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高中数学必修5 优秀复习课PPT课件
三角恒等变换 公式 复习
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( 一 )和 角 与 差 角 公 式 S ? ? ? sin ( ? ? ? ) ? sin ? co s ? ? co s ? sin ?
S? ??
C? ? ?
sin ( ? ? ? ) ? sin ? co s ? ? co s ? sin ?
co s( ? ? ? ) ? co s ? co s ? ? sin ? sin ?
co s( ? ? ? ) ? co s ? co s ? ? sin ? sin ?
C? ??
T ? ? ? ta n ( ? ? ? ) ?
T? ? ?
ta n ? ? ta n ? 1 ? ta n ? ta n ? ta n ? ? ta n ?
1 ? ta n ? ta n ?
ta n ( ? ? ? ) ?
(二)二倍角公式
S 2 ? sin 2? ? 2 sin ? co s ?
C 2 ? co s 2 ? ? co s 2 ? ? sin 2 ?
T2?
ta n 2 ? ?
2 ta n ? 1 ? ta n ?
2
co s2 ? = co s ? ? sin ? 2 c o s 2 ? = 2 co s ? ? 1
2 2
co s2 ? = 1 -2 sin ?
2
1 ? co s 2 x ? 2 sin x
2
1+cos2x=2cos x
2
(二)二倍角公式变形
降幂公式
cos x ?
2
1 ? cos 2 x 2 1 ? cos 2 x 2
? ?
1 2 1 2
? ?
1 2 1 2
cos 2 x
sin x ?
2
cos 2 x
1 ? s i n 2 ? ? (si n ? ? c o s ? )
2
合 成 Asin(? x+? )的 常 见 形 式 ：
( 1 ) 3 sin x ? co s x ? 2 s in ( x ?
( 2 )sin 2 x ?
?
)
?
3 )
6
3 co s 2 x ? 2 s in ( 2 x ?
2 sin ( x ?
(3) sin x ? co s x ?
?
4
)
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例 3.已 知 ? , ? 均 为 锐 角, cos ? ?
2 7
, c o s (? ? ? ) ? ?
11 14
求 co s ? 的 值
解 ： ? 是 锐 角 ,且 c o s ? ? ?
2 7
? s in ? ?
1 ? cos ? ?
2
1? ( ) 7
5 3 14
2
2
?
3 5 7
11 14
又 由 ? , ? 为 锐 角 得 0 < ? ? ? ? ? , 且 co s (? ? ? ) ? ?
? s in (? ? ? ) ?
1 ? (?
11 14
)
2
?
? co s ? = co s[( ? + ? )- ? ]
= co s( ? + ? )co s ? + sin ( ? + ? )sin ?
? (? 11 14 )? 2 7 ? 5 3 14 ? 3 5 7 ? 15 15 ? 22 98
练 习 3.已 知 ? , ? 均 为 锐 角, cos ? ?
3 5
, c o s (? ? ? ) ? ?
5 13
求 sin ? 的 值
解 ： ? 是 锐 角 ,且 c o s ? ? ?
3 5
? s in ? ?
1 ? cos ? ?
2
1? ( ) 5
3
2
?
4 5
5 13
又 由 ? , ? 为 锐 角 得 0 < ? ? ? ? ? , 且 c o s (? ? ? ) ? ?
? s in (? ? ? ) ?
1 ? (c o s ? ) = 1 ? ( ?
2
5 13
)
2
?
12 13
? sin ? = sin [( ? + ? )- ? ]
= sin ( ? + ? )co s ? -co s( ? + ? )sin ?
? 12 13 ? 3 5 ? (? 5 13 )? 4 5 ? 56 65
例 1： 知 y= 已
解 :(1 ) y ? 2 (
3 sin 2 x ? co s 2 x
? 2
)
c o s 2 x ) ? 2 (s in 2 x c o s ? c o s 2 x s in ) 6 6
(1) 求 y的 最 大 值 , 并 写 出 相 应 x 的 集 合 . ( 2 ) 求 函 数 的 递 增 区 间 . 3 1 ? ?
s in 2 x ?
6 ? ? 相 应 的 x的 集 合 是 { x | 2 x ? ? ? 2 ?? , ? ? Z } ? 6 2
? 2 s in ( 2 x ?
2
? 函 数 的 最 大 值 是 2.
? {x | x ?
? ?? , ? ? Z }
?
6
(2 ) ? y ? 2 sin z的 递 增 区 间 是 [ 2 ?? ?
6
?
2
, 2 ?? ?
?
2
]
?
? 2 ?? ?
?
2
? 2x ?
? 2 ?? ?
?
2
?
2
y
2
0
y=2sinz
?
2
得 ?? ?
?
3
? x ? ?? ?
?
6
?
3
z
?2
? 函 数 y 的 递 增 区 间 是 [ ?? ?
, ?? ?
?
6
]( ? ? Z )
例 2 . 已 知 y ? (sin x ? co s x ) ? 2 c o s x (1) 求 周 期 , 最 小 值 , 以 及 相 应 x 的 集 合 . ( 2 ) 求 递 减 区 间 .
2 2
解 :(1 ) y ? sin x ? 2 sin x co s x ? co s x ? 2 co s x
2 2 2
? sin 2 x ? (co s x ? sin x )
2 2
y
2
? 周 期 是 ? , 最 小 值 是 - 2 , 相 应 的 x的 集 合 是
? sin 2 x ? co s 2 x ? ? 2 s in ( 2 x ? ) 4
?
? 2 ?? ?
y=
0
2 sin z
3? 2
?
?
2
?
2
2
z
?
, ? ? Z } ? { x | x ? ?? ? , ? ? Z } 4 2 ? 8 3? ( 2 ) ? 函 数 y ? 2 sin z 的 递 减 区 间 是 [ 2 k ? + , 2 k ? ? ] 2 2 ? ? 3? 3? 7? ? 2 ?? ? ? 2x? ? 2 ?? 得 ?? ? ? x ? ?? ? 2 4 2 8 8 3? 7? ? 递 减 区 间 是 [ ?? ? , ?? ? ]( ? ? Z ) 8 8 {x | 2 x ?
?
?
数列
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等差数列:
1 .定 义 ： a n ? a n ? 1 ? d ( n ? 2 )
2 .通 项 公 式 ： a n ? a 1 ? ( n ? 1) d
推 广 an ? am ? (n ? m )d
? d ?
an ? am n?m
an ? dn ? b ? 数 列 {an }等 差 （ 充 要 条 件 ） .
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3 .前 n 项 和 公 式 ： S n ?
n ( a1 ? a n ) 2
或
S n ? n a1 ?
1 2
n ( n ? 1) d
Sn ?
?d
2
n ? ( a1 ?
2
d 2
)n
? 2 S n ? A n ? B n ? 数 列 { a n }等 差
4 .性 质 ：
(1)序 和 相 等 项 和 也 相 等 . a1 ? a 9 ? a 2 ? a 8 ? a 3 ? a 7 ? a 4 ? a 6 ? a 5 ? a 5 ? 2 a 5 Sn S 2n ? S n S 3n ? S 2n (2)段 和 等 差 .
S n , S 2 n - S n， S 3 n ? S 2 n
(3) 知 S n 求 a n
① S n ? A n ? B n ? 数 列 { a n }等 差
2
a n ? S n ? S n ? 1 ? A ( 2 n ? 1) ? B( 求 通 项 )
② S n ? A n ? B n ? C (C ? 0 ) ? 数 列 从 第 二 项 起 等 差 .
2
?
a n ? { A ( 2 n ? 1) ? B ,
?
A? B ?C ,
n ?1 n ? 2 (求 通 项 )
5 .三 数 a , b , c 等 差 ， 则 b叫 a 与 c的 等 差 中 项 .
a ? c ? 2b
6 .三 数 等 差 设 元 法 ： a ? d , a , a ? d （ 公 差 是 d）
练习3
三 数 成 等 差 数 列 ， 其 和 为 12， 积 为 48， 求 此 三 数 .
解：设这三个为a-d,a,a+d,则
?(a ? d ) ? a ? (a ? d ) ? 12 ? ? ( a ? d ) ?a ?( a ? d ) ? 4 8
解得a=4,d=2或a=4,d=-2 ∴此三数是2，4，6 或6，4，2.
已 知 等 差 数 列 ?an ? , 满 足 a3 ? a7 ? 12, a3 ? a7 ? 8 求 数 列 ?an?的 通 项 公 式 .
例4
? 解： a 3 ? a 7 ? 8 ? ? a3a7 ? 12
an=am+(n-m)d.
解得a3=2,a7=6 或a3=6,a7=2
∴ d=1 或 d=-1
∴当a3=2,d=1时，
通项公式是an=a3+(n-3)1=n-1. 当a3=6,d=-1时， 通项公式是an=a3+(n-3)d=-n+9.
例:已知Sn=2n2-3n,求an
解：当n>1时， a n ? S n ? S n ? 1 ( n ? 1)
当n=1时，a1=S1=-1,上式也适合. ∴通项公式是an=4n-5 练习：P44例3
即an=4n-5
=2[n2-(n-1)2]-3[n-(n-1)] =2(2n-1)-3
例1、已知Sn=2n2-62n，当Sn最小时，求n的值
S 解： n ? 2 ( n ? 3 1 n ) ? 2 ( n ?
2
例1变式
31
2
) ? 2?(
2
31 2
)
2
=2(n-15
1 2
) - 2 ?(
2
31 2
)
2
∴当n=15或=16时，Sn最小.
例2、已知Sn=-2n2+25n，当Sn最大时，求n的值 解：S n ? ? 2 ( n ?
2
25 2
n) ? ?2(n ? 6
1 4
) ? 2?(
2
25 4
)
2
∴当n=6时，Sn最大.
等比数列:
an 1 .定 义 ： ? q ( n ? 2， q ? 0 ,? 无 0 项 ) Q a n ?1
2 .通 项 公 式 ： a n ? a 1 q
推 广 ： an ? am q
n?m
n ?1
? 求公比q
n?m
?
an
am n a1 ? a n q a 1 (1 ? q ) 3 .前 n 项 和 ： S n ? , Sn ? ,q ? 1 1? q 1? q
4 .变 式 ： S n ?
a 1 ( q ? 1)
n
q ?1
? A ( q ? 1)
n
5 .性 质 ： 序 和 相 等 项 积 也 相 等 .
a1 a 9 ? a 2 a 8 ? a 3 a 7 ? a 4 a 6 ? a 5 a 5 ? a 5
段和等比:
Sn
S 2n ? S n
S 3n ? S 2n
2
S n , S 2n ? S n , S 3n ? S 2n
6 .三 数 a , b , c 等 比 , b 叫 a 、 c 的 等 比 中 项 .
三 数 a , b , c等 比 � b = a c (b ? ?
2
ac )
a 7 .三 数 等 比 设 法 ： , a , a q . q
a 2 8 .四 数 等 比 设 法 ： , a , a q , a q . q
已 知 正 数 等 比 数 列 ?an ? , 满 足 a3 ? a7 ? 16, a4 ? a6 ? 10 求 数 列 ?an?的 通 项 公 式 .
例2
? a4 ? a6 ? 10 解： ∵a3a7=a4a6 ? ? ? a4a6 ? 16
解得a4=2,a6=8 或a4=8,a6=2
∴ q=2 或 q=1/2 ∴通项公式是an=a4qn-4=2×2n-4=2n-3 或an=a6qn-6=2×26-n=27-n.
答：通项公式是an=2n-3 或an=27-n.
性质：序和相等，项积也相等.
等差数列求和公式:
Sn ?
Sn ?
（ a 1 ? a n） n 2
d 2 n ? ( a1 ?
2
S n ? n a1 ?
d 2 )n
1 2
n ( n ? 1) d
2
Sn ? An ? Bn
等? 比? 数? ? 列? 求? ? 和
S n ? n a1
Sn ? a 1 (1 ? q )
n
（ q ? 1）
( q ? 1)
1? q
Sn ?
a1 ? a n q 1? q
( q ? 1)
特殊数列 的求和
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例.求数列 1+ 2 , 2 + 2 , 3 + 2 , … , n + 2
2
3
n
的前n和 。 ｎ 2 3 Sn=(1+2)+(2+2 )+(3+2 )+…+(ｎ+ 2 ) 解：
=(1+2+3+ …+n)+(2+2 +2 +…+2 )
n(n+1) 2(2 n-1) = 2 + 2-1 n(n+1) n+1 = + 2 -2 2 2 3 n
例3、求和Sn =1+2x+3x2+……+nxn-1 (x≠0,1)
Sn =1 + 2x +3x2 + …… +nxn-1 ① 解： xSn = x + 2x2 +……+ (n-1)xn-1 + nxn ②
① -②(1-x)Sn =1
+ x + x2+ …… + xn-1 n项 - nxn
nxn
= 1-x 1-(1+n)xn+nxn+1 = 1-x 1-(1+n)xn+nxn+1 ∴ Sn= (1-x)2
1-xn
求和 S n ?
1 2?3
?
1 3? 4
?
1 4?5
?? ?
1 ( n ? 1 )( n ? 2 )
解: ? a ? n
1 ( n ? 1)( n ? 2 )
?
1 n ?1
?
1 n?2
1 1 1 1 1 1 ? 1 1 ? ? Sn ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 2 3 3 4 4 5 n ?1 n ? 2 ? ? ?
? (
1 2
?
1 n?2
) ?
n 2(n ? 2)
小评：1、此类题的关键是怎样把通项裂项 ，注意要与 原式相等，通常在 前面加系数使其相等。 2、在求和时要注意前后几项抵消的规律。 3、剩下的是哪几项，就可以马上求出。
例4、Sn =
1
1×3
+
1
3×5 1
+……+ 1 2
1
(2n-1)×(2n+1)
解：由通项an=
∴Sn= 1 （ 1
(2n-1)×(2n+1) 1 + 1 1
=
（
1 2n-1 1
-
1 2n+1 1
）
+……+ 2 1 3 3 5 2n-1 ) 1 1 n = = （1 ） 2 2n+1 2n+1
2n+1
评：裂项相消法的关键就是将数列的每 一项拆成二项或多项使数列中的项出现 有规律的抵消项，进而达到求和的目的。
不等式
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不等式的性质:
1 .对 称 性 : a ? b ? b ? a
2 .传 递 性 a ? b, b ? c ? a ? c
3.两 边 可 同 加 减 a ? b ? a ? c ? b ? c
可移项
a?c?b? a ?b?c
同 向 可 叠 加 a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d
4 . 乘 正 数 方 向 不 变 a ? b , c ? 0 ? ac ? bc
乘 负 数 改 变 方 向 a ? b , c ? 0 ? ac ? bc 正 数 可 叠 乘 a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? a c ? b d
5 .正 数 可 乘 方 a ? b ? 0 ? a ? b
n
n
6 .正 数 可 开 方 a ? b ? 0 ?
n
a ?
n
b
课堂练习1．解下列不等式
(1)3x2-7x+2<0
(2) –6x2-x+2 ? 0
解：因为⊿=49-24=25>0 解：整理，得6x2+x-2 ? 0 方程3x2-7x+2=0的解是 因为⊿=1+48=49>0 x1=1/3,x2=2 方程6x2+x-2=0的解是 x1= -2/3,x2=1/2 所以原不等式的解集为 ﹛x|1/3<x<2﹜ 所以原不等式的解集 ? 为: ? ｛x|x -2/3或x 1/2 }
(3)4x2+4x+1<0
解：因为⊿=42-4*4=0 方程4x2+4x+1=0的根为 x1=x2=-1/2 所以原不等式的 解集为?
(4)x2-3x+5>0
解：因为⊿=9-20<0 方程x2-3x+5=0无解 所以原不等式的 解集为R
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基本不等式
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基本不等式:
ab ? a?b 2
?
ab ? (
a?b 2
)
2
a ? b ? 2 ab
?
求最值时的三个条件:
① a>0,b>0; ②ab或a+b是常数; ③当且仅当a=b时,取等号 .
口诀：一正二常三相等.
当堂检测:
求y ? x ? 2 x ? 2 ( x ? ? 2 )的 最 小 值 ：
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线性规划
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x －4y≤－3
例1：设z＝2x－y,式中变量x、y满足下列条件 求ｚ的最大值和最小值。
解：作出可行域如图： 当ｚ＝0时，设直线 l0：2x－y＝0 平移l0， 当l0经过可行域上点A时，
－z 最小，即ｚ最大。
y
3x+5y=25
3x+5y≤25 x≥1 2x－y＝0
C (1,4.4)
平移l0 ，当l0经过可行域上点C时，
－ｚ最大，即ｚ最小。
x－4y=－3
o
B
(5,2)
Ａ
x=1
x=1
x
由
x－4y＝－3
(1,4.4) (5,2) 得A点坐标_____；由 得C点坐标_______； 3x＋5y＝25 3x＋5y＝25
zmax＝2×5－2＝8 zmin＝2×1－4.4＝ －2.4
∴
解线性规划问题的步骤：
1、画出线性约束条件所表示的可行域；
2、求出每一个顶点的坐标 3、把每一个顶点坐标代入目标函数， 找出Z最大最小值 4、作出答案。
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