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空间向量与垂直关系练习题


课时作业(十九)
[学业水平层次] 一、选择题 1.已知平面 α 的法向量为 a=(1,2,-2),平面 β 的法向量为 b =(-2,-4,k),若 α⊥β,则 k=( A.4 B.-4 C.5 ) D.-5

【解析】 ∵α⊥β,∴a⊥b,∴a· b=-2-8-2k=0. ∴k=-5. 【答案】 D

→ 2.在菱形 ABCD

中,若PA是平面 ABCD 的法向量,则以下等式 中可能不成立的是( → → A.PA⊥AB → → C.PC⊥BD ) → → B.PA⊥CD → → D.PC⊥AB

【解析】 由题意知 PA⊥平面 ABCD, 所以 PA 与平面上的线 AB、 CD 都垂直,A、B 正确;又因为菱形的对角线互相垂直,可推得对 角线 BD⊥平面 PAC,故 PC⊥BD,C 选项正确. 【答案】 D

→ → → → → 3.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x-1, y-3),且 BP⊥平面 ABC,则实数 x,y,z 分别为( 33 15 A. 7 ,- 7 ,4 40 C. 7 ,-2,4 40 15 B. 7 ,- 7 ,4 40 D.4, 7 ,-15 )

→ → → → 【解析】 ∵AB⊥BC,∴AB· BC=0,即 3+5-2z=0,得 z=4,

→ → → → 又 BP⊥平面 ABC,∴BP⊥AB,BP⊥BC,
? ??x-1?+5y+6=0, 则? ?3?x-1?+y-12=0, ?

40 ? x = ? 7, 解得? 15 ? y =- ? 7.

【答案】 B 4.已知点 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),点 D 满足条件:DB⊥ AC,DC⊥AB,AD=BC,则点 D 的坐标为( A.(1,1,1)
?1 1 1? B.(-1,-1,-1)或?3,3,3? ? ? ?1 1 1 ? C.?3,3,3? ? ?

)

1 1? ? 1 D.(1,1,1)或?-3,-3,-3? ? ? 【解析】 → → 设 D(x,y,z),则BD=(x,y-1,z),CD=(x,y,z

→ → → → -1),AD=(x-1,y,z),AC=(-1,0,1),AB=(-1,1,0),BC=(0, -1,1).又 DB⊥AC?-x+z=0 ①,DC⊥AB?-x+y=0 ②,AD =BC?(x-1)2+y2+z2=2 ③, 联立①②③得 x=y=z=1 或 x=y=z 1 1? ? 1 1 =-3,所以点 D 的坐标为(1,1,1)或?-3,-3,-3?.故选 D. ? ? 【答案】 二、填空题 5. 已知直线 l 与平面 α 垂直, 直线 l 的一个方向向量 u=(1, -3, z),向量 v=(3,-2,1)与平面 α 平行,则 z=________. 【解析】 由题意知 u⊥v,∴u· v=3+6+z=0,∴z=-9. 【答案】 -9 D

6.已知 a=(x,2,-4),b=(-1,y,3),c=(1,-2,z),且 a,b, c 两两垂直,则(x,y,z)=________. -x+2y-12=0, ? ? 由题意,知?x-4-4z=0, ? ?-1-2y+3z=0.

【解析】

解得 x=-64,y=-26,z=-17. 【答案】 (-64,-26,-17) → 7.已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点,如果AB= → → (2,-1,-4),AD =(4,2,0),AP =(-1,2,-1).对于结论:①AP → → → ⊥AB;②AP⊥AD;③AP是平面 ABCD 的法向量;④AP∥BD.其中正 确的是________. → → → → 【解析】 ∵AB· AP=0,AD· AP=0, ∴AB⊥AP,AD⊥AP,则①②正确. → → 又AB与AD不平行, → ∴AP是平面 ABCD 的法向量,则③正确. → → → → 由于BD=AD-AB=(2,3,4),AP=(-1,2,-1), → → ∴BD与AP不平行,故④错误. 【答案】 ①②③ 三、解答题 8. 如图 3216,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互 相垂直,AB= 2,AF=1,M 是线段 EF 的中点.

图 3216 求证:AM⊥平面 BDF.

【证明】 以 C 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A( 2, 2, 0), B(0, 2, 0), D( 2, 0,0), F( 2, 2, 1), M?
? 2 ? 2 ?. , , 1 2 ?2 ?

→ ? → ? → 2 2 所以AM=?- ,- ,1?, DF=(0, 2, 1), BD=( 2, - 2, 2 2 ? ? 0). 设 n=(x,y,z)是平面 BDF 的法向量, → → 则 n⊥BD,n⊥DF, → ? ?n· BD= 所以? → ? ?n· DF= 2x- 2y=0, 2y+z=0
? ?x=y, ?? ? ?z=- 2y,

取 y=1,得 x=1,z=- 2. 则 n=(1,1,- 2). → ? ? 2 2 因为AM=?- ,- ,1?. 2 2 ? ?

→ → 所以 n=- 2 AM,得 n 与AM共线. 所以 AM⊥平面 BDF. 9. 如图 3217,底面 ABCD 是正方形,AS⊥平面 ABCD,且 AS =AB,E 是 SC 的中点.求证:平面 BDE⊥平面 ABCD.

图 3217 【证明】 法一 设 AB=BC=CD=DA=AS=1, 建立如图所示 的空间直角坐标系 Axyz,则 B(1,0,0),D(0,1,0),A(0,0,0),S(0,0,1),
?1 1 1 ? E?2,2,2?. ? ?

连接 AC,设 AC 与 BD 相交于点 O,连接 OE,则点 O 的坐标为
?1 1 ? ? , ,0?. ?2 2 ?

→ → ? 1? 因为AS=(0,0,1),OE=?0,0,2?,
? ?

→ 1→ 所以OE=2AS.所以 OE∥AS. 又因为 AS⊥平面 ABCD, 所以 OE⊥平面 ABCD. 又因为 OE?平面 BDE, 所以平面 BDE⊥平面 ABCD. 法二 设平面 BDE 的法向量为 n1=(x,y,z),
? ?

→ → ? 1 1 1? 因为BD=(-1,1,0),BE=?-2,2,2?,

→ ? ?n1⊥BD, 所以? → ? ?n1⊥BE,

→ ? BD=-x+y=0, ?n1· 即? → 1 1 1 ? n BE =- 1· ? 2x+2y+2z=0,

令 x=1,可得平面 BDE 的一个法向量为 n1=(1,1,0). 因为 AS⊥平面 ABCD, → 所以平面 ABCD 的一个法向量为 n2=AS=(0,0,1). 因为 n1· n2=0, 所以平面 BDE⊥平面 ABCD. [能力提升层次] 1.如图 3218,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,以 D 为原点建立 空间直角坐标系,E 为 BB1 的中点,F 为 A1D1 的中点,则下列

图 3218 向量中,能作为平面 AEF 的法向量的是( A.(1,-2,4) B.(-4,1,-2) C.(2,-2,1) D.(1,2,-2) 【解析】 设平面 AEF 的一个法向量为 n=(x,y,z),正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1, 1? ? ?1 ? 则 A(1,0,0),E?1,1,2?,F?2,0,1?.
? ? ? ?

)

→ ? 1? → ? 1 ? 故AE=?0,1,2?,AF=?-2,0,1?.
? ? ? ?

→ ? ?AE· n=0, 所以? → ? ?AF· n=0, 1 ? y + ? 2z=0, ? 1 ? ?-2x+z=0,



?y=-1z, 2 所以? ?x=2z.

当 z=-2 时,n=(-4,1,-2),故选 B. 【答案】 B 2.(2014· 遵义高二检测)如图 3219,在三棱柱 ABCA1B1C1 中, 侧棱 AA1⊥底面 A1B1C1, ∠BAC=90° , AB=AC=AA1=1, D 是棱 CC1 的中点,P 是 AD 的延长线与 A1C1 的延长线的交点.若点 Q 在线段 B1P 上,则下列结论正确的是( )

图 3219 A.当点 Q 为线段 B1P 的中点时,DQ⊥平面 A1BD B.当点 Q 为线段 B1P 的三等分点时,DQ⊥平面 A1BD C.在线段 B1P 的延长线上,存在一点 Q,使得 DQ⊥平面 A1BD D.不存在 DQ 与平面 A1BD 垂直 【解析】 以 A1 为原点,A1B1,A1C1,A1A 所在直线分别为 x 轴, y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则由已知得 A1(0,0,0),B1(1,0,0), → → 1? ? C1(0,1,0) , B(1,0,1) , D ?0,1,2? , P(0,2,0) , A1B = (1,0,1) , A1D =
? ?

→ ? 1? → 1? ? ?0,1, ?,B1P=(-1,2,0),DB1=?1,-1,- ?.设平面 A1BD 的法 2? 2? ? ? → ? n · A ? 1B=x+z=0, 向量为 n=(x,y,z),则? → 1 ? n · A 1D=y+ z=0, ? 2

取 z=-2,则 x=2,

y=1,所以平面 A1BD 的一个法向量为 n=(2,1,-2).假设 DQ⊥平 → → → → → 面 A1BD, 且B1Q=λB1P=λ(-1,2,0)=(-λ, 2λ, 0), 则DQ=DB1+B1Q → 1? ? =?1-λ,-1+2λ,-2?,因为DQ也是平面 A1BD 的法向量,所以 n
? ?

→ 1-λ 1? ? = (2,1 , - 2) 与 DQ = ?1-λ,-1+2λ,-2? 共 线 , 于 是 有 2 =
? ?

1 -2 -1+2λ 1 = = 成立,但此方程关于 λ 无解.故不存在 DQ 与平面 1 -2 4 A1BD 垂直,故选 D. 【答案】 D

3. 如图 3220,四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的正 方形,PD⊥底面 ABCD,且 PD=1,若 E,F 分别为 PB,AD 中点, 则直线 EF 与平面 PBC 的位置关系________.

图 3220 【解析】 以 D 为原点,DA,DC,DP 所在直线为 x 轴,y 轴, → ?1 1 1? ?1 ? z 轴建立空间直角坐标系,则 E ?2,2,2? , F ?2,0,0? ,∴ EF = ? ? ? ?

→ 1 1? ? 1 ?0,- ,- ?,平面 PBC 的一个法向量 n=(0,1,1),∵EF=- n, 2 2? 2 ? → ∴EF∥n, ∴EF⊥平面 PBC. 【答案】 垂直 4.(2014· 广州高二检测)如图 3221,在四棱锥 PABCD 中,底 面 ABCD 为直角梯形,且 AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90° ,侧面 PAD 1 ⊥底面 ABCD.若 PA=AB=BC=2AD.

图 3221 (1)求证:CD⊥平面 PAC; (2)侧棱 PA 上是否存在点 E,使得 BE∥平面 PCD?若存在,指 出点 E 的位置并证明,若不存在,请说明理由. 【解】因为∠PAD=90° ,所以 PA⊥AD.又因为侧面 PAD⊥底面 ABCD,且侧面 PAD∩底面 ABCD=AD,所以 PA⊥底面 ABCD.又因 为∠BAD=90° ,所以 AB,AD,AP 两两垂直.分别以 AB,AD,AP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.

设 AD=2,则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1). → → → (1)AP=(0,0,1),AC=(1,1,0),CD=(-1,1,0),

→ → → → 可得AP· CD=0,AC· CD=0,所以 AP⊥CD,AC⊥CD. 又因为 AP∩AC=A,所以 CD⊥平面 PAC. 1? → ? 1? ? (2)设侧棱 PA 的中点是 E,则 E?0,0,2?,BE=?-1,0,2?.
? ? ? ?

→ ? ?n· CD=0, 设平面 PCD 的法向量是 n=(x,y,z),则? → ? ?n· PD=0,

→ 因为CD

? → ?-x+y=0, =(-1,1,0),PD=(0,2,-1),所以? 取 x=1,则 y=1, ? ?2y-z=0,

z=2,所以平面 PCD 的一个法向量为 n=(1,1,2). → → 1? ? ?-1,0, ?=0,所以 n⊥BE. 所以 n· BE=(1,1,2)· 2
? ?

因为 BE?平面 PCD,所以 BE∥平面 PCD.


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