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第一次课 正弦、余弦、正切函数的图像和性质 Microsoft Word 文档


1.4.1 正弦、余弦函数的图象
一.教学目的: (1)利用单位圆中的三角函数线作出 y ? sin x, x ? R 的图象,明确图象
的形状;
) 2 ,作出 y ? cos x, x ? R 的图象; (2)根据关系 (3)用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图,并利用图象解决一些 有关问题; cos x ? sin( x ?

r />?

二.教学重难点:1.用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象;
2.作余弦函数的图象。

三.教学过程:
(1)复习引入: 1. 弧度定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角。 2.正、余弦函数定义:设 ? 是一个任意角,在 ? 的终边上任取(异于原点的)一点 P(x,y) P 与原点的距离 r(

r?

x ? y ? x2 ? y2 ? 0
2 2

)
r

P (x, y)
?

y 则比值 r 叫做 ? 的正弦 记作: x 比值 r 叫做 ? 的余弦 记作:

y sin ? ? r cos ? ? x r

3.正弦线、余弦线:设任意角 α 的终边与单位圆相交于点 P(x,y),过 P 作 x 轴的垂线,垂 足为 M,则有

sin ? ?

y x ? MP cos ? ? ? OM r r ,

向线段 MP 叫做角α 的正弦线,有向线段 OM 叫做角α 的余弦线. (2)讲解新课: 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法) : ? 3? 正弦函数 y=sinx,x∈[0,2π ]的图象中,五个关键点是:(0,0) ( 2 ,1) (?,0) ( 2 ,-1) (2?,0) ? 3? 余弦函数 y=cosx x?[0,2?]的五个点关键是哪几个?(0,1) ( 2 ,0) (?,-1) ( 2 ,0) (2?,1) 只要这五个点描出后,图象的形状就基本确定了.因此在精确度不太高时,常采用五点法作 正弦函数和余弦函数的简图,要求熟练掌握. 优点是方便,缺点是精确度不高. (3)例题讲解 例 1 作下列函数的简图 (1)y=1+sinx,x∈[0,2π ], (2)y=-cosx 例 2. 如何利用 y=sinx,x∈〔0,2π 〕的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到 (1)y=1+sinx ,x∈〔0,2π 〕的图象; (2)y=sin(x- π /3)的图象?

小结:函数值加减,图像上下移动;自变量加减,图像左右移动。

1.4.2 正弦、余弦函数的性质(一)
一.教学目的:1.要求学生能理解周期函数,周期函数的周期和最小正周期的定义;
2.掌握正、余弦函数的周期和最小正周期,并能求出正、余弦函数的最小 正周期。

二.教学重难点:正、余弦函数的周期性以及正、余弦函数周期性的理解与应用。 三.教学过程:
(1)讲解新课: 1.周期函数定义:对于函数 f (x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每 一个值时,都有:f (x+T)=f (x)那么函数 f (x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的 周期。

? 2? ? 2? sin( ? ) ? sin 6 3 6 ,能否说 3 是它的周期? 问题:对于函数 y ? sin x , x ? R 有
2.正弦函数 y ? sin x , x ? R 是不是周期函数,如果是,周期是多少?( 2k? , k ? Z 且

k ? 0)
* 3.若函数 f ( x ) 的周期为 T ,则 kT , k ? Z 也是 f ( x ) 的周期吗?为什么?

(是,其原因为: f ( x) ? f ( x ? T ) ? f ( x ? 2T ) ? ? ? f ( x ? kT ) ) 说明:1?周期函数 x?定义域 M,则必有 x+T?M, 且若 T>0 则定义域无上界;T<0 则定义 域无下界; 2?“每一个值”只要有一个反例,则 f (x)就不为周期函数(如 f (x0+t)?f (x0)) 3?T 往往是多值的 (如 y=sinx 2?,4?,?,-2?,-4?,?都是周期) 周期 T 中最小的正 数叫做 f (x)的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期) y=sinx, y=cosx 的最小正周期为 2? (一般称为周期) 从图象上可以看出 y ? sin x , x ? R ; (2)例题讲解 例 1 求下列三角函数的周期: ① y ? 3 cos x

y ? cos x , x ? R 的最小正周期为 2? ;

1 ? y ? 2 sin( x ? ) 2 6 , ② y ? sin 2 x (3)

x? R.
解:1.∵3cos( x ? 2? ) ? 3cos x , ∴ 自变量 x 只要并且至少要增加到 x ? 2? ,函数 y ? 3cos x , x ? R 的值才能重复出现,

所以,函数 y ? 3cos x , x ? R 的周期是 2? . 2.∵sin(2 x ? 2? ) ? sin 2( x ? ? ) ? sin 2 x , ∴ 自变量 x 只要并且至少要增加到 x ? ? ,函数 y ? sin 2 x , x ? R 的值才能重复出现, 所以,函数 y ? sin 2 x , x ? R 的周期是 ? .

1 ? 1 ? 1 ? 2sin( x ? ? 2? ) ? 2sin[ ( x ? ? ) ? ] ? 2sin( x ? ) 2 6 2 6 2 6 , 3.∵
∴ 自变量 x 只要并且至少要增加到 x ? ? ,函数 y ? sin 2 x , x ? R 的值才能重复出现, 所以,函数 y ? sin 2 x , x ? R 的周期是 ? . (3)习题 1.求下列三角函数的周期: ? 1? y=sin(x+ 3 ) 2? y=cos2x

x ? 2+5) 3? y=3sin(

? 解:1? 令 z= x+ 3 而 sin(2?+z)=sinz 即:f (2?+z)=f (z) ? ? f [(x+2)?+ 3 ]=f (x+ 3 ) ∴周期 T=2?
2?令 z=2x ∴f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2?)=cos(2x+2?)=cos[2(x+?)] 即:f (x+?)=f (x) ∴T=? x ? x ? 5 则:f (x)=3sinz=3sin(z+2?)=3sin( 2 + 5 +2?) 3?令 z= 2 +
x ? 4? ? ? 5 )=f (x+4?) =3sin( 2

∴T=4?

x (其中 A, ? , ? 说明:1) ( 一般结论: 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 及函数 y ? A cos(? x ? ? ) , ? R
为常数,且 A ? 0 , ? ? 0 )的周期

T?

2?

? ;
1 ? y ? 2sin(? x ? ) 2 6 ,x ? R .

(2) ? ? 0 , ① y ? 3cos(? x) ; ② y ? sin(?2 x) ; ③ 若 如: 则这三个函数的周期又是什么?

一般结论:函数 y ? A sin(? x ? ? ) 及函数 y ? A cos(? x ? ? ) , x ? R 的周期

T?

2? |? |

? ? 思考: 求下列函数的周期: 1?y=sin(2x+ 4 )+2cos(3x- 6 )

2? y=|sinx|

? 解:1? y1=sin(2x+ 4 ) 最小正周期 T1=? ∴T 为 T1 ,T2 的最小公倍数 2? ∴T=2? 2? T=? 作图

? 2? y2=2cos(3x- 6 ) 最小正周期 T2= 3
y 1 -?
??

o 1

?

2?

3?

x

1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质(二)
一.教学目的: (1)要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性;
(2)掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断,并能求出正、余弦函数的单调 区间。

二.教学重难点:1.正、余弦函数的奇、偶性和单调性;
2.正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用

三.教学过程:
(1)最大值和最小值:

? 3?
从 y=sinx,x∈[- 2

,

2 ]的图象上可看出:

? ? 当 x∈[- 2 , 2 ]时,曲线逐渐上升,sinx 的值由-1 增大到 1.
? 3? 当 x∈[ 2 , 2 ]时,曲线逐渐下降,sinx 的值由 1 减小到-1. ? ? :正弦函数在每一个闭区间[- 2 +2kπ , 2 +2kπ ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1 增 ? 3? 大到 1;在每一个闭区间[ 2 +2kπ , 2 +2kπ ](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小到
-1. 余弦函数在每一个闭区间[(2k-1)π ,2kπ ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1 增加到 1; 在每一个闭区间[2kπ ,(2k+1)π ](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小到-1. (2).对称轴 观察正、余弦函数的图形,可知

k? ?
y=sinx 的对称轴为 x=

?
2
k∈Z y=cosx 的对称轴为 x= k? k∈Z

思考 1.写出函数 y ? 3 sin 2 x 的对称轴;

y ? sin( x ?
2.

?

) 4 的一条对称轴是( C ) x?

?
4,
(D) 直线

x??

?
4

(A) x 轴, (B) y 轴,

(C) 直线

(3).例题讲解 例 1 判断下列函数的奇偶性

f ( x) ?
1.

1 ? sin x ? cos x ; 1 ? sin x ? cos x

2. f ( x) ? lg(sin x ? 1 ? sin x );
2

例 2 函数 f(x)=sinx 图象的对称轴是 ;对称中心是 例 3 不通过求值,指出下列各式大于 0 还是小于 0;

.

sin( ?


?
18

) ? sin( ?

?
10

)


cos( ?

23 17 ? ) ? cos( ? ? ) 5 4

1 ? y ? 2 sin( x ? ) 2 3 的单调递增区间; 例 4 求函数

y ? sin(
思考:你能求

?
3

?

1 x) 2

x ? [?2? ,2? ]
的单调递增区间吗?

1.4.3 正切函数的性质与图象
一.教学目的:1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象;2.用正切函数图象解决函数有
关的性质; 2.理解并掌握作正切函数图象的方法;2.理解用函数图象解决有关性质问题 的方法;

二.教学重难点:用单位圆中的正切线作正切函数图象;
正切函数的性质。

三.教学过程:
(1)讲解新课: 1.正切函数 y ? tan x 的定义域是什么? 2.正切函数是不是周期函数?

? ? ? ? x | x ? ? k? , k ? z ? 2 ? ?

? ? ? t a n x ? ? ? ? t a x? x R , ? ? k n ? 且 x ? ? 2 ?

? ?k ? z , ?,

? ? ? y ? tan x ? x ? R, 且x ? k? ? , k ? z ? 2 ? ? 的一个周期。 ∴? 是

? 是不是正切函数的最小正周期?下面作出正切函数图象来判断。

? ? ?? ?? , ? 3.作 y ? tan x , x? ? 2 2 ? 的图象

y
y

3 ? ? 2

?? ?

?
2

O
0

? 2

?

x 3 ? x 2

说明: (1)正切函数的最小正周期不能比 ? 小,正切函数的最小正周期是 ? ; (2)根据正切函数的周期性,把上述图象向左、右扩展,得到正切函数

y ? tan x x ? R ,且

x?

?
2

? k? ?k ? z ?

的图象,称“正切曲线” 。

x ? k? ?
(3) 正切曲线是由被相互平行的直线 的。 4.正切函数的性质 通过观察图像可得:

?
2

?k ? Z ?

所隔开的无穷多支曲线组成

? ? ? ? x | x ? ? k? , k ? z ? 2 ?; 1.定义域: ?
2.值域:R 观察:当 x 从小于

k? ?

?
2

?k ? z ?



x ? k? ? ??

? ??? 2 时, tan x ??

?? ? k? ? k? ?k ? z ? x ? tan ?? 2 当 x 从大于 2 , 时, x ? ?? 。
3.周期性: T ? ? ; 4.奇偶性:由 tan?? x ? ? ? tan x 知,正切函数是奇函数;

?

?

? ? ? ? ? ? ? k? , ? k? ?k ? z 2 ? 5.单调性:在开区间 ? 2 内,函数单调递增。
(2)例题讲解:

? 13? tan? ? ? 4 例 1 比较 ? 13? ? tan? ? ? 4 解:

? ? 17? ? tan? ? ?与 ? 5

? ? ? 的大小

王新敞
奎屯

新疆

? ? tan? ? 17? ? ? ? tan ? ? 4, ? 5 ? tan

2? ? 2? ? ? ?? 0? ? , y ? tan x在? 0, ? ? ? ? tan 5 , 4 5 ? ? 2?

?
4

? tan

内单调递增,

2? ? 2? ? 13 ? ? 17 ? ,? ? tan ? ? tan ,即 tan? ? ? ? ? tan? ? ? ? 5 4 5 ? 4 ? ? 5 ?

王新敞
奎屯

新疆

例 2:求下列函数的周期:

?? ? y ? 3tan ? x ? ? 5? ? (1)

答:T ? ? 。

?? ? y ? tan ? 3x ? ? 6? ? (2)
T?
的周期

T?
答:

?
3。

说明:函数

y ? A tan ?? x ? ? ?? A ? 0,? ? 0?

? ?



?? ? y ? tan? 3x ? ? 3 ? 的定义域、值域,指出它的周期性、奇偶性、单调性, ? 例 3:求函数
3x ?
解:1、由

?
3

? k? ?

?
2得

x?

k? 5? ? 3 18 ,所求定义域为

k? 5? ? ? ? , k ? z? ? x | x ? R, 且x ? 3 18 ? ?
T?
2、值域为 R,周期

?
3,

? k? ? k? 5? ? ? , ? ? ??k ? z ? 18 ? 3、在区间 ? 3 18 3 上是增函数。
思考 1:你能判断它的奇偶性吗? (是非奇非偶函数) ,

?? ?? y ? tan? x ? ? 3 ? 的定义域、周期性、奇偶性、单调性。 ?2 练习 1:求函数

? ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? , k ? z ? 4 ? 略解:定义域: ?
值域:R 奇偶性:非奇非偶函数

(k? ?
单调性:在

3? ? , k? ? ) 4 4 上是增函数

王新敞
奎屯

新疆

思考 2:你能用图象求函数

y ? tan x ? 3 的定义域吗?

解:由 tan x ? 3 ? 0 得 tan x ? 3 ,利用图象知,所求定义域为

? ?? ? k? ? , k? ? ? ? k ? Z ? ? 3 2? ? ,
亦可利用单位圆求解。

y

y
T

3
0

3
0 ? ?

A x

x

3 2

1.5 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象(一)
一.教学目标: (1)了解三种变换的有关概念;
(2)能进行三种变换综合应用; (3)掌握 y=Asin(ω x+φ )+h 的图像信息.

二.教学重难点:函数 y=Asin(ωx+φ)图象的平移和伸缩变化。 三.教学过程
(1)复习导入 1. 如何由 y=sinx 的图象得到函数 y ? A sin( x ? ? )的图象. ?

2. A、 、 对函数 y ? A sin(?x ? ? )图象的影响. ? ?
(2)函数y ? A sin(?x ? ? ),x ? [0,??)(其中A ? 0, ? ? 0)的物理意义:
函数表示一个振动量时: A:这个量振动时离开平衡位置的最大距离,称为“振幅”. T: T ?

2?

?

往复振动一次所需的时 间,称为“周期”.

f :f ?

?x ? ? : 称为“相位” . ? : x=0 时的相位,称为“初相”.
(3)例题精讲

1 ? ? 单位时间内往返振动的 次数,称为“频率” . T 2? y

2 1
?

例1.由右图所示函数图象, 求 y ? A sin(?x ? ? )(| ? |? ? )的表达式 .
解析:由图象可知 A=2,

? o
8

3? 8

7? 8

x

7? ? T? ? (? ) ? ? , 8 8 2? 即 ? ?, ? ? 2. ?

?2

?

又(? ,0)为五点作图的第一个点 , 8 因此2 ? ? (

?

?

8

) ? ? 0, ? ? ? ?

?

4

.

因此所求函数的表达式 y ? 2 sin(2 x ? 为

?
4

).

例2.右图所示的曲线是 ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0)的图象的一部分, y 求这个函数的解析式 .
解:由函数图象可知

y

2

4 5? ? 2? A ? 2, T ? ( ? ) ? ? ,即 ? ?, 3 6 12 ? ?? ? 2 5? 又( ,)是“五点法”作图的 0 第五个点, 6 5? ? 即2 ? ? ? ? 2?, ? ? . ? 6 3 ? 所求函数的解析式为 y ? 2 sin(2 x ?

o ?
12

5? 6

x

?2

?

3

).

思考: 下图为y ? A sin(?x ? ? )的图象的一段,求其解 析式.

y

解 1:以点 N 为第一个零点,则 A ? ? 3,

T ? 2(

5? ? ? ) ??, 6 3

3
N

?? ? 2, 此时解析式为 ? ? 3 sin(2 x ? ? ). y ? 点N (? ,0) 6 ??

o

M

?

?

?
3
?
3 )

3

5? x 6

?

6

?2 ?? ? 0 ?? ?

?
3

.? 所求解析式为 ? ? 3 sin(2 x ? y

解 2:以点 M (

?
3

,0) 为第一个零点,则 A ? 3 , ? ?

2? ? 2, T

解析式为 y ? 3 sin(2x ? ? ), 将点 M 的坐标代入得 2 ?

?

? 所求解析式为 y ? 3 sin( 2 x ?

2? ). 3

3

?? ? 0 ?? ? ?

2? , 3

例3.函数y ? A sin(?x ? ? ) ? k ( A ? 0, ? ? 0) 在同一周期内, 5? 7 11? 2 当x ? 时,y有最大值为 ; x ? 当 时,y有最小值为? , 3 3 3 3 求此函数的解析式 .

7 3 ? ? ? A? k ? 3, ?A ? 2 , 解由已知 ? 解得 ? 5 2 ?? A ? k ? ? , ?k ? . 6 3 ? ? 11? 5? 2? ? ) ? 4? ,即 ? 4?, 又 T ? 2( 3 3 ? 1 ?? ? . 2 5? 7 1 5? ? ? ( ,) ? )? ? , ? ?? . ? ? 又 为“五点法”作图得第二个点,则有 ( 3 3 2 3 2 3 ? 所求函数的解析式为 3 1 ? 5 y ? sin( x ? ) ? . 2 2 3 6
练习: (1) (陕西高考)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ), (其中 A>0, ω>0, 0<

φ<π/2)的周期为π,且图象上的一个最低点为(2π/3,2) 10 求 f(x)的表达式 200≦x≦π/12 时,求 f(x)的最值。


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