Èý½ÇºãµÈ±ä»» ¹«Ê½ ¸´Ï°
µã´Ë²¥·Å½²¿ÎÊÓÆµ
( Ò» )ºÍ ½Ç Óë ²î ½Ç ¹« ʽ S ? ? ? sin ( ? ? ? ) ? sin ? co s ? ? co s ? sin ?
S? ??
C? ? ?
sin ( ? ? ? ) ? sin ? co s ? ? co s ? sin ?
co s( ? ? ? ) ? co s ? co s ? ? sin ? sin ?
co s( ? ? ? ) ? co s ? co s ? ? sin ? sin ?
C? ??
T ? ? ? ta n ( ? ? ? ) ?
T? ? ?
ta n ? ? ta n ? 1 ? ta n ? ta n ? ta n ? ? ta n ?
1 ? ta n ? ta n ?
ta n ( ? ? ? ) ?
(¶þ)¶þ±¶½Ç¹«Ê½
S 2 ? sin 2? ? 2 sin ? co s ?
C 2 ? co s 2 ? ? co s 2 ? ? sin 2 ?
T2?
ta n 2 ? ?
2 ta n ? 1 ? ta n ?
2
co s2 ? = co s ? ? sin ? 2 c o s 2 ? = 2 co s ? ? 1
2 2
co s2 ? = 1 -2 sin ?
2
1 ? co s 2 x ? 2 sin x
2
1+cos2x=2cos x
2
(¶þ)¶þ±¶½Ç¹«Ê½±äÐÎ
½µÃݹ«Ê½
cos x ?
2
1 ? cos 2 x 2 1 ? cos 2 x 2
? ?
1 2 1 2
? ?
1 2 1 2
cos 2 x
sin x ?
2
cos 2 x
1 ? s i n 2 ? ? (si n ? ? c o s ? )
2
ºÏ ³É Asin(? x+? )µÄ ³£ ¼û ÐΠʽ £º
( 1 ) 3 sin x ? co s x ? 2 s in ( x ?
( 2 )sin 2 x ?
?
)
?
3 )
6
3 co s 2 x ? 2 s in ( 2 x ?
2 sin ( x ?
(3) sin x ? co s x ?
?
4
)
µã´Ë²¥·Å½²¿ÎÊÓÆµ
Àý 3.ÒÑ Öª ? , ? ¾ù Ϊ Èñ ½Ç, cos ? ?
2 7
, c o s (? ? ? ) ? ?
11 14
Çó co s ? µÄ Öµ
½â £º ? ÊÇ Èñ ½Ç ,ÇÒ c o s ? ? ?
2 7
? s in ? ?
1 ? cos ? ?
2
1? ( ) 7
5 3 14
2
2
?
3 5 7
11 14
ÓÖ ÓÉ ? , ? Ϊ Èñ ½Ç µÃ 0 < ? ? ? ? ? , ÇÒ co s (? ? ? ) ? ?
? s in (? ? ? ) ?
1 ? (?
11 14
)
2
?
? co s ? = co s[( ? + ? )- ? ]
= co s( ? + ? )co s ? + sin ( ? + ? )sin ?
? (? 11 14 )? 2 7 ? 5 3 14 ? 3 5 7 ? 15 15 ? 22 98
Á· ϰ 3.ÒÑ Öª ? , ? ¾ù Ϊ Èñ ½Ç, cos ? ?
3 5
, c o s (? ? ? ) ? ?
5 13
Çó sin ? µÄ Öµ
½â £º ? ÊÇ Èñ ½Ç ,ÇÒ c o s ? ? ?
3 5
? s in ? ?
1 ? cos ? ?
2
1? ( ) 5
3
2
?
4 5
5 13
ÓÖ ÓÉ ? , ? Ϊ Èñ ½Ç µÃ 0 < ? ? ? ? ? , ÇÒ c o s (? ? ? ) ? ?
? s in (? ? ? ) ?
1 ? (c o s ? ) = 1 ? ( ?
2
5 13
)
2
?
12 13
? sin ? = sin [( ? + ? )- ? ]
= sin ( ? + ? )co s ? -co s( ? + ? )sin ?
? 12 13 ? 3 5 ? (? 5 13 )? 4 5 ? 56 65
Àý 1£º Öª y= ÒÑ
½â :(1 ) y ? 2 (
3 sin 2 x ? co s 2 x
? 2
)
c o s 2 x ) ? 2 (s in 2 x c o s ? c o s 2 x s in ) 6 6
(1) Çó yµÄ ×î ´ó Öµ , ²¢ д ³ö Ïà Ó¦ x µÄ ¼¯ ºÏ . ( 2 ) Çó º¯ Êý µÄ µÝ Ôö Çø ¼ä . 3 1 ? ?
s in 2 x ?
6 ? ? Ïà Ó¦ µÄ xµÄ ¼¯ ºÏ ÊÇ { x | 2 x ? ? ? 2 ?? , ? ? Z } ? 6 2
? 2 s in ( 2 x ?
2
? º¯ Êý µÄ ×î ´ó Öµ ÊÇ 2.
? {x | x ?
? ?? , ? ? Z }
?
6
(2 ) ? y ? 2 sin zµÄ µÝ Ôö Çø ¼ä ÊÇ [ 2 ?? ?
6
?
2
, 2 ?? ?
?
2
]
?
? 2 ?? ?
?
2
? 2x ?
? 2 ?? ?
?
2
?
2
y
2
0
y=2sinz
?
2
µÃ ?? ?
?
3
? x ? ?? ?
?
6
?
3
z
?2
? º¯ Êý y µÄ µÝ Ôö Çø ¼ä ÊÇ [ ?? ?
, ?? ?
?
6
]( ? ? Z )
Àý 2 . ÒÑ Öª y ? (sin x ? co s x ) ? 2 c o s x (1) Çó ÖÜ ÆÚ , ×î С Öµ , ÒÔ ¼° Ïà Ó¦ x µÄ ¼¯ ºÏ . ( 2 ) Çó µÝ ¼õ Çø ¼ä .
2 2
½â :(1 ) y ? sin x ? 2 sin x co s x ? co s x ? 2 co s x
2 2 2
? sin 2 x ? (co s x ? sin x )
2 2
y
2
? ÖÜ ÆÚ ÊÇ ? , ×î С Öµ ÊÇ - 2 , Ïà Ó¦ µÄ xµÄ ¼¯ ºÏ ÊÇ
? sin 2 x ? co s 2 x ? ? 2 s in ( 2 x ? ) 4
?
? 2 ?? ?
y=
0
2 sin z
3? 2
?
?
2
?
2
2
z
?
, ? ? Z } ? { x | x ? ?? ? , ? ? Z } 4 2 ? 8 3? ( 2 ) ? º¯ Êý y ? 2 sin z µÄ µÝ ¼õ Çø ¼ä ÊÇ [ 2 k ? + , 2 k ? ? ] 2 2 ? ? 3? 3? 7? ? 2 ?? ? ? 2x? ? 2 ?? µÃ ?? ? ? x ? ?? ? 2 4 2 8 8 3? 7? ? µÝ ¼õ Çø ¼ä ÊÇ [ ?? ? , ?? ? ]( ? ? Z ) 8 8 {x | 2 x ?
?
?
ÊýÁÐ
µã´Ë²¥·Å½²¿ÎÊÓÆµ
µÈ²îÊýÁÐ:
1 .¶¨ Òå £º a n ? a n ? 1 ? d ( n ? 2 )
2 .ͨ Ïî ¹« ʽ £º a n ? a 1 ? ( n ? 1) d
ÍÆ ¹ã an ? am ? (n ? m )d
? d ?
an ? am n?m
an ? dn ? b ? Êý ÁÐ {an }µÈ ²î £¨ ³ä Òª Ìõ ¼þ £© .
µã´Ë²¥·Å½²¿ÎÊÓÆµ
3 .ǰ n Ïî ºÍ ¹« ʽ £º S n ?
n ( a1 ? a n ) 2
»ò
S n ? n a1 ?
1 2
n ( n ? 1) d
Sn ?
?d
2
n ? ( a1 ?
2
d 2
)n
? 2 S n ? A n ? B n ? Êý ÁÐ { a n }µÈ ²î
4 .ÐÔ ÖÊ £º
(1)Ðò ºÍ Ïà µÈ Ïî ºÍ Ò² Ïà µÈ . a1 ? a 9 ? a 2 ? a 8 ? a 3 ? a 7 ? a 4 ? a 6 ? a 5 ? a 5 ? 2 a 5 Sn S 2n ? S n S 3n ? S 2n (2)¶Î ºÍ µÈ ²î .
S n , S 2 n - S n£¬ S 3 n ? S 2 n
(3) Öª S n Çó a n
¢Ù S n ? A n ? B n ? Êý ÁÐ { a n }µÈ ²î
2
a n ? S n ? S n ? 1 ? A ( 2 n ? 1) ? B( Çó ͨ Ïî )
¢Ú S n ? A n ? B n ? C (C ? 0 ) ? Êý ÁÐ ´Ó µÚ ¶þ Ïî Æð µÈ ²î .
2
?
a n ? { A ( 2 n ? 1) ? B ,
?
A? B ?C ,
n ?1 n ? 2 (Çó ͨ Ïî )
5 .Èý Êý a , b , c µÈ ²î £¬ Ôò b½Ð a Óë cµÄ µÈ ²î ÖÐ Ïî .
a ? c ? 2b
6 .Èý Êý µÈ ²î Éè Ôª ·¨ £º a ? d , a , a ? d £¨ ¹« ²î ÊÇ d£©
Á·Ï°3
Èý Êý ³É µÈ ²î Êý ÁÐ £¬ Æä ºÍ Ϊ 12£¬ »ý Ϊ 48£¬ Çó ´Ë Èý Êý .
½â£ºÉèÕâÈý¸öΪa-d,a,a+d,Ôò
?(a ? d ) ? a ? (a ? d ) ? 12 ? ? ( a ? d ) ?a ?( a ? d ) ? 4 8
½âµÃa=4,d=2»òa=4,d=-2 ¡à´ËÈýÊýÊÇ2£¬4£¬6 »ò6£¬4£¬2.
ÒÑ Öª µÈ ²î Êý ÁÐ ?an ? , Âú ×ã a3 ? a7 ? 12, a3 ? a7 ? 8 Çó Êý ÁÐ ?an?µÄ ͨ Ïî ¹« ʽ .
Àý4
? ½â£º a 3 ? a 7 ? 8 ? ? a3a7 ? 12
an=am+(n-m)d.
½âµÃa3=2,a7=6 »òa3=6,a7=2
¡à d=1 »ò d=-1
¡àµ±a3=2,d=1ʱ£¬
ͨÏʽÊÇan=a3+(n-3)1=n-1. µ±a3=6,d=-1ʱ£¬ ͨÏʽÊÇan=a3+(n-3)d=-n+9.
Àý:ÒÑÖªSn=2n2-3n,Çóan
½â£ºµ±n>1ʱ£¬ a n ? S n ? S n ? 1 ( n ? 1)
µ±n=1ʱ£¬a1=S1=-1,ÉÏʽҲÊʺÏ. ¡àͨÏʽÊÇan=4n-5 Á·Ï°£ºP44Àý3
¼´an=4n-5
=2[n2-(n-1)2]-3[n-(n-1)] =2(2n-1)-3
Àý1¡¢ÒÑÖªSn=2n2-62n£¬µ±Sn×îСʱ£¬ÇónµÄÖµ
S ½â£º n ? 2 ( n ? 3 1 n ) ? 2 ( n ?
2
Àý1±äʽ
31
2
) ? 2?(
2
31 2
)
2
=2(n-15
1 2
) - 2 ?(
2
31 2
)
2
¡àµ±n=15»ò=16ʱ£¬Sn×îС.
Àý2¡¢ÒÑÖªSn=-2n2+25n£¬µ±Sn×î´óʱ£¬ÇónµÄÖµ ½â£ºS n ? ? 2 ( n ?
2
25 2
n) ? ?2(n ? 6
1 4
) ? 2?(
2
25 4
)
2
¡àµ±n=6ʱ£¬Sn×î´ó.
µÈ±ÈÊýÁÐ:
an 1 .¶¨ Òå £º ? q ( n ? 2£¬ q ? 0 ,? ÎÞ 0 Ïî ) Q a n ?1
2 .ͨ Ïî ¹« ʽ £º a n ? a 1 q
ÍÆ ¹ã £º an ? am q
n?m
n ?1
? Ç󹫱Èq
n?m
?
an
am n a1 ? a n q a 1 (1 ? q ) 3 .ǰ n Ïî ºÍ £º S n ? , Sn ? ,q ? 1 1? q 1? q
4 .±ä ʽ £º S n ?
a 1 ( q ? 1)
n
q ?1
? A ( q ? 1)
n
5 .ÐÔ ÖÊ £º Ðò ºÍ Ïà µÈ Ïî »ý Ò² Ïà µÈ .
a1 a 9 ? a 2 a 8 ? a 3 a 7 ? a 4 a 6 ? a 5 a 5 ? a 5
¶ÎºÍµÈ±È:
Sn
S 2n ? S n
S 3n ? S 2n
2
S n , S 2n ? S n , S 3n ? S 2n
6 .Èý Êý a , b , c µÈ ±È , b ½Ð a ¡¢ c µÄ µÈ ±È ÖÐ Ïî .
Èý Êý a , b , cµÈ ±È € b = a c (b ? ?
2
ac )
a 7 .Èý Êý µÈ ±È Éè ·¨ £º , a , a q . q
a 2 8 .ËÄ Êý µÈ ±È Éè ·¨ £º , a , a q , a q . q
ÒÑ Öª Õý Êý µÈ ±È Êý ÁÐ ?an ? , Âú ×ã a3 ? a7 ? 16, a4 ? a6 ? 10 Çó Êý ÁÐ ?an?µÄ ͨ Ïî ¹« ʽ .
Àý2
? a4 ? a6 ? 10 ½â£º ¡ßa3a7=a4a6 ? ? ? a4a6 ? 16
½âµÃa4=2,a6=8 »òa4=8,a6=2
¡à q=2 »ò q=1/2 ¡àͨÏʽÊÇan=a4qn-4=2¡Á2n-4=2n-3 »òan=a6qn-6=2¡Á26-n=27-n.
´ð£ºÍ¨ÏʽÊÇan=2n-3 »òan=27-n.
ÐÔÖÊ£ºÐòºÍÏàµÈ£¬Ïî»ýÒ²ÏàµÈ.
µÈ²îÊýÁÐÇóºÍ¹«Ê½:
Sn ?
Sn ?
£¨ a 1 ? a n£© n 2
d 2 n ? ( a1 ?
2
S n ? n a1 ?
d 2 )n
1 2
n ( n ? 1) d
2
Sn ? An ? Bn
µÈ? ±È? Êý? ? ÁÐ? Çó? ? ºÍ
S n ? n a1
Sn ? a 1 (1 ? q )
n
£¨ q ? 1£©
( q ? 1)
1? q
Sn ?
a1 ? a n q 1? q
( q ? 1)
ÌØÊâÊýÁÐ µÄÇóºÍ
µã´Ë²¥·Å½²¿ÎÊÓÆµ
Àý.ÇóÊýÁÐ 1+ 2 , 2 + 2 , 3 + 2 , ¡ , n + 2
2
3
n
µÄǰnºÍ ¡£ £î 2 3 Sn=(1+2)+(2+2 )+(3+2 )+¡+(£î+ 2 ) ½â£º
=(1+2+3+ ¡+n)+(2+2 +2 +¡+2 )
n(n+1) 2(2 n-1) = 2 + 2-1 n(n+1) n+1 = + 2 -2 2 2 3 n
Àý3¡¢ÇóºÍSn =1+2x+3x2+¡¡+nxn-1 (x¡Ù0,1)
Sn =1 + 2x +3x2 + ¡¡ +nxn-1 ¢Ù ½â£º xSn = x + 2x2 +¡¡+ (n-1)xn-1 + nxn ¢Ú
¢Ù -¢Ú(1-x)Sn =1
+ x + x2+ ¡¡ + xn-1 nÏî - nxn
nxn
= 1-x 1-(1+n)xn+nxn+1 = 1-x 1-(1+n)xn+nxn+1 ¡à Sn= (1-x)2
1-xn
ÇóºÍ S n ?
1 2?3
?
1 3? 4
?
1 4?5
?? ?
1 ( n ? 1 )( n ? 2 )
½â: ? a ? n
1 ( n ? 1)( n ? 2 )
?
1 n ?1
?
1 n?2
1 1 1 1 1 1 ? 1 1 ? ? Sn ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 2 3 3 4 4 5 n ?1 n ? 2 ? ? ?
? (
1 2
?
1 n?2
) ?
n 2(n ? 2)
СÆÀ£º1¡¢´ËÀàÌâµÄ¹Ø¼üÊÇÔõÑù°ÑͨÏîÁÑÏî £¬×¢ÒâÒªÓë ÔʽÏàµÈ£¬Í¨³£ÔÚ Ç°Ãæ¼ÓϵÊýʹÆäÏàµÈ¡£ 2¡¢ÔÚÇóºÍʱҪעÒâǰºó¼¸ÏîµÖÏûµÄ¹æÂÉ¡£ 3¡¢Ê£ÏµÄÊÇÄļ¸Ï¾Í¿ÉÒÔÂíÉÏÇó³ö¡£
Àý4¡¢Sn =
1
1¡Á3
+
1
3¡Á5 1
+¡¡+ 1 2
1
(2n-1)¡Á(2n+1)
½â£ºÓÉͨÏîan=
¡àSn= 1 £¨ 1
(2n-1)¡Á(2n+1) 1 + 1 1
=
£¨
1 2n-1 1
-
1 2n+1 1
£©
+¡¡+ 2 1 3 3 5 2n-1 ) 1 1 n = = £¨1 £© 2 2n+1 2n+1
2n+1
ÆÀ£ºÁÑÏîÏàÏû·¨µÄ¹Ø¼ü¾ÍÊǽ«ÊýÁеÄÿ Ò»Ïî²ð³É¶þÏî»ò¶àÏîʹÊýÁÐÖеÄÏî³öÏÖ ÓйæÂɵĵÖÏûÏ½ø¶ø´ïµ½ÇóºÍµÄÄ¿µÄ¡£
²»µÈʽ
µã´Ë²¥·Å½²¿ÎÊÓÆµ
²»µÈʽµÄÐÔÖÊ:
1 .¶Ô ³Æ ÐÔ : a ? b ? b ? a
2 .´« µÝ ÐÔ a ? b, b ? c ? a ? c
3.Á½ ±ß ¿É ͬ ¼Ó ¼õ a ? b ? a ? c ? b ? c
¿ÉÒÆÏî
a?c?b? a ?b?c
ͬ Ïò ¿É µþ ¼Ó a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d
4 . ³Ë Õý Êý ·½ Ïò ²» ±ä a ? b , c ? 0 ? ac ? bc
³Ë ¸º Êý ¸Ä ±ä ·½ Ïò a ? b , c ? 0 ? ac ? bc Õý Êý ¿É µþ ³Ë a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? a c ? b d
5 .Õý Êý ¿É ³Ë ·½ a ? b ? 0 ? a ? b
n
n
6 .Õý Êý ¿É ¿ª ·½ a ? b ? 0 ?
n
a ?
n
b
¿ÎÌÃÁ·Ï°1£®½âÏÂÁв»µÈʽ
(1)3x2-7x+2<0
(2) ¨C6x2-x+2 ? 0
½â£ºÒòΪ¨S=49-24=25>0 ½â£ºÕûÀí£¬µÃ6x2+x-2 ? 0 ·½³Ì3x2-7x+2=0µÄ½âÊÇ ÒòΪ¨S=1+48=49>0 x1=1/3,x2=2 ·½³Ì6x2+x-2=0µÄ½âÊÇ x1= -2/3,x2=1/2 ËùÒÔÔ²»µÈʽµÄ½â¼¯Îª ©xx|1/3<x<2©y ËùÒÔÔ²»µÈʽµÄ½â¼¯ ? Ϊ: ? £ûx|x -2/3»òx 1/2 }
(3)4x2+4x+1<0
½â£ºÒòΪ¨S=42-4*4=0 ·½³Ì4x2+4x+1=0µÄ¸ùΪ x1=x2=-1/2 ËùÒÔÔ²»µÈʽµÄ ½â¼¯Îª?
(4)x2-3x+5>0
½â£ºÒòΪ¨S=9-20<0 ·½³Ìx2-3x+5=0ÎÞ½â ËùÒÔÔ²»µÈʽµÄ ½â¼¯ÎªR
µã´Ë²¥·Å½²¿ÎÊÓÆµ
»ù±¾²»µÈʽ
µã´Ë²¥·Å½²¿ÎÊÓÆµ
»ù±¾²»µÈʽ:
ab ? a?b 2
?
ab ? (
a?b 2
)
2
a ? b ? 2 ab
?
Çó×îֵʱµÄÈý¸öÌõ¼þ:
¢Ù a>0,b>0; ¢Úab»òa+bÊdz£Êý; ¢Ûµ±ÇÒ½öµ±a=bʱ,È¡µÈºÅ .
¿Ú¾÷£ºÒ»Õý¶þ³£ÈýÏàµÈ.
µ±Ìüì²â:
Çóy ? x ? 2 x ? 2 ( x ? ? 2 )µÄ ×î С Öµ £º
µã´Ë²¥·Å½²¿ÎÊÓÆµ
ÏßÐԹ滮
µã´Ë²¥·Å½²¿ÎÊÓÆµ
x £4y¡Ü£3
Àý1£ºÉèz£½2x£y,ʽÖбäÁ¿x¡¢yÂú×ãÏÂÁÐÌõ¼þ Çó£úµÄ×î´óÖµºÍ×îСֵ¡£
½â£º×÷³ö¿ÉÐÐÓòÈçͼ£º µ±£ú£½0ʱ£¬ÉèÖ±Ïß l0£º2x£y£½0 Æ½ÒÆl0£¬ µ±l0¾¹ý¿ÉÐÐÓòÉϵãAʱ£¬
£z ×îС£¬¼´£ú×î´ó¡£
y
3x+5y=25
3x+5y¡Ü25 x¡Ý1 2x£y£½0
C (1,4.4)
Æ½ÒÆl0 £¬µ±l0¾¹ý¿ÉÐÐÓòÉϵãCʱ£¬
££ú×î´ó£¬¼´£ú×îС¡£
x£4y=£3
o
B
(5,2)
£Á
x=1
x=1
x
ÓÉ
x£4y£½£3
(1,4.4) (5,2) µÃAµã×ø±ê_____£»ÓÉ µÃCµã×ø±ê_______£» 3x£«5y£½25 3x£«5y£½25
zmax£½2¡Á5£2£½8 zmin£½2¡Á1£4.4£½ £2.4
¡à
½âÏßÐԹ滮ÎÊÌâµÄ²½Ö裺
1¡¢»³öÏßÐÔÔ¼ÊøÌõ¼þËù±íʾµÄ¿ÉÐÐÓò£»
2¡¢Çó³öÿһ¸ö¶¥µãµÄ×ø±ê 3¡¢°Ñÿһ¸ö¶¥µã×ø±ê´úÈëÄ¿±êº¯Êý£¬ ÕÒ³öZ×î´ó×îСֵ 4¡¢×÷³ö´ð°¸¡£
µã´Ë²¥·Å½²¿ÎÊÓÆµ