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中职数学 实数指数幂及其运算


实数指数

1

一、正整数指数幂
一般地,a n(n ? N+)叫做 a 的 n 次幂. 幂 an 指数(n?N+)

底数

规定: a 1= a .
2

练习1
(1)2
3×2 4 = 3) 4=

a m? a n= ; ( a m) n= ; am ; an = ; ( a b ) m=

; ; ( m > n,a ≠ 0 ); .

(2)( 2 24 (3) 23 =

(4)( x y ) 3=

3

计算:

23 23 = =20

1



20=1

=23-3





a 0= 1 ( a ≠ 0 ) am 如果取消 an =am - n(m>n,a≠0)中 m > n 的 限制,如何通过指数的运算来表示?

4

二、零指数幂 a 0 = 1(a ≠ 0 ) 练习2

(1)8 0 =




(2)(-0.8 ) 0 =

(3)式子 ( a-b ) 0 =1 是否恒成立?为什么?

5

am m-n 如果取消 an =a (m>n,a≠0)中m>n的 限制,如何通过指数的运算来表示? 计算: 3 1 1 2 23 (1) 4 = 2 ; (2) 6 = 8 2 2 =23-4 =23-6 =2-1 1 2-1 = 2 规 定 a-n= 1n (a≠0,n?N+) a
6



=2-3 2-3 = 1 23

a-1= 1(a≠0) a

三、负整数指数幂 a-1 = 1 ( a ≠ 0) a a-n = 1n (a ≠ 0,n ? N+ ) a 练习3 (1)8-2 = (2)0.2-3 = ; ; 1 4 是否恒成立?为什么? (a-b)
7

(3)式子(a-b)-4 =

练习4
(1)( 2 x )-2 = ;(2)0.001-3 = ;

x3 )-2 = (3)( 2 y

x2 ;(4) 2 = b c



8

分数指数
?

1.回顾初中学习的平方根,立方根的概念.

方根概念推广: 如果存在实数x使得 x n ? a(a ? R, n ? 1, n ? N? ) 则x叫做a的n次方根. 求a的n次方根,叫做把 a开n次方, 称作开方运算.

9

有理数指数幂
5 复习:(口算) ? 5 (a 2 )5 ? a 2 ? a a10 10 5 12 3

1 32 )
5 4 2) 81

3

a12 ? 3 (a 4 ) 3 ? a 4 ? a
3

3) 210 4) 3
3 12

a ? (a ) ? a
2 3

2 3 3

2 3

a ? (a ) ? a
n m n m n

1 2 2

1 2

n

a ?
m

( a ) n ? a (m, n ? N *, 且n ? 1)
10

⒈正分数指数幂的意义 ⑴我们给出正数的正分数指数幂的定义:
m 用语言叙述:正数的 n 次幂(m,n∈N*,且n>1)
m n

a

?

n

a

m

(a ? 0,m,n∈N*,且n>1)

等于这个正数的m次幂的n次算术根. 注意:底数a>0这个条件不可少. 若无此条件会 引起混乱,例如,(-1)1/3和(-1)2/6应当具有同样 的意义,但由分数指数幂的意义可得出不同的 结果:

(?1) ? 3 ? 1 =-1; (?1) ? 6 (?1)2 ? 6 1 =1. 这就说明 11 分数指数幂在底数小于0时无意义.

1 3

2 6

⒉负分数指数幂的意义

注意:负分数指数幂在有意义的情况下, 回忆负整数指数幂的意义: 1 总表示正数,而不是负数,负号只是出现 -n= a ( a≠0,n∈N*). n 在指数上. a
正数的负分数指数幂的意义和正数的负整 数指数幂的意义相仿,就是:
m ? n

a

?

1 a
m n

?

1
n

(a>0,m,n∈N*,且n>1).
m

a

规定:0的正分数指数幂等于0;0的负分数指 12 数幂没有意义.

练习: 1、用根式表示(a>0):
1 3 4 5 1 ? 6
1 4

2 , a ,3 , a .
0 2、若(x ? 5) ? x ? 4) 有意义,求 的取值范围。 ( x ?

?

3 4

13

3 1 -3 16 -4 例2:求值: 8 , 100 ,( ) ,( ) 4 81 -

2 3

1 2

分析:此题主要运用有理指数幂的运算性质。 解:

8 =(2 ) 2 =22=4; =
100 =( ) = 10 10
2 - 1 2 - 1 2 1 2? (- ) 2

2 3

2 3 3

3?

2 3

1 = 10 = ; 10
-1

1 -3 -2 -3 (-2) 3) ? (- 6 ( ) =(2 ) =2 =2 =64; 4

16 2 ( ) =( ) 81 3


3 4

3 4? (- ) 4

2 -3 27 =( ) = 。 3 8

14

练习:求值:

1 9 , ,( ) 64 32

1 2

2 ? 3

1 5

15

⒋有理指数幂的运算性质 我们规定了分数指数幂的意义以后,指 说明:若a>0,p是一个无理数,则a p 表示 数的概念就从整数指数推广到有理数指 一个确定的实数. 上述有理指数幂的运算性 数. 上述关于整数指数幂的运算性质,对 质,对于无理数指数幂都适用. 即当指数的 于有理指数幂也同样适用,即对任意有 范围扩大到实数集R后,幂的运算性质仍然 理数r,s,均有下面的性质: 是下述的3条.

⑴ ar·s=ar+s (a>0,r,s∈Q); a ⑵ (ar)s=ars (a>0,r,s∈Q); ⑶ (ab)r=ar br (a>0,b>0,r∈Q).
16

1.正数的正分数指数幂的意义:

a

m n

? n a m (a ? 0, m, n ? N *,且n ? 1)
? m n

2.正数的负分数指数幂

a

?

1
m n

(a ? 0, m, n ? N *,且n ? 1)
4.有理指数幂的运算性质

a 3. 0的分数指数幂

(1)ar?as=ar+s(a>0,r,s∈Q) 0的正分数指数幂等于0。 (2)(ar)s=ar?s(a>0,r,s∈Q) 0的负分数指数幂无意义。 (3)(a?b)r=ar?br(a>0,b>0,r∈Q)

注意:以后当看到指数是分数时,如果没有特 17 别的说明,底数都表示正数.

例3:用分数指数幂的形式表示下列各式:

a 2 ? a , a 3 ? 3 a 2 , a a (式中a ? 0)
分析:此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质。 解:
1 2 1 2? 2 5 2

a ? a ? a ?a ? a
2 2

?a ;
2 3

a ? a ? a ?a ? a
3 3 2 3
1 1 2 2

2 3

3?

?a ;
3 4

11 3

a a ? (a ? a ) ? (a ) ? a .

3 1 2 2

a ??

18

例4:计算下列各式(式中字母都是正数)
2 3 1 2 1 2 1 3 1 6 5 6

(1)(2a b )(?6a b ) ? (?3a b ) (2)(m n
1 4 3 ? 8

)

8

19

例4:计算下列各式(式中字母都是正数)

解: (1)(2a

2 3

b )(?6a b ) ? (?3a b )
2 1 1 ? ? 3 2 6

1 2

1 2

1 3

1 6

5 6

? [2 ? (?6) ? (?3)]a

b

1 1 5 ? ? 2 3 6

? 4ab ? 4a
0

(2)(m n
1 4 8

1 4

?

3 8

)

8

? (m ) (n

3 ? 8 8

) ? m ?n
2

?3

m ? 3 n

2

20

.Ⅲ. 课堂练习一
1、计算下列各式:
1 2 1 4 3 ? 8
1 ? 3

(1)a a a
?3

(2)(x y )
1 ? 3

1 2

1 ? 3 6
1 3 2 ? 3

8a (3)( ) 6 27b

1 (4)2 x ( x ? 2 x ) 2
21

3、下列正确的是() A、 ? B、x
?

x ? ( ? x ) ( x ? 0)
1 3 3

1 2

? ?3 x
4

x ?4 C、 ) ( ? y

y 3 ( ) ( x , y ? 0) x

6 D、 y 2 ? y ( y ? 0)

1 3

22

小结: ①分数指数幂的意义及运算性质
②指数概念的扩充,引入分数指数幂概念后,
指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数 幂的扩充 . 而且有理指数幂的运算性质对于无理指数幂也适 用,这样指数概念就扩充到了整个实数范围。

a n ,当指数n扩大至有理数时, ③对于指数幂
要注意底数a的变化范围。如当n=0时底数a≠0; 当n为负整数指数时,底数a≠0;当n为分数时, 底数a>0。
23

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