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高考数学一轮复习:第2章 第3节二次函数与幂函数


全国新课标区模拟精选题:根据高考命题大数据分析,重点关注基础题 1,3, 能力题 7.

专项基础测试 模拟精选题
一、选择题 1.(2016· 浙江金华模拟)已知函数 f(x)=x2-2x+4 在区间[0,m](m>0)上的最大值 为 4,最小值为 3,则实数 m 的取值范围是( A.[1,2] 解析 答案 B.(0,1] C.(0,2] ) D.[1,+∞)

f(0)=4;f(1)=3,结合二次函数图象可得 1≤m≤2.故选 A. A

1 ?1?x 2.(2015· 安徽淮南模拟)设函数 y=x3与 y=?2? 的图象的交点为(x0, y0), 则 x0 所在 ? ?

的区间是( ?1 ? A.?2,1? ? ? 解析

) ?1 1? B.?3,2? ? ? ?1 1? C.?4,3? ? ? 1? ? D.?0,4? ? ?

1 ?1?x ?1? ?1? 构造函数 f(x)=x3-?2? ,从而转化为函数的零点的问题,因为 f?2?·f?3? ? ? ? ? ? ?

?1 1? <0,所以在?3,2?存在零点,故选 B. ? ? 答案 B )

3.(2016· 广东汕头一中月考)若 a<0,则下列不等式成立的是( ?1?a A.2a>?2? >(0.2)a ? ? ?1?a C.?2? >(0.2)a>2a ? ? 解析

?1?a B.(0.2)a>?2? >2a ? ? ?1?a D.2a>(0.2)a>?2? ? ?

?1?a 若 a<0,则幂函数 y=xa 在(0,+∞)上是减函数,所以(0.2)a>?2? >0.所以 ? ?

?1?a (0.2)a>?2? >2a. ? ? 答案 B

1

二、填空题 4.(2016· 山西太原联考)若函数 f(x)=x2+ax+b 的两个零点是-2 和 3,则不等式 a· f(-2x)>0 的解集是________. ?-2+3=-a, 解析 依题意得方程 x2+ax+b=0 的两根是-2 和 3,所以? 即 3=b, ?-2× ?a=-1, ? 所以 f(x)=x2-x-6,不等式 a· f(-2x)>0, ?b=-6. 3 即为-(4x2+2x-6)>0.所以 2x2+x-3<0,解得-2<x<1.
? ? 3 ? 所求解集为?x?-2<x<1?. ? ? ?

答案

? ? 3 ? ?x?- <x<1? ? ? 2 ?

三、解答题 x2+4x+5 ? 2? 5.(2014· 深圳模拟)指出函数 f(x)= 2 的单调区间, 并比较 f(-π)与 f?- ? x +4x+4 ? 2? 的大小. 解 x2+4x+5 1 -2 -2 f(x)= 2 =1+ 2=1+(x+2) ,其图象可由幂函数 y=x x +4x+4 (x+2)

向左平移 2 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度得到,所以该函数在(-2, +∞)上是减函数, 在(-∞, -2)上是增函数, 且其图象关于直线 x=-2 对称(如 图).

2 2 又∵-2-(-π)=π-2<- 2 -(-2)=2- 2 , ? 2? ∴f(-π)>f?- ?. ? 2?

2

创新导向题
二次函数图象的应用 6.已知“0<t<m(m>0)”是“函数 f(x)=-x2-tx+3t 在区间(0,2)上只有一个零点”的 充分不必要条件,则 m 的取值范围是( A.(0,2) 解析 B.(0,2] ) D.(0,4]

C.(0,4)

由 f(x)在区间(0,2)上只有一个零点得 f(0)· f(2)<0,解得 0<t<4,由题意

得(0,m)?(0,4),所以 0<m<4,故选 C. 答案 C

专项提升测试
模拟精选题 一、选择题 7.(2016· 山东滨州模拟)定义在 R 上的函数 f(x),当 x∈(-1,1]时,f(x)=x2-x, 且对任意的 x 满足 f(x-2)=af(x)(常数 a>0),则函数 f(x)在区间(5,7]上的最小 值是( 1 A.-4a3 解析 ) 1 B.4a3 1 C.4a3 1 D.-4a3

f(x - 2) = af(x)? f(x - 4) = af(x - 2) = a2f(x)? f(x - 6) = af(x - 4) = a3f(x) ,

1 1 1 x∈(5 , 7]? x - 6∈( - 1 , 1] ,则 f(x) = a3 f(x - 6) = a3 [(x - 6)2 - (x - 6)] = a3 1?2 1 1 1 ? ?(x-6)-2? - 3,当 x-6= 时,f(x)有最小值为- 3. 4a 2 4a ? ? 答案 D

?1 2? 8.(2015· 广东湛江模拟)已知幂函数 f(x)的图象经过点? , ?,P(x1,y1),Q(x2, ?8 4 ? y2)(x1<x2)是函数图象上的任意不同两点,给出以下结论: ①x1f(x1)>x2f(x2);②x1f(x2)<x2f(x1);③ 其中正确结论的序号是( A.①② B.①③ ) C.②④ D.②③ f(x1) f(x2) f(x1) f(x2) x1 > x2 ;④ x1 < x2 .

2 3 1 ?1?n 解析 设幂函数为 y=xn,则有?8? =2-3n= 4 =2-2,得 n=2,则幂函数为 y ? ?

3

= x,由其图象知图象上的点与原点连线的直线的斜率随 x 增大而减小,即 f(x2) f(x1) x2 < x1 ,x1f(x2)<x2f(x1),所以②③正确,选 D. 答案 D 二、填空题 9.(2016· 湖北天门模拟)已知幂函数 y=xm2-2m-3(m∈N*)的图象与 x 轴,y 轴无 交点,且关于原点对称,则 m 的值为________. 解析 由题意 m2-2m-3<0,解得-1<m<3, ∵m∈N*,∴m=1,2,幂函数图象关于原点对称,则函数为奇函数,当 m=1 时,y=x-4 为偶函数;当 m=2 时,y=x-3 满足条件,即 m=2. 答案 2 三、解答题 10.(2015· 杭州七校模拟)已知函数 f(x)=x2+(x-1)· |x-a|. (1)若 a=-1,解方程 f(x)=1; (2)若函数 f(x) 在 R 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (3)若 a<1 且不等式 f(x)≥2x-3 对一切实数 x∈R 恒成立,求 a 的取值范围. 解
2 ?2x -1,x≥-1, (1)当 a=-1 时,有 f(x)=? ?1,x<-1.

当 x≥-1 时,2x2-1=1, 解得:x=1 或 x=-1, 当 x<-1 时,f(x)=1 恒成立. ∴方程的解集为:{x|x≤-1 或 x=1}.
2 ?2x -(a+1)x+a,x≥a, (2)f(x)=? ?(a+1)x-a,x<a.

?a+1 ? ≤a 1 若 f(x)在 R 上单调递增,则有? 4 ,解得:a≥3, ? ?a+1>0 ?1 ? 即实数 a 的取值范围是?3,+∞?. ? ? (3)设 g(x)=f(x)-(2x-3),

4

2 ?2x -(a+3)x+a+3,x≥a, 则 g(x)=? ?(a-1)x-a+3,x<a.

即不等式 g(x)≥0 对一切实数 x∈R 恒成立. ∵a<1,∴当 x<a 时,g(x)单调递减,其值域为:(a2-2a+3,+∞). ∵a2-2a+3=(a-1)2+2≥2,∴g(x)≥0 恒成立. a+3 当 x≥a 时,∵a<1,∴a< 4 , (a+3) ?a+3? ?=a+3- ∴g(x)min=g? ≥0,得-3≤a≤5. 8 ? 4 ? ∵a<1,∴-3≤a<1,综上:a 的取值范围是[-3,1).
2

创新导向题
利用二次函数单调性求参数取值范围 11. 已知函数 f(x) =- 2x2 + |x| + 1 ,若 f(log2m)>f(3) ,则实数 m 的取值范围是 ________. 解析 f(3)=-2× 32+3+1=-14,若 f(log2m)>f(3),则-3<log2m<3, 1 所以8<m<8. ?1 ? 答案 ?8,8? ? ? 幂函数的解析式及求值 ?1 2? 12.已知幂函数 y=f(x)的图象过点? , ?,则 lg f(2)+lg f(5)=________. ?2 2 ? 解析
1 2 1 ?1? ?1?α 设 f(x)=xα,则 f?2?=?2? = 2 ,解得 α=2,故 f(x)=x2,所以 lgf(2) ? ? ? ?

1 1 1 1 ? ? 52?=lg 102= . +lgf(5)=lg?22× 2 ? ?

答案

1 2

5


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