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湖南省2014年长沙市高考模拟试卷(二模)数学(理科)试题


绝密★启用前

2014 年长沙市高考模拟试卷数学

(理科)
长沙市教科院组织名优教师联合命制 满分:150 分 时量:120 分钟 说明:本卷为试题卷,要求将所有试题答案或解答做在答题卡指定位置上. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题 目要求。 1.已知复数

z 满足

1? z ? i (i 为虚数单位),则 z 的值为 1? z
D.-1 D.3

A.i B.-i C.1 2 2.设随机变量 X~N(2,3 ),若 P(X≤c)=P(X>c),则 c 等于 A.0 B.1 C.2 3.二项式 ( x ? A.-15

1 6 ) 的展开式中常数项为 x
B.15 C.-20 D.20

4.设 A,B 为两个互不相同的集合,命题 P: x ? A A.充分且必要条件 C.必要非充分条件 5.已知集合 M ? ?( x, y )

B , 命题 q: x ? A 或 x ? B ,则 ? q 是 ? p 的

B.充分非必要条件 D.非充分且非必要条件

? ?

? x2 y 2 ? ? 1? , N ? ( x, y ) y ? k ( x ? b)? ,若 ?k ? R ,使得 M 9 4 ?

?

N ? ? 成立,

则实数 b 的取值范围是 A. ? ?3,3? B. (??, ?3)

(3, ??) C. ? ?2, 2?

D. (??, ?2)

(2, ??)

6.函数 y ? sin(? x ? ?)(? ? 0) 的部分图象如图所示,设 P 是图象的最高点,A,B 是图象与 x 轴的交点, 若 cos ?APB ? ? A.

5 ,则 ? 的值为 5
B.

? 4

? 3

C.

? 2

D. ?

?y≥ x ? 7.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ≤ 2 ,则 z=x-3y 的最大值为 ? x ≥ ?2 ?
A. ? 4 B.4 C .3 D. ? 3 8.如图,正方形 ABCD 的边长为 3,E 为 DC 的中点,AE 与 BD 相交于 F,则 FD ? DE 的值是 A.

3 2

B. 3

C. ?

3 2

D. ? 3

A F

D

B

C

9.若两条 异面直线所成的角为 60 ,则称这对异面直线为“黄金异面直线对”,在连接正方体各顶点 的所有直线中,“黄金异面直线对”共有 A.12 对 B.18 对 C.24 对 D.30 对

10.已知函数 f ( x) ? a ln( x ? 1) ? x2 在区间(0,1)内任取两个实数 p,q,且 p≠q,不等式

f ( p ? 1) ? f (q ? 1) ? 1 恒成立,则实数 a 的取值范围为 p?q
A. ?15, ??) B. (??,15? C. (12,30? D. (?12,15?

二、填空题:本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡中对应题 号后的横线上。 (一)选做题(请考生在第 11、12、13 三题中任选两题作答,如果全做, 则按前两题记分) 。 11.(选修 4-1:几何证明选讲)如图,PA 是圆 O 的切线,切点为 A,PO 交圆 O 于 B,C 两点, PA ? 3, PB ? 1 ,则 ?PAB =_________. 12.(选修 4-3:不等式证明)不等式 x ? 4 ? x ? 3 ≤ a 有实数解的充要条件是_____. 13.(选修 4- 4:坐标系与参数方程)已知直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

? ?x ? t ? 3 (t为参数) . 以直角坐标系 xOy 中的原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴,圆 C 的极坐标 ? ? ? y ? 3t
方程为 ? 2 ? 4?COS? ? 3 ? 0 ,则圆心 C 到直线 l 距离为______. (二)必做题(14~16 题) 14.设点 P 是双曲线
x2 a
2

?

y2 b
2

? 1(a ? 0, b ? 0) 与圆 x +y =a +b 在第一象限的交点,其中 F1,F2 分别是双曲

2

2

2

2

线的左、右焦点,且 PF 1 ? 2 PF 2 ,则双曲线的离心率为______.

[来源:Z.xx.k.Com]

15.已知 数列 ?an ? 中, a1 ? 1,an?1 ? 2an ? n ? 1,若利用如图所示的程 序框图进行运算,则输出 n 的值为 .

1 6.若三个非零且互不相等的实数 a、b、c 满足

1 a

?

1 b

?

2 c

,则称 a、

b、c 是调和的;若满 a + c = 2b 足,则称 a、b、c 是等差的.若集 合 P 中元素 a、b、c 既是调和的,又是等差的,则称集合 P 为“好 集”.若集合 M ? x x ≤ 2014, x ? Z ,集合 P ? ?a, b, c? ? M .则 (1)“好集” P 中的元素最大值为 (2)“好集” P 的个数为 . ;

?

?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(12 分)已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)2 ? 2 3sin 2 x . (Ⅰ)求函数 f (x)的最小正周期; (Ⅱ)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足 2a cos C ? c ? 2b ,求 f(B)的取值范 围.
[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

1

18. (12 分) 在如图所示的几何体中,AE ? 平面 ABC ,CD ∥ AE ,F 是 BE 的中点,AC ? BC ? 1 ,

?ACB ? 90 , AE ? 2CD ? 2 .
(Ⅰ)证明: DF ∥平面 ABC ; (Ⅱ)求二面角 A ? BD ? E 的大小的余弦值.

19.(12 分)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为

2 3

,中

奖可以获得 2 分;方案乙的中奖率为 P ,中奖可以获得 3 分;未中奖则不得分.每人有且只 0 (0 ? P 0 ? 1) 有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品. (Ⅰ)张三选择方案甲抽奖,李四选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为 X,若 X≤3 的概率为 求P 0; (Ⅱ)若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累 计得分的数学期望较大?

7 9



20.(13 分)某地一渔场的水质受到了污染.渔场的工作人员对水质检测后,决定往水中投放一种药剂 来净化水质. 已知每投放质量为 m(m ? N *) 个单位的药剂后,经过 x 天该药剂在水中释放的浓度 y(毫

?log】( x ? 4), 0 ? x ? 5 克/升)满足 y=mf(x ),其中 f ( x) ? ? ,当药剂在水中释放的浓度不低于 6(毫克/升) ? 6 , x ? 5 ?x?2 ? 时称为有效净化 ;当药剂在水中释放的浓度不低于 6(毫克/升)且不高于 18(毫克/升)时称为最佳净 .... ...
化 . . (Ⅰ)如果投放的药剂质量为 m=6,试问渔场的水质达到有效净化 一共可持续 几天? .... (Ⅱ)如果投放的药剂质量为 m,为了使在 8 天(从投放药剂算起包括第 8 天)之内的渔场的水质 达到最佳净化 ,试确定应该投放的药剂质量 m 的取值范围. ....

2

21.(13 分)已知 A、B 为抛物线 C:y2 = 4x 上的两个动点,点 A 在第一象限,点 B 在第四象限 l1、l2 分别过点 A、B 且与抛物线 C 相切,P 为 l1、l2 的交点. (Ⅰ)若直线 AB 过抛物线 C 的焦点 F,求证:动点 P 在一条定直线上,并求此直线方程; (Ⅱ)设 C、D 为直线 l1、l2 与直线 x = 4 的交点,求 PCD 面积的最小值.

[来源:学科网 ZXXK]

22 .(13 分)设函数 f n ( x) ? xn (1 ? x)3 在 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

上的最大值为 an (

).

[来源:学&科&网]

(Ⅱ)求证:对任何正整数 n (n≥2),都有 an ≤

1 成立; (n ? 3) 2
91 成立. 256

(III)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,求证:对任意正整数 n,都有 S n ≤

3

2014 年长沙市高考模拟试卷

数学(理科)参考答案及评分标准

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 因此 f (x)的值域为 1, 3 ? 3 ? ?. 18.(本小题满分 12 分)

?

……12 分

【解析】 (Ⅰ )因为 EA ? 平面ABC , CD ∥AE ,所以 CD ? 平面 ABC . 故以 C 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则相关各点的坐标分别是 A (1, 0, 0 ) , B ( 0,1, 0 ) , C ( 0,0,0) , D ( 0, 0,1) ,
E (1, 0, 2 ) , F ( 1 , 1 ,1) . 2 2

所以 DF ? ( 1 , 1 ,0) , 2 2 因为平面 ABC 的一个法向量为 m ? (0,0,1) , 所以 DF ? m ? 0 , 又因为 DF ? 平面 ABC ,所以 DF // 平面 ABC . (Ⅱ )由(Ⅰ )知, BD ? (0, ? 1,1) , AB ? ( ? 1,1,0) , BE ? (1, ? 1,2) .
n1 ? BD ? 0 , 得 设 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 ABD 的一个法向量,由 ? ? ? ?n1 ? AB ? 0 ?

……6 分

4

E

z D F C B y

A x

19.(本小题满分 12 分) 2 【解析】 (Ⅰ )由已知得,张三中奖的概率为 ,李四中奖的概率为 P0 ,且两人中奖与否互不影响. 3 记“这 2 人的累计得分 X≤3”的事件为 A, 则事件 A 的对立事件为“X=5”, 7 1 2 2 因为 P(X=5)= ×P0 ,所以 P (A)=1-P(X=5)=1- ×P0 = ,所以 P0 ? .……6 分 3 3 9 3 (Ⅱ )设张三、李四都选择方案甲抽奖中奖次数为 X1,都选择方案乙抽奖中奖次数为 X2, 则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 E(2X1), 选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为 E(3X2). 2? 由已知可得,X1~B? 0?, ?2,3?,X2~B ? 2, P 2 4 所以 E(X1)= 2× = ,E(X2)=2×P0 , 3 3 8 从而 E(2X1)=2E(X1)= ,E(3X2)=3E(X2)=6 P0 . 3

……12 分 20.(本小题满分 13 分) 【解析】 (Ⅰ )由题设:投放的药剂质量为 m ? 6 , 渔场的水质达到有效净化 ....? 6 f ( x) ? 6 ? f ( x) ? 1

5

?x ? 5 ?0 ? x ? 5 或? ?? ? 6 ?1 ?log 3 ( x ? 4) ? 1 ? ?x ? 2

? 0 ? x ? 5 或 5 ? x ? 8 ,即: 0 ? x ? 8 ,

所以如果投放的药剂质量为 m ? 6 ,自来水达到有效净 化 一共可持续 8 天 ... .

.………6 分

21.(本小题满分 13 分) 【解析】 (Ⅰ )设 A(

y2 y12 y2 ) ( y1 ? 0 ? y2 ). , y1 ) , B ( 2 , 4 4 y2 易知 l1 斜率存在,设为 k1 ,则 l1 方程为 y ? y1 ? k1 ( x ? 1 ) . 4
? y12 2 2 y ? y ? k ( x ? ) 1 1 由? 4 得, k1 y ? 4 y ? 4 y1 ? k1 y1 ? 0 ? ? y2 ? 4x ?
…………… ①

2 由直线 l1 与抛物线 C 相切,知 △ ? 16 ? 4k1 (4 y1 ? k1 y1 ) ? 0.

于是, k1 ?

2 2 1 x ? y1 . , l1 方程为 y ? y1 y1 2

同理, l2 方程为 y ?

2 1 x ? y2 . y2 2
y1 y2 y1 ? y2 , ) , 4 2

联立 l1 、 l2 方程可得点 P 坐标为 P (

y12 4 ∵ k AB ? y1 ? y2 ? 4 , AB 方程为 y ? y1 ? ( x ? ), 2 y1 ? y2 4 y12 y2 y1 ? y2 ? 4 4

0) . AB 过抛物线 C 的焦点 F (1,

6



CD ? (

( y1 y 2 ? 16)( y 1 ? y )2 8 1 8 1 . ? y1 ) ? ( ? y2 ) ? y1 2 y2 2 2 y1 y2
yy (y y 1 1 ? 2 16)( y ? 1y ) 2 . 4? 1 2 ? 2 4 2 y1 y2

∴ S△PCD ?

设 y1 y2 ? ?t 2 ( t ? 0 ) , y1 ? y2 ? m , 由 ( y1 ? y2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ? m2 ? 4t 2 ? 0 知, m ? 2t ,当且仅当 y1 ? y2 ? 0 时等号成立. ∴ S△P C D?
2 1 t2 (? t 2 ? 1 6 m ) m? ( t ? 12 6) 4? ? ? ? 2 2 2 4 ? 2 t 1 t6

t?2 2 t (? 1t 2 6

2 1 6 ) t2 ?( . ? t8

2

16)

设 f (t ) ?

2(t 2 ? 16) ? 2t ? t ? (t 2 ? 16)2 (3t 2 ? 16)(t 2 ? 16) (t 2 ? 16)2 ,则 f ?(t ) ? . ? 8t 8t 2 8t 2
4 3 4 3 ? 4 3? 时, f ?(t ) ? 0 ; t ? 时, f ?(t ) ? 0 . f (t ) 在区间 ? 0 , ? 上为减函数; ? 3 3 3 ? ?

∴ 0?t ?

?4 3 ? 在区间 ? 上为增函数. , ? ?? ? 3 ? ?
∴ t?

128 3 4 3 时, f (t ) 取最小值 . 9 3
16 , 3
………… 1 3 分

∴ 当 y1 ? y2 ? 0 , y1 y2 ? ? 即 y1 ?

128 3 4 4 , y2 ? ? 时, △PCD 面积取最小值 . 9 3 3

7

22.(本小题满分 13 分) 【解析】 (Ⅰ ) fn?( x) ? nxn?1 (1 ? x)3 ? 3xn (1 ? x)2 ? xn?1 (1 ? x)2[n(1 ? x) ? 3x]

? xn?1 (1 ? x)2[n ? (n ? 3) x] ,
当 x ? [ ,1] 时,由 f n' ( x) ? 0 知 x ? 1 或 x ? 当 n ? 1 时,则

1 4

n , n?3

1 n 1 1 ? , x ? [ ,1] 时, f n' ( x) ? 0 , fn ( x) ? xn (1 ? x)3 在 [ ,1] 上单调递减, 4 n?3 4 4

1 1 1 3 33 所以 a1 ? f1 ( ) ? ? (1 ? ) ? 4 4 4 4 4
当 n ? 2 时,

1 n n n 1 ' ) 时, f n' ( x) ? 0 , x ? ( ,1) 时, f n ( x) ? 0 , ? ( ,1) , x ? [ , 4 n?3 n?3 n?3 4

∴ f n ( x) 在 x ?

n n n 3 3 27nn 处取得最大值,即 an ? ( ) ( ) ? n?3 n?3 n?3 (n ? 3)n?3

当 n ? 2 时,由 (II)知 Sn ?

27 ? a2 ? a3 ? a4 ? 256

? an

?

27 1 1 1 ? 2? 2? ? 256 5 6 (n ? 3) 2 27 1 1 1 1 1 1 ? ?( ? )?( ? )? ?( ? ) 256 4 5 5 6 n?2 n?3 27 1 91 . ? ? ? 256 4 256

所以,对任意正整数 n ,都有 S n ?

91 成立. 256

……13 分

8


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