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2015-2016学年高中数学 1.1.3第2课时补集及集合运算的综合应用学案 新人教A版必修1


第 2 课时

补集及集合运算的综合应用

[学习目标] 1.了解全集的意义和它的记法.理解补集的概念,能正确运用补集的符号和表 示形式, 会用图形表示一个集合及其子集的补集.2.会求一个给定集合在全集中的补集, 并能 解答简单的应用题.

[知识链接] 上课前,老师让班长统计班内的出勤情况,班长看看教室里的同学,就知道哪些同学未到, 这么短的时间,他是如何做到的呢? [预习导引] 1.全集 (1)定义:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合 为全集. (2)记法:全集通常记作 U. 2.补集 文字语言 符号语言 图形语言 3.补集的性质 ?UU=?,?U?=U,?U(?U A)=A. 对于一个集合 A, 由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称 为集合 A 相对于全集 U 的补集,记作?U A ?U A={x|x∈U,且 x?A}

要点一 简单的补集运算 例 1 (1)设全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,2},则?U A 等于( A.{1,2} B.{3,4,5} C.{1,2,3,4,5} D.? (2)若全集 U=R,集合 A={x|x≥1},则?U A=________. 答案 (1)B (2){x|x<1} 解析 (1)∵U={1,2,3,4,5},A={1,2},
1

)

∴?UA={3,4,5}. (2)由补集的定义,结合数轴可得?U A={x|x<1}. 规律方法 1.根据补集定义,当集合中元素离散时,可借助 Venn 图;当集合中元素连续时, 可借助数轴,利用数轴分析法求解. 2.解题时要注意使用补集的几个性质:?UU=?,?U?=U,A∪(?U A)=U. 跟踪演练 1 已知全集 U={x|x≥-3},集合 A={x|-3<x≤4},则?U A=________. 答案 {x|x=-3,或 x>4} 解析 借助数轴得?U A={x|x=-3,或 x>4}. 要点二 交集、并集、补集的综合运算 例 2 (1)已知集合 A、 B 均为全集 U={1,2,3,4}的子集, 且?U(A∪B)={4}, B={1,2}, 则 A∩ ?UB 等于( )

A.{3} B.{4} C.{3,4} D.? (2)设集合 S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则(?RS)∪T 等于( A.{x|-2<x≤1} B.{x|x≤-4} C.{x|x≤1} D.{x|x≥1} )

答案 (1)A (2)C 解析 (1)∵U={1,2,3,4},?U(A∪B)={4}, ∴A∪B={1,2,3}.又∵B={1,2}, ∴{3}? A? {1,2,3}. 又?UB={3,4}, ∴A∩?UB={3}. (2)因为 S={x|x>-2},所以?RS={x|x≤-2}. 而 T={x|-4≤x≤1}, 所以(?RS)∪T={x|x≤-2}∪{x|-4≤x≤1} ={x|x≤1}. 规律方法 1.集合的交、并、补运算是同级运算,因此在进行集合的混合运算时,有括号的 先算括号内的,然后按照从左到右的顺序进行计算. 2.当集合是用列举法表示时,如数集,可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合;当集 合是用描述法表示时,如不等式形式表示的集合,则可借助数轴求解. 跟踪演练 2 设全集为 R,A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求?R(A∪B)及(?RA)∩B. 解 把全集 R 和集合 A、B 在数轴上表示如下:

由图知,A∪B={x|2<x<10},
2

∴?R(A∪B)={x|x≤2,或 x≥10}. ∵?RA={x|x<3,或 x≥7}, ∴(?RA)∩B={x|2<x<3,或 7≤x<10}. 要点三 补集的综合应用 例 3 已知全集 U=R,集合 A={x|x<-1},B={x|2a<x<a+3},且 B? ?R A,求 a 的取值 范围. 解 由题意得?RA={x|x≥-1}. (1)若 B=?,则 a+3≤2a,即 a≥3,满足 B? ?RA. (2)若 B≠?,则由 B? ?RA,得 2a≥-1 且 2a<a+3, 1 即- ≤a<3. 2 1 综上可得 a≥- . 2 规律方法 1.与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解,涉及集合间关 系时不要忘掉空集的情况; 2.不等式中的等号在补集中能否取到,要引起重视,还要注意补集是全集的子集. 跟踪演练 3 已知集合 A={x|x<a},B={x<-1,或 x>0},若 A∩(?RB)=?,求实数 a 的 取值范围. 解 ∵B={x|x<-1,或 x>0}, ∴?RB={x|-1≤x≤0}, 因而要使 A∩(?RB)=?,结合数轴分析(如图), 可得 a≤-1.

1.若全集 M={1,2,3,4,5},N={2,4},则?MN 等于( A.? B.{1,3,5} C.{2,4} D.{1,2,3,4,5} 答案 B 解析 ?MN={1,3,5},所以选 B.

)

2.已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,2},B={2,3,4},则 B∩?UA 等于( A.{2} B.{3,4} C.{1,4,5} D.{2,3,4,5} 答案 B

)

3

解析 ∵U={1,2,3,4,5},A={1,2}, ∴?UA={3,4,5}, ∴B∩?UA={2,3,4}∩{3,4,5}={3,4}. 3.已知 M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M ∩N,则 P 的子集共有( A.2 个 C.6 个 答案 B 解析 ∵P={1,3},∴子集有 2 =4 个. 4.已知全集 U=Z,集合 A={0,1},B={-1,0,1,2},则图中阴影部分所表示的集合为( )
2

)

B.4 个 D.8 个

A.{-1,2} B.{-1,0} C.{0,1} D.{1,2} 答案 A 解析 图中阴影部分表示的集合为(?UA)∩B, 因为 A={0,1}, B={-1,0,1,2}, 所以(?UA)∩B ={-1,2}. 5.若全集 U=R,集合 A={x|x≥1}∪{x|x≤0},则?UA=________. 答案 {x|0<x<1} 解析 ∵A={x|x≥1}∪{x|x≤0}, ∴?UA={x|0<x<1}.

1.对集合中含参数的元素,要由条件先求出参数再作集合的运算. 2.集合是实数集的真子集时,其交、并、补运算要结合数轴进行. 3.有些较复杂的集合的运算可以先化简再进行.如(?UA)∪(?UB)=?U(A∩B),计算等号前的 式子需三次运算,而计算等号后的式子需两次运算.

一、基础达标 1.已知全集 U={1,2,3,4},集合 A={1,2},B={2,3},则?U(A∪B)等于( A.{1,3,4} B.{3,4} C.{3} D.{4} 答案 D 解析 ∵A={1,2},B={2,3},∴A∪B={1,2,3}, ∴?U(A∪B)={4}.
4

)

2.已知 A={x|x+1>0},B={-2,-1,0,1},则(?RA)∩B 等于( A.{-2,-1} B.{-2} C.{-1,0,1} D.{0,1} 答案 A 解析 因为集合 A={x|x>-1}, 所以?RA={x|x≤-1}, 则(?RA)∩B={x|x≤-1}∩{-2,-1,0,1} ={-2,-1}. 3.设 U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则 A∩(?UB)等于( A.{x|0≤x<1} B.{x|0<x≤1} C.{x|x<0} 答案 B 解析 ?UB={x|x≤1},∴A∩(?UB)={x|0<x≤1}. D.{x|x>1} )

)

4.设全集 U 是实数集 R,M={x|x<-2,或 x>2},N={x|1≤x≤3}.如图所示,则阴影部 分所表示的集合为( )

A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2≤x≤3} C.{x|x≤2,或 x>3} D.{x|-2≤x≤2} 答案 A 解析 阴影部分所表示的集合为?U(M∪N)=(?UM)∩(?UN)={x|-2≤x≤2}∩{x|x<1 或 x>3} ={x|-2≤x<1}.故选 A. 5.已知集合 A={x|0≤x≤5},B={x|2≤x<5},则?AB=________. 答案 {x|0≤x<2,或 x=5} 解析 如图:

由数轴可知:?AB={x|0≤x<2,或 x=5}. 6.设全集 U=R,集合 A={x|x≥0},B={y|y≥1},则?UA 与?UB 的包含关系是________. 答案 ?UA??UB 解析 ∵?UA={x|x<0},?UB={y|y<1}={x|x<1}. ∴?UA??UB.
? 5? 7.已知全集 U=R,A={x|-4≤x≤2},B={x|-1<x≤3},P=?x|x≤0,或x≥ ?, 2? ?

5

(1)求 A∩B; (2)求(?UB)∪P; (3)求(A∩B)∩(?UP). 解 (1)A∩B={x|-1<x≤2}. (2)∵?UB={x|x≤-1,或 x>3},
? 5? ∴(?UB)∪P=?x|x≤0,或x≥ ?. 2? ? ? 5? (3)∵?UP=?x|0<x< ?, 2? ? ? 5? ∴(A∩B)∩(?UP)={x|-1<x≤2}∩?x|0<x< ?={x|0<x≤2}. 2? ?

二、能力提升 8.已知集合 A={x|x<a},B={x|1<x<2}, 且 A∪(?RB)=R,则实数 a 的取值范围是( A.a≤1 C.a≥2 答案 C 解析 如图所示,若能保证并集为 R,则只需实数 a 在数 2 的右边(含端点 2),所以 a≥2. B.a<1 D.a>2 )

9.如图,I 是全集,M、P、S 是 I 的 3 个子集,则阴影部分所表示的集合是(

)

A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪S C.(M∩P)∩(?IS) D.(M∩P)∪(?IS) 答案 C 解析 依题意,由题干图知,阴影部分对应的元素 a 具有性质 a∈M,a∈P,a∈?IS, 所以阴 影部分所表示的集合是(M∩P)∩(?IS),故选 C. 10.某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱乒乓球运动,8 人对这两项运动都不 喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________. 答案 12 解析 设两项运动都喜欢的人数为 x,画出 Venn 图得到方程

15-x+x+10-x+8=30
6

? x=3, 所以,喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 15-3=12(人). 11.已知 A={x|-1<x≤3},B={x|m≤x<1+3m}. (1)当 m=1 时,求 A∪B; (2)若 B? ?RA,求实数 m 的取值范围. 解 (1)m=1,B={x|1≤x<4},

A∪B={x|-1<x<4}.
(2)?RA={x|x≤-1,或 x>3}. 1 当 B=?时,即 m≥1+3m 得 m≤- ,满足 B? ?RA, 2 当 B≠?时,使 B? ?RA 成立, 则?
? ?m<1+3m, ?1+3m≤-1 ?

或?

? ?m<1+3m, ?m>3, ?

解得 m>3.

综上可知,实数 m 的取值范围是
? 1? ?m|m>3,或m≤- ?. 2? ?

三、探究与创新 12.已知集合 A={x|-4≤x≤-2},集合 B={x|x-a≥0}. (1)若 A? B,求 a 的取值范围; (2)若全集 U=R,且 A? (?UB),求 a 的取值范围. 解 ∵A={x|-4≤x≤-2},B={x|x≥a}, (1)由 A? B,结合数轴(如图所示)

可知 a 的范围为 a≤-4. (2)∵U=R,∴?UB={x|x<a},要使 A? ?UB, 须 a>-2.

13.若集合 A={x|ax +3x+2=0}中至多有一个元素,求实数 a 的取值范围. 解 假 设 集 合 A 中 含 有 2 个 元 素 , 即 ax + 3x + 2 = 0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 , 则 9 9 解得 a< 且 a≠0,则 a 的取值范围是{a|a< ,且 a≠0}. 8 8
2

2

?a≠0, ? ? ? ?Δ =9-8a>0,

9 9 在全集 U=R 中,集合{a|a< ,且 a≠0}的补集是{a|a≥ ,或 a=0}, 8 8

7

9 所以满足题意的 a 的取值范围是{a|a≥ ,或 a=0}. 8

8


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