D.1

10.如图,在△OMN 中,A,B 分别是 OM,ON 的中点,若 ∈R) ,且点 P 落在四边形 ABNM 内(含边界) ,则

=x

+y

(x,y )

的取值范围是(

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A.[ , ] B.[ , ] C.[ , ] D.[ , ] 11.F1,F2 分别是双曲线 满足 ﹣ =1(a,b>0)的左右焦点,点 P 在双曲线上, ,则该双

=0,若△PF1F2 的内切圆半径与外接圆半径之比为 ) +1 D. +1

曲线的离心率为( A. B. C.

12.如图所示,正方体 ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为 1,E,F 分别是棱 AA′,CC′的中 点,过直线 E,F 的平面分别与棱 BB′、DD′交于 M,N,设 BM=x,x∈[0,1], 给出以下四个命题: ①平面 MENF⊥平面 BDD′B′; ②当且仅当 x= 时,四边形 MENF 的面积最小; ③四边形 MENF 周长 L=f(x) ,x∈[0,1]是单调函数; ④四棱锥 C′﹣MENF 的体积 V=h(x)为常函数; 以上命题中假命题的序号为( )

A.①④

B.② C.③ D.③④

二.填空题(4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.双曲线 ﹣y2=1 的焦距是 ,渐近线方程是 .

14. 已知三棱锥 A﹣BCD 中, AB⊥面 BCD,△BCD 为边长为 2 的正三角形,AB=2, 则三棱锥的外接球体积为 15.已知 a= 作答)
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. )7 的展开式中的常数项是 . (用数字

cosxdx,则 x(x﹣

16. (填空题压轴题:考查函数的性质,字母运算等) 设函数 f(x)的定义域为 D,如果存在正实数 k,使对任意 x∈D,都有 x+k∈D, 且 f(x+k)>f(x)恒成立,则称函数 f(x)为 D 上的“k 型增函数”.已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=|x﹣a|﹣2a,若 f(x)为 R 上的 “2011 型增函数”,则实数 a 的取值范围是 .

三.解答题 17. (12 分) 在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 bcos2 +acos2 = c. (Ⅰ)求证:a,c,b 成等差数列; (Ⅱ)若 C= ,△ABC 的面积为 2 ,求 c.

18. (12 分)某校新、老校区之间开车单程所需时间为 T,T 只与道路通畅状况 有关,对其容量为 100 的样本进行统计,结果如下: T(分钟) 频数(次) 25 20 30 30 35 40 40 10

(Ⅰ)求 T 的分布列与数学期望 ET; (Ⅱ)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个 50 分钟的讲座,结束后立 即返回老校区, 求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的 概率. 19. (12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PC⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是直角 梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,PE=2BE. (I)求证:平面 EAC⊥平面 PBC; (Ⅱ)若二面角 P﹣AC﹣E 的余弦值为 值. ,求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦

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20. (12 分) 已知椭圆

的离心率为 , 且过点

. 若

点 M(x0,y0)在椭圆 C 上,则点 (I)求椭圆 C 的标准方程;

称为点 M 的一个“椭点”.

(Ⅱ)若直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且 A,B 两点的“椭点”分别 为 P,Q,以 PQ 为直径的圆经过坐标原点,试判断△AOB 的面积是否为定值? 若为定值,求出定值;若不为定值,说明理由. 21. (12 分)已知函数 f(x)=lnx﹣x2+ax, (1)当 x∈(1,+∞)时,函数 f(x)为递减函数,求 a 的取值范围; (2)设 f'(x)是函数 f(x)的导函数,x1,x2 是函数 f(x)的两个零点,且 x1 <x2,求证 (3)证明当 n≥2 时, .

     

[坐标系与参数方程] 22. (10 分)在直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建 立极坐标系, 已知点 M 的极坐标为 (2 (α 为参数) . (1)直线 l 过 M 且与曲线 C 相切,求直线 l 的极坐标方程; (2)点 N 与点 M 关于 y 轴对称,求曲线 C 上的点到点 N 的距离的取值范围. , ) , 曲线 C 的参数方程为

[不等式选讲] 23. (10 分)已知? x0∈R 使得关于 x 的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t 成立. (Ⅰ)求满足条件的实数 t 集合 T; (Ⅱ)若 m>1,n>1,且对于? t∈T,不等式 log3m?log3n≥t 恒成立,试求 m+n 的最小值.
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2017 届四川省成都外国语学校高三(上)11 月月考数学

试卷(理科)
参考答案与试题解析

一.选择题(12 小题,每题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A={x∈N|1<x<log2k},集合 A 中至少有 3 个元素,则( A.k>8 B.k≥8 C.k>16 D.k≥16 )

【分析】首先确定集合 A,由此得到 log2k>4,由此求得 k 的取值范围. 【解答】解:∵集合 A={x∈N|1<x<log2k},集合 A 中至少有 3 个元素, ∴A={2,3,4}, ∴log2k>4, ∴k>16. 故选:C. 【点评】本题考查了集合的化简与应用,属于基础题.

2.复数 A.

的共轭复数的虚部是( B. C.﹣1 D.1



【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,求出原复数的共轭复数得答案. 【解答】解:∵ ∴复数 故选:C. 【点评】 本题考查复数代数形式的乘除运算, 考查了共轭复数的概念, 是基础题. = ,

的共轭复数为﹣i,虚部为﹣1.

3. (2015 秋?德州期末)已知 f(x)=x﹣sinx,命题 p:? x∈(0, <0,则( ) ) ,f(x)≥0

) ,f(x)

A.p 是假命题,¬p:? x∈(0,

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B.p 是假命题,¬p:? x∈(0, C.p 是真命题,¬p:? x∈(0, D.p 是真命题,¬p:? x∈(0,

) ,f(x)≥0 ) ,f(x)≥0 ) ,f(x)≥0

【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可. 【解答】解:f(x)=x﹣sinx,x∈(0, )上是增函数, ∵f(0)=0, ∴f(x)>0, ∴命题 p:? x∈(0, ¬p:? x∈(0, 故选:A. 【点评】本题考查特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查. ) ,f(x)<0 是假命题, ) ,f′(x)=1﹣cosx>0,∴f(x)是(0,

) ,f(x)≥0,

4. (2016?锦州一模) 《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书,书中有如下 问题: “远望巍巍塔七层, 红灯向下倍加增, 共灯三百八十一, 请问塔顶几盏灯?” 其意思为“一座塔共七层,从塔顶至塔底,每层灯的数目都是上一层的 2 倍,已 知这座塔共有 381 盏灯,请问塔顶有几盏灯?” A.3 B.4 C.5 D.6

【分析】设出塔顶灯的盏数,由题意可知灯的盏数自上而下构成等比数列,且公 比为 2,然后由等比数列的前 7 项和等于 381 列式计算即可. 【解答】解:由题意设塔顶有 a 盏灯, 由题意由上往下数第 n 层就有 2n﹣1?a 盏灯, ∴共有(1+2+4+8+16+32+64)a=381 盏灯, 即 解得:a=3. 故选:A.
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【点评】本题考查了等比数列的前 n 项和公式,是简单的计算题.

5. (2016?成都校级模拟)设函数 f(x)=sin(2x﹣ 中正确的是( )

)的图象为 C,下面结论

A.函数 f(x)的最小正周期是 2π B.函数 f(x)在区间(﹣ , )上是增函数 个单位得到

C.图象 C 可由函数 g(x)=sin2x 的图象向右平移 D.图象 C 关于点( ,0)对称

【分析】由条件利用正弦函数的周期性、单调性、以及图象的对称性, y=Asin (ωx+φ)的图象变换规律,得出结论 【解答】解:根据函数 f(x)=sin(2x﹣ 在区间(﹣ B 错误; 把函数 g(x)=sin2x 的图象向右平移 故 C 错误; 令 x= 正确, 故选:D. 【点评】本题主要考查正弦函数的周期性、单调性、以及图象的对称性,y=Asin (ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题. ,可得 f(x)=sin(2x﹣ )=0,图象 C 关于点( ,0)对称,故 D 个单位,可得 y=sin(2x﹣ )的图象, , )上,2x﹣ ∈(﹣ )的周期为 , =π,可得 A 错误;

) ,故 f(x)没有单调性,故

6. (2015?新课标Ⅱ)程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》 中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的 a,b 分别为 14,18,则输出的 a=( )

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A.0

B.2

C.4

D.14

【分析】由循环结构的特点,先判断,再执行,分别计算出当前的 a,b 的值, 即可得到结论. 【解答】解:由 a=14,b=18,a<b, 则 b 变为 18﹣14=4, 由 a>b,则 a 变为 14﹣4=10, 由 a>b,则 a 变为 10﹣4=6, 由 a>b,则 a 变为 6﹣4=2, 由 a<b,则 b 变为 4﹣2=2, 由 a=b=2, 则输出的 a=2. 故选:B. 【点评】本题考查算法和程序框图,主要考查循环结构的理解和运用,以及赋值 语句的运用,属于基础题.

7. (2016?郑州三模)若不等式组

表示的区域 Ω,不等式(x﹣ )

2

+y2

表示的区域为 Γ,向 Ω 区域均匀随机撒 360 颗芝麻,则落在区域 Γ 中芝 )

麻数约为(

A.114 B.10 C.150 D.50 【分析】作出两平面区域,计算两区域的公共面积,得出芝麻落在区域 Γ 内的概
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率. 【解答】解:作出平面区域 Ω 如图:则区域 Ω 的面积为 S△ABC= 区域 Γ 表示以 D( )为圆心,以 为半径的圆, + = . =30π+20≈114. = . = .

则区域 Ω 和 Γ 的公共面积为 S′= ∴芝麻落入区域 Γ 的概率为 ∴落在区域 Γ 中芝麻数约为 360× 故选 A.

【点评】本题考查了几何概型的概率计算,不等式与平面区域,作出平面区域计 算两区域的公共面积是解题关键.

8. (2016 春?湖北校级期中)2015 年 4 月 22 日,亚非领导人会议在印尼雅加达 举行,某五国领导人 A,B,C,D,E,除 B 与 E、D 与 E 不单独会晤外,其他领 导人两两之间都要单独会晤,现安排他们在两天的上午、下午单独会晤(每人每 个半天最多只进行一次会晤) ,那么安排他们单独会晤的不同方法共有( A.48 种 B.36 种 C.24 种 D.8 种 )

【分析】单独会晤,共有 AB,AC,AD,AE,BC,BD,CD,CE 共 8 种情况,再 分步,即可得出结论. 【解答】解:单独会晤,共有 AB,AC,AD,AE,BC,BD,CD,CE 共 8 种情况, 设为第 n 次,分成四个时段,每个时段[即某个上午或下午]有两次,各个时段没 有关系. 设第一次会晤有 E, 则有两种方法 (不防设为 AE) , 则第二次会晤在 BCD
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内任选(设为 BC) ,有三种方法,第三次设再有 E 则有一种方法(CE) ,第四次 在 ABD 内任选则有两种方法(设为 AD) ,则剩下的排序只有 4 种,则有 2×3×1 ×2×4=48 种. 故选:A. 【点评】 本题考查计数原理的运用, 考察学生分析解决问题的能力, 属于中档题.

9.实数 x,y 满足 ( A.2 ) B. C. D.1

,则 xy 的最小值为

【分析】配方可得 2cos2(x+y﹣1)=

=(x﹣y+1)+x﹣y+1,由基本

不等式可得(x﹣y+1)+x﹣y+1≤2,或(x﹣y+1)+x﹣y+1≤﹣2,进而可得 cos (x+y﹣1)=±1,x=y= 【解答】解:∵ ,由此可得 xy 的表达式,取 k=0 可得最值. ,

∴2cos2(x+y﹣1)=

∴2cos2(x+y﹣1)= 故 2cos2(x+y﹣1)=x﹣y+1+ 由基本不等式可得(x﹣y+1)+

, , ≥2,或(x﹣y+1)+ ≤﹣2,

∴2cos2(x+y﹣1)≥2,由三角函数的有界性可得 2cos2(x+y﹣1)=2, 故 cos2(x+y﹣1)=1,即 cos(x+y﹣1)=±1,此时 x﹣y+1=1, 即 x=y, ∴x+y﹣1=kπ,k∈Z,故 x+y=2x=kπ+1,解得 x= 故 xy=x?x=( )2, ,

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当 k=0 时,xy 的最小值 , 故选:B 【点评】本题考查基本不等式在最值问题中的应用,余弦函数的单调性,得出 cos(x+y﹣1)=±1 是解决问题的关键,属中档题

10. (2015?浙江模拟)如图,在△OMN 中,A,B 分别是 OM,ON 的中点,若 =x +y (x,y∈R) ,且点 P 落在四边形 ABNM 内(含边界) ,则 ) 的取

值范围是(

A.[ , ] B.[ , ] C.[ , ] D.[ , ] 【分析】若 P 在线段 AB 上,设 则有 x+y=1, 由于在△OMN 中, A, B 分别是 OM, ON 的中点, P 落在线段 MN 上, 则 x+y=2. 即 可得到取值范围. 【解答】解:若 P 在线段 AB 上,设 则有 ∴ 由于 则 x= = =x +y ,y= = , (x,y∈R) , ,故有 x+y=1, =λ ,则有 = ,故 x=1, y=0 时,最小值为 , = =λ , , =λ ,则有 = ,由于 =x +y ,

若 P 在线段 MN 上, 设

当 x=0,y=1 时,最大值为 故范围为[ ]

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由于在△OMN 中,A,B 分别是 OM,ON 的中点, 则 =x +y = x + y (x,y∈R) ,

则 x=

, y=

,故有 x+y=2,当 x=2,y=0 时有最小值 ,当 x=0,y=2

时,有最大值 故范围为[ ]

若 P 在阴影部分内(含边界) , 则 ∈ .

故选:C. 【点评】本题考查三角形法则,是一个基础题,向量是数形结合的最好的工具, 在解题时注意发挥向量的优点.

11. (2016 春?山西月考)F1,F2 分别是双曲线 点,点 P 在双曲线上,满足 之比为 A. B.



=1(a,b>0)的左右焦

=0,若△PF1F2 的内切圆半径与外接圆半径 )

,则该双曲线的离心率为( C. +1 D. +1

【分析】设 P 为双曲线的右支上一点,由向量垂直的条件,运用勾股定理和双曲 线的定义,可得|PF1|+|PF2|,|PF1|?|PF2|,再由三角形的面积公式,可得内切 圆的半径, 再由直角三角形的外接圆的半径即为斜边的一半,由条件结合离心率 公式,计算即可得到所求值. 【解答】解:设 P 为双曲线的右支上一点, =0,即为 ⊥ ,

由勾股定理可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,① 由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a,② ①﹣②2,可得|PF1|?|PF2|=2(c2﹣a2) , 可得|PF1|+|PF2|= ,

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由题意可得△PF1F2 的外接圆的半径为 |F1F2|=c, 设△PF1F2 的内切圆的半径为 r,可得 |PF1|?|PF2|= r(|PF1|+|PF2|+|F1F2|) , 解得 r= ( 即有 = ﹣2c) , , )c2,

化简可得 8c2﹣4a2=(4+2 即有 c2= 则 e= = 故选:D. a 2, = +1.

【点评】 本题考查双曲线的离心率的求法, 注意运用向量垂直的条件和勾股定理, 以及双曲线的定义, 考查三角形的外接圆的半径和内切圆半径的求法,考查运算 能力,属于中档题.

12. (2016?太原校级二模)如图所示,正方体 ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为 1,E,F 分别是棱 AA′,CC′的中点,过直线 E,F 的平面分别与棱 BB′、DD′交于 M,N, 设 BM=x,x∈[0,1],给出以下四个命题: ①平面 MENF⊥平面 BDD′B′; ②当且仅当 x= 时,四边形 MENF 的面积最小; ③四边形 MENF 周长 L=f(x) ,x∈[0,1]是单调函数; ④四棱锥 C′﹣MENF 的体积 V=h(x)为常函数; 以上命题中假命题的序号为( )

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A.①④

B.② C.③ D.③④

【分析】①利用面面垂直的判定定理去证明 EF⊥平面 BDD'B'.②四边形 MENF 的对角线 EF 是固定的,所以要使面积最小,则只需 MN 的长度最小即可.③判 断周长的变化情况.④求出四棱锥的体积,进行判断. 【解答】解:①连结 BD,B'D',则由正方体的性质可知,EF⊥平面 BDD'B',所以 平面 MENF⊥平面 BDD'B',所以①正确. ②连结 MN,因为 EF⊥平面 BDD'B',所以 EF⊥MN,四边形 MENF 的对角线 EF 是固定的,所以要使面积最小,则只需 MN 的长度最小即可,此时当 M 为棱的 中点时,即 x= 时,此时 MN 长度最小,对应四边形 MENF 的面积最小.所以② 正确. ③因为 EF⊥MN,所以四边形 MENF 是菱形.当 x∈[0, ]时,EM 的长度由大 变小.当 x∈[ ,1]时,EM 的长度由小变大.所以函数 L=f(x)不单调.所以 ③错误. ④连结 C'E,C'M,C'N,则四棱锥则分割为两个小三棱锥,它们以 C'EF 为底,以 M,N 分别为顶点的两个小棱锥.因为三角形 C'EF 的面积是个常数.M,N 到平 面 C'EF 的距离是个常数,所以四棱锥 C'﹣MENF 的体积 V=h(x)为常函数,所 以④正确. 所以四个命题中③假命题. 所以选 C.

【点评】本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式, 本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合,综合性较强,设计巧妙, 对学生的解题能力要求较高.

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二.填空题(4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13 . ( 2015? 浙江)双曲线 x . 【分析】确定双曲线中的几何量,即可求出焦距、渐近线方程. 【解答】解:双曲线 ∴焦距是 2c=2 故答案为:2 =1 中,a= ,b=1,c= x. , ﹣ y2=1 的焦距是 2 ,渐近线方程是 y= ±

,渐近线方程是 y=± ;y=± x.

【点评】本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,比较基础.

14. (2016 春?成都校级月考)已知三棱锥 A﹣BCD 中,AB⊥面 BCD,△BCD 为边 长为 2 的正三角形,AB=2,则三棱锥的外接球体积为 π .

【分析】由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征,可得此三棱锥外接球,即为 以△BCD 为底面以 AB 为高的正三棱柱的外接球,分别求出棱锥底面半径 r,和 球心距 d,可得球的半径 R,即可求出三棱锥的外接球体积. 【解答】解:根据已知中底面△BCD 是边长为 2 的正三角形,AB⊥面 BCD, 可得此三棱锥外接球,即为以△BCD 为底面以 AB 为高的正三棱柱的外接球 ∵△BCD 是边长为 2 的正三角形, ∴△BCD 的外接圆半径 r= 故球的半径 R= = , = π. ,球心到△BCD 的外接圆圆心的距离 d=1

∴三棱锥的外接球体积为 故答案为: π.

【点评】本题考查的知识点是球内接多面体,考查三棱锥的外接球体积,正确求 出球的半径是解答的关键.

15. (2016 秋?袁州区校级期中)已知 a=

cosxdx,则 x(x﹣

)7 的展开式

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中的常数项是 ﹣128 . (用数字作答) 【分析】利用微积分基本定理可得 a,再利用二项式定理的通项公式即可得出. 【解答】解:a= 则x cosxdx= = , =(﹣2)r x7﹣r,

的展开式中的通项公式:Tr+1=x

令 7﹣r=0,解得 r=7. ∴常数项=﹣ =﹣128.

故答案为:﹣128. 【点评】 本题考查了微积分基本定理、 二项式定理, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题.

16. (2011?扬州三模) (填空题压轴题:考查函数的性质,字母运算等) 设函数 f(x)的定义域为 D,如果存在正实数 k,使对任意 x∈D,都有 x+k∈D, 且 f(x+k)>f(x)恒成立,则称函数 f(x)为 D 上的“k 型增函数”.已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=|x﹣a|﹣2a,若 f(x)为 R 上的 “2011 型增函数”,则实数 a 的取值范围是 【分析】由题意可以得到 . 再由定义存在正实数 k,使

对任意 x∈D,都有 x+k∈D,且 f(x+k)>f(x)恒成立,则称函数 f(x)为 D 上的“k 型增函数”.对所给的问题分自变量全为正,全为负,一正一负三类讨论, 求出参数所满足的共同范围即可. 【解答】解:∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=|x﹣a|﹣ 2a, ∴ 又 f(x)为 R 上的“2011 型增函数”, 当 x>0 时,由定义有|x+2011﹣a|﹣2a>|x﹣a|﹣2a,即|x+2011﹣a|>|x﹣a|, 其几何意义为到点 a 小于到点 a﹣2011 的距离,由于 x>0 故可知 a+a﹣2011<0
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得 a< 当 x<0 时,分两类研究,若 x+2011<0,则有﹣|x+2011+a|+2a>﹣|x+a|+2a, 即|x+a|>|x+2011+a|, 其几何意义表示到点﹣a 的距离小于到点﹣a﹣2011 的距 离, 由于 x<0, 故可得﹣a﹣a﹣2011>0, 得 a< ; 若 x+2011>0, 则有|x+2011

﹣a|﹣2a>﹣|x+a|+2a,即|x+a|+|x+2011﹣a|>4a,其几何意义表示到到点﹣a 的距离与到点 a﹣2011 的距离的和大于 4a,当 a≤0 时,显然成立,当 a>0 时, 由于|x+a|+|x+2011+a|≥|﹣a﹣a+2011|=|2a﹣2011|,故有|2a﹣2011|>4a,必 有 2011﹣2a>4a,解得 综上,对 x∈R 都成立的实数 a 的取值范围是 故答案为: .

【点评】 本题考查奇偶性与单调性的综合,解题的关键是根据函数的奇函数的性 质求出函数的解析式, 理解本题中所给的定义,以及根据函数解析式对问题分为 三部分来求解, 最后求出三部分中的公共部分的取值范围作为实数 a 的取值范围 是本题中的一个疑点,也是易错点,一般分类求解都是求并集,而本题因为是研 究的定义域各个部分上成立的参数的范围, 故在整个定义域上都成立的参数的范 围应该是三部分中都成立的范围的公共部分,对此逻辑关系一定要理解清楚.题 后可以找一些分类讨论的题对比着题设条件好好理解领会一下.

三.解答题 17. (12 分) (2016 春?定州市期中)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b,c,已知 bcos2 +acos2 = c. (Ⅰ)求证:a,c,b 成等差数列; (Ⅱ)若 C= ,△ABC 的面积为 2 ,求 c.

【分析】 (Ⅰ)利用正弦定理以及两角和与差的三角函数,三角形的内角和,化 简求解即可. (Ⅱ)利用三角形的面积以及余弦定理化简求解即可. 【解答】解: (Ⅰ)证明:由正弦定理得:
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∴sinB+sinA+sinBcosA+cosBsinA=3sinC…(2 分) ∴sinB+sinA+sin(A+B)=3sinC ∴sinB+sinA+sinC=3sinC…(4 分) ∴sinB+sinA=2sinC ∴a+b=2c… ∴a,c,b 成等差数列.…(6 分) (Ⅱ) ∴ab=8…(8 分) c2=a2+b2﹣2abcosC =a2+b2﹣ab =(a+b)2﹣3ab =4c2﹣24.…(10 分) ∴c2=8 得 …(12 分)

【点评】 本题考查三角形的解法, 两角和与差的三角函数妹子学到了与余弦定理, 等差数列的应用,考查转化思想以及计算能力.

18. (12 分) (2015?陕西)某校新、老校区之间开车单程所需时间为 T,T 只与 道路通畅状况有关,对其容量为 100 的样本进行统计,结果如下: T(分钟) 频数(次) 25 20 30 30 35 40 40 10

(Ⅰ)求 T 的分布列与数学期望 ET; (Ⅱ)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个 50 分钟的讲座,结束后立 即返回老校区, 求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的 概率. 【分析】 (Ⅰ)求 T 的分布列即求出相应时间的频率,频率=频数÷样本容量,数 学期望 ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分钟) ; (Ⅱ)设 T1,T2 分别表示往、返所需时间,事件 A 对应于“刘教授在路途中的时 间不超过 70 分钟”, 先求出 P ( ) =P (T1=35, T2=40) +P (T1=40, T2=35) +P (T1=40,
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T2=40)=0.09,即 P(A)=1﹣P( )=0.91. 【解答】解(Ⅰ)由统计结果可得 T 的频率分布为 T(分钟) 频率 25 30 35 40

0.2 0.3 0.4 0.1

以频率估计概率得 T 的分布列为 T 25 30 35 40

P 0.2 0.3 0.4 0.1 从而数学期望 ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分钟) (Ⅱ)设 T1,T2 分别表示往、返所需时间,T1,T2 的取值相互独立,且与 T 的分 布列相同,设事件 A 表示“刘教授共用时间不超过 120 分钟”,由于讲座时间为 50 分钟,所以事件 A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过 70 分钟” P( )=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40) =0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09 故 P(A)=1﹣P( )=0.91 故答案为: (Ⅰ)分布列如上表,数学期望 ET=32(分钟) (Ⅱ)0.91 【点评】本题考查了频率=频数÷样本容量,数学期望,对学生的理解事情的能 力有一定的要求,属于中档题.

19. (12 分) (2015?潍坊模拟)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PC⊥底面 ABCD, 底面 ABCD 是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,PE=2BE. (I)求证:平面 EAC⊥平面 PBC; (Ⅱ)若二面角 P﹣AC﹣E 的余弦值为 值. ,求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦

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【分析】 (I)由 PC⊥底面 ABCD,可得 PC⊥AC.由 AB=2,AD=CD=1,利用勾股 定理的逆定理可得: AC⊥BC, 因此 AC⊥平面 PBC, 即可证明平面 EAC⊥平面 PBC. (II)取 AB 的中点 F,两角 CF,则 CF⊥AB,以点 C 为原点,建立空间直角坐标 系,可得设 P(0,0,a) (a>0) ,可取 =(1,﹣1,0) ,利用向量垂直与数量 积的关系可得: 为平面 PAC 的法向量.设 =(x,y,z)为平面 EAC 的法向量, 则 ,可得 , 由 于 二 面 角 P ﹣ AC ﹣ E 的 余 弦 值 为 ,可得

=

=

,解得 a=4.设直线 PA 与平面 EAC 所成角为 θ,

则 sinθ=|

|=

即可得出.

【解答】 (I)证明:∵PC⊥底面 ABCD,AC? 平面 ABCD, ∴PC⊥AC. ∵AB=2,AD=CD=1,∴AC=BC= ∴AC⊥BC,又 BC∩PC=C, ∴AC⊥平面 PBC,又 AC? 平面 EAC, ∴平面 EAC⊥平面 PBC. (II)解:取 AB 的中点 F,两角 CF,则 CF⊥AB,以点 C 为原点,建立空间直角 坐标系, 可得:C(0,0,0) ,A(1,1,0) ,B(1,﹣1,0) , 设 P(0,0,a) (a>0) ,则 E =(1,1,0) , =(0,0,a) , = =0, , , ,∴AC2+BC2=AB2,

取 =(1,﹣1,0) ,则 ∴ 为平面 PAC 的法向量.

设 =(x,y,z)为平面 EAC 的法向量,则 取 =(a,﹣a,﹣4) ,
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,即



∵二面角 P﹣AC﹣E 的余弦值为 ∴ = =

, = ,解得 a=4,

∴ =(4,﹣4,﹣4) , 设 直 线 PA 与 |=

=(1,1,﹣4) . 平 面 = . EAC 所 = 成 角 , 为 θ , 则

sinθ=|

∴直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值为

【点评】本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、等腰三角形的性质、勾股 定理的逆定理、向量垂直与数量积的关系、利用法向量求空间角,考查了推理能 力与计算能力,属于中档题.

20. (12 分) (2016?成都校级模拟)已知椭圆

的离心率

为 ,且过点 M 的一个“椭点”.

.若点 M(x0,y0)在椭圆 C 上,则点

称为点

(I)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且 A,B 两点的“椭点”分别 为 P,Q,以 PQ 为直径的圆经过坐标原点,试判断△AOB 的面积是否为定值? 若为定值,求出定值;若不为定值,说明理由.
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【分析】 (I)运用离心率公式和基本量 a,b,c 的关系,代入点 程可得 a,b,即可得到椭圆方程; (II)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,可得 为直径的圆经过坐标原点,所以

,解方

,由于以 PQ ,运用数量积为 0,联立直线方程和椭

圆方程,运用判别式大于 0,韦达定理和弦长公式,点到直线的距离公式,三角 形的面积公式,化简整理,即可得到定值. 【解答】解: (I)由题意知 e= = ,a2﹣b2=c2, 即 又 ,

可得 a2=4,b2=3, 即有椭圆的方程为 + =1;

(II)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 ,

由于以 PQ 为直径的圆经过坐标原点,所以

,即





得(3+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣3)=0,

△=64m2k2﹣16(3+4k2) (m2﹣3)>0,化为 3+4k2﹣m2>0. x1+x2=﹣ ,x1x2= ,

y1y2=(kx1+m) (kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2 =k2? +km(﹣ )+m2= ,

代入

,即



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2m2



4k2=3





O 到直线 l 的距离为 △ ABO

, 的 面 积 , 为

把 2m2﹣4k2=3 代入上式得



【点评】本题考查了椭圆的标准方程,考查了直线和圆锥曲线的综合,考查了弦 长公式的用法, 训练了直线和圆锥曲线关系中的设而不求的解题方法,体现了整 体运算思想,训练了学生的计算能力,该题是有一定难度问题.

21. (12 分) (2016 秋?陆川县校级期末)已知函数 f(x)=lnx﹣x2+ax, (1)当 x∈(1,+∞)时,函数 f(x)为递减函数,求 a 的取值范围; (2)设 f'(x)是函数 f(x)的导函数,x1,x2 是函数 f(x)的两个零点,且 x1 <x2,求证 (3)证明当 n≥2 时, .

【分析】 (1)求出函数的导数,问题转化为即 a≤2x﹣ 恒成立,求出 a 的范围 即可;

(2) 求出 a, 得到 f′ (

) =



, 问题转化为证明

>ln

,令 t=

,∵0<x1<x2,∴0<t<1,即证明 u(t)=

+lnt<0 在

0<t<1 上恒成立,根据函数的单调性证明即可;

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(3)令 a=1,得到 lnx≤x2﹣x,得到 x>1 时, 4,5,…n,累加即可.



,分别令 x=2,3,

【解答】 (1)解:∵x∈(1,+∞)时,函数 f(x)为递减函数, ∴f′(x)= ﹣2x+a≤0 在(1,+∞)恒成立, 即 a≤2x﹣ 恒成立, 而 y=2x﹣ 在(1,+∞)递增, 故 2x﹣ >1, 故 a≤1; (2)证明:∵f(x)的图象与 x 轴交于两个不同的点 A(x1,0) ,B(x2,0) , ∴方程 lnx﹣x2+ax=0 的两个根为 x1,x2, 则 lnx1﹣ +ax1=0,①,lnx2﹣ +ax2=0,②, ,

两式相减得 a=(x1+x2)﹣

又 f(x)=lnx﹣x2+ax,f′(x)= ﹣2x+a, 则 f′( )= ﹣(x1+x2)+a= ﹣ ,

要证



<0,

即证明

>ln



令 t=

,∵0<x1<x2,∴0<t<1, +lnt<0 在 0<t<1 上恒成立, ,

即证明 u(t)= ∵u′(t)=

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又 0<t<1,∴u'(t)>0, ∴u(t)在(0,1)上是增函数,则 u(t)<u(1)=0, 从而知 ﹣ <0,

故 f′(

)<0 成立;

(3)证明:令 a=1,由(1)得:f(x)在(1,+∞)递减, ∴f(x)=lnx﹣x2+x≤f(1)=0, 故 lnx≤x2﹣x, x>1 时, > ,

分别令 x=2,3,4,5,…n, 故 ∴ + + +…+ +…+ > + +…+ =1﹣ ,

>1﹣ ,

即左边>1﹣ >1,得证. 【点评】 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、考查通过研究函数 的单调性解决问题的方法,考查了转化能力、推理能力与计算能力,属于难题.

      [坐标系与参数方程] 22. (10 分) (2016 秋?石家庄校级月考)在直角坐标系中,以坐标原点 O 为极 点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知点 M 的极坐标为(2 曲线 C 的参数方程为 (α 为参数) . , ) ,

(1)直线 l 过 M 且与曲线 C 相切,求直线 l 的极坐标方程; (2)点 N 与点 M 关于 y 轴对称,求曲线 C 上的点到点 N 的距离的取值范围. 【分析】 (1)设直线 l 的方程为 y=k(x﹣2)+2,圆曲线 C 的普通方程联立消元, 令判别式等于 0 求出 k,得出直角坐标方程,再转化为极坐标方程; (2)求出 N 到圆心的距离,即可得出最值.
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【解答】解: (1)M 的直角坐标为(2,2) ,曲线 C 的普通方程为(x﹣1)2+y2=4. 设直线 l 的方程为 y=k(x﹣2)+2, 联立方程组 得(1+k2)x2+(4k﹣4k2﹣2)x+4k2﹣8k+1=0,

∵直线 l 与曲线 C 相切,∴(4k﹣4k2﹣2)2﹣4(1+k2) (4k2﹣8k+1)=0, 解得 k=0 或 k=﹣ . ∴直线 l 的方程为 y=2 或 y=﹣ (x﹣2)+2,即 4x+3y﹣8=0, ∴直线 l 的极坐标方程为 ρsinθ=2 或 4ρcosθ+3ρsinθ﹣8=0. (2)点 N 的坐标为 N(﹣2,2) ,C(1,0) . CN= = ,圆 C 的半径为 2. +2,最小值为 ﹣2, ﹣2.

∴曲线 C 上的点到点 N 的距离最大值为 曲线 C 上的点到点 N 的距离的取值范围是[

+2].

【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化,点,直线与圆的位置关 系,属于中档题.

[不等式选讲] 23. (10 分) (2016?沈阳二模)已知? x0∈R 使得关于 x 的不等式|x﹣1|﹣|x﹣ 2|≥t 成立. (Ⅰ)求满足条件的实数 t 集合 T; (Ⅱ)若 m>1,n>1,且对于? t∈T,不等式 log3m?log3n≥t 恒成立,试求 m+n 的最小值. 【分析】 (Ⅰ)根据绝对值的几何意义求出 t 的范围即可; (Ⅱ)根据级别不等式 的性质结合对数函数的性质求出 m+n 的最小值即可. 【解答】解: (I)令 f(x)=|x﹣1|﹣|x﹣2|≥|x﹣1﹣x+2|=1≥t, ∴T=(﹣∞,1]; (Ⅱ)由(I)知,对于? t∈T, 不等式 只需 ? ? ≥t 恒成立, ≥tmax,
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所以

?

≥1,

又因为 m>1,n>1, 所以 >0, >0,

又 1≤ 所以 所以

?

≤ ≥4,

=



=

时取“=”) ,

≥2,mn≥9, ≥6,

所以 m+n≥2

即 m+n 的最小值为 6(此时 m=n=3) . 【点评】本题考查了绝对值的几何意义,考查对数函数以及级别不等式的性质, 是一道中档题.

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