¸ßÖÐÊýѧ±ØÐÞ5 ÓÅÐ㸴ϰ¿ÎPPT¿Î¼þ

Èý½ÇºãµÈ±ä»» ¹«Ê½ ¸´Ï°
µã´Ë²¥·Å½²¿ÎÊÓƵ

( Ò» )ºÍ ½Ç Óë ²î ½Ç ¹« ʽ S ? ? ? sin ( ? ? ? ) ? sin ? co s ? ? co s ? sin ?

S? ??
C? ? ?

sin ( ? ? ? ) ? sin ? co s ? ? co s ? sin ?
co s( ? ? ? ) ? co s ? co s ? ? sin ? sin ?
co s( ? ? ? ) ? co s ? co s ? ? sin ? sin ?

C? ??

T ? ? ? ta n ( ? ? ? ) ?
T? ? ?

ta n ? ? ta n ? 1 ? ta n ? ta n ? ta n ? ? ta n ?
1 ? ta n ? ta n ?

ta n ( ? ? ? ) ?

(¶þ)¶þ±¶½Ç¹«Ê½
S 2 ? sin 2? ? 2 sin ? co s ?
C 2 ? co s 2 ? ? co s 2 ? ? sin 2 ?

T2?

ta n 2 ? ?

2 ta n ? 1 ? ta n ?
2

co s2 ? = co s ? ? sin ? 2 c o s 2 ? = 2 co s ? ? 1
2 2

co s2 ? = 1 -2 sin ?
2

1 ? co s 2 x ? 2 sin x
2

1+cos2x=2cos x

2

(¶þ)¶þ±¶½Ç¹«Ê½±äÐÎ
½µÃݹ«Ê½

cos x ?
2

1 ? cos 2 x 2 1 ? cos 2 x 2

? ?

1 2 1 2

? ?

1 2 1 2

cos 2 x

sin x ?
2

cos 2 x

1 ? s i n 2 ? ? (si n ? ? c o s ? )

2

ºÏ ³É Asin(? x+? )µÄ ³£ ¼û ÐΠʽ £º
( 1 ) 3 sin x ? co s x ? 2 s in ( x ?
( 2 )sin 2 x ?

?

)
?
3 )

6
3 co s 2 x ? 2 s in ( 2 x ?
2 sin ( x ?

(3) sin x ? co s x ?

?
4

)

µã´Ë²¥·Å½²¿ÎÊÓƵ

Àý 3.ÒÑ Öª ? , ? ¾ù Ϊ Èñ ½Ç, cos ? ?

2 7

, c o s (? ? ? ) ? ?

11 14

Çó co s ? µÄ Öµ
½â £º ? ÊÇ Èñ ½Ç ,ÇÒ c o s ? ? ?

2 7

? s in ? ?

1 ? cos ? ?
2

1? ( ) 7
5 3 14

2

2

?

3 5 7
11 14

ÓÖ ÓÉ ? , ? Ϊ Èñ ½Ç µÃ 0 < ? ? ? ? ? , ÇÒ co s (? ? ? ) ? ?

? s in (? ? ? ) ?

1 ? (?

11 14

)

2

?

? co s ? = co s[( ? + ? )- ? ]

= co s( ? + ? )co s ? + sin ( ? + ? )sin ?
? (? 11 14 )? 2 7 ? 5 3 14 ? 3 5 7 ? 15 15 ? 22 98

Á· Ï° 3.ÒÑ Öª ? , ? ¾ù Ϊ Èñ ½Ç, cos ? ?

3 5

, c o s (? ? ? ) ? ?

5 13

Çó sin ? µÄ Öµ
½â £º ? ÊÇ Èñ ½Ç ,ÇÒ c o s ? ? ?

3 5

? s in ? ?

1 ? cos ? ?
2

1? ( ) 5

3

2

?

4 5
5 13

ÓÖ ÓÉ ? , ? Ϊ Èñ ½Ç µÃ 0 < ? ? ? ? ? , ÇÒ c o s (? ? ? ) ? ?

? s in (? ? ? ) ?

1 ? (c o s ? ) = 1 ? ( ?
2

5 13

)

2

?

12 13

? sin ? = sin [( ? + ? )- ? ]

= sin ( ? + ? )co s ? -co s( ? + ? )sin ?
? 12 13 ? 3 5 ? (? 5 13 )? 4 5 ? 56 65

Àý 1£º Öª y= ÒÑ
½â :(1 ) y ? 2 (

3 sin 2 x ? co s 2 x
? 2
)
c o s 2 x ) ? 2 (s in 2 x c o s ? c o s 2 x s in ) 6 6

(1) Çó yµÄ ×î ´ó Öµ , ²¢ д ³ö Ïà Ó¦ x µÄ ¼¯ ºÏ . ( 2 ) Çó º¯ Êý µÄ µÝ Ôö Çø ¼ä . 3 1 ? ?
s in 2 x ?

6 ? ? Ïà Ó¦ µÄ xµÄ ¼¯ ºÏ ÊÇ { x | 2 x ? ? ? 2 ?? , ? ? Z } ? 6 2

? 2 s in ( 2 x ?

2

? º¯ Êý µÄ ×î ´ó Öµ ÊÇ 2.

? {x | x ?

? ?? , ? ? Z }
?
6

(2 ) ? y ? 2 sin zµÄ µÝ Ôö Çø ¼ä ÊÇ [ 2 ?? ?

6

?
2

, 2 ?? ?

?
2

]
?

? 2 ?? ?

?
2

? 2x ?

? 2 ?? ?

?
2

?
2

y

2
0

y=2sinz
?
2

µÃ ?? ?

?
3

? x ? ?? ?

?
6
?
3

z

?2

? º¯ Êý y µÄ µÝ Ôö Çø ¼ä ÊÇ [ ?? ?

, ?? ?

?
6

]( ? ? Z )

Àý 2 . ÒÑ Öª y ? (sin x ? co s x ) ? 2 c o s x (1) Çó ÖÜ ÆÚ , ×î С Öµ , ÒÔ ¼° Ïà Ó¦ x µÄ ¼¯ ºÏ . ( 2 ) Çó µÝ ¼õ Çø ¼ä .
2 2

½â :(1 ) y ? sin x ? 2 sin x co s x ? co s x ? 2 co s x
2 2 2

? sin 2 x ? (co s x ? sin x )
2 2

y
2

? ÖÜ ÆÚ ÊÇ ? , ×î С Öµ ÊÇ - 2 , Ïà Ó¦ µÄ xµÄ ¼¯ ºÏ ÊÇ

? sin 2 x ? co s 2 x ? ? 2 s in ( 2 x ? ) 4
?
? 2 ?? ?

y=
0

2 sin z
3? 2

?

?
2

?
2
2

z

?

, ? ? Z } ? { x | x ? ?? ? , ? ? Z } 4 2 ? 8 3? ( 2 ) ? º¯ Êý y ? 2 sin z µÄ µÝ ¼õ Çø ¼ä ÊÇ [ 2 k ? + , 2 k ? ? ] 2 2 ? ? 3? 3? 7? ? 2 ?? ? ? 2x? ? 2 ?? µÃ ?? ? ? x ? ?? ? 2 4 2 8 8 3? 7? ? µÝ ¼õ Çø ¼ä ÊÇ [ ?? ? , ?? ? ]( ? ? Z ) 8 8 {x | 2 x ?

?

?

ÊýÁÐ
µã´Ë²¥·Å½²¿ÎÊÓƵ

µÈ²îÊýÁÐ:
1 .¶¨ Òå £º a n ? a n ? 1 ? d ( n ? 2 )
2 .ͨ Ïî ¹« ʽ £º a n ? a 1 ? ( n ? 1) d

ÍÆ ¹ã an ? am ? (n ? m )d

? d ?

an ? am n?m

an ? dn ? b ? Êý ÁÐ {an }µÈ ²î £¨ ³ä Òª Ìõ ¼þ £© .

µã´Ë²¥·Å½²¿ÎÊÓƵ

3 .Ç° n Ïî ºÍ ¹« ʽ £º S n ?

n ( a1 ? a n ) 2

»ò

S n ? n a1 ?

1 2

n ( n ? 1) d

Sn ?

?d
2

n ? ( a1 ?
2

d 2

)n

? 2 S n ? A n ? B n ? Êý ÁÐ { a n }µÈ ²î

4 .ÐÔ ÖÊ £º
(1)Ðò ºÍ Ïà µÈ Ïî ºÍ Ò² Ïà µÈ . a1 ? a 9 ? a 2 ? a 8 ? a 3 ? a 7 ? a 4 ? a 6 ? a 5 ? a 5 ? 2 a 5 Sn S 2n ? S n S 3n ? S 2n (2)¶Î ºÍ µÈ ²î .
S n , S 2 n - S n£¬ S 3 n ? S 2 n
(3) Öª S n Çó a n
¢Ù S n ? A n ? B n ? Êý ÁÐ { a n }µÈ ²î
2

a n ? S n ? S n ? 1 ? A ( 2 n ? 1) ? B( Çó ͨ Ïî )
¢Ú S n ? A n ? B n ? C (C ? 0 ) ? Êý ÁÐ ´Ó µÚ ¶þ Ïî Æð µÈ ²î .
2

?

a n ? { A ( 2 n ? 1) ? B ,

?

A? B ?C ,

n ?1 n ? 2 (Çó ͨ Ïî )

5 .Èý Êý a , b , c µÈ ²î £¬ Ôò b½Ð a Óë cµÄ µÈ ²î ÖÐ Ïî .

a ? c ? 2b
6 .Èý Êý µÈ ²î Éè Ôª ·¨ £º a ? d , a , a ? d £¨ ¹« ²î ÊÇ d£©

Á·Ï°3
Èý Êý ³É µÈ ²î Êý ÁÐ £¬ Æä ºÍ Îª 12£¬ »ý Ϊ 48£¬ Çó ´Ë Èý Êý .

½â£ºÉèÕâÈý¸öΪa-d,a,a+d,Ôò
?(a ? d ) ? a ? (a ? d ) ? 12 ? ? ( a ? d ) ?a ?( a ? d ) ? 4 8

½âµÃa=4,d=2»òa=4,d=-2 ¡à´ËÈýÊýÊÇ2£¬4£¬6 »ò6£¬4£¬2.

ÒÑ Öª µÈ ²î Êý ÁÐ ?an ? , Âú ×ã a3 ? a7 ? 12, a3 ? a7 ? 8 Çó Êý ÁÐ ?an?µÄ ͨ Ïî ¹« ʽ .

Àý4

? ½â£º a 3 ? a 7 ? 8 ? ? a3a7 ? 12

an=am+(n-m)d.

½âµÃa3=2,a7=6 »òa3=6,a7=2
¡à d=1 »ò d=-1
¡àµ±a3=2,d=1ʱ£¬

ͨÏʽÊÇan=a3+(n-3)1=n-1. µ±a3=6,d=-1ʱ£¬ ͨÏʽÊÇan=a3+(n-3)d=-n+9.

Àý:ÒÑÖªSn=2n2-3n,Çóan
½â£ºµ±n>1ʱ£¬ a n ? S n ? S n ? 1 ( n ? 1)

µ±n=1ʱ£¬a1=S1=-1,ÉÏʽҲÊʺÏ. ¡àͨÏʽÊÇan=4n-5 Á·Ï°£ºP44Àý3

¼´an=4n-5

=2[n2-(n-1)2]-3[n-(n-1)] =2(2n-1)-3

Àý1¡¢ÒÑÖªSn=2n2-62n£¬µ±Sn×îСʱ£¬ÇónµÄÖµ
S ½â£º n ? 2 ( n ? 3 1 n ) ? 2 ( n ?
2

Àý1±äʽ

31
2

) ? 2?(
2

31 2

)

2

=2(n-15

1 2

) - 2 ?(

2

31 2

)

2

¡àµ±n=15»ò=16ʱ£¬Sn×îС.

Àý2¡¢ÒÑÖªSn=-2n2+25n£¬µ±Sn×î´óʱ£¬ÇónµÄÖµ ½â£ºS n ? ? 2 ( n ?
2

25 2

n) ? ?2(n ? 6

1 4

) ? 2?(
2

25 4

)

2

¡àµ±n=6ʱ£¬Sn×î´ó.

µÈ±ÈÊýÁÐ:
an 1 .¶¨ Òå £º ? q ( n ? 2£¬ q ? 0 ,? ÎÞ 0 Ïî ) Q a n ?1

2 .ͨ Ïî ¹« ʽ £º a n ? a 1 q
ÍÆ ¹ã £º an ? am q
n?m

n ?1

? Ç󹫱Èq

n?m

?

an

am n a1 ? a n q a 1 (1 ? q ) 3 .Ç° n Ïî ºÍ £º S n ? , Sn ? ,q ? 1 1? q 1? q

4 .±ä ʽ £º S n ?

a 1 ( q ? 1)
n

q ?1

? A ( q ? 1)
n

5 .ÐÔ ÖÊ £º Ðò ºÍ Ïà µÈ Ïî »ý Ò² Ïà µÈ .

a1 a 9 ? a 2 a 8 ? a 3 a 7 ? a 4 a 6 ? a 5 a 5 ? a 5
¶ÎºÍµÈ±È:
Sn
S 2n ? S n
S 3n ? S 2n

2

S n , S 2n ? S n , S 3n ? S 2n

6 .Èý Êý a , b , c µÈ ±È , b ½Ð a ¡¢ c µÄ µÈ ±È ÖÐ Ïî .
Èý Êý a , b , cµÈ ±È € b = a c (b ? ?
2

ac )

a 7 .Èý Êý µÈ ±È Éè ·¨ £º , a , a q . q
a 2 8 .ËÄ Êý µÈ ±È Éè ·¨ £º , a , a q , a q . q

ÒÑ Öª Õý Êý µÈ ±È Êý ÁÐ ?an ? , Âú ×ã a3 ? a7 ? 16, a4 ? a6 ? 10 Çó Êý ÁÐ ?an?µÄ ͨ Ïî ¹« ʽ .

Àý2

? a4 ? a6 ? 10 ½â£º ¡ßa3a7=a4a6 ? ? ? a4a6 ? 16

½âµÃa4=2,a6=8 »òa4=8,a6=2

¡à q=2 »ò q=1/2 ¡àͨÏʽÊÇan=a4qn-4=2¡Á2n-4=2n-3 »òan=a6qn-6=2¡Á26-n=27-n.

´ð£ºÍ¨ÏʽÊÇan=2n-3 »òan=27-n.

ÐÔÖÊ£ºÐòºÍÏàµÈ£¬Ïî»ýÒ²ÏàµÈ.

µÈ²îÊýÁÐÇóºÍ¹«Ê½:
Sn ?
Sn ?

£¨ a 1 ? a n£© n 2
d 2 n ? ( a1 ?
2

S n ? n a1 ?
d 2 )n

1 2

n ( n ? 1) d
2

Sn ? An ? Bn

µÈ? ±È? Êý? ? ÁÐ? Çó? ? ºÍ

S n ? n a1
Sn ? a 1 (1 ? q )
n

£¨ q ? 1£©
( q ? 1)

1? q

Sn ?

a1 ? a n q 1? q

( q ? 1)

ÌØÊâÊýÁÐ µÄÇóºÍ
µã´Ë²¥·Å½²¿ÎÊÓƵ

Àý.ÇóÊýÁÐ 1+ 2 , 2 + 2 , 3 + 2 , ¡­ , n + 2

2

3

n

µÄÇ°nºÍ ¡£ £î 2 3 Sn=(1+2)+(2+2 )+(3+2 )+¡­+(£î+ 2 ) ½â£º
=(1+2+3+ ¡­+n)+(2+2 +2 +¡­+2 )
n(n+1) 2(2 n-1) = 2 + 2-1 n(n+1) n+1 = + 2 -2 2 2 3 n

Àý3¡¢ÇóºÍSn =1+2x+3x2+¡­¡­+nxn-1 (x¡Ù0,1)
Sn =1 + 2x +3x2 + ¡­¡­ +nxn-1 ¢Ù ½â£º xSn = x + 2x2 +¡­¡­+ (n-1)xn-1 + nxn ¢Ú
¢Ù -¢Ú(1-x)Sn =1

+ x + x2+ ¡­¡­ + xn-1 nÏî - nxn

nxn

= 1-x 1-(1+n)xn+nxn+1 = 1-x 1-(1+n)xn+nxn+1 ¡à Sn= (1-x)2

1-xn

ÇóºÍ S n ?

1 2?3

?

1 3? 4

?

1 4?5

?? ?

1 ( n ? 1 )( n ? 2 )

½â: ? a ? n

1 ( n ? 1)( n ? 2 )

?

1 n ?1

?

1 n?2

1 1 1 1 1 1 ? 1 1 ? ? Sn ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 2 3 3 4 4 5 n ?1 n ? 2 ? ? ?

? (

1 2

?

1 n?2

) ?

n 2(n ? 2)

СÆÀ£º1¡¢´ËÀàÌâµÄ¹Ø¼üÊÇÔõÑù°ÑͨÏîÁÑÏî £¬×¢ÒâÒªÓë ԭʽÏàµÈ£¬Í¨³£ÔÚ Ç°Ãæ¼ÓϵÊýʹÆäÏàµÈ¡£ 2¡¢ÔÚÇóºÍʱҪעÒâÇ°ºó¼¸ÏîµÖÏûµÄ¹æÂÉ¡£ 3¡¢Ê£ÏµÄÊÇÄļ¸Ï¾Í¿ÉÒÔÂíÉÏÇó³ö¡£

Àý4¡¢Sn =

1
1¡Á3

+

1
3¡Á5 1

+¡­¡­+ 1 2

1
(2n-1)¡Á(2n+1)

½â£ºÓÉͨÏîan=
¡àSn= 1 £¨ 1

(2n-1)¡Á(2n+1) 1 + 1 1

=

£¨

1 2n-1 1

-

1 2n+1 1

£©

+¡­¡­+ 2 1 3 3 5 2n-1 ) 1 1 n = = £¨1 £© 2 2n+1 2n+1

2n+1

ÆÀ£ºÁÑÏîÏàÏû·¨µÄ¹Ø¼ü¾ÍÊǽ«ÊýÁеÄÿ Ò»Ïî²ð³É¶þÏî»ò¶àÏîʹÊýÁÐÖеÄÏî³öÏÖ ÓйæÂɵĵÖÏûÏ½ø¶ø´ïµ½ÇóºÍµÄÄ¿µÄ¡£

²»µÈʽ
µã´Ë²¥·Å½²¿ÎÊÓƵ

²»µÈʽµÄÐÔÖÊ:
1 .¶Ô ³Æ ÐÔ : a ? b ? b ? a
2 .´« µÝ ÐÔ a ? b, b ? c ? a ? c

3.Á½ ±ß ¿É ͬ ¼Ó ¼õ a ? b ? a ? c ? b ? c

¿ÉÒÆÏî

a?c?b? a ?b?c

ͬ Ïò ¿É µþ ¼Ó a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d

4 . ³Ë Õý Êý ·½ Ïò ²» ±ä a ? b , c ? 0 ? ac ? bc

³Ë ¸º Êý ¸Ä ±ä ·½ Ïò a ? b , c ? 0 ? ac ? bc Õý Êý ¿É µþ ³Ë a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? a c ? b d

5 .Õý Êý ¿É ³Ë ·½ a ? b ? 0 ? a ? b
n

n

6 .Õý Êý ¿É ¿ª ·½ a ? b ? 0 ?

n

a ?

n

b

¿ÎÌÃÁ·Ï°1£®½âÏÂÁв»µÈʽ
(1)3x2-7x+2<0
(2) ¨C6x2-x+2 ? 0

½â£ºÒòΪ¨S=49-24=25>0 ½â£ºÕûÀí£¬µÃ6x2+x-2 ? 0 ·½³Ì3x2-7x+2=0µÄ½âÊÇ ÒòΪ¨S=1+48=49>0 x1=1/3,x2=2 ·½³Ì6x2+x-2=0µÄ½âÊÇ x1= -2/3,x2=1/2 ËùÒÔÔ­²»µÈʽµÄ½â¼¯Îª ©xx|1/3<x<2©y ËùÒÔÔ­²»µÈʽµÄ½â¼¯ ? Ϊ: ? £ûx|x -2/3»òx 1/2 }

(3)4x2+4x+1<0
½â£ºÒòΪ¨S=42-4*4=0 ·½³Ì4x2+4x+1=0µÄ¸ùΪ x1=x2=-1/2 ËùÒÔÔ­²»µÈʽµÄ ½â¼¯Îª?

(4)x2-3x+5>0
½â£ºÒòΪ¨S=9-20<0 ·½³Ìx2-3x+5=0ÎÞ½â ËùÒÔÔ­²»µÈʽµÄ ½â¼¯ÎªR

µã´Ë²¥·Å½²¿ÎÊÓƵ

»ù±¾²»µÈʽ
µã´Ë²¥·Å½²¿ÎÊÓƵ

»ù±¾²»µÈʽ:
ab ? a?b 2

?

ab ? (

a?b 2

)

2

a ? b ? 2 ab

?

Çó×îֵʱµÄÈý¸öÌõ¼þ:
¢Ù a>0,b>0; ¢Úab»òa+bÊdz£Êý; ¢Ûµ±ÇÒ½öµ±a=bʱ,È¡µÈºÅ .

¿Ú¾÷£ºÒ»Õý¶þ³£ÈýÏàµÈ.

µ±Ìüì²â:
Çóy ? x ? 2 x ? 2 ( x ? ? 2 )µÄ ×î С Öµ £º

µã´Ë²¥·Å½²¿ÎÊÓƵ

ÏßÐԹ滮
µã´Ë²¥·Å½²¿ÎÊÓƵ

x £­4y¡Ü£­3
Àý1£ºÉèz£½2x£­y,ʽÖбäÁ¿x¡¢yÂú×ãÏÂÁÐÌõ¼þ Çó£úµÄ×î´óÖµºÍ×îСֵ¡£

½â£º×÷³ö¿ÉÐÐÓòÈçͼ£º µ±£ú£½0ʱ£¬ÉèÖ±Ïß l0£º2x£­y£½0 ƽÒÆl0£¬ µ±l0¾­¹ý¿ÉÐÐÓòÉϵãAʱ£¬
£­z ×îС£¬¼´£ú×î´ó¡£

y
3x+5y=25

3x+5y¡Ü25 x¡Ý1 2x£­y£½0
C (1,4.4)

ƽÒÆl0 £¬µ±l0¾­¹ý¿ÉÐÐÓòÉϵãCʱ£¬
£­£ú×î´ó£¬¼´£ú×îС¡£

x£­4y=£­3

o

B

(5,2)

£Á

x=1
x=1

x

ÓÉ

x£­4y£½£­3

(1,4.4) (5,2) µÃAµã×ø±ê_____£»ÓÉ µÃCµã×ø±ê_______£» 3x£«5y£½25 3x£«5y£½25
zmax£½2¡Á5£­2£½8 zmin£½2¡Á1£­4.4£½ £­2.4

¡à

½âÏßÐԹ滮ÎÊÌâµÄ²½Ö裺
1¡¢»­³öÏßÐÔÔ¼ÊøÌõ¼þËù±íʾµÄ¿ÉÐÐÓò£»
2¡¢Çó³öÿһ¸ö¶¥µãµÄ×ø±ê 3¡¢°Ñÿһ¸ö¶¥µã×ø±ê´úÈëÄ¿±êº¯Êý£¬ ÕÒ³öZ×î´ó×îСֵ 4¡¢×÷³ö´ð°¸¡£
µã´Ë²¥·Å½²¿ÎÊÓƵ