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华师一2011届高三第一轮复习教案(第十章)第7讲--07年高考题(排列组合二项式定理)


2007 年高考数学试题分类详解
排列组合二项式定理
一 选择题
1、 (全国 1 理 10) ( x ? ) 的展开式中,常数项为 15,则 n=
2 n

1 x

A.3
2

B.4

C.5
2 n 3

D.6

n n 1 n 1 2 3 3 解: ( x ? ) 的展开式中,常数项为 15,则 Cn ( x ) ( ? ) x x

? ,所以 n 可以被 3 整除,当 n=3 时, 15

2 1 C3 ? 3 ? 15 ,当 n=6 时, C6 ? 15 ,选 D。

2、 (全国 1 文 5)甲、乙、丙 3 位同学选修课程,从 4 门课程中,甲选修 2 门,乙、丙各选修 3 门,则不 同的选修方案共有 A.36 种 B.48 种 C.96 种 D.192 种 解:甲、乙、丙 3 位同学选修课程,从 4 门课程中,甲选修 2 门,乙、丙各选修 3 门,则不同的选修
2 3 3 方案共有 C4 ? C4 ? C4 ? 96 种,选 C。

3、 (全国 2 理 10)从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要 求星期五有 2 人参加,星期六、星期日各有 1 人参加,则不同的选派方法共有 (A)40 种 (B) 60 种 (C) 100 种 (D) 120 种 解:从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有 2
2 2 人参加,星期六、星期日各有 1 人参加,则不同的选派方法共有 C5 A3 ? 60 种,选 B。

4、 (全国 2 文 10)5 位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方 法共有 A.10 种 B.20 种 C.25 种 D.32 种 解: 5 位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有 5 2 =32 种,选 D。 5、 (北京文 5)某城市的汽车牌照号码由 2 个英文字母后接 4 个数字组成,其中 4 个数字互不相同的牌照 号码共有 A. C26

? ?
1

2

4 A10 个

2 B. A26 A4 个 10

C. C26

? ? 10
1 2

4



2 D. A26104 个

解:某城市的汽车牌照号码由 2 个英文字母后接 4 个数字组成,其中 4 个数字互不相同的牌照号码共 有 C26

? ?
1

2

4 A10 个,选 A。

6、 (北京理 5)记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照,要求排成一排,2 位老人相邻但不排在 两端,不同的排法共有 A.1440 种 B.960 种 C.720 种 D.480 种
5 解:5 名志愿者先排成一排,有 A5 种方法,2 位老人作一组插入其中,且两位老人有左右顺序,共有 5 2 ? 4 ? A5 =960 种不同的排法,选 B。

7、 (江苏 7)若对于任意实数 x ,有 x ? a0 ? a1 ( x ? 2) ? a2 ( x ? 2) ? a3 ( x ? 2) ,则 a2 的值为
3 2 3

1

A. 3

B. 6

C. 9

D. 12

2 解: x 3 ? [2 ? ( x ? 2)]3 , a2 ? C3 2 ? 6 , 选 B.

8、 (福建理 9)把 1+(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n 展开成关于 x 的多项式,其各项系数和为 an, 则 lim
n??

2a n ? 1 等于 an ? 1
1 4
B

A

1 2

C1

D2

解:令 x=1 得 an=1+2+22+……+2n=

2a ? 1 1 ? 2 n?1 2 ? 2 n?1 ? 3 ? 2 n?1 ? 1 , lim n ? lim n?1 ? 2 ,选 D n?? a ? 1 n?? 2 1? 2 ?2 n

9 、 ( 福 建 文 12) 某 通 讯 公 司 推 出 一 组 手 机 卡 号 码 , 卡 号 的 前 七 位 数 字 固 定 , 从 “×××××××0000” 到 “×××××××9999”共 10000 个号码.公司规定:凡卡号的后四位带有数字“4”或“7” 的一律作为“优惠卡”,则这组号码中“优惠卡”的个数为 A.2000 B.4096 C.5904 D.8320 4 解:10000 个号码中不含 4、7 的有 8 =4096,故这组号码中“优惠卡”的个数为 10000-4096=5904, 选C 10、 (湖南文 5)在 ?1 ? x ? A.8
5
n

? n ? N ? 的二项展开式中,若只有 x
?

5

的系数最大,则 n ? D.11

B. 9
5

C. 10

解:只有 x 的系数最大, x 是展开式的第 6 项,第 6 项为中间项,展开式共有 11 项,故 n=10

3 ? ? 11、 (江西理 4)已知 ? x ? 3 ? 展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为 64 ,则 n 等 x? ?
于 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 n n 解:展开式中,各项系数的和为 4 ,各项二项式系数的和为 2 ,由已知得 2n=64,所以 n=6,选 C 12 、 ( 江 西 文 5 ) 设 ( x2 ? 1 ) x ?2 ( 的值为 ? a1 1 B. ?1 C. 1
2

n

9

? a) ? a 01 1

x?(

2

? a ) 2x ? ( 2 ?

?1 21 )? , x ? ( a 1 1则

2

a0 ? a1 ? a2 ? ?
A. ?2

D. 2
9 9

解:令 x ? 2 =1,右边为 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a11 ;左边把 x ? ?1 代入 ( x ? 1)(2 x ? 1) ? 2(?1) ? ?2

? a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a11 ? ?2. 选 A.
2? ? 13、 (湖北理 1 文 3)如果 ? 3 x 2 ? 3 ? 的展开式中含有非零常数项,则正整数 n 的最小值为 x ? ?
n

A.3

B.5

C.6

D.10

r 解:由展开式通项有 Tr ?1 ? Cn 3x 2

? ?

n ?r

r ? 2? r n?r 2 n ?5 r ,由题意 ? ? 3 ? ? C n ? 3 ? ? ?2 ? ? x ? x ?

r

2

得 2n ? 5r ? 0 ? n ?

5 r ? r ? 0,1, 2,? , n ? 1? ,故当 r ? 2 时,正整数 n 的最小值为 5,故选B. 2

14、(浙江文6) ? x ? (A) -36

? ?

1? ? 展开式中的常数项是 x?
(B)36
r

9

(C) -84

(D)

84

解: 设常数项为第 r ? 1 项, Tr ?1 ? C9 ? 则 故常数项是第四项且 T4 ? ?84 ; 15、 (重庆理 4)若 ( x ? A.10

? x?

9? r

9 3r ? 9 3r r ? 1? 则 ? ? ? ? ? C9r ? ? ?1? ? x 2 2 ,令 ? ? 0 , r ? 3 , 2 2 ? x?

r

1 n ) 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式的常数项为 x
B.20 C.30 D.120

r r 3 解: 2n ? 64 ? n ? 6. ? Tr ?1 ? C6 x6?r ? x?r ? C6 x6?2r . ? 6 ? 2r ? 0 ? r ? 3 ?T4 ? C6 ? 20.

16、 (重庆文 4) (2x-1)6 展开式中 x2 的系数为 (A)15 (B)60

(C)120

(D)240

2 解: (2x ?1)6 ? (?1 ? 2 x)6 ? T3 ? C6 (?1)4 ? (2 x)2 ? 60 x2.

17、 (辽宁文 12)将数字 1,2,3,4,5,6 拼成一列,记第 i 个数为 ai (i ? 1 2, , ,若 a1 ? 1 , a3 ? 3 , ,? 6)

a5 ? 5 , a1 ? a3 ? a5 ,则不同的排列方法种数为
A.18 B.30 C.36 D.48

解:分两步: (1)先排 a1 , a3 , a5 , a1 =2,有 2 种; a1 =3 有 2 种; a1 =4 有 1 种,共有 5 种; (2)再
3 排 a 2 , a 4 , a6 ,共有 A3 ? 6 种,故不同的排列方法种数为 5×6=30,选 B

18、 (四川理 10)用数字 0,1,2,3,4,5 可以组成没有重复数字,并且比 20000 大的五位偶数共有 (A)288 个 (B)240 个 (C)144 个 (D)126 个 解:选 B.对个位是 0 和个位不是 0 两类情形分类计数;对每一类情形按“个位-最高位-中间三位”
3 分步计数:①个位是 0 并且比 20000 大的五位偶数有 1? 4 ? A4 ? 96 个;②个位不是 0 并且比 20000 大的 3 五位偶数有 2 ? 3? A4 ? 144 个;故共有 96 ? 144 ? 240 个.

19、 (四川文 9)用数字 1,2,3,4,5 可以组成没有重复数字,并且比 20000 大的五位偶数共有 (A)48 个 (B)36 个 (C)24 个 (D)18 个
3 3 解:选B.个位是 2 的有 3 A3 ? 18 个,个位是 4 的有 3 A3 ? 18 个,所以共有 36 个.

二 填空题
1、 (全国 1 理 13)从班委会 5 名成员中选出 3 名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中 甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有___________种。 (用数字作答) 解: 从班委会 5 名成员中选出 3 名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人 不能担任文娱委员, 先从其余 3 人中选出 1 人担任文娱委员, 再从 4 人中选 2 人担任学习委员和体育委员,

3

1 2 不同的选法共有 C3 ? A4 ? 3? 4 ? 3 ? 36 种。

2、 (广东理 12)如果一个凸多面体是 n 棱锥,那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 ____________条,这些直线中共有 f (n) 对异面直线,则 f (4) ? ________ ;f(n)=__________(答案用数字 或 n 的解析式表示) 解:
n(n ? 1) ; f (4) ? 4 ? 2 ? 8 ; f (n) ? n ? (n ? 2) 2
6

5 1 ? ? 3 3、 (天津理 11) 若 ? x 2 ? ? 的二项展开式中 x 的系数为 , 则 a ? __________ .(用数字作答) ax ? 2 ?
r 解: Tr ?1 ? C6 x 2

? ?

6?r

r 5 3 ?(ax)?1 ? ? C6r x12?3r a ? r ,当 r ? 3 时得到 x3 项的系数 C6 a?3 ? ? a ? 2 ? ? 2

4、 (天津理 16) 如图,用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色,每个格子涂一种颜色.要求最多使用 3 种颜色且相邻的两个格子颜色不同,则不同的涂色方法共有 __________ 种.
2 3 2 解: 用 2 色涂格子有 C6 ? 2 ? 30 种方法,用 3 色涂格子有 C6 3 ? 8 ? C3 ? 2 ? 360 种方法,故总共有

?

?

390 种方法.

1? ? 5(天津文 12) ? x ? 2 ? 的二项展开式中常数项是 x ? ?

9

(用数字作答) .

r r 3 解: ∵ Tr ?1 ? C9 x9?r x?2r ? C9 x9?3r ,令 9 ? 3r ? 0 得 r ? 3 ,故有: C9 ? 84 .

6、 (天津文 16)如图,用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求相邻的两 个格子颜色不同,且两端的格子的颜色也不同,则不同的 涂色方法共有 种(用数字作答) .
2 2 解: 分为三类:第一类是只用两种颜色则为: C6 A2 ? 30 种,第二类是用 2 2 1 1 4 4 三种颜色则为: C6 A2 C4C2 ? 240 种, 第三类是用四种颜色则为: C6 A4 ? 360 种,故共计为 630 种.

1 7、 (全国 2 理 13) (1+2x2)(x-x )8 的展开式中常数项为___________(用数字作答) 1 4 3 解:(1+2x2)(x- x)8 的展开式中常数项为 1? C8 ? 2 ? C8 ? (?1)3 =-42。 8、 (全国 2 文 16) (1 ? 2 x 2 ) ?1 ?
8

? ?

1? ? 的展开式中常数项为___________(用数字作答) x?

8

? 1? 2 解: (1 ? 2 x ) ?1 ? ? 的展开式中常数项为 1 ? 2 ? C8 ? 57 . x? ?
2

9、(安徽文 12)已知 (1 ? x)5 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x 4 ? a5 x5 ,则( a0 ? a2 ? a4 )(a1 ? a3 ? a5 ) 的值 等于___________ 解:已知 (1 ? x)5 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x 4 ? a5 x5 ,∴ a0 ? a2 ? a4 ? ?(a1 ? a3 ? a5 ) ? 16 , 则( a0 ? a2 ? a4 )(a1 ? a3 ? a5 ) =-256.
4

10、(安徽理 12)若(2x3+ 解:若(2x3+

1 x

)n 的展开式中含有常数项,则最小的正整数 n 等于___________
n?r 3 n?r

1 x

)n 的展开式中含有常数项, Tr ?1 ? Cn (2 x )

?(

7r 1 r ) 为常数项,即 3n ? =0, 2 x

当 n=7,r=6 时成立,最小的正整数 n 等于 7. 11、 (12 江苏)某校开设 9 门课程供学生选修,其中 A, B, C 三门由于上课时间相同,至多选一门,学校 规 定每位同学选修 4 门,共有___________种不同选修方案。 (用数值作答)
1 3 0 4 解:按照选一门或一门都不选分类: C3C6 ? C3 C6 ? 75.

2 3、、 12、 (上海理 7)有数字 1、、 4 5 ,若从中任取三个数字,剩下两个数字为奇数的概率为___________
2 1 C2 C3 3 解: ? . 3 C5 10

13、 (福建文 13) 2+ (x

1 6 ) 的展开式中常数项是 x

.(用数字作答)

解:由组合数性质,要使出现常数项必须取 2 个 x2,4 个

1 2 ,故常数项为 C6 ? 15 x

方法二:展开后可得常数项为 15 14、 (湖南理 15)将杨辉三角中的奇数换成 1,偶数换成 0,得到如图 1 所示的 0-1 三角数表.从上往下 数,第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行,第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行,…,第 n 次全行的数都为 1 的是第___________行;第 61 行中 1 的个数是___________ 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 …… ………………………………
6 解:由不完全归纳法知,全行都为 1 的是第 2 ? 1 行;? n ? 6 ? 2 ?1 ? 63, 故第 63 行共有 64 个 1,
n

逆推知第 62 行共有 32 个 1,第 61 行共有 32 个 1。 15、 (浙江理 14 文 16)某书店有 11 种杂志,2 元 1 本的 8 种,1 元 1 本的 3 种. 小张用 10 元钱买杂志 (每种至多买一本,10 元钱刚好用完) ,则不同买法的种数是___________(用数字作答) . 解:根据题意,可有以下两种情况:①用 10 元钱买 2 元 1 本共有 C 8
5

? 56 ;②用 10 元钱买 2 元 1

4 2 本的杂志 4 本和 1 元 1 本的杂志 2 本共有 C8 C3 ? 70 ? 3 ? 210 ,故 210+56=266.

16、 (海、宁 16)某校安排 5 个班到 4 个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排一个 班,不同的安排方法共有 种. (用数字作答)
1 2 3 解:由题意可知有一个工厂安排 2 个班,另外三个工厂每厂一个班,共有 C4 ? C5 ? A3 ? 240. 种安排方

法。 17、 (重庆理 15)某校要求每位学生从 7 门课程中选修 4 门,其中甲、乙两门课程不能都选,则不同的选 课方案有___________种。 (以数字作答)
2 2 4 2 2 4 解:所有的选法数为 C7 ,两门都选的方法为 C2 C5 。故共有选法数为 C7 ? C2 C5 ? 35 ?10 ? 25.

5

18、 (重庆文 15)要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术 6 门课各一节的课程表, 要求数学课排在前 3 节,英语课不排在第 6 节,则不同的排法种数为___________(以数字作答)
1 1 4 1 1 4 解:先排数学课有 C3 种排法,再排最后一节有 C4 种排法,剩余的有 A4 种排法,共有 C3C4 A4 ? 288

种排法。 19、 (辽宁理 16)将数字 1,2,3,4,5,6 拼成一列,记第 i 个数为 ai (i ? 1 2, , ,若 a1 ? 1 , a3 ? 3 , ,? 6) . a5 ? 5 , a1 ? a3 ? a5 ,则不同的排列方法有___________种(用数字作答) 解:分两步: (1)先排 a1 , a3 , a5 , a1 =2,有 2 种; a1 =3 有 2 种; a1 =4 有 1 种,共有 5 种;
3 (2)再排 a 2 , a 4 , a6 ,共有 A3 ? 6 种,故不同的排列方法种数为 5×6=30,填 30

20、 (辽宁文 14) ( x ?

4

1 x . ) 展开式中含 x 的整数次幂的项的系数之和为___________(用数字作答) x

解:Tr ?1 ? C ( x ) (
r 8 r

1
4

x

)

8? r

?C x
r 8

r ?2 4

,当 r=0,4,8 时为含 x 的整数次幂的项,所以展开式中含 x

0 4 8 的整数次幂的项的系数之和为 C8 ? C8 ? C8 ? 72 。

21、 (四川文 13) ( x ? ) 的展开式中的第 5 项为常数项,那么正整数 n 的值是
n

1 x



解: n ? 8 . 22、 (陕西理 16) 安排 3 名支教老师去 6 所学校任教, 每校至多 2 人, 则不同的分配方案共有___________ 种.(用数字作答)
2 2 3 解:分两类, (1)每校 1 人: A6 ? 120; (2)1 校 1 人,1 校 2 人: C3 A6 ? 90,不同的分配方案

共有 120+90=210 23、 (陕西文 13) (1 ? 2 x) 5 的展开式中的系数是___________(用数字作答) ..
3 解: x 项为 C5 13 (2x) 2 ? 40x 2 ,填 40
2

24、 (陕西文 15) 安排 3 名支教教师去 4 所学校任教, 每校至多 2 人, 则不同的分配方案共有 (用数字作答)
3



解: 2 类:1) 分 ( 每校最多 1 人: 4 ? 24 ;2) ( 每校至多 2 人, 3 人分两组, 把 再分到学校: 3 A4 ? 36 , A C2 2 共有 60 种

6


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