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第六章 第三节 二元一次不等式组与简单的线性规划问题


二元一次不等式组与简单的线性规划问题 1. 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.

2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域 .了解二元一次不等式的几何意义, 表示二元一次不等式组. 表示二元一次不等式组. 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划 . 问题,并能加以解决. 问题,并能加以解决.

[理 要 点] 理 一、二元一次不等式表示平面区域 1.二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示 .二元一次不等式 + + 在平面直角坐标系中表示 直线Ax+By+C=0某一侧的所有点组成的平面区域 半平 某一侧的所有点组成的平面区域(半平 直线 + + = 某一侧的所有点组成的平面区域 边界直线. 面), 不含 边界直线. , 不等式Ax+ + 所表示的平面区域(半平面 不等式 +By+C≥0所表示的平面区域 半平面 包含 所表示的平面区域 半平面) 边界 直线. 直线.

2.对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点 ,y),使得 .对于直线 + + = 同一侧的所有点 同一侧的所有点(x, ,使得Ax 的值符号相同, +By+C的值符号相同,也就是位于同一半平面内的点, + 的值符号相同 也就是位于同一半平面内的点, + + 其坐标适合 Ax+By+C>0 ;而位于另一个半平面内的点, 而位于另一个半平面内的点, 其坐标适合 Ax+By+C<0 + + .

3.可在直线Ax+By+C=0的某一侧任取一点,一般取特 .可在直线 + + = 的某一侧任取一点 的某一侧任取一点, 殊点(x 来判断Ax+ + 殊点 0,y0),从Ax0+By0+C的 正负 来判断 +By+ , 的 C>0(或Ax+By+C<0)所表示的区域. 或 + + 所表示的区域. 所表示的区域 4.由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域,是 .由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域, 各个不等式所表示的平面区域的 公共部分 .

二、线性规划中的基本概念 名称 约束条件 线性约束条件 意义 由变量x, 组成 不等式(组 组成的 由变量 ,y组成的 不等式 组) 由x,y的 一次 不等式 或方程 组成 不等式(或方程 或方程)组成 , 的 的不等式(组 的不等式 组) 关于x, 的 关于 ,y的函数 解析式 ,如z=2x = +3y等 等

目标函数

关于x, 的 解析式 线性目标函数 关于 ,y的 一次 解析式

名称

意义

满足线性约束条件的解 , 可行解 满足线性约束条件的解 (x,y) 所有可行解组成的 可行域 所有可行解组成的 集合 最优解 使目标函数取得 使目标函数取得 最大值 或 最小值 的 可行解

线性规 在线性约束条件下求线性目标函数的 线性规 在线性约束条件下求线性目标函数的 划问题 最大值 或 最小值 问题

[究 疑 点] 究 1.可行解与最优解有何关系?最优解是否唯一? .可行解与最优解有何关系?最优解是否唯一? 提示:最优解必定是可行解, 提示:最优解必定是可行解,但可行解不一定是最优 解.最优解不一定唯一,有时唯一,有时有多个. 最优解不一定唯一,有时唯一,有时有多个. 2.点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)位于直线 +By+C=0的两 . 位于直线Ax+ + = 的两 和 位于直线 侧的充要条件是什么? 侧的充要条件是什么? 提示: 提示:(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)<0.

[题组自测 题组自测] 题组自测 1.如图所示的平面区域(阴影部分 满 .如图所示的平面区域 阴影部分 阴影部分)满 足不等式 A.x+y-1<0 . + - B.x+y-1>0 . + - C.x-y-1<0 . - - D.x-y-1>0 . - - 答案: 答案: B ( )

≥ ?x≥0 ? ≥ 2 . 不 等 式 组 ?y≥0 ?x+y≤1 ? + ≤ ________. .
≥ ?x≥0 ? ≥ 解析: 解析:满足?y≥0 ?x+y≤1 ? + ≤ 1 1 ∴S△AOB=2×1×1=2. × =

所表示的平面区域的面积为

的点(x,y)的可行域如图所示, 的可行域如图所示, 的点 , 的可行域如图所示

1 答案: 答案: 2

3.画出下列不等式(组)表示的平面区域. .画出下列不等式 组 表示的平面区域 表示的平面区域. (1)2x+y-10<0; + - < ; - + ≥ ?x-y+5≥0 ? + + ≥ (2)?x+y+1≥0 ?x≤3 ?x≤

.

先画出直线2x+ - = 画成虚线 画成虚线). 解:(1)先画出直线 +y-10=0(画成虚线 . 先画出直线 取原点(0,0),代入2x+y-10,∵2×0+0-10<0, ,代入 + - , 取原点 × + - , 表示的平面区域内, ∴原点在2x+y-10<0表示的平面区域内, 原点在 + - 表示的平面区域内 不等式2x+ - 表示的区域如图(1)所示 不等式 +y-10<0表示的区域如图 所示. 表示的区域如图 所示.

(2)不等式 -y+5≥0表示直线 -y+5=0上及右下方 不等式x- + 表示直线x- + = 上及右下方 不等式 表示直线 的点的集合, + + 表示直线x+ + = 上及右上 的点的集合,x+y+1≥0表示直线 +y+1=0上及右上 表示直线 方的点的集合, 表示直线 表示直线x= 上及左方的点的集合 上及左方的点的集合, 方的点的集合,x≤3表示直线 =3上及左方的点的集合, 所以不等式组表示的平面区域如图(2)所示. 所以不等式组表示的平面区域如图 所示. 所示

≥ , ?x≥0, ? 4.(1)若不等式组?x+3y≥4 . 若不等式组 + ≥ ?3x+y≤4 ? + ≤

,所表示的平面区域被直

4 的值是( 线 y=kx+ 分为面积相等的两部分,则 k 的值是 = + 分为面积相等的两部分, 3 7 A. 3 4 C. 3 3 B. 7 3 D. 4

)

(2)如图,△ABC中,A(0,1),B(-2,2),C(2,6),写出 如图, 如图 中 , - , , △ABC区域所表示的二元一次不等式组. 区域所表示的二元一次不等式组. 区域所表示的二元一次不等式组

解析: 由图可知 线性规划区域为△ 由图可知, 解析:(1)由图可知,线性规划区域为△ 4 4 ABC 边界及内部,y=kx+ 恰过 A(0, ), 边界及内部, = + , , 3 3 4 y=kx+ 将区域平均分成面积相等 = + 3 1 5 5 1 4 7 两部分, 两部分,故过 BC 的中点 D( , ), =k× + ,k= . , × = 2 2 2 2 3 3 (2)由两点式得直线 AB、BC、CA 的方程并化简为: 由两点式得直线 的方程并化简为: 、 、 直线 AB:x+2y-2=0, : + - = ,

直线 BC:x-y+4=0, : - + = , 直线 CA:5x-2y+2=0. : - + = 原点(0,0)不在各直线上,将原点坐标代入到各直线方 不在各直线上, ∵原点 不在各直线上 程左端,结合式子的符号可得不等式组为 + - ≥ , ?x+2y-2≥0, ? - + ≥ , ?x-y+4≥0, ?5x-2y+2≤0. ? - + ≤

答案: 答案:(1)A

[归纳领悟 归纳领悟] 归纳领悟 二元一次不等式(组 表示平面区域的判定方法 表示平面区域的判定方法: 二元一次不等式 组)表示平面区域的判定方法: 直线定界、特殊点定域.注意不等式是否可取等号,不 直线定界、特殊点定域.注意不等式是否可取等号, 可取等号时直线画成虚线,可取等号时直线画成实线. 可取等号时直线画成虚线,可取等号时直线画成实线.若直 线不过原点,特殊点常选取原点 线不过原点,特殊点常选取原点.

[题组自测 题组自测] 题组自测 + - ≥ , ?x+3y-3≥0, ? - - ≤ , 1.(2010·浙江高考 若实数 x,y 满足不等式组?2x-y-3≤0, 浙江高考)若实数 , . 浙江高考 ?x-y+1≥0, ? - + ≥ , 则 x+y 的最大值为 + A.9 . C.1 . 15 B. 7 7 D. 15 ( )

解析:不等式组表示的平面区域如图所示, 解析:不等式组表示的平面区域如图所示,显然当 直线 x+y=z 经过点 A 时,z 取得最大值 9,即 x+y + = , + 的最大值为 9.

答案: 答案:A

+ ≤ , ?x+2y≤4, ? - ≤ , 2.(2010·陕西高考 设 x,y 满足约束条件?x-y≤1, 陕西高考)设 , . 陕西高考 ?x+2≥0, ? + ≥ , 目标函数 z=3x-y 的最大值为 = - 的最大值为________. .



+ ≤ , ?x+2y≤4, ? - ≤ , 解析:如图, 解析:如图,首先画出线性约束条件?x-y≤1, ?x+2≥0 ? + ≥

的可行

域,是一个三角形,然后在可行域内平行移动目标函数 z 是一个三角形, =3x-y, - ,当经过 x+2y=4 与 x-y=1 的交点 + = - = 的交点(2,1)时, 时 目标 函数取得最大值 z=3×2-1=5. = × - =

答案: 答案:5

+ - ≥ , ?x+y-3≥0, ? - + ≥ , 3.已知实数 x,y 满足?x-y+1≥0, . , ?x≤2, ? ≤ , (1)若 z=2x+y,求 z 的最大值和最小值; 若 = + , 的最大值和最小值; y (2)若 z=x,求 z 的最大值和最小值. 的最大值和最小值. 若 =

+ - ≥ , ?x+y-3≥0, ? - + ≥ , 解:不等式组?x-y+1≥0, 表示的平面区域如图 ?x≤2 ? ≤ 所示. 所示. 中阴影部分即为可行域. 中阴影部分即为可行域.
?x+y-3=0, ?x+y-3=0, 由? ?x-y+1=0, ? - + = , ?x=1, ? = , 得? ?y=2, ? = ,

∴A(1,2); ;
?x=2, ? = , 得? ? = , ?y=1,

?x=2, ? = , 由? ? + - = , ?x+y-3=0,

∴B(2,1); ;
?x=2, ? = , 由? ?x-y+1=0, ? - + = , ?x=2, ? = , 得? ?y=3, ? = ,

∴M(2,3). .

(1)∵z=2x+y,∴y=- +z, ∵ = + , =- =-2x+ , 当直线 y=- +z 经过可行域内点 M(2,3)时,直线在 y =-2x+ =- 时 上的截距最大, 也最大, 轴上的截距最大,z 也最大,此时 zmax=2×2+3=7. × + = =-2x+ 当直线 y=- +z 经过可行域内点 A(1,2)时,直线在 y =- 时 轴上的截距最小, 也最小, 轴上的截距最小,z 也最小,此时 zmin=2×1+2=4. × + = 所以 z 的最大值为 7,最小值为 4. ,

1 1 y (2)∵kOA=2,kOB= ,∴ ≤x≤2, ∵ , , 2 2 1 所以 z 的最大值为 2,z 的最小值为 . , 2

- ≥ , ?2x-y≥0, ? ≥ , y 若实数 x、 满足?y≥x, 、 ?y≥-x+b + ? ≥ 的值为________. 则实数 b 的值为 .

且 z=2x+y 的最小值为 3, = + ,

- ≥ , ?2x-y≥0, ? ≥ , 解析: 解析:在坐标平面内画出不等式组?y≥x, ?y≥-x+b + ? ≥

表示的

大致平面区域, 大致平面区域,在坐标平面内平移直线 2x+y=0,注意 + = , 到当直线平移到经过直线 2x-y=0 与 y=- +b 的交点 =-x+ - = =- 时,目标函数 z=2x+y 取得最小值,再结合 z=2x+y 的 = + 取得最小值, = + 9 最小值为 3,分析确定 b= . , = 4

9 答案: 答案: 4

[归纳领悟 归纳领悟] 归纳领悟 求目标函数的最值的一般步骤是:一画二移三求, 求目标函数的最值的一般步骤是:一画二移三求,其 关键是准确作出可行域,准确理解 的几何意义 的几何意义, 关键是准确作出可行域,准确理解z的几何意义,对于目 标函数z= + 而言 而言, 标函数 =ax+by而言,当b>0时,在可行域内越向上平移 时 直线ax+ = , 的值越大 越向下平移直线ax+ = , 的值越大; 直线 +by=0,z的值越大;越向下平移直线 +by=0, z的值越小.当b<0时,情况正好相反. 的值越小. 的值越小 时 情况正好相反.

[题组自测 题组自测] 题组自测 1.一项装修工程需要木工和瓦工共同完成,请木工需付 .一项装修工程需要木工和瓦工共同完成, 工资每人50元 请瓦工需付工资每人 元 工资每人 元,请瓦工需付工资每人40元,现有工人 工资预算2 000元,设木工 人,瓦工 人,请工人的约 工资预算 元 设木工x人 瓦工y人 束条件是______________. . 束条件是
+ ≤ , ?50x+40y≤2 000, ? * 答案: ∈ 答案:?x∈N , ?y∈N* ? ∈

2.(2010·四川高考 某加工厂用某原料由甲车间加工出 产 . 四川高考)某加工厂用某原料由甲车间加工出 四川高考 某加工厂用某原料由甲车间加工出A产 产品. 品,由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗 由乙车间加工出 产品 费工时10小时可加工出 千克 产品,每千克A产品获利 费工时 小时可加工出7千克 产品,每千克 产品获利 小时可加工出 千克A产品 40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出 元 乙车间加工一箱原料需耗费工时 小时可加工出 小时可加工出4 千克B产品,每千克 产品获利 产品获利50元 千克 产品,每千克B产品获利 元.甲、乙两车间每天 产品 共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、 共能完成至多 箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费 箱原料的加工 工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间每天总获利 小时, 工时总和不得超过 小时 最大的生产计划为 ( )

A.甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料 箱 .甲车间加工原料 箱 乙车间加工原料60箱 B.甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料 箱 .甲车间加工原料 箱 乙车间加工原料55箱 C.甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料 箱 .甲车间加工原料 箱 乙车间加工原料50箱 D.甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料 箱 .甲车间加工原料 箱 乙车间加工原料30箱

解析: 解析:设甲车间加工原料 x 箱,乙车间加工原料 y 箱,则 ∈ , ∈ ?x∈N,y∈N ? + ≤ ?x+y≤70 ?10x+6y≤480 + ≤ ?

,甲乙两车间每天能够获得的利润为 z= =

280x+200y,画出可行域,由线性规划可知当直线 z=280x + ,画出可行域, = 的交点(15,55)时,z +200y 经过 x+y=70 与 10x+6y=480 的交点 + = + = 时 取到最大值, =280x+200y 取到最大值,因此,甲车间加工原料 15 箱, + 箱时,每天能够获得的利润最大. 乙车间加工原料 55 箱时,每天能够获得的利润最大.

答案: 答案:B

3.某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种 .某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、 玩具共100个,生产一个卫兵需5分钟,生产一个骑兵需 个 生产一个卫兵需 分钟 分钟, 玩具共 7分钟,生产一个伞兵需4分钟,已知总生产时间不超过 分钟,生产一个伞兵需 分钟 分钟, 分钟 10小时.若生产一个卫兵可获利润5元,生产一个骑兵 小时.若生产一个卫兵可获利润 元 小时 可获利润6元 生产一个伞兵可获利润 元 可获利润 元,生产一个伞兵可获利润3元. (1)用每天生产的卫兵个数 与骑兵个数y表示每天的利润 用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数 表示每天的利润 用每天生产的卫兵个数 与骑兵个数 w(元); 元; (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润 怎样分配生产任务才能使每天的利润最大, 怎样分配生产任务才能使每天的利润最大 是多少? 是多少?

依题意每天生产的伞兵个数为100-x-y,所以 解:(1)依题意每天生产的伞兵个数为 依题意每天生产的伞兵个数为 - - , 利润w= + + 利润 =5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300. - - = + +
(2)约束条件为 约束条件为 + + ( - - ) , ?5x+7y+4(100-x-y)≤600, ? - - ≥ , ?100-x-y≥0, ?x≥0,y≥0, ? ≥ , ≥ , + ≤ , ?x+3y≤200, ? + ≤ , 整理得?x+y≤100, ?x≥0,y≥0. ? ≥ , ≥

目标函数为 w=2x+3y+300.如图 = + + 如图 所示,作出可行域. 作出可行域. 初始直线 l0:2x+3y=0,平移初始 + = , 有最大值. 直线经过点 A 时,w 有最大值.
?x+3y=200, , ? + = 由? ?x+y=100, , ? + = ?x=50, ? = , 得? ?y=50, ? = ,

最优解为 A(50,50),所以 wmax=550 元. , 答:每天生产的卫兵个数 50 个,骑兵个数 50 个,伞兵 个数 0 个时利润最大为 550 元.

[归纳领悟 归纳领悟] 归纳领悟 线性规划实际应用问题的解决常见的错误点有: 线性规划实际应用问题的解决常见的错误点有: (1)不能准确地理解题中条件的含义,如“不超过 、“至 不能准确地理解题中条件的含义, 不超过 不超过”、 至 不能准确地理解题中条件的含义 等线性约束条件出现失误. 少”等线性约束条件出现失误. 等线性约束条件出现失误 (2)最优解的找法由于作图不规范而不准确. 最优解的找法由于作图不规范而不准确. 最优解的找法由于作图不规范而不准确 (3)最大解为 整点时”不会寻找 最优整点解”.处理此类 最大解为“整点时 不会寻找“最优整点解 . 最大解为 整点时 不会寻找 最优整点解 问题时.一是要规范作图,尤其是边界实虚要分清, 问题时.一是要规范作图,尤其是边界实虚要分清, 二是寻找最优整点解时可记住“整点在整线上 整线 二是寻找最优整点解时可记住 整点在整线上”(整线: 整点在整线上 整线: 形如x= 或 = , ∈ . 形如 =k或y=k,k∈Z).

一、把脉考情 从近两年的高考试题来看,二元一次不等式 组 表示的 从近两年的高考试题来看,二元一次不等式(组)表示的 平面区域(的面积 、求目标函数的最值、 平面区域 的面积)、求目标函数的最值、线性规划的应用问 的面积 题等是高考的热点,题型既有选择题,也有填空题,难度 题等是高考的热点,题型既有选择题,也有填空题, 为中低档题;主要考查平面区域的画法、 为中低档题;主要考查平面区域的画法、目标函数最值的 求法,以及在取得最值时参数的取值范围. 求法,以及在取得最值时参数的取值范围.同时注重考查 等价转化、数形结合思想. 等价转化、数形结合思想. 预测2012年高考仍将以目标函数的最值、线性规划的 年高考仍将以目标函数的最值、 预测 年高考仍将以目标函数的最值 综合运用为主要考查点,重点考查学生分析问题、 综合运用为主要考查点,重点考查学生分析问题、解决问 题的能力. 题的能力.

二、考题诊断 ≥ , ?x≥-1, ? ≥ , 1. (2010·全国卷Ⅱ)若变量 x, 满足约束条件?y≥x, 全国卷Ⅱ y . 全国卷 若变量 , ?3x+2y≤5, ? + ≤ , 则 z=2x+y 的最大值为 = + A.1 . C.3 . B.2 . D.4 . ( )

解析:画出可行域 如图中阴影部分 如图中阴影部分), 解析:画出可行域(如图中阴影部分 ,

由图可知,当直线经过点 最大, 由图可知,当直线经过点A(1,1)时,z最大,最大值为 ×1 时 最大 最大值为2× +1=3. = 答案: 答案:C

≤ , ?y≤1, ? + ≥ , 2.(2010·全国卷Ⅰ)若变量 x,y 满足约束条件?x+y≥0, 全国卷Ⅰ . 全国卷 若变量 , ?x-y-2≤0, ? - - ≤ , 则 z=x-2y 的最大值为 = - A.4 . C.2 . B.3 . D.1 . ( )

解析:作出可行域如图所示. 解析:作出可行域如图所示.

作直线l 作直线 0:x-2y=0. - = 当把l 平移到l 位置时,此时过点A(1,- ,-1), 的值最大 的值最大, 当把 0平移到 1位置时,此时过点 ,- ,z的值最大, 且zmax=1-2×(-1)=3. - ×- = 答案: 答案:B

3.(2010·陕西高考 铁矿石 和B的含铁率 ,冶炼每万吨 . 陕西高考)铁矿石 的含铁率a, 陕西高考 铁矿石A和 的含铁率 铁矿石的CO 的排放量b及每万吨铁矿石的价格 如下表: 及每万吨铁矿石的价格c如下表 铁矿石的 2的排放量 及每万吨铁矿石的价格 如下表: a A B 50% 70% b(万吨 万吨) 万吨 1 0.5 c(百万元 百万元) 百万元 3 6

某冶炼厂至少要生产1.9(万吨 铁,若要求 2的排放 万吨)铁 若要求CO 某冶炼厂至少要生产 万吨 量不超过2(万吨 , 量不超过 万吨),则购买铁矿石的最少费用为 万吨 ________(百万元 . 百万元). 百万元

解析: 万吨, 万吨, 解析:可设需购买 A 矿石 x 万吨,B 矿石 y 万吨, ?x≥0 ? ≥ ?y≥0 ≥ 则根据题意得到约束条件为:? 则根据题意得到约束条件为: + ≥ ?0.5x+0.7y≥1.9 ?x+0.5y≤2 ≤ ? +



目标函数为 z=3x+6y,当目标函数经过(1,2)点时目标函数 = + ,当目标函数经过 点时目标函数 取最小值,最小值为: 取最小值,最小值为:zmin=3×1+6×2=15. × + × =

答案: 答案:15

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